高考数学二轮复习 第二编 专题九 数学文化与创新应用 第1讲 数学文化及核心素养类试题习题课件 文
应用与创新数学文化教学课件(25张ppt)2021届高考数学大二轮复习教学课件模块三高考题型分层突破
6．(2020·郑州二模)如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB∥平面 α，则正四面体 上的所有点在平面 α 内的射影构成的图形面积的取值范围是____ _4_2_，_21．
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创新情境问题注重对所学数学知识、方法的有效整合，侧重考查学生的综合运用 能力．此类型问题的设置充分体现了考纲要求——对数学基础知识的考查，注重学科 的内在联系和知识的综合性，在知识网络的交汇点处设计
2．立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公 式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍 薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的体积与表面积等．
3．三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图 形为背景，考查解三角形或三角变换．
图1
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由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：
黄赤交角 23°41′ 23°57′ 24°13′ 24°28′ 24°44′
正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461
年代
公元前 公元前 公元前 公元前 公元元年
2000 年 4000 年 6000 年 8000 年
A．272 B．285 C．15507 D．311535
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3 ． (2020·福 建 毕 业 班 质 检 ) 上 世 纪 末 河 南 出 土 的 以 鹤 的 尺 骨 ( 翅 骨 ) 制 成 的 “ 骨 笛”(图 1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古 代音律与历法的密切联系．图 2 为骨笛测量“春(秋)分”，“夏(冬)至”的示意图，图 3 是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏(冬)至日光(当日正午太阳光线) 与春(秋)分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．
统考版2021高考数学二轮专题复习3.1命题创新_数学文化与人文价值课件文
65 2
π，故选
B. 答案：B
考点二 弘扬古代数学名著
[例2] (1)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，
其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积
＝
1 2
(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中
“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之
差．现有圆心角为23π，半径等于4 m的弧田，按照上述经验公式计
九根的鲁班锁由如图①所示的九根木榫拼成的，每根木榫都
是由一根正四棱柱状的木条挖去一些凹槽而成．若九根正四棱柱
底面边长均为1，其中六根短条的高均为3，三根长条的高均为5，
现将拼好的鲁班锁(如图②)放进一个圆柱形容器内，使鲁班锁最高
的一个正四棱柱形木榫的上、下底面分别在圆柱的两个底面内，
则该圆柱形容器的体积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为( )
可得弦长AB＝2AD＝2×2 3＝4 3.
所以弧田面积＝
1 2
(弦×矢＋矢2)＝
1 2
×(4
3 ×2＋22)＝4
3＋
2≈9(m2)．故选B.
答案：(1)B
(2)[2020·西安模拟]《数书九章》中对已知三角形三边长求三 角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与著名的海
考点一 彰显数学的美
[例1] 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称 美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案， 充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象 能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个 “太极函数”，给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个； ②函数f(x)＝ln(x2＋ x2＋1)可以是某个圆的“太极函数”； ③正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”； ④函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象 是中心对称图形．
中考数学二轮复习课件-专题九传统数学文化
如图1,☉O和☉I分别是△ABC的外接圆和内切圆,☉I与AB相切于点F,设☉O的半 径为R,☉I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三 条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2-2Rr. 下面是该定理的证明过程(部分): 延长AI交☉O于点D,过点I作☉O的直径MN,连接DM,AN. ∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等). ∴△MDI∽△ANI.∴ IM＝ID，
与内心之间的距离为
cm.
【解析】(1)∵O,I,N三点共线,∴OI+IN=ON, ∴IN=ON-OI=R-d; 答案:R-d
(2)BD=ID. 理由如下: 如图3,过点I作☉O的直径MN,连接AI交☉O于D,连接MD,BI,BD, ∵点I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI. ∵∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI,∴∠BID=∠DBI,∴ BD=ID.
【题组过关】
1.(202X·临沂中考)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书大约在一
千五百年前,其中一道题,原文是:“今三人共车,两车空;二人共车,九人步.问
人与车各几何?”意思是:现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余两辆车;若
每辆车乘坐2人,则有9人步行.问人与车各多少?设有x人,y辆车,可列方程组为
人和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,
使对称之美惊艳了千年的时光.在下列与扬州有关的标识或简图中,不是轴对称
图形的是
(C)
【规律方法】中心对称图形绕着某个点旋转180°后与自身重合;轴对称图形沿 着某条直线进行对折,直线两旁的部分能够完全重合.
2024年高考数学大二轮专题复习+课件(全国卷题型版)
实和
设置 科技 发展 与进 步情 境
4.(2022·全国乙卷(理))嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续
进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星．为
研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 数列的
{bn}：b1＝1＋a11，b2＝1＋a1＋1 a12，b3＝1＋a1＋a12＋1 a13，…，
开篇
命题体现三 设置真实情境
通过设计生活实践情境和学习探索情境作为任务创设和基本知识能力 运用考查的载体，实现对学生学科基本概念、原理、技能和思维方法的考查 和选拔，未来高考命题中情境已经是命题的必备要素，没有情境的试题会越 来越少，通过情境设置考查学生的关键能力和核心素养，是当前高考改革以 及国际考试测量的基本方向，因此，“无情境，不命题；无情境，不教学”．
9－3 3
B． 2
C． 2
9－4 3 D． 2
设置情境
设置社会 经济发展 情境
真题体现
对应考点 点评分析
4.(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解
了北方一些地区水资源短缺问题，其中
从日常生活、生产
一部分水蓄入某水库．已知该水库水位
实践中广泛选材
为海拔 148.5 m 时，相应水面的面积为 140.0 km2；水位为海拔 157.5 m 时，相 应水面的面积为 180.0 km2.将该水库在
︵
的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是
︵
以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在AB上，
︵
CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值 s 的计算公式：s
＝AB＋CODA2.当 OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(
