1_2_1常数项级数
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高等数学级数1(2)
l 3l 即 0 v n un v n 2 2
由比较审敛法的推论, 得证.
例4 判定下列级数的敛散性 1 1 ( 2) n (1) sin n n 1 3 n n 1
1 sin n 解 (1) lim 1 比较审敛法的极限形式, 发散 n 1 n 1 n 1 3 n ( 2) lim lim 1 n n n 1 1 n n 3 3
n
1 1 1 1 (3) 调和级数 1 发散 2 3 n n 1 n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
定理2 若0 un vn , 则
v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
(1) 2 sin
n n 1
3
n
( 2) 3
n 1
n
1 n( n 1)
n
解 (1) 0 un 2 sin
3n 3 n 2 而等比级数 收敛. n 1 3
2 2 n
n
3
由比较审敛法
所以, 原级数收敛.
( 2) 3
n 1
1 推论2 若 un ,如果有 p 1, 使un p ( n 1,2,). n 1 n
则 un收 敛;
n 1
1 如 果un ( n 1,2, ), 则 un发 散. n n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
例3 讨论下列正项级数的敛散性.
6. 根值审敛法 (柯西判别法) 定理5 设 un , ( un 0) n 1 1
12.1 常数项级数的概念和性质
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
结论 若级数的一般项un 不趋于0 (n )，则 un 必发散. n1
15
注意
lim
n
un
0并非级数收敛的充分条件.
但
s2n
sn
1 n 1
1 n2
1 n3
1 n 1， 2n 2n 2
矛盾，所以假设不真，故，调和级数发散.
16
例 5 判断下列级数的敛散性，若收敛求其和.
n 1 n 2
1 2
1
n
1 1
1 2
n
1
2
lim
n
sn
1，故，该级数收敛，其和为 1 .
4
4
19
三、柯西审敛原理(选学)
定理(柯西收敛原理) 级数 un 收敛 n1
0，正整数 N，当n N 时，对任意正整数 p，恒有
un+1+un+2 + un+p .
例
解
6
利用柯西审敛原理判定级数 对任意的正整数 p，
n0
的敛散性.
aqn
(a 0)
解：(1)若 q 1，则部分和
sn a aq aq2
aqn1 a aqn 1 q
当
q
1时，由于 lim qn n
0，从而
lim
n
sn
a， 1 q
因此，该级数收敛，且其和s a . 1 q
当
q
1时，由于lim qn n
，从而
lim
n
sn
，故，该级数发散.
8
n0
例 2 判断下列级数的敛散性
常数项级数的概念和性质
∞
lim u n = lim ( S n − S n −1 )
n →∞ n →∞
= lim S n − lim S n −1
n →∞ n →∞
= S −S =0
例4. 判别 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 的敛散性. n +1
(−1) n −1 n = 1, 解：由于 lim | u n |= lim n →∞ n →∞ n +1
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
R
即 A ≈ a1 + a2 +L+ an 1 3 3 3 3 2. = + + +L+ n +L 3 10 100 1000 10
二、常数项级数的概念
n =1 ∞
S n = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n ,
k =1
n
称为常数项级数的部分和. 若 lim S n = S 存在，则称级数 ∑ u n 收敛， n →∞
n =1 ∞
∑ S称为级数的和： u n = S .
n =1
∞
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 = 3, 3 ; 面积为 A1 = 4 第一次分叉： 第一次分叉：
1.常数项级数的定义 1.常数项级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达式
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u 2 + L + u n + L
一般常数项级数
(莱布尼茨定理)
练习题
判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还
是条件收敛?
1、
n1
( 1) n1
n 3 n1
；
2、 1 1 1 1 ； ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
3、
(1)n .
n2 n ln n
练习题答案
一、1、绝对收敛； 2、条件收敛； 3、条件收敛.
lim n
s2n
s
u1 .
lim
n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s u1.
余项 rn (un1 un2 ),
rn un1 un2 ,
满足收敛的两个条件, rn un1 .
定理证毕.
例 1 判别级数 (1)n n 的收敛性.
一、交错级数
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n u1
1，
1 n
n2
因为
先判断
lim n
n
un
lim
n
1 2
1
1 n
n
e 1 2
由根值判别法，级数 un n1
发散，故
lim
n
un
0，
从而题设级数发散.
小结
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
练习题
判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还
是条件收敛?
1、
n1
( 1) n1
n 3 n1
；
2、 1 1 1 1 ； ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
3、
(1)n .
n2 n ln n
练习题答案
一、1、绝对收敛； 2、条件收敛； 3、条件收敛.
lim n
s2n
s
u1 .
lim
n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s u1.
余项 rn (un1 un2 ),
rn un1 un2 ,
满足收敛的两个条件, rn un1 .
定理证毕.
例 1 判别级数 (1)n n 的收敛性.
一、交错级数
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n u1
1，
1 n
n2
因为
先判断
lim n
n
un
lim
n
1 2
1
1 n
n
e 1 2
由根值判别法，级数 un n1
发散，故
lim
n
un
0，
从而题设级数发散.
