八年级数学上册第2课时 角的平分线的判定
12.3角的平分线的性质二章全等三角形导入新课讲授新课课堂小结第2课时角平分线的判定八年级数学上(RJ)
得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
A
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D
几何语言：
C
∵ 平分∠， 且⊥， ⊥
P
O
E
B
∴ 猜想:
思考：这个结 论正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想
已知：如图，⊥，⊥，垂足分别是D、E，.求证：点P 在∠的角平分线上.
证明：作射线， ∵⊥⊥. ∴∠∠90°，
二 三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这 个结论吗？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
证明结论
已知：如图，△的角平分线，相交于点P， 求证：点P到三边，，的距离相等.
几何语言描述： ∵ 平分∠， 且⊥， ⊥.
∴.
不必再证全等
A D
P到的距离
C 角平分线上的点
P
O
E
B P到的距离
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离 相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的 平分线上呢？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
讲授新课
一 角平分线的判定 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道 路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距 离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△中，∥交于点E，∥交于点F， 点P是上一点，且点D到的距离与到的距离相等， 判断是否平分∠，并说明理由．
12.3 第2课时 角平分线的判定 初中数学人教版八年级上册课件
图形
C P
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E
PD = PE
C P
PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB
当堂小结
内容
角平分线 的判定定
理
作用
相关 结论
角的内部到角两边距离相等 的点在这个角的_平__分__线__上
判断一个点是否在角的平分线上
位置关系
数量关系
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
O
A
D C
P EB
回顾导入
如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路 和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为
500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ O
解：作夹角的角平分线 OC，
新知一览
全等三角形
“边边边”
全 等 三 角 形
三角形全等 的判定
“边角边” “角边角”“角角边”
“斜边、直角边”
角平分线的性质
角平分线的性质
角平分线的判定
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第 2 课时 角平分线的判定
人教版八年级（上）
新课导入 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路
B
A P2
P1 C
P3
典例精析 例1 如图，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交 于点 D，连接 AD. 求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
分析：
求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
求证：D 到 BA，AC 的距离相等.
八年级数学人教版(上册)第2课时角的平分线的判定
∴OB＝OD．∴OE＝OD． 又∵OE⊥AC，∠D＝90°，即 OD⊥CD， ∴CO 平分∠ACD．
(2)OA⊥OC． 证明：在 Rt△ABO 和 Rt△AEO 中，OAOB＝＝OAOE，， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴∠AOB＝∠AOE＝12∠BOE. 同理，∠COD＝∠COE＝12∠DOE. ∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝12∠BOE＋12∠DOE＝90°.∴OA
4.(教材 P51 习题 T3 变式)如图，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于 点 E，BE，CD 相交于点 O.
(1)当∠1＝∠2 时，求证：OB＝OC． 证明：∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD 和△COE 中，
∠BOD＝∠COE， OD＝OE， ∠ODB＝∠OEC， ∴△BOD≌△COE(ASA).
第 11 题图
12.(教材 P52 习题 T7 变式)如图，在四边形 ABDC 中，∠D＝ ∠B＝90°，O 为 BD 的中点，且 AO 平分∠BAC．求证：
(1)CO 平分∠ACD． 证明：过点 O 作 OE⊥AC 于点 E， ∵∠B＝90°，AO 平分∠BAC， ∴OB＝OE. ∵点 O 为 BD 的延长线相
交于点 E.若存在点 P，使得 S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点 P( D ) A．有且只有 1 个
B．有且只有 2 个
C．组成∠E 的平分线
第 8 题图
D．组成∠E 的平分线所在的直线(点 E 除外)
9.如图，l1，l2，l3 是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加
6.如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分别为 4，6，8，其 三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则 S△OAB∶S△OAC∶S△OBC ＝ 2∶3∶4 .