高考数学二轮复习专题八数学思想数学核心素养与数学文化第1讲
第1讲高考的热门话题——数学核心素养与数学文化数学素养解读最新《普通高中数学课程标准》(2018年1月第1版)中明确提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.六大数学核心素养可划分成三类，其中数学抽象和直观想象是数学的物理特性，逻辑推理和数学运算体现数学的思维严谨性，数学建模和数据分析彰显数学的实际应用性.2017～2018年全国卷高考多渠道渗透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值观.随着新课程标准实施，高考命题必将以数学核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养模式的改革创新.因此，我们特别策划了本专题，将数学核心素养视角下的数学命题、数学文化与高考命题相结合，选择典型例题深度解读，希望能够给予广大师生复习备考提供帮助.热点一数列与算法中的数学文化中华民族优秀传统文化博大精深和源远流长，数学高考命题注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展，立德树人，激励学生民族自豪感和创新精神.【例1】(1)(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏(2)公元263年左右，我国数学家刘徽发现：当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5，3≈1.732).解析 (1)设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.(2)n ＝6，S ＝12×6sin 60°＝332≈2.598<3.1，执行循环.n ＝12，S ＝12×12sin 30°＝3<3.1，执行循环. n ＝24，S ＝12×24sin 15°＝3.105 6>3.1，满足条件.∴输出n 的值为24. 答案 (1)B (2)24探究提高 1.第(1)题从古代数学名著《算法统宗》引入，通过诗歌提出数学问题，阐明试题的数学史背景，考查等比数列.2.第(2)小题以刘徽的割圆术为背景，创设问题情境，将优秀传统文化嵌入到程序框图.事实上，更相减损术、秦九韶算法和割圆术都出现在《数学·必修3》(A 版)“算法案例”中，源于教材.3.这些试题传播了正能量，有利于提升考生人文素养，传承民族精神，试题的价值远远超出其本身价值.【训练1】 (1)(2018·江西红色七校联考)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布.(2)(2018·成都诊断)秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为9，则输出v 的值为( )A.9100B.9100－1C.10100D.10100－1解析 (1)每天织布数依次构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝5，设该等差数列的公差为d . 则一月织布S 30＝30×5＋30×292d ＝150＋435d ＝390，解之得d ＝1629，故从第2天起每天比前一天多织1629尺布.(2)由程序框图，输出的v 满足v ＝x 100＋C 1100x 99＋C 2100x 98＋…＋C 99100x ＋C 100100＝(x ＋1)100. 当x ＝9时，v ＝(9＋1)100＝10100. 答案 (1)1629(2)C热点二 立体几何与概率中的数学文化【例2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14B.π8C.12D.π4(2)(2018·湖南六校联考)刍甍(chúhōnɡ)，中国古代算数中的一种几何形体.《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则搭建它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为( )A.8 6B.16C.8 5D.14解析 (1)设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4. 又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π. 所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2.由几何概型的概率公式，概率P ＝S 黑S 正方形＝π8. (2)茅草面积即为几何体的侧面积，由题意知，该几何体中有两个全等的等腰梯形，两个全等的等腰三角形.其中等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为22＋12＝5；等腰三角形的底边长为2，高为22＋1＝5，因此几何体的侧面积S ＝2×（2＋4）×52＋2×12×2×5＝8 5.即需要的茅草面积至少为8 5. 答案 (1)B (2)C探究提高 1.本例第(1)题中全国Ⅰ卷(第2题)以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计几何概型的概率计算，很好体现数学文化的美学特征.数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美.2.第(2)题以《九章算术》的名题为背景，与几何体的三视图，几何体表面积的计算相渗透，考查学生的空间想象能力、数学运算素养，又展示了中华民族的优秀传统文化，增强数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际.【训练2】 (1)(2018·郑州二模)欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )A.2πB.1πC.12πD.14π(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A.4－π2B.8－4π3C.8－πD.8－2π解析 (1)易知铜钱的面积S ＝π×22＝4π，铜钱小孔的面积S 0＝1.根据几何概型，所求概率P ＝S 0S ＝14π.(2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V 正方体＝23＝8，V 半圆柱＝12(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V ＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V ′＝V ＝8－π. 答案 (1)D (2)C热点三 数学抽象与逻辑推理核心素养数学抽象是数学的最核心素养，是形成理性思维的重要基础；逻辑推理就是要得到数学结论，提出或者验证数学命题的思维过程.数学研究对象的确立依赖于数学抽象，而数学内部自身的发展依赖于数学推理.【例3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( ) A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2018·全国大联考)已知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x ，若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－∞，－1)解析 (1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩. (2)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cosx >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上递增. 若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则f (x 2＋x )<－f (x －k ⟹f (x 2＋x )<f (k －x⟹x 2＋x <k －x ，故问题转化为x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ， 即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1. 故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (1)D (2)A探究提高 1.第(1)题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息推理判断乙、丙中一人优秀，一人良好，从而甲、丁中一人优秀，另一人良好.2.第(2)题求解的关键在于：(1)利用定义判断f (x )的奇偶性及x ∈[－2，1]时，函数f (x )单调性，(2)理解存在量词的含义，将命题转化为x ∈[－2，1]时，k >x 2＋2x ，即k >(x 2＋2x )min .题目突出数学逻辑推理与转化化归数学思想方法的考查.【训练3】 (2018·烟台模拟)对于函数y ＝e xf (x )(其中e 是自然对数的底数)，若存在实数T 使得e x f (x )≥T 在(0，＋∞)上恒成立，则称函数f (x )具有性质“”.给出下列函数：①f (x )＝2e －2x ＋1；②f (x )＝x 2－2x ；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝1x.其中具有性质“”的所有函数的序号为________. 解析 对于①f (x )＝2e－2x＋1，e xf (x )＝2e －x＋e x≥22，取T ≤22时，f (x )具有性质“”.对于②，令φ(x )＝e x f (x )，则φ′(x )＝e x (x 2－2)，x ∈(0，＋∞).令φ′(x )＝0，解得x ＝2，易知φ(x )在x ＝2时有极小值e 2(2－22).