小结
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
微积分II课程第21次课 常数项级数的概念和性质
lim
n
sn
lim(
n
n 1 1)
所以该级数发散。
2019/11/20
11
例4. 证明调和级数
1 1 1 1 1
n1 n 1 2 3
n
发散.
证明 反证法
设
1
n1 n
收 敛部分和为Sn，且Sn
S(n
)
可见对部分和为S2n，也有S2n S(n )
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 3
1
1
35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
当n无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列
sn
有极限 s
,
即
lim
n
sn
s
则称无穷
级数 un 收敛,这时极限 s 叫做级数 un 的
n1
n1
和.并写成s u1 u2 u3
注意：sn u1 u2 un
2019/11/20
5
2 2n 1 2n 1
2019/11/20
13
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim
n
1 2
(1
无穷级数一)
第十章 无穷级数
§10-1 常数项级数的概念和性质 《常数项级数的概念》 定义1 给定数列u1+u2+···+un+···称为无穷级 数。（简称级数） un 叫做通项。
常数项级数—每一项都是常数的级数。n项的和
n
Sn u1 u2 un ui i 1
作为数列的通项，得到新的数列： S1 ,S2 ,···Sn ,···
第十章 无穷级数
定义2
当n 时,若常数项级数的部分和Sn的极限存在
,即
lim
x
Sn
S
则称常数项级数收敛, S为级数的和,记为
S u1 u2 un 或S un n1
若Sn
的极限
lim
x
S
n不存在,
则称常数项极限发散.
级数的余项:(要求当n充分大时,其误差要任意小)
Rn S Sn un1 un2
第十章 无穷级数
定理3 （比较判断法的极限形式）
设 un u1 un , vn v1 vn
n 1
n 1
是两个正项级数, 若 lim un l v n
n
（1）当0 l 时，级数 un、 vn有相同的敛散性；
n 1
n 1
（2）当l 0，且级数 vn收敛时，级数 un也收敛；
n1
1 n3/ 2
收敛
原级数收敛.
第十章 无穷级数
例：
1
ln(1 )
n1
n2
解
:
lim
ln(1
1 n2
)
1____
1 收敛 原级数收敛.
n
1
n2
n1
n2
第十章 无穷级数
级数各项乘以一个非零常数k，以及去掉级数的有限 项，不影响级数的敛散性。
§10-1 常数项级数的概念和性质 《常数项级数的概念》 定义1 给定数列u1+u2+···+un+···称为无穷级 数。（简称级数） un 叫做通项。
常数项级数—每一项都是常数的级数。n项的和
n
Sn u1 u2 un ui i 1
作为数列的通项，得到新的数列： S1 ,S2 ,···Sn ,···
第十章 无穷级数
定义2
当n 时,若常数项级数的部分和Sn的极限存在
,即
lim
x
Sn
S
则称常数项级数收敛, S为级数的和,记为
S u1 u2 un 或S un n1
若Sn
的极限
lim
x
S
n不存在,
则称常数项极限发散.
级数的余项:(要求当n充分大时,其误差要任意小)
Rn S Sn un1 un2
第十章 无穷级数
定理3 （比较判断法的极限形式）
设 un u1 un , vn v1 vn
n 1
n 1
是两个正项级数, 若 lim un l v n
n
（1）当0 l 时，级数 un、 vn有相同的敛散性；
n 1
n 1
（2）当l 0，且级数 vn收敛时，级数 un也收敛；
n1
1 n3/ 2
收敛
原级数收敛.
第十章 无穷级数
例：
1
ln(1 )
n1
n2
解
:
lim
ln(1
1 n2
)
1____
1 收敛 原级数收敛.
n
1
n2
n1
n2
第十章 无穷级数
级数各项乘以一个非零常数k，以及去掉级数的有限 项，不影响级数的敛散性。
常数项级数的概念
而
lim
k
1
k 2
故
lim
n
Sn
不存在,
即调和级数发散.
三.无穷级数的基本性质
1. 性质 1
若 c 0 为常数, 则 un 与 cun
n1
n1
有相同的敛散性, 且 cun c un
n1
n1
证
n
un 的部分和为 Sn
u
，
k
n1
k 1
n
n
cun的部分和为 Sn cuk c uk cSn ,
无穷级数 un 的前 n 项之和：
n1
n
Sn uk u1 u2 un , k 1
称为级数的部分和.
若
lim
n
S
n
S
存在,
则称级数 un
n1
收敛.
S 称为级数的和：un S .
n1
若
lim
n
Sn
不存在 ( 包括为 ) ,
则称级数 un 发散.
n1
例3 讨论等比级数 arn1 的敛散性.
n
S2
n
S1
S2
即 级数 (un vn ) 收敛, 且
n1
(un vn ) un vn S1 S2
n1
n1
n1
例7
因为等比级数
1 n1 2n
与
1 n1 3n
收敛,
所以级数
1 n1 2n
1 3n
也收敛.