第2课时 角平分线的判定【习题课件】八年级上册人教版数学
6
7
8
9
10
11
12
第2课时
角平分线的判定
能力突破
基础通关
素养达标
9. 如图所示，直线 l1， l2， l3表示三条公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(
D
)
第9题图
A. 一处
B. 两处
1
2
3
4
C. 三处
5
6
7
8
D. 四处
9
10
11
12
第2课时
角平分线的判定
第十二章
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时
角平分线的判定
第2课时
角平分线的判定
基础通关
能力突破
素养达标
角的平分线的判定
1. (2023·石家庄第40中学期末)如图，用一把长方形直尺的一边压住射
线 OB ，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线 OA ，两把直尺的
另一边交于点 P ，则射线 OP 就是∠ AOB 的平分线的依据是( C )
F ， DM ⊥ AC 于点 M ， AB ＝16 cm， AF ＝10 cm， AC ＝14 cm，动点
E 以2 cm/s的速度从点 A 向点 F 运动，同时动点 G 以1 cm/s的速度从点 C
向点 A 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动
时间为 t (s).
(1)求 S△ ABD ∶ S△ ACD ；
F . 若 PE ＝ PF ，且∠ AOC ＝50°，则∠ EOP 的度数为(
A
)
第2题图
A. 65°
B. 60°
双流县七中八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教案1新版新
第2课时 角平分线的判定1．掌握角平分线的判定定理．(重点)2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)二、合作探究探究点一：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD是∠BAC 的平分线．解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】 角平分线性质和判定的综合如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等正确；①②③④都正确．故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC 的平分线．解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明．证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．探究点二：三角形的内角平分线【类型一】利用角平分线的判定求角的度数在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )A．110°B．120°C．130°D．140°解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝12∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝12∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°，故选A.方法总结：由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．【类型二】三角形内角平分线的应用已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．解：(1)可选择的地点有4处，如图：P1、P2、P3、P4，共4处．(2)能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．三、板书设计1．角平分线的判定定理．2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练．第四章检测题(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是(C ) A ．(3－x)(3＋x)＝9－x 2B ．(y ＋1)(y －3)＝－(3－y)(y ＋1)C ．m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n)(m －n)D ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y(2z －yz)＋z2．下列各组多项式中，没有公因式的是(D ) A ．(a －b)3与(a －b)2 B ．3m(x －y)与n(y －x) C ．2(a －3)2与－a ＋3 D ．ax 2＋by 2与ax ＋by 3．下列各式中，能用公式法分解因式的有(B )①－x 2－y 2；②－14a 2b 2＋1；③a 2＋ab ＋b 2；④－x 2＋2xy －y 2；⑤14－mn ＋m 2n 2.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．(安徽中考)下列分解因式正确的是(C )A ．－x 2＋4x ＝－x(x ＋4)B ．x 2＋xy ＋x ＝x(x ＋y)C ．x(x －y)＋y(y －x)＝(x －y)2D ．x 2－4x ＋4＝(x ＋2)(x －2)5．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是(B )A ．4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2B ．x 3－x ＝x(x 2－1)C ．x 2y －xy 2＝xy(x －y)D ．x 2－y 2＝(x ＋y)(x －y)6．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是(D )A ．x 2＋2x ＝x(x ＋2)B ．x 2－2x ＋1＝(x －1)2C ．x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2D ．x 2＋3x ＋2＝(x ＋2)(x ＋1)7．已知多项式2x 2＋bx ＋c 因式分解后为2(x －3)(x ＋1)，则b ，c 的值为(D ) A ．b ＝3，c ＝－1 B ．