因此函数f (x )具有性质“”.对于③，易知φ(x )＝e xsin x ―→∞，则③不具有性质“”. 对于④，φ(x )＝e xf (x )＝e xx ，φ′(x )＝e x（x －1）x2， x ∈(0，＋∞)，易知φ(x )在x ＝1时取到最小值φ(1)＝e ，取T ≤e，f (x )具有性质“”. 综上可知①②④中的函数具有性质“”. 答案 ①②④热点四 直观想象与数学运算核心素养【例4】 (1)从点P (－1，3)向直线kx －y ＋k －1＝0作垂线，垂足为N ，则N 的轨迹方程为________________.解析 易知直线kx －y ＋k －1＝0恒过定点Q (－1，－1). 如图所示，PN ⊥QN .所以点N 在以PQ 为直径的圆上. 因此圆心坐标为(－1，1)，半径r ＝2.所以点N 的轨迹方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝4(x ≠－1). 答案 (x ＋1)2＋(y －1)2＝4(x ≠－1)(2)(2018·惠州调研)在△ABC 中，D 是BC 边的中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7. ①求BC 边的长； ②求△ABC 的面积.解 ①设BD ＝x ，则BC ＝2x ，如图所示. 在△ABD 中，有cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝9＋x 2－72×3x，在△ABC 中，有cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋4x 2－132×3×2x，且∠ABD ＝∠ABC ，即9＋x 2－72×3x ＝9＋4x 2－132×3×2x ，得x ＝2，即BC ＝4.②由①可知，cos B ＝12，B ∈(0，π)，得sin B ＝32，∴S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝12×3×4×32＝3 3.探究提高 1.第(1)题中，若设点N (x ，y )，联立直线方程，消去k 求得点N 的轨迹，使得求解复杂化；注意到直线恒过定点Q (－1，－1)，作出图形，利用几何直观，则可直接写出轨迹方程.2.第(2)题主要考查推理与数学运算等核心素养.由余弦定理，转化成同一个角的三角函数，构建方程，利用代数运算求解.【训练4】 (1)(2018·华师附中联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝x ＋3y的最小值为2，则常数k ＝________.(2)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析 (1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z3，结合几何直观知，当直线y ＝－13x ＋z3过点A 时，z 最小.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＋k ＝0，得A (2，－2－k )，∴z min ＝2＋3(－2－k )＝2，解之得k ＝－2. (2)依题意得大、小正方形的边长分别是1，5，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15. 从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝sin θ＋cos θcos θ－sin θ＝－7. 答案 (1)－2 (2)－7热点五 数学建模与数据分析核心素养数学建模——对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；数据分析——针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的过程.数学建模与数据分析体现了数学的应用性. 【例5】 (2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解 (1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A 的概率估计值为0.62. (2)列联表如下：K 2＝200×（62×66－38×34）100×100×104×96≈15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在45～50 kg 之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在50～55 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.探究提高 1.本题以现实生活中的水产品养殖方法作为创新背景，试题的第(1)问是根据频率分布直方图估计事件的概率；第(2)问是根据整理的数据进行独立性检验；第(3)问根据箱产量的频率分布直方图，比较两种养殖方法的优劣.有效的考查学生阅读理解能力与运用数学模型解决问题的能力.2.应用性和创新性相结合是历年高考靓丽的风景线，全国卷概率与统计解答题尤为明显，体现数学知识在现实生活中的应用.概率与统计问题需要对大量数据的分析和加工，揭示数据提供的信息及呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，从而考查数据分析数学核心素养.【训练5】 (2018·昆明质检)中央政治局会议，通过了《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想.为响应国家号召，某市2017年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225～235 cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值和方差(方差四舍五入保留整数)；(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185～205 cm为合格，在205～235 cm为良好，在235～265 cm为优秀.视该样本的频率分布为总体的概率分布，若从这批树苗中随机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数ξ的分布列与数学期望；(3)经验表明树苗树高X～N(μ，σ2)，用样本的平均值作为μ的估计值，用样本的方差作为σ2的估计值，试求该批树苗小于等于255.4 cm的概率.(提供数据：271≈16.45，305≈17.45，340≈18.45)附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0. 954 4，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4.解(1)树高在225～235 cm之间的棵数为：100×[1－(0.005×3＋0.015＋0.020＋0.025＋0.01)×10]＝15.树高的平均值为：0.05×190＋0.15×200＋0.2×210＋0.25×220＋0.15×230＋0.1×240＋0.05×250＋0.05×260＝220.5.方差为：0.05×(190－220.5)2＋0.15×(200－220.5)2＋0.2×(210－220.5)2＋0.25×(220－220.5)2＋0.15×(230－220.5)2＋0.1×(240－220.5)2＋0.05×(250－220.5)2＋0.05×(260－220.5)2＝304.75≈305.(2)由(1)可知，树高为优秀的概率为：0.1＋0.05＋0.05＝0.2，由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C030.83＝0.512，P(ξ＝1)＝C130.82×0.2＝0.384，P(ξ＝2)＝C230.8×0.22＝0.096，P(ξ＝3)＝C330.23＝0.008.故ξ的分布列为：所以E (ξ)＝3×0.2＝0.6. (3)由(1)的结果，结合参考数据，可知μ＝220.5，σ＝17.45，所以P (X ≤255.4)＝P (X ≤μ＋2σ)＝1－1－0.954 42＝0.977 2. 故该批树苗小于等于255.4 cm 的概率是0.977 2.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2020届高考数学大二轮复习专题八数学文化与创新应用第1讲数学文化及核心素养类试题练习文