一个收敛级数与 一个发散级数的和是 收敛的还是发散的？
是发散的
1 1 1
1
1
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
“常数项级数的概念和性质”教学设计
“常数项级数的概念和性质”教学设计作者：关文吉来源：《学习周报·教与学》2020年第22期摘要：介绍了“常数项级数的概念和性质”教学过程，帮助学生更好地理解常数项级数的概念和性质，为后续课程的学习打下坚实基础。
关键词：无穷级数;常数项级数;教学设计一、教材分析高等数学是理工科各专业的重要基础理论课。
通过该课程的学习，学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要努力培养学生进行抽象思维和逻辑推理的思维能力、综合运用所学知识分析问题解决问题的能力和较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。
无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的最有力的工具，同时也是后续数学课程的理论基础，因而在实际问题和理论研究中有着广泛的应用.二、教学目标（一）知识与技能目标1.使学生深刻理解常数项级数敛散性的概念，会用定义判别一些级数的敛散性，熟知等比级数及其敛散性的条件。
2.使学生熟练掌握级数的基本性质。
（二）过程与方法目标1.培养学生的观察、比较、类比、分析、总结和抽象概括的能力和数学思维方法，使学生掌握常数项级数的概念与性质。
2.提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。
（三）情感与态度目标1.通过解决圆的面积这个实际问题，激发学生的求知欲，进而激发学生的学习兴趣，提高学生的学习热情。
2.培养学生自主学习的能力，提高学生的创新意识和勇于探索的精神。
三、教学重点、难点（一）教学重点：常数项级数的概念及性质。
（二）教学难点：用常数项级数的定义法求级数的和。
四、学情分析常数项级数是无穷级数的一个重要组成部分，它的判敛在实际问题中有广泛的应用。
学生已经学习了数列求和及数列求极限的方法，学会了运用有限去探求无限的方法，已经具备了进行“翻转课堂教学法”的知识储备和分析抽象的思维能力。
函数项级数、幂级数
由上面的准则我们可知：幂级数的收敛区间是关于原点对称的区间
.在这个区间内级数收敛，在
这个区间外级数发散.区间 关于此审敛准则问题
称为幂级数的收敛区间，简称敛区。正数 R 为幂级数的收敛半径.
讨论幂级数收敛的问题主要在于收敛半径的寻求。当 另行讨论。
时，级数的敛散性不能由准则来判定，需
例题：求幂级数 解答：该级数的收敛半径为：
性质 2：幂级数
的和 s(x)在敛区内时连续的.
性质 3：幂级数
的和 s(x)在敛区内的任一点均可导，且有逐项求导公式：
= 求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
性质 4：幂级数
的和 s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式：
积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 由以上这些性质可知：幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加,相减,可以逐项求导,逐项积 分。
它们的各项都是正整数幂的幂函数.这种级数称为幂级数，其中 cn(n=0,1,2,…)均为常数. 显然，当上面级数中的变量 x 取定了某一个值 x0 时，它就变为一个常数项级数。 幂级数的收敛问题
与常数项级数一样，我们把
称为幂级数的部分和。如果这部分和当
n→∞时对区间 I 中的每一点都收敛，那末称级数在区间 I 收敛。此时 sn(x)的极限是定义在区间 I 中的函
数，记作:s(x). 这个函数 s(x)称为级数的和函数，简称和，记作： 对于幂级数，我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题，下面我们来学习关于幂级数的收敛的判
定准则。 幂级数的审敛准则
准则：设有幂级数
.如果极限
，那末，当
时，幂级数收敛，而且绝对收
敛；当
时，幂级数发散，其中 R 可以是零，也可以是+ x=5 与 x=-5，级数分别为 故级数的收敛区间是[-5,5) 幂级数的性质
无穷级数的介绍
n1
un 称为级数的一般项，或通项.
级数的前n 项和称为级数的部分和，记为
n
sn u1 u2 un ui
i 1
当n取1,2,3,···，可得部分和数列
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,,
sn u1 u2 un ,
定义2 当n无限增大时,如果级数 un的部分和
1 2n 1
1 2
级数收敛, 和为 1 . 2
其余项为 rn s sn
即 s1 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2n 1 2 2n 1
例3
证明级数
n
n1 2n
收敛,并求其和.
证
因为
sn
1 2
2 22
3 23
n 2n
2sn
1
2 2
3 22
n 2n1
后式减前式,得
sn
1
(2n 1)(2n 1)
1 1 1 2 2n 1 2n 1
sn
1 1 3
1 35
(2n
1 1) (2n
1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
sn
1 2
1
1 2n
1
lim
n
sn
lim 1 1 n 2
2n
n 1, 2n 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是lim( s2n sn ) s s 0,
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散.
例4 判别下列级数的敛散性
(1)
n1
(2n
n3 2n 5 1)(2n 1)(2n