b ＝－6，c ＝2 C ．b ＝－6，c ＝－4 D ．b ＝－4，c ＝－68．计算(－2)99＋(－2)100的结果为(A ) A ．299 B ．2100 C ．－299 D ．－29．对于任何整数m ，多项式(4m ＋5)2－9都能(A ) A ．被8整除 B ．被m 整除C ．被(m －1)整除D ．被(2m －1)整除10．若三角形的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2b －a 2c ＋b 2c －b 3＝0，则这个三角形是(A )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．三角形的形状不确定二、填空题(每小题3分，共18分)11．(潍坊中考)因式分解：(x ＋2)x －x －2＝(x ＋2)(x －1)．12．(菏泽中考)若a ＋b ＝2，ab ＝－3，则代数式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值为－12.13．若多项式(3x ＋2)(2x －5)＋(5－2x)(2x －1)可分解为(2x ＋m)(x ＋n)，其中m ，n 均为整数，则mn 的值为－15.14．计算：1.222×9－1.332×4＝6.32.15．已知代数式a 2＋2a ＋2，当a ＝－1时，它有最小值，最小值为1.16．从边长为a 的正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，如图甲，然后拼成一个平行四边形，如图乙，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的为a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)．三、解答题(共72分)17．(12分)将下列各式分解因式：(1)2x 2y －8xy ＋8y; (2)a 2(x －y)－9b 2(x －y)；解：2y(x －2)2解：(x －y)(a ＋3b)(a －3b)(3)(a ＋b)3－4(a ＋b); (4)(y 2－1)2＋6(1－y 2)＋9.解：(a ＋b)(a ＋b ＋2)(a ＋b －2) 解：(y ＋2)2(y －2)218．(8分)先分解因式，再求值：(1)已知x －y ＝－23，求(x 2＋y 2)2－4xy(x 2＋y 2)＋4x 2y 2的值；解：原式＝(x －y)4，当x －y ＝－23时，原式＝1681(2)已知x ＋y ＝1，xy ＝－12，求x(x ＋y)(x －y)－x(x ＋y)2的值．解：原式＝－2xy(x ＋y)，当x ＋y ＝1，xy ＝－12时，原式＝－2×(－12)×1＝119．(6分)下列三个多项式：12x 3＋2x 2－x ，12x 3＋4x 2＋x ，12x 3－2x 2，请选择你喜欢的两个多项式进行加法运算，再将结果因式分解．解：12x 3＋2x 2－x ＋12x 3＋4x 2＋x ＝x 3＋6x 2＝x 2(x ＋6)(答案不唯一)20．(6分)甲，乙两同学分解因式x 2＋mx ＋n ，甲看错了n ，分解结果为(x ＋2)(x ＋4)；乙看错了m ，分解结果为(x ＋1)(x ＋9)，请分析一下m ，n 的值及正确的分解过程．解：∵(x ＋2)(x ＋4)＝x 2＋6x ＋8，甲看错了n 的值，∴m ＝6，又∵(x ＋1)(x ＋9)＝x2＋10x ＋9，乙看错了m 的值，∴n ＝9，∴原式为x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)221．(7分)(大连中考)【观察】1×49＝49，2×48＝96，3×47＝141，…，23×27＝621，24×26＝624，25×25＝625，26×24＝624，27×23＝621，…，47×3＝141，48×2＝96，49×1＝49.【发现】根据你的阅读回答问题：(1)上述内容中，两数相乘，积的最大值为________；(1分)(2)设参与上述运算的第一个因数为a ，第二个因数为b ，用等式表示a 与b 的数量关系是____________．(2分)【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m ×n ，…，56×4，57×3，58×2，59×1.猜想mn 的最大值为________，(2分)并用你学过的知识加以证明．(2分) 解：【发现】(1)625 (2)a ＋b ＝50【类比】900.证明如下：由题意，可得m ＋n ＝60，将n ＝60－m 代入mn ，得mn ＝－m2＋60m ＝－(m －30)2＋900，∴m ＝30时，mn 的最大值为90022．(7分)阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为三角形的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．解：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4， (A ) ∴c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2), (B )则c 2＝a 2＋b 2,(C )∴△ABC 为直角三角形. (D )(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号________；(1分) (2)错误的原因________________________________________________________________________；(2分)(3)请写出正确的解答过程．(4分)解：(1)C(2)忽略了a2－b2＝0，即a＝b的可能(3)∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，即c2(a2－b2)－(a2＋b2)(a2－b2)＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0，即a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形23．(8分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．(1)28和2020这两个数是“神秘数”吗？为什么？(2分)(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？