第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长•高考中多以选择题的形式出现，难度中等核心知识回顾1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目.2 •与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数.3 •以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等.4 •以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题.热点考向探究考向1 算法中的数学文化例1 （2019 •哈尔滨市第三中学高三第二次模拟）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完•现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）1A. i <20, S= S— r, i = 2i1B. i w 20, S= S—r, i = 2iSC. i <20, S= 2, i = i + 1S ••D. i w 20, S= ^, i = i + 1答案D1 S 1解析根据题意可知，第一天S= 2，所以满足S= ，不满足S= S— r，故排除A, B;由S框图可知，计算第二十天的剩余时，有S= 2且i = 21,所以循环条件应该是i w 20.故选D.以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强 调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律， 理解程序框图的算法功能.我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚, 问积几何？ ”设每层外周枚数为 a ,如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 121 B . 81 C . 74 D . 49 答案 B解析 满足a <32,第一次循环：S = 1, n = 2, a = 8;满足a <32,第二次循环：S = 9, n = 3, a = 16；满足a w 32,第三次循环：S = 25, n = 4, a = 24；满足a w 32,第四次循环：S =49, n = 5, a = 32；满足 a w 32,第五次循环：S = 81, n = 6, a = 40.不满足 a w 32,输出 S 故选B.考向2数列中的数学文化例2 （2019 •陕西省高三第三次教学质量检测）我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在 “杨辉三角”中，第 n 行的所有数字之和为 2_1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前 15项和为（ ）A. 110 B . 114 C . 124 D . 125 答案 B解析 由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第n + 1行，令x = 1,可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第1行为20,第2行为21,第3行为22，…以此类推，即每 行的数字之和构成首项为 1,公比为2的等比数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S n = 岂 =2n - 1,若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为 1,2,3,4，…，可以=5,所以前15项的和表示前 7行的数列之和减去所有的 项的数字之和为114，故选B.看成构成一个首项为 1，公差为2的等差数列，则Ti =n + 1人n ,令一 n + 12=15,解得n 1,即(2 7- 1) - 13= 114,即前 15以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题•解题的关键是将古代实际问题转化为 现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方 程思想求解.《张丘建算经》卷上第 22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈•”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了 5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布•记该女子一月中的第 n 天所织布的尺数为 a n ,贝V a i4+ a i5 + a i6 + ai 7的值为（）A . 55B • 52C • 39D • 26考向3 立体几何中的数学文化例3（20i9 •六安市第一中学高三模拟 ）我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异” •意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积 相等，则这两个几何体的体积相等•椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体•如图，将底面 直径都为2b ,高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面3上，用平行于平面3且与平面3任意距离d 处的平面截这两个几何体， 可横截得到S 圆及S 环两截面.可 以证明S 圆=S 环总成立•据此，半短轴长为 i ,半长轴长为3的椭球体的体积是 _____________________________ •答案 4n2i 2 2 2解析 因为S 圆=S 环总成立，则半椭球体的体积为n b 2a — -n b 2a =-n b 2a ，所以椭球体3 342一4的体积为V = -n b a ,因为椭球体的半短轴长为 i ,半长轴长为3,所以椭球体的体积为 V =§ 24 2n b a = — nX1 X 3= 4n,故答案是 4 n.3依托立体几何，传播数学文化•立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国 古代数学中挖掘素材，考查立体几何的三视图、线面的位置关系、几何体的体积等知识，既答案 B解析设从第2天开始，每天比前一天多织d 尺布，则S 30= 390,所以30X 5+30X 29 216 =390,解得d =函，所以 a i4+ a i5+ a i6 + a i7= 4a i + 58d = 4 X 5+ 58 X 1629= 52.故选 B.符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年•例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 ABC- A 1B 1G 中，AC 丄BC 若AA = AB= 2，当阳马B- AACC 体积最大 时，则堑堵 ABC-ABC 的体积为（）A. 8B.型 C . 2 D . 2农 答案 C解析 由阳马的定义，知 VB- A 1ACC = ?AA ・ AC- BC= |A C- BC C £（AC + BC = 当且仅当 AC= BC= 2时等号成立，所以当阳马 B- AACC 体积最大时，则堑堵 ABC- ABC 的 1体积为2 X 2 X 2= 2,故选C.考向4概率中的数学文化 例4（2019 •皖南八校高三第三次联考 ）七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆 以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余•体 物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之•如图是一个用七巧板拼 成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）答案 A解析 设正方形的边长为 4，则正方形的面积为 S = 4X 4= 16,此时阴影部分所对应的直 角梯形的上底边长为 2眾，下底边长为3眾，高为迈,所以阴影部分的面积为 S = -1 X （2迄+3 2） X 2 = 5,根据几何概型，可得概率为P =弓=三，故选A S 16数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素 养•解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解.5 113 A.亦 B. 32 C. 8 D. 13 32《算法统宗》是我国古代的数学名著，书中把三角形中的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位•现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田•若在邪田内随机种植一株茶树，则该茶树恰好被种在圭田内的概率为2 2 4A.i5B. 5C. i5D.答案A解析根据题意，得出其示意图如图所示，题意为：在直角梯形ABC［内随机种一株茶树,求该茶树恰好被种在三角形AEF内的概率.且已知AB= 20, DC= 10, AD= 10, AE= 8，三角形18X 5X - 22AEF的高h= 5，所以该茶树被种在三角形AEF内的概率P= =応，故选A.1 1520 + 10 X 10X考向5推理与证明中的数学文化例5 （2019 •南充市第三次诊断）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何•”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）•这个问题中，甲所得为（）5 4 3 5A 5钱B. 3钱霭钱D.3钱4 3 2 3答案B解析设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a—2d, a—d, a, a+ d, a+ 2d,贝U a—2d + a—d= a+ a + d+ a+ 2d,解得a= —6d,又a—2d+ a—d+ a+ a+ d+ a+ 2d= 5,a 4 4••• a= 1,贝U a—2d= a —2X — - =：a=：，故选B.6 3 3以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论•解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题.(2019 •上海市奉贤区高三一模)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支•十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸•十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥•天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲” 重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为年.