全连续算子与有界线性算子的关系
1.3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理
§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。
定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。
（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。
若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。
v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。
如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。
和是的两个子空间，称为平凡子空间。
若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。
E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。
若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。
若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。
E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。
泛函分析习题
第七章 度量空间和赋范线性空间复习题：1。
设(,)X d 为一度量空间，令0000(,){|,(,)},(,){|,(,)},U x x x X d x x S x x x X d x x εεεε=∈<=∈≤问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε?2.设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数的全体，定义()()()()01|()()|(,)max.21|()()|r r r r r a t b r f t g t d f g f t g t ∞≤≤=-=+-∑ 证明[,]C a b ∞按(,)d f g 成度量空间.3。
设B 是度量空间X 中闭集,证明必有一列开集12,,,,n O O O 包含B ,而且1.n n O B ∞==4.设(,)d x y 为空间X 上的距离，证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+也是X 上的距离.5。
证明点列{}n f 按题2中距离收敛于[,]f C a b ∞∈的充要条件为n f 的各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f的各阶导数.6.设[,]B a b ⊂,证明度量空间[,]C a b 中的集 {|t , (t)=0}fB f ∈当时为[,]C a b 中的闭集，而集 {||()|}(0)A ft B f t a a =∈<>当时,为开集的充要条件是B 为闭集。
7。
设E 及F 是度量空间中两个集，如果(,)0d E F >，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。
8.设[,]B a b 表示[,]a b 上实有界函数全体，对[,]B a b 中任意两元素,[,]f g B a b ∈，规定距离为(,)sup |()()|.a t bd f g f t g t ≤≤=-证明[,]B a b 不是可分区间.9.设X 是可分距离空间，f 为X 的一个开覆盖，即f 是一族开集，使得对每个x X∈，有f 中开集O ，使x O ∈，证明必可从f 中选出可数个集组成X 的一个覆盖. 10。
完全连续C-半群
完全连续C-半群刘瑞; 杜雨亭; 王小霞【期刊名称】《《江西科学》》【年(卷),期】2019(037)005【总页数】3页(P733-734,742)【关键词】C-半群; 无穷小生成元; 完全连续算子【作者】刘瑞; 杜雨亭; 王小霞【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院 716000 陕西延安【正文语种】中文【中图分类】O1770 引言近年来算子半群理论研究和应用得到了迅速发展，C-半群是有界线性算子强连续半群的一个有意义的推广，这一概念最初是由Davies在文献[1]中引入的，后来很多学者对它进行了研究，得到了一些结果[2-5]。
在Conway[6]对Banach空间中紧算子与完全连续算子关系的研究基础上，赵华新等在文献[7-11]中给出了完全连续半群的概念，并得到了由无穷小生成元所刻画的特征，受此启示，引入了完全连续C-半群的概念，得到了完全连续C-半群的一些结果。
1 基本概念与引理本文中空间X是Banach空间，所有算子都是线性算子，I∈B(X)为恒等算子，C∈B(X)且C为单射，B(X)表示X上的有界线性算子全体。
定义1[12]：设X为Banach空间，B(X)是X中有界线性算子全体，C∈B(X)是单射，B(X)中的算子族{T(t):t≥0}满足：1)T(0)=C；2)CT(t+s)=T(t)T(s)；3)T(t)强连续即则称{T(t):t≥0}为C-半群。
其生成元A定义为且∈R(C)},定义2[7]：设T∈B(X，Y), x为X中任意一点，若对X中任意弱收敛于x的序列{xn}有：则称T是完全连续的。
定义3：设{T(t):t≥0}是X上的C-半群，若当t>t0时对每一T(t)都是完全连续的，则称{T(t):t≥0}当t>t0时是完全连续的。
特别的，当t0=0时，称C-半群{T(t):t≥0}是完全连续的。
由于紧算子一定是完全连续的，所以紧的C-半群必为完全连续C-半群，即完全连续C-半群可以看作是紧的C-半群的推广。
第四章4.4-4.5 线性算子的基本定理强收敛弱收敛
T-1(k1y1+k2y2)=k1T-1y1+k2T-1y2T-1是线性算子。
定理5 （巴拿赫逆算子定理）设X, Y都是巴拿赫空间TB(X,Y)是 双射，则T-1是有界线性算子。 证 T是双射T-1存在且T-1是线性算子（定理4） 同时，T是双射 T是开映射 设 GX 是开集(T-1)-1(G)=T(G)Y是开集
u x0 r0 x r0 , Tnu Tn x0 r0Tn x
1 Tn x Tnu Tn x0 r0 1 1 2M Tn x Tnu Tn x0 Tnu Tn x0 r0 r0 r0 2M Tn sup Tn x , n 1, 2, r0 x 1
间，T: DY是线性算子，如果T的图像GT是XY的闭线性 子空间，则称T为闭线性算子。
定理9 (闭线性算子的充要条件) 设X, Y都是线性赋范空间，DX 是线性子空间。T: DY是线性算子，则T是闭线性算子的充要条 件是对{xn}D, 当xnxX, TxnyY时，有xD, 且Tx=y. 证 “” (x,y)GT{(xn,Txn)}GT, 使(xn,Txn)(x,y) {xn}D，使xnx, Txny xБайду номын сангаасD, 且 Tx=y (x,y)=(x,Tx)GT GT=GT T是闭线性算子 “” GT是闭集, 设{xn}D, 且xnxX, TxnyY (xn,Txn)(x,y) {(xn,Txn)}GT, GT是闭集(x,y)GT xD, 且Tx=y