(3分)(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数”吗？为什么？(3分)解：(1)因为28＝82－62，2020＝5062－5042，所以28和2020都是“神秘数”(2)(2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)，因此由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数(3)由(2)知“神秘数”可表示为4的倍数但一定不是8的倍数．设两个连续奇数为2k ＋1和2k－1，则(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k，所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”24．(8分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如图①(1)如果选取1号，2号，3号卡片分别为1张，2张，3张(如图②)，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系将多项式a2＋3ab＋2b2分解因式；(2)小明想用类似的方法将多项式2a2＋7ab＋3b2分解因式，那么需要1号卡片________张，2号卡片________张，3号卡片________张．试画出草图，写出将多项式2a2＋7ab＋3b2分解因式的结果．解：(1)画图略．a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)2＋7ab＋3b2＝(2a＋b)(a＋3b)25. (10分)阅读材料：若m 2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，求m ，n 的值．解：∵m 2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，∴(m 2－2mn ＋n 2)＋(n 2－8n ＋16)＝0，∴(m －n)2＋(n －4)2＝0，又∵(m －n)2≥0，(n －4)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧（m －n ）2＝0（n －4）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝4. 请解答下面的问题：(1)已知x 2－2xy ＋2y 2＋6y ＋9＝0，求xy －x 2的值；(3分)(2)已知△ABC 的三边长a ，b ，c 都是互不相等的正整数，且满足a 2＋b 2－4a －18b ＋85＝0，求△ABC 的最长边c 的值；(3分)(3)已知a 2＋b 2＝12，ab ＋c 2－16c ＋70＝0，求a ＋b ＋c 的值．(4分)解：(1)∵x 2－2xy ＋2y 2＋6y ＋9＝0，∴(x －y)2＋(y ＋3)2＝0，解得y ＝－3，故x ＝y ＝－3，xy －x 2＝－3×(－3)－(－3)2＝9－9＝0(2)∵a 2＋b 2－4a －18b ＋85＝0，∴(a －2)2＋(b －9)2＝0，解得a ＝2，b ＝9，∴7＜c ＜11，∵△ABC 的三边长a ，b ，c 都是互不相等的正整数，∴△ABC 的最长边c 的值为10(3)∵a 2＋b 2＝12，∴(a ＋b)2－2ab ＝12，∴ab ＝12(a ＋b)2－6，∴ab ＋c 2－16c ＋70＝0，12(a ＋b)2－6＋(c －8)2＋6＝0，则12(a ＋b)2＋(c －8)2＝0，则c ＝8，a ＋b ＝0，∴a ＋b ＋c ＝8一次函数说课稿各位评委老师好！我是07号考生，说课的内容是八年级上册第四章《一次函数》，下面我从教材分析、教法与学法、教学过程三个方面向大家汇报我的说课。
八年级数学上册高效课堂(人教版)12.3.2角的平分线的判定(第二课时)优秀教学案例
（一）导入新课
1.利用现实生活中的实例，如建筑设计中角的平分线应用，引入新课。
2.提出问题：如何判断一个线段是角的平分线呢？引发学生思考，激发学习兴趣。
3.引导学生回顾已学的角平分线的判定方法，结合几何画板软件动态展示，让学生直观地感受知识的发生和发展过程。
3.学生通过自主学习、探究学习，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生在解决实际问题的过程中，体验到数学知识的实用性和趣味性，增强学习数学的兴趣。
2.学生在探究角的平分线的过程中，培养勇于尝试、坚持不懈的精神，增强自信心。
3.学生通过小组合作，学会尊重他人、倾听他人意见，培养良好的团队合作精神。
（一）情景创设
1.利用现实生活中的实例，创设有趣、富有挑战性的问题情景，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
2.利用几何画板软件，动态展示角的平分线与角的两边垂直的性质，让学生直观地感受知识的发生和发展过程。
3.设计具有层次性的问题，引导学生从不同角度、不同层次去观察、思考问题，培养学生全面考虑问题的习惯。
这些亮点体现了本节课的人性化教学理念，关注学生的个体差异，培养学生的自主学习能力、团队协作能力和问题解决能力。在教学过程中，教师运用了多种教学方法和手段，使学生在轻松、愉快的氛围中学习，提高了学习效果。
在教学案例中，我以一个现实生活中的问题为导入：在画一个等边三角形的一个内角平分线时，如何判断这个线段确实是该角的平分线呢？这个问题引发了学生的思考，激发了他们的学习兴趣。接着，我引导学生通过观察、操作、猜测、推理、交流等环节，探索角的平分线的判定方法。
在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现角的平分线与角的两边垂直的性质。通过几何画板软件的动态展示，让学生直观地感受到角平分线与角的两边垂直的性质，从而加深对知识的理解。同时，我还设计了一系列的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高解决问题的能力。
人教八年级数学上册《角的平分线的判定》(共18张)
A
M
Q
O
ห้องสมุดไป่ตู้
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与 铁路的距离相等．
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可建 多少个？
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路 与铁路的距离相等．