答案戊戌解析从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁酉年，61 - 10= 6余1,则2078 年的天干为戊，61 - 12= 5余1,则2078年的地支为戌，所以2078年为戊戌年.考向6数学文化与现代科学例6 2016年1月14 日,国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施•如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道H绕月飞行.若用2C1和2C2分别表示椭圆轨道I和n的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和n的长轴长，给出下列式子：① a*1 + C1 =比+ C2 :② a1 —C1 = a2 —C2 ；C1 C2③一<—:④ aa2>a1C2.a a2其中正确式子的序号是（）A.①③B .①④ C .②③ D .②④答案D解析观察题图可知a1>a2, C1>C2, ••• a1+ C1>a2+ C2,即①式不正确；a1 —C1 = a2—C2= |PF| ,a1 —C1 a2 —C2 a1 a2 C1 C2即②式正确；由a1 —C1= a2—C2>0, C1>C2>0，知< ，即<，从而oa2>a1C2, > .' C1 C2 C1 C2 a1 a2即④式正确，③式不正确.(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.（2）注意到椭圆轨道I 和n 共一个顶点 P 和一个焦点F ,题目所给四个式子涉及长半轴长 和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查， 是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的. 如图所 示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形•如果小正方形的n面积为1，大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为0，那么tan= _________答案n依题意，得大、小正方形的边长分别是 5,1 ,于是有5si n e — 5c os e = 1 0< e ,贝U si n e — c os e =5从而(si n e + c os e )2= 2 — (si n e — c os e )2= 2f ,贝y Si n e + c os e = 5,4 34n因此 sin e = 5, c os e = 5, tane = 3.故tan 0+広=真题押题 『真题模拟』1 • （2019 •浙江高考）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，则积 不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示 （单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3） 是（）A . 158B • 162C • 182D • 324 答案 B解析 如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为 6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为 4,下底为6，高为3,另一个的上底为 2,下底为6，高为3.则底面 面积S =—厂解析n tan e +11 — tan e _7.x 3+—厂X 3= 27,因此，该柱体的体积W= 27X 6= 162.故选B.2. （2019 •北京高考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述•两颗星的5 R星等与亮度满足m —m= lg 1,其中星等为m的星的亮度为压（k = 1,2）•已知太阳的星等是2 E2—26.7，天狼星的星等是一1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）10.1 ——10.1A. 10 B • 10.1 C • lg 10.1 D • 10答案A5 E解析由题意知，m=—26.7 , m=— 1.45 ,代入所给公式得—1.45 —（—26.7）= lg2 匕R E i所以lg --= 10.1 ,所以三=1010.1.故选A.巳—23 • （2019 •湖南省高三六校联考）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法•如图所示的程序框图，是利3用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n, x的值分别为3, ?,则输出v的值为（）A. 17B. 11.5C. 10D. 7答案B3 一一解析初始值n= 3, x = 2，程序运行过程如下：v = 2,3v = 2X + 1 = 4, n = 2,不满足n w0；3v = 4x + 1 = 7, n=1,不满足n w0；3 23v = 7X 2+ 1 = ~, n=0,满足n w0,退出循环,23输出v的值为_ = 11.5.故选B.4. （2019 •全国卷n ）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”1）•半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体•半正多面体体现了数学的对称美•图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有___________ 个面，其棱长为_________ •答案26 2 — 1解析先求面数，有如下两种方法.解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2X 9+ 8= 26（个）面.解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数（V）+面数（F）—棱数（E）= 2（欧拉公式）.由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24,故由V+ F—E= 2，得面数F= 2 + E—V= 2 + 48 —24 = 26.再求棱长.作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH口图，设其边长为x,则正八边形的边长即为半正多面体的棱长. 连接AF,过H, G分别作HMLAF, GNLAF,垂足分别为M N 则AM= MH= NG= NF=*x.又AM + MNb NF= 1,即~22x+ x+#x= 1.解得x= 2—1,即半正多面体的棱长为2—1.『金版押题』5•《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗•苗主责之粟五斗•羊主曰：“我羊食半马•”马主“我马食半牛•”今欲衰偿之，问各出几何•其意思是：今有牛、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半. 马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半•”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（A.50斗粟B.号斗粟C.字斗粟D. 20斗粟答案C解析解法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a, a2, a3,则这3个数依次成5 20 20 5 15等比数列，公比q= 2,所以a1 + 2a+ 4a1 = 5，解得a1 = 7，故a3=〒，a3 —a1=〒—-=〒，故选C.4 20解法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是 1 : 2 : 4,故牛主人应赔偿5X片=20斗，羊主人1 5 20 5 15应赔偿5X 7=5斗，故牛主人比羊主人多赔偿了20-1=号斗，故选C.6 •《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” •已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A. 2B. 4+ 2 2C. 4 + 4 2D. 4+ 6 2答案C解析由三视图知几何体为一个三棱柱，底面为等腰直角三角形，高为1,则底面三角形腰长为2，底边长为2,三棱柱高为2,所以侧面积为2X 2 + 2X 2X 2= 4 + 4 2.故选C.配套作业、选择题1 . （2019 •赤峰市高三模拟）《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题: 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是（2 3 5A. 3B. 5C. 9D.答案A解析因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，6 2根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率P= 9=3故选A.2. （2019 •南昌外国语学校高三高考适应性测试）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a, b分别为16,20 , 则输出的a的值为（）A. 0 B . 2 C.4 D . 