上海市七校2016届高三3月联合教学调研考试数学(文)试题

2015学年第二学期高三教学调研 (2016.03)
数 学 试 卷（文史类）
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚.
2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1. 方程1421x x +=-的解是 ．
2. 行列式143
309212
--中元素3的代数余子式的值为 ．
3. 在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数是 ．
4. 若关于x 的不等式2
230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数m ＝ ．
5. 若22()log (2)(0)f x x x =+≥，则它的反函数是=-)(1x f ．
6. 若抛物线2
2(0)x py p =>
点重合，则p 的值为 ．
7. 若数列1(n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数）（为偶数）
，则123499100a a a a a a ++++++= ．
8. 若函数2,[0,1]
(),[0,1]
x f x x x ∈⎧=⎨∉⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ．
9. 执行下面的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．
10. 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n
n S ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
则1321lim ()n n a a a -→∞
+++ = ．
11. 若边长为6的等边三角形ABC ，M 是其外接圆上任一点，O 为圆心，则AB OM ⋅
的
最大值为 ．
12. 从正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是 ．（用
数值表示结果）
13. 在北纬 60圈上有B A 、
两地，它们在此纬度圈上的弧长等于2
R
π(R 是地球的半径)，则
B A 、两地的球面距离为 。

14. 设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11
()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n
+=-∈满足：对
于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是
n a = ．
二. 选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
15. 若()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，则“()f x 与()g x 同是奇函数或偶函数”是
“()()f x g x ⋅是偶函数”的（ ）
（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 16. 若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
（A
）||2a b +（B ）2b a a b +≥（C ）11
()()4a b a b
++≥（D ）
222()22a b a b ++≥ 17. 数列}{n a 满足2
31=
a ，12
1+-=+n n n a a a ，则201621111a a a T +++= 的整数部分是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
18. 在直角坐标系中，如果不同的两点(,)(,)A a b B a b --、
都在函数()y f x =的图像上，那 么称[,]A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[,]A B 与[,]B A 看作同一组），
函数2sin ,
0()2
log (1),0
x x g x x x π
⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
三． 解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．
已知函数1
()cos (sin cos )2
f x x x x =+-， （1）若02
π
α<<
，且sin 2
α=
，求()f α的值； （2）求函数()f x 最小正周期及单调递增区间．
20.（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．
设在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，
90=∠BAC ，F 、E 分别为BC 、C C 1的中点． （1）求异面直线EF 、B A 1所成角θ的大小；
E
A 1 A
C
B 1
C 1
F
（2）求点1B 到平面AEF 的距离．
21.（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．
已知函数11
()()(0),f x a x x x a R x x
=+-->∈． （1）若1
2
a =
，求()y f x =的单调区间（不必证明），并求出函数的最大值； （2）若1a >，关于x 的方程()f x t =有四个不同的解1234,,,x x x x ，
求实数,a t 应满足的条件．
22．（本题满分16分）第1小题6分，第2小题10分．
已知椭圆
222
2
1(0)x y a b a b +
=>>的长轴长是短轴长的2倍，且过点(01)B ，
. （1）求椭圆的标准方程；
（2）直线:(2)l y k x =+交椭圆于,P Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，
求实数k 的取值范围．
23.（本题满分18分）第1小题4 分，第2小题小题8分．
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈， （1）求321,,a a a ，归纳数列{}n a 的通项公式（不必证明）．
（2）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为)(1a ，),(32a a ，),,(654a a a ，
),,,(10987a a a a ；)(11a ，),(1312a a ，),,(161514a a a ，),,,(20191817a a a a ；)(21a ，…，
分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为
{}n b ，求1005b b +的值．
（3）设n A 为数列的前n 项积，且n C A =，求数列{}n C 的最大项．
2016年高三数学（文科卷）参考答案及评分标准
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每小题4分．
1、 2、5 3、4、 5、 6、 7、5000
9、4 10、 11、 12、 13、 14、
8、
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分．
15、A 16、D 17、B 18、B
三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
19、（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．
解：（1）因为，所以.（2分）得.（6分）
（2）因为，（8分）所以.（10分）
由，得.
（12分）
20、（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．
解：（1）联结，由得为异面直线与所成角．（3分）
在中，，（5分）
即异面直线与所成角大小为．（6分）
（2）联结，由得平面（10分）
在中，，，则（12分）∴点到平面的距离．（14分）
21、（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．
解：（1）由题意得，（2分）则在单调递增，在单调递减，的最大值为. （6分）
（2）由题意得，（8分）当时，在单调递减，在单调递增，
在单调递减，在单调递增，（12分）
又，所以应满足条件为.（14分）22、（本题满分16分）第1小题6分，第2小题10分．
解：（1）由题意知，，（4分）椭圆的标准方程为：.（6分）
（2）设联立，消去，得：（8分）
依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以①，
由（*）式，②，得③，
由①②③，
（10分）
由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即.
（12分）
.即
（14分）
整理得，解得.
（16分）
23、（本题满分18分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题8分．
解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．（2分）
令，得，；同理得，；……由此猜想：. （4分）
（2）因为，所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），….
（6分）
每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.
（8分）
所以．又，所以.
（10分）
（3）因为，故，
（12分）
所以．
（14分）
由于，所以，故是单调递减，
（16分）
于是数列的最大项为.
（18分）。