学习重点： 角平分线性质定理的逆定理．
引言
问题1 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到 公路，铁路的距离相等，并且距离公路与铁路的交叉处500m
，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何（在图上 标 出它的位置，比例尺为1：20 000）？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
问题2 交换角的平分线的性质中的已知和结论， 你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可 建多少个？
（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁 路的距离相等．
（3）如图，点P是△ABC的两条角平分线BM， CN 的交点， 点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三 角形的三条角平分线有什么关系？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线 上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能证明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性 质可用来证明线段相等．
12-3第2课时 角的平分线的判定练习人教版八年级数学上册
第2课时角的平分线的判定知识点1角的平分线的判定1.如图,DB⊥AB,DC⊥AC,BD＝DC,∠BAC＝80°,则∠BAD＝( )A.10°B.20°C.30°D.40°2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到两边距离相等的点是( )A.C点B.D点C.E点D.F点3.如图,已知D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE＝BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.知识点2三角形的三条角平分线相交于一点4.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一个凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )A.△ABC三条中线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高的交点D.△ABC三边的中垂线的交点5.如图,在△ABC中,AB＋AC＝20,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD＝3,则图中阴影部分的面积等于.6.如图,P是△ABC的三条角平分线的交点,连接P A,PB,PC,若△P AB,△PBC,△P AC的面积分别为S1,S2,S3,求S1与S2＋S3的大小关系.知识点3角的平分线的性质与判定的综合应用7.如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是中线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则下列四个结论:①AB上任意一点与AC上任意一点到D的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③∠BDE＝∠CDF;④∠1＝∠2.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉A处的距离为1 cm(指图上距离)的地方,则图中工厂的位置应选在哪里?并说明理由.9.如图,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证:AP平分∠BAC.10.如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若OE＝2,则AB与CD之间的距离是( )A.2B.4C.6D.8第10题图第11题图11.如图,△ABC的两个外角平分线相交于点P,则下列结论:①P A＝PC;②BP平分∠ABC;③点P到AB,BC的距离相等;④BP平分∠APC.其中正确的结论是( )A.①②B.①④C.②③D.③④12.如图,在同一平面内,两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(1,1)的点共有个.13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,∠ACB与∠ABM的平分线交于点E,连接AE.求∠AEB的大小.14.如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD＝100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF＝50°,连接DE.(1)求证:DE平分∠ADC;(2)若AB＝7,AD＝4,CD＝8,且S△ACD＝15,求△ABE的面积.第2课时角的平分线的判定知识点1角的平分线的判定1.如图,DB⊥AB,DC⊥AC,BD＝DC,∠BAC＝80°,则∠BAD＝( D )A.10°B.20°C.30°D.40°2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到两边距离相等的点是( C )A.C点B.D点C.E点D.F点3.如图,已知D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE＝BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.证明:过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.∵△DCE的面积与△DBF的面积相等,∴12BF·DM＝12CE·DN.∵CE＝BF,∴DM＝DN,∴AD平分∠BAC.知识点2三角形的三条角平分线相交于一点4.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一个凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( B )A.