1答案C解析输入a, b的值，分别为16,20 ,第一次循环：第一-层判断::满足a z b,进入第二层选择结构，第二层判断：不满足a>b满足a w b,故b= 20 —16= 4；第二次循环：第 -层判断:满足a z b,进入第二层选择结构，第二层判断: 满足a>b,故a= 16— 4 = 12；第三次循环：第-层判断:满足a z b,进入第二层选择结构，第二层判断: 满足a>b,故a= 12— 4 = 8；a zb ,进入第二层选择结构，第二层判断：满足 a >b .故 a = 8— 4= 4；为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数, “有一个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半, 走了 6天后到达目的地” •则该人第五天走的路程为( )A . 48 里B • 24 里C • 12 里D • 6 里 答案 C4 1 6a 1 1- 2 1解析 设第一天的路程为 a 1里，贝U ------------------------ 1 ---- = 378, a 1= 192，所以a 5 = 192x12.1 —24 • (2019 •河南洛阳高三阶段性考试 )《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食 人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马•’马主曰：‘我马食半牛•’今欲衰偿之， 问各出几何？ ”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟•羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半•”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半•”打算 按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知 1斗=10升，针对这一问题， 设计程序框图如图所示，若输出k 的值为2,贝U m =()次循环，S = 50 — 7m 此时要输出k 的值，则50 — 7m = 0， 5 •我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有: 以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” •它体现了一种无限与有限的转化过程•比如在 1 1表达式1 +中“…”即代表无限次重复， 但原式却是个定值，它可以通过方程1+-= 1x1 +1 +…x 求得x = 节1.类比上述过程，则 一.3+ 2 3+ 2 •••=( )第四次循环：第一层判断：满足 第五次循环：第一层判断：满足a =b = 4，故输出 4,选 C.3 •中国古代数学著作《算法统宗》 中有这样一个问题: “三百七十八里关，初步健步不请公仔细算相还” •其大意为: 50 代亍5010 100 B. 7 C. T D. ~答案解析 运行该程序，第一次循环， S = 50 — m k = 1; 第二循环，S = 50 — 3m , k = 2;第三解得m = 50,故选B. “割之弥细，所失弥少，割之又割,A . 3 C. 6 答案 A解析 令'3+ 2 3 + 2 •••= x (x >0)，两边平方，得 3+ 2 3+ 2=x 2 3 4，即 3+ 2x = x 2, 解得 x = 3,x =— 1(舍去)，故 ，3+ 2\ 3 + 2 .…=3,选 A.6. （2019 •江西省名校高三 5月联考）我国古代《九章算术》将上、下两个平行平面为矩 形的六面体称为刍童•如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底 的长分别为2和6，高为2,则该刍童的体积为（）100 104A.刁B. — C . 27 D . 18 答案 B解析 由题意，几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为 2和6,高为2,所以几何体1 ； ---- 104的体积 V = 3X （4 + 36+ 4X 36） X 2=—.故选 B.3 37. （2019 •河北联考）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有 圆堡瑽（c o ng ）,周四丈八尺，高一丈一尺•问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城 堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺•则它的体积是（注：1丈=10尺，取n= 3）（）A . 704立方尺B . 2112立方尺 C. 2115立方尺 D. 2118立方尺答案 B2CC ?h 482X 11、 ,=n r h =nX2X h = == 2112（立方尺）.故选 B.4 n 4 n 128. （2019 •南宁市高三第一次适应性测试）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一 首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒， 借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原 1 1壶中3的酒量”，即输出值是输入值的3,则输入的x =（）B. D. 2 2解析设圆柱体底面圆半径为r，高为h,周长为C.因为C= 2n r,所以r ，所以V2 n余金的I ，第3关收税金为剩余金的4,第4关收税金为剩余金的 5第5关收税金为剩余金的3 4 5 1,5关所收税金之和，恰好重1斤•问此人总共持金多少. 6A.丄斤B.丄斤C.丄斤D. — 斤 20 25 30 36 答案 1111 1 11111 11—2一6一徨一20x =依题意，得 2x +2X3x +I X4x ++丙％= j 即 1一加 56 1 161=1, 6x = X 解得 x =5，所以5^6x =5^6X 5=2?故选 B.10 . （2019 •陕西省高三第一次模拟 ）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的(参考数据：sin 15 ° ~ 0.2588 , sin7.5 ° ~ 0.1305) A . 12 B . 24 C . 48 D . 96A .| 9 B.— 11 21 C.2I 45D .47 答案 C解析 i = 1 时，x = 2x — 1; i = 2 时，x = 2(2 x — 1) — 1 = 4x — 3; i = 3 时，x = 2(4x — 3)—1= 8x — 7; i = 4时，退出循环.此时,1 218x — 7 = -x ，解得 x = 2|.故选 C.9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关， 前关二而税一,次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问 本持金几何.”其意思为：今有人持金出五关，第11关收税金为持金的2第2关收税金为剩则在此问题中，第5关收税金（）解析 假设原来持金为x ，则第1关收税金1x ；第1收税金-1 1 1 1 1 1 — 2—6x =芮x ；第4关收税金5 1—2 12关收税金|1 1一 - x = _ 6 12 4X51 1x ;第5关收税金-6多边形的边数无限增加时， 多边形面积可无限逼近圆的面积, 并创立了 “割圆术”， 利用“割 圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14 ，这就是著名的“徽率” .如图n 的值为（ ）解析 模拟执行程序，可得 n = 6, S= 3sin60 °= ,不满足条件 S 》3.10 , n = 12, S = 6x sin30 ° = 3,不满足条件 S >3.10 , n = 24, S = 12x sin15 °~ 12x 0.2588 = 3.1056，满足条件 S >3.10 , 退出循环，输出n 的值为24.故选B.11.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元 1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪 三角形数表，并称之为“开方作法本源”图•下列数表的构造思路就源于“杨辉三角” •该 表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后 一行仅有一个数，则这个数是 ()2017 2016 2015 2014… …6 5 4 3 214033 4031 .............9 7 5 34029 ............. (II)8064 8060- ...on 16 12 8 (20)16124……•…36 28 20答案 B解析 从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差 为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4，…，即第n 行从右到左的公差为2n 「1,而从右向左看，每行的第一个数分别为 1 = 2X2「1,3= 3X2 0,8 = 4X2 1,20=5X2 2,48= 6X2 3，-,所以第n 行的第一个数为(n + 1) X2 ^.显然第2017行只有一个数， 其值为(2017 + 1) X 2 2017_2= 2018X 2 2015，故选 B.12. (2019 •德州市高三下学期第一次练习)正整数N 除以正整数 m 后的余数为n ,记为N= n (MOD)，例如25三1(MOD6)如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该 程序框图，当输入 N= 25时，则输出N =()A. 31B. 33C. 35D. 37A . 2017X22016B . 2018X22015C. 2017X22015D. 2018X22016解析模拟程序的运行，可得N= 25,N= 26,不满足条件N三1(M0D3) N= 27,不满足条件N三1(M0D3) N= 28,满足条件N三1(M0D3)不满足条件N三1(M0D5) N= 29,不满足条件N^ 1(M0D3) N= 30,不满足条件N三1(M0D3) N= 31,满足条件N^ 1(M0D3)满足条件N^ 1(M0D5)输出N的值为31.故选A.二、填空题13 .《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法•我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“ 1”，把阴爻“”当作数字“ 0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是答案34解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为100010,转化为十进制数为0X2°+ 1 X 2 1+ 0X 2 2+ 0X 2 3+ 0X 2 4+ 1 X 2 5= 34.14 •《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗•问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子•”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是 _________________ •答案6亠、5X4解析设等差数列｛a n｝，首项为a,公差为3，贝U S5 = 5a i+ — X3= 60，解得a i= 6, 即得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6.。
中考数学总复习讲义课件：核心素养专题九 数学文化
B．160
256 C. 3
D．64
【解析】 作出几何体的直观图如答图所示：
跟踪训练 3 答图 沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和 1 个直三棱柱， 则三棱柱的体积 V1＝12×4×4×4＝32， 四棱锥的体积 V2＝13×2×4×4×1＝332， 由三视图可知两个四棱锥大小相等， ∴V＝V1＋2V2＝1630.
跟踪训练 1.[2018·孝义期末]公元前 5 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，
即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数比(分数)表示，后来，当这一学派中
的希帕索斯发现，边长为 1 的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示
时，毕达哥拉斯学派感到惊恐不安，由此，引发了第一次数学危机，这儿“不能
3．[2019·汉阳区模拟]我国古代数学名著《九章算术》记载：刍甍者，下有袤有广， 而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．翻译为：底面有长有宽为矩形，顶部只 有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．图 6 为一刍甍的三视图，其中 正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为( A )
图6
160 A. 3
类型一 以科技或数学时事为题材 典例 [2019·广元]我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方 法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公 共部分形成的几何体．如图 1 所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型， 它的俯视图是( A )
跟踪训练 1.[2019·宜昌]古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利
用整数或整数的比表示的数”指的是( B )
A．有理数
B．无理数
C．合数
D．质数
数学核心素养
什么是数学核心素养一、张奠宙：数学核心素养包括“真、善、美”三个维度.通俗地说,数学的核心素养有“真、善、美”三个维度：1理解理性数学文明的文化价值,体会数学真理的严谨性、精确性；2具备用数学思想方法分析和解决实际问题的基本能力；3能够欣赏数学智慧之美,喜欢数学,热爱数学.不妨就一个人文学科的学者例如从事新闻、出版、法律、外语、中文、历史等专业来说,他们的数学素养也许就是在高中学段形成的到大学不学数学了.对他们来说,在数学能力上要求不可过高,但是却必须具备现代的数学文化修养,能够欣赏数学美,理解数学文明,以便在记者采访、外语翻译、小说创作、历史考察等的职业生涯中,能够应对许多与数学文化有关的常识性问题,并与他人进行基本的数学交流与探究.二、义务教育数学核心素养反映数学本质与数学思想数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,核心素养不是指具体的知识与技能,也不是一般意义上的数学能力.核心素养基于数学知识技能,又高于具体的数学知识技能.核心素养反映数学本质与数学思想,是在数学学习过程中形成的,具有综合性、整体性和持久性.数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关,对于理解数学学科本质,设计数学教学,以及开展数学评价等有着重要的意义和价值.一般认为,“素养与知识或认知、能力或技能、态度或情意等概念的不同在于,它强调知识、能力、态度的统整,超越了长期以来知识与能力二元对立的思维方式,凸显了情感、态度、价值观的重要,强调了人的反省思考及行动与学习.”“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的公民的需要而具备的认识,并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力,做出数学判断的能力,以及参与数学活动的能力.”可见,数学素养是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质,通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略.人们所遇到的问题可以是数学问题,也可能不是明显的和直接的数学问题,而具备数学素养可以从数学的角度看待问题,可以用数学的思维方法思考问题,可以用数学的方法解决问题.比如,人们在超市购物时常常发现这样的情境,收银台前排了长长的队等待结账,而只买一两样东西的人也同样和买一车东西的人排队等候.有位数学家马上想到,能否考虑给买东西少的人单独设一个出口,这样可以免去这些人长时间的等候,会大大提高效率.那么问题就出现了,什么叫买东西少,1件、2件、3件或4件,上限是多少因此,会想到用统计的方法,收集不同时段买不同件数东西人的数量,用这个数据可以帮助人们做出判断.在这个过程中,具有数感的人会有意识地把一些事情与数和数量建立起联系,认识到排队结账这件事中有数学问题,人们买东西的数量个数与结账的速度有关系.从这个例子中可以了解到,具备数学素养可能有助于人们在具体的情境中发现问题、提出问题和解决问题.而这个情境本身可能并非有明显的数学问题.摘要：在国家教委制订的九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲试用中,第一次使用了“数学素养”一词,成为全国中学数学教师的热门话题之一.数学素养是人所必备的素养.人们在社会活动中,逐渐积累着对于数量关系和空间形式的认识,没有这种素养,人类就不会记数,不会排序,不会测量,不会分配,社会也就不可能发展,也就没有现代社会的物质文明和精神文明.关键词：初中数学；数学教学；数学素养把“数学素养”教育贯彻于数学教学之中,使数学教学能为提高学生的整体素质服务是当前数学教学改革的中心议题,是摆在我们广大数学教师面前的一项极为迫切的任务.本文拟就初中教学中实施数学素养教育的问题谈几点粗浅的认识.数学图形是物质世界和人类文化相结合的一种完善形式.数学语言是全人类共同使用并可以传授给机器人的一种交流手段.数学是思维的体操,思维是数学的灵魂,在运用数学思想、数学方法去思考和解决问题的过程中,培养着人的辩证唯物主义的世界观和严谨的科学态度.提高学生的数学素养,需从以下几方面努力：一、面向全体学生学生是课堂的主人,他们有活动实践的天性和创造成功的欲望.最大限度地发挥学生的潜能是课堂教学的灵魂.重视学生的参与性和实践性,让学生共同参与,通过自身的实践活动,去领悟,去解决问题,有助于知识的透彻理解.把竞赛式教学方法引入数学课堂,也能产生非同凡响的效果,它打破了传统教学中师传生受的教学旧框架,变被动参与为主动参与,极大地激发了学生的热情和学习兴趣.在素质教育实施的过程中,要求初中数学的教学要以学生为主导,将课堂还给学生,教师只能是课堂的组织者、引导者.但在实际的教学中,教师很难做到,因为现在的学生素质参差不齐,优秀的学生独立完成或相互讨论是能够完成课堂的探索,但基础较差的后进生很难独立完成课堂的探究过程,甚至在分组合作时也是一言不发,基本不参与课堂的讨论,有的后进生学习习惯较差,在课堂讨论时不但不参与讨论,反而借课堂气氛活跃,教师没注意时,在下面搞小动作或是与其他同学讨论与学习无关的事.二、突出基本的数学思想和数学方法教师不能再用传统的老模式,采用“满堂灌”“满堂问”“磨时间”等一些旧的思想观念.新时代的教师应该追求一些新的教学意识,让学生由被动学习走向勤奋学习,逐步学会自主合作探究学习等,现在的教师应该教授学生获取新知识的方法,“授人以鱼,不如授人以渔.”应该教会学生自己学习的方法,让他们能够不在教师教授的情况下就能做到自主学习.教师课前都要备课,以前备知识,自己备自己的,很少去交流.所以思想就比较闭塞,教授方法也比较单调.但是大家互相交流分享的话,备课就比较全面,所涉及的问题考虑也会周全,这有助于设计方案的科学化,使课堂能够更加有效,提高课堂质量.