△ABC三条中线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高的交点D.△ABC三边的中垂线的交点5.如图,在△ABC中,AB＋AC＝20,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD＝3,则图中阴影部分的面积等于30.6.如图,P是△ABC的三条角平分线的交点,连接P A,PB,PC,若△P AB,△PBC,△P AC的面积分别为S1,S2,S3,求S1与S2＋S3的大小关系.解:过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F.∵P是△ABC的三条角平分线的交点,∴PD＝PE＝PF.∵S1＝12AB·PD,S2＝12BC·PF,S3＝12AC·PE,∴S2＋S3＝12(AC＋BC)·PD.∵AB<AC＋BC,∴S1<S2＋S3.知识点3角的平分线的性质与判定的综合应用7.如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是中线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则下列四个结论:①AB上任意一点与AC上任意一点到D的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③∠BDE＝∠CDF;④∠1＝∠2.其中正确的结论有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉A处的距离为1 cm(指图上距离)的地方,则图中工厂的位置应选在哪里?并说明理由.解:工厂的位置应选在∠A的平分线上,且到点A的距离为1 cm的地方.理由:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.9.如图,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证:AP平分∠BAC.证明:过点P作PQ⊥AB于点Q,PN⊥BC于点N,PM⊥AC于点M.∵∠1＝∠2,∠3＝∠4,∴PQ＝PN,PN＝PM,∴PQ＝PM.∵PQ⊥AB,PM⊥AC,∴AP平分∠BAC.10.如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若OE＝2,则AB与CD之间的距离是( B )A.2B.4C.6D.8第10题图第11题图11.如图,△ABC的两个外角平分线相交于点P,则下列结论:①P A＝PC;②BP平分∠ABC;③点P到AB,BC的距离相等;④BP平分∠APC.其中正确的结论是( C )A.①②B.①④C.②③D.③④12.如图,在同一平面内,两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(1,1)的点共有4个.13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,∠ACB与∠ABM的平分线交于点E,连接AE.求∠AEB的大小.解:过点E作EF⊥AC交CN于点F,EG⊥AB于点G,EH⊥BC交CM于点H.∵CE平分∠ACB,BE平分∠ABH,∴EF＝EH,EG＝EH,∴EF＝EG.∵EF⊥AC,EG⊥AB,∴AE平分∠F AG.∵∠BAC＝30°,∴∠BAF＝150°,∴∠EAB＝75°.∵∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,∴∠ABC＝60°,∴∠ABH＝120°.∵BE平分∠ABH,∴∠ABE＝60°,∴∠AEB＝180°－∠EAB－∠ABE＝45°.14.如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD＝100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF＝50°,连接DE.(1)求证:DE平分∠ADC;(2)若AB＝7,AD＝4,CD＝8,且S△ACD＝15,求△ABE的面积.解:(1)过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.由题知∠F AE＝∠DAE＝40°,EF⊥BF,EG⊥AD,∴EF＝EG.∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,∴EF＝EH,∴EG＝EH,∴DE平分∠ADC.(2)∵S△ACD＝15,∴12×4EG＋12×8EH＝15,解得EF＝EG＝EH＝52,∴S△ABE＝12AB·EF＝354.。
12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教案人教版数学八年级上册
12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教学目标：1.探究并证明角平分线的判定方法.2.会用角的平分线的判定解决实际问题.3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.教学重难点：重点:角平分线的判定.难点:三角形的内角平分线的应用.教学过程：课堂导入我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,反过来,到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢?这节课我们来对这个问题进行探究.讲授新课知识点1角平分线的判定定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗?也就是交换角的平分线的性质中的已知和结论.下面我们证明这个命题的正确性.已知:如图所示,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上(OP平分∠AOB).证明:因为PD⊥OA,PE⊥OB(已知),所以∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中,{PO=PO,PD=PE,所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).所以∠POD=∠POE.即点P在∠AOB的平分线上.[归纳]角的平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意:(1)使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部;(2)角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.