要相信学生,不仅要关心学生的行为投入,还要关心学生的认知和情感投入.在教学方法的选择上,师生应善于学会选择最适合自己的教法或学法.只有引导学生实现由“学会”到“会学”,主体地位才有可能得到张扬、主题精神才能得到体现.我们应根据本班学生的实际情况,运用各种各样的教学方法,真正调动学生的学习兴趣,提高课堂效率.教师要善于激发学生的学习兴趣,要努力缩短学生与教师,学生与教材内容的距离,使他们从心底爱上音乐课.还应该充分利用教材、图片、实物及学生情感体验来发展学生的思维,增加学生的想象力.能从视觉、听觉等多方面吸引学生,让学生在积极、愉快、轻松的环境中运用和巩固所学的知识,最终完成知识向能力的转化.三、抓住培养思维能力这一数学教学的核心美国心理学家布鲁纳曾说：“学习的最好动力是对学习材料的兴趣.”因此要想学生学有所得,教师就要努力培养学生的学习兴趣,培养学生终身学习的观念.某些学生不想学习或讨厌学习,是因为他们觉得学习枯燥无味,认为学习数学就是把那些公式、定理、法则和解题规律记熟,然后反反复复地做题.新教材的内容编排切实体现了数学来源于生活又服务于生活的思想,通过我们生活中的数学问题或身边的数学事例总结数学中知识的发展与形成过程.在数学教学过程中,我们通过教材列举与生活相关的题材和图表不断培养学生的数学学习兴趣.我们还要使学生先对数学产生浓厚的兴趣,感受、体验和表现数学中丰富的情感内涵非常重要.学生只有在课堂上动起来,课堂才会有气氛,学生才会逐渐喜欢数学,从而才能对数学有更深一步的了解.要积极引导学生,从而使学生不仅做到现在受益,而且做到终身受益.总之,教学过程是教学方法不断提高的过程,是学生在课堂中主体活动的过程,在教学中,教师要善于营造良好的学习氛围,激发学生的求知欲望,创造条件让学生充分参与学习活动,发挥学生自主能动性,要注意学生的学法指导,培养学生自主获取知识的能力,使学生“会学”,只有这样,学生的自身素质才能得以提高,才能让学生获取主动的发展.中国学生数学学习应培养好六大核心素养11月6日下午,浙江省基础教育研究中心基地校数学学科课程纲要建设推进研讨会主办者,请来了教育部普通高中数学课程标准修订组组长、博士生导师王尚志教授作了“普通高中数学课程标准修订”的专题报告,提出中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养.这个报告内容新鲜深刻,昭示了高中数学课程进一步改革的思想,也映射出整个高中课程改革的发展方向,有着极其重要的意义.王尚志教授首先介绍了高中数学课程修订的三大背景：即科学技术迅猛发展,21世纪对人才基本能力的要求,教育的深入发展逐步建立法制化、制度化的标志.他阐述了高中课程修订的思路,切入点为国家教育立德树人工程；这一工程要求落实到从幼儿园到研究生的所有课程中.而且,高中课程的修订作为了突破口.王教授指出,1962年的大纲提出了运算、空间想象、逻辑推理三大能力；本世纪初的高中数学的课改大纲发展为抽象概括、逻辑推理、空间想象、运算求解、数据处理五大能力.而数学建模目前仍然是短板.短板应当补齐.数学建模强调应用.数学有对思维训练、实用价值以及备考训练的三大作用.数学对思维的训练,主要是演绎与归纳的逻辑推理能力.近代统计学的发展促进了对归纳推理的发展.演绎在高中乃至整个基础教育阶段的数学学习中的展现形式就是运算.直观想象非常重要.证明的思路是看出来的,要教育学生学会用图形来探测与表达结果.高中数学教育的现状要继续改革发展.小学、初中的数学教育也要贯彻课改精神,做好过渡.怎样提高高中学生的数学能力王教授指出,必修课程要减少.要给学生充分的自修与钻研时间.学有余力者让他们先修大学课程.加拿大等教育先进的国家,高中生已经达到大二水平.而且都是自学的.中国高中数学教学大量刷题练速度的风气要扭转过来.教师的思路要开,胸怀要大.数学教学中不要无原则地搞一题多解.数学高考要延长考试时间,或者减少题量.考试要着眼于能力,不能变成考技巧.让平时拼命刷题、反复复习、机械操练的考生占不了便宜.高考出的题目要有弹性,要出一些背景题.要进一步减少选择题.增加点阅卷成本,为了真正培养好学生,也是值得的.再说,数学运算题、背景题的阅卷再烦,也烦不过语文考试的作文题.修订组向浙江省考试院提出建议,得到认可.王教授说,我们通过调查研究,形成共同声音,帮助领导科学决策.我们的意见和建议,教育部部长也认同了,以后不设考纲,高考以课标为标准.王教授举了一个发人深省的例子：有一所“985”高校,学生的高考数学平均分在125以上,入学后的10月份组织学生做过的高考题目的考试,平均分降到100；到同一年的12月再考一次同样的题目,平均分只有及格.这说明很多题目学生做过就忘了.考那样的题目,高中那样的教法,没有多大积极意义.高考制度与高中课程的改革,要给学生脱颖而出的机会与条件.我们可以通过数学建模等形式,让学生的才华呈现出来.以后高校录取不会斤斤计较一分两分,要着眼于学生的核心素养.。
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题一三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象和性质
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专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
所以 ω＝－16＋23k，k∈Z， 所以 ω＝52，f(x)＝sin 52x＋π4＋2， 所以 fπ2＝sin 54π＋π4＋2＝1. 故选 A.
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专题一 三角函数和解三角形
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2．(2022·全国甲卷)设函数 f(x)＝sin ωx＋π3在区间(0，π)恰有三个极
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【解析】 f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以 f(x) 在区间0，π2和32π，2π上 f′(x)>0，即 f(x)单调递增；在区间π2，32π上 f′(x)<0， 即 f(x)单调递减，又 f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝π2＋2，f32π＝－32π＋1＋1＝－ 32π，所以 f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－32π，最大值为π2＋2.故选 D.
值点、两个零点，则 ω 的取值范围是
( C)
A．53，163
B．53，169
C．163，83
D．163，169
专题一 三角函数和解三角形
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【解析】 依题意可得 ω>0，因为 x∈(0，π)，所以 ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3，
要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，
又 y＝sin x，x∈π3，3π的图象如下所示：
则52π<ωπ＋π3≤3π，解得163<ω≤83，即 ω∈163，83.故选 C.
专题一 三角函数和解三角形
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3．(2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sin ωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个 单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是 ( C )
精选-高考数学二轮复习第二编专题九数学文化与创新应用第2讲新定义型创新型应用型试题突破课件文
解析 依题意可得 bn＋1＝pbn，则数列{bn}为等比数列． 又 b1b2b3…b99＝299＝b9590，则 b50＝2. b8＋b92≥2 b8·b92＝2b50＝4，当且仅当 b8＝b92，即该 数列为常数列时取等号．
2．(2018·湖南联考)在 R 上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若
对任意 x>2，不等式(x－a) x≤a＋2 都成立，则实数 a 的取
值范围是( ) A．(－∞，7] C．[－1,7]
B．(－∞，3] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
仅供学习交流！！！
解析 ∵运算 ：x y＝x(1－y)，∴(x－a) x≤a＋2
转化为(x－a)(1－x)≤a＋2，a(x－2)≤x2－x＋2，∵任意 x>2， 不等式(x－a) x≤a＋2 都成立，∴a≤x2－x－x＋2 2.
解析 (构造可行域求解)两数能与 1 构成钝角三角形三
x＋y>1， 边的数对(x，y)所需满足的条件为x02<＋x<y12<，1，
0<y<1，
作出满足不
等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有130620＝ 1π4×－121，解得 π＝1457.
(2)已知{an}满足 a1＝1，an＋an＋1＝14n(n∈N*)，Sn＝a1＋ 4·a2＋42·a3＋…＋4n－1·an，类比课本中推导等比数列前 n 项和
解析 由 log2x<1，得 0<x<2，所以 P＝{x|0<x<2}；由|x －2|<1，得 1<x<3，所以 Q＝{x|1<x<3}．由题意，得 P－Q ＝{x|0<x≤1}．
(2)(2018·山东菏泽模拟)若函数 y＝f(x)的图象上存在两 个点 A，B 关于原点对称，则称点对[A，B]为 y＝f(x)的“友 情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，