几何语言:如图所示,因为点P 是∠AOB 内的一点,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, 所以点P 在∠AOB 的平分线OC 上.范例应用例1 如图所示,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路和铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000)? 解:因为图上距离500=120000, 所以图上距离=0.025 m=2.5 cm.如图所示,P 点即为所求.理由:P 点在这个交叉口的角平分线上,所以P 点到公路与铁路的距离相等.知识点2 角的平分线的性质定理与判定定理的关系点在角的平分线上(角的内部)点到角的两边的距离相等.正确理解两个定理的条件和结论,性质定理和判定定理的条件和结论是相反的,性质定理是证明两条线段相等的依据,判定定理是证明两个角相等的依据.知识点3 三角形三个内角平分线的性质1.如图所示,三角形的三个内角的角平分线已画出,从位置上你能观察出什么结论? 答案:三角形三个内角的平分线的交点位于三角形的内部.2.如图所示,过交点分别作三角形三边的垂线,根据角平分线的性质定理你能得出什么结论? 答案:过交点作的三角形三边的垂线段相等.范例应用例2 如图所示,△ABC 的角平分线AD,BE,:点P 到△ABC 三边AB,BC,CA 的距离相等. 证明:如图所示,过点P 作PM ⊥BC ,PN ⊥AC ,PO ⊥AB ,垂足分别为M ,N ,O.因为AD为△ABC的角平分线,所以PN=PO.因为BE为△ABC的角平分线,所以PM=PO.因为CF为△ABC的角平分线,所以PM=PN.所以PM=PN=PO,即点P到△ABC三边AB,BC,CA的距离相等.课堂训练1.判断题:(1)如图(1)所示,若QM=QN,则OQ平分∠AOB.(×)(2)如图(2)所示,若QM⊥OA于点M,QN⊥OB于点N,则OQ平分∠AOB.(×)2.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)处处处处第2题图第3题图3.如图所示,O是△ABC内一点,O到三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=125°.4.如图所示,:AP平分∠BAC.证明:如图所示,作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上,所以PM=PQ,PN=PQ.所以PM=PN.又PM⊥AE,PN⊥AF,所以AP平分∠BAC.课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个,且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的思路:先设其中的两线交于一点,再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部,要找一点到三边距离相等时,只要作出两个角的平分线,其交点即是.4.角平分线的判定与性质的关系:由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的,即在三角形内,到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.板书设计第2课时角平分线的判定角平分线的判定{学会用添加辅助线的方法解题判定定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上应用——综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题教学反思本课时教学应重视以下几点:(1)由定理得到它的逆命题,并证明它的正确性,把两个定理正确地运用;(2)尽力体现数学与生活的联系,从实际中学习新知,使学生认识这种学习方法.(3)课堂中,可采用口答、动手做等方式组织学生比赛,教师依据具体情形予以点评指点,查缺补漏,使学生从本质上理解知识.。
人教版八年级数学上册12.3第2课时角的平分线的判定及性质的应用
上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证： 4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.
例2 如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD. (3)若BC＝12，AD＝13，求S△AMD.
1 2
S梯形ABCD.
∵S梯形ABCD＝12 (CD＋AB)·BC＝12 ×13×12＝78，
∴S△AMD＝12 ×78＝39.
ห้องสมุดไป่ตู้ 练习
1．教材P50 练习第2题． 2．如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A， PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，C为OA 上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为( B ) A．50° B．55° C．60° D．80°
AB平分∠CAF. (3)若BC＝12，AD＝13，求S△AMD.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论；
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
证∴ 明D如C证·下BM：＝明过点EM：F作·BMN过E. ⊥A点D于点BE.作BM⊥AC于点M，BN⊥AF于点N.
(3) 我们能不能证明上面的结论？
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论； 3-5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上
标如出图它 12又的. 位∵置，比M例尺E为⊥1:200A00)D？ ，∠B＝90°，∴AM平分∠BAD；
∵S梯形ABCD＝ (CD＋AB)·BC＝ ×13×12＝78，∴S△AMD＝ ×78＝39.
4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.