对yY,有
S T Y X Y S T y sy T (Sy ) I y y y
2) T-1T=Ix, TT-1=Iy 3) 若T是线性算子，则T-1也是线性算子(将在后面证明)。
4 有界线性算子与线性算子的基本定理g
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例2 乘法算子T: C[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
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事实上，T 显然是线性算子
可以证明
T是有界算子,且 因此
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注:1)定义中,D -算子T的定义域; M -算子T的界值;T(D)={Tx|xD}- 算子T的值域 无界函数
2）有界算子与有界函数不同,例如 f (x)=x 有界算子:|f(x)|=|x|<2|x|
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2 有界线性算子的性质 定理1 设X,Y是线性赋范空间,DX是线性子空间,T: DY是线性算子,则
例3 乘法算子T: C[a,b]C[a,b], Tx(t)=t x(t)是有界线性算子,且 事实上，T 显然是线性算子
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T是有界算子,且 可以证明 因此
注:乘法算子T: L2[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
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例4 积分算子T: C[a,b]C[a,b], 是有界线性算子,且 ||T||=b-a
故T是有界算子,且||T||1. 另一方面, 取
故T是有界线性算子,且 ||T||=1.
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第13页 例7 Fredholm算子(以二元连续函数K(s,t)为核的积分变换算子）T: C[a,b]C[a,b]
也是有界线性算子,且 事实上，T显然是线性算子,且对x=x(t)C[a,b], 有
T(x1+x2)=Tx1+Tx2
应用泛函分析修订版(后两章)
赋范线性空间上的有界线性泛函 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §1.2.1 §1.2.2 §1.2.3 赋范线性空间上的有界线性泛函 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 对偶空间 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
§1.1 赋范线性空间上的有界线性算子
§1.1.1 有界线性算子
定义 1.1.1 设X, Y是同一数域K上的赋范线性空间, T : X → Y是线性算子. 若存在正常 ∥T x∥ ≤ c∥ x∥, 则称T 为X上的有界线性算子. 在(1.1.1 )中, ∥ x∥是表示 x在X中的范数, ∥T x∥ 是表示 T x 在 Y中的范数. 至于在定义中 用“有界”二字是基于下面一个的事实: T : X → Y是有界线性算子, 当且仅当线性算 子 T 把 X 中的任一有界集映成 Y 中的有界集. 考察不等式(1.1.1 ), 对所有的 x ∈ X, x θ, 由(1.1.1 )得 (1.1.2) ∥T x∥ ≤c ∥ x∥
§2.4
曲线拟合的最小二乘法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50 §2.4.1 §2.4.2 曲线拟合的最小二乘问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50 最小二乘解的求法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51
《实变函数与泛函分析》教学大纲-数学专业
实变函数与泛函分析教学大纲应用数学与信息计算等专业使用修订单位：山东财政学院统计与数理学院修订时间：2009年8月修订课程中文名称：实变函数与泛函分析课程英文名称：Real Analysis and functional Analysis 课程号：30001001学时数：68学分数：4先修课程：数学分析、线性代数适用专业：应用数学与信息计算等专业。
一、课程的性质和任务1. 课程性质《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。
《实变函数》课程结合抽象测度与积分理论, 介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。
通过本课程的学习, 应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法, 并且应用所学知识, 解决一些相关的理论和应用问题, 解决一些具有一定难度的习题。
同时, 通过本课程的学习, 要加深学生对数学分析课程中知识的理解, 培养学生严密的逻辑思维能力。
《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理，工程技术等领域有很大帮助。
学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供基础。
4 有界线性算子与线性算子的基本定理g
第6页 页 3 有界线性算子的范数 定义2 是线性赋范空间， ⊂ 是线性子空间 是线性子空间, 是有界线性算子, 定义 设X,Y是线性赋范空间，D⊂X是线性子空间 T: D→Y是有界线性算子,则称 是线性赋范空间 → 是有界线性算子 ||T||=inf { M | ||Tx||Y ≤ M||x||X, ∀x∈D} 为算子 的范数 为算子T的 ∈ 是线性赋范空间, 是线性子空间, 定理2 设X,Y是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,T: D→Y是 定理 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 → 是 有界线性算子， 的范数具有下列性质： 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： 的范数具有下列性质 (1)||Tx||≤||T|| ||x||,∀x∈D(即||T||是有界线性算子 的最小界值定义） ≤ 是有界线性算子T的最小界值定义 (1) ∀ ∈ ( 是有界线性算子 的最小界值定义） (2) 证 ⇒ ⇒ ⇒
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一、有界线性算子的定义与性质
1 有界线性算子的定义 定义1 是线性赋范空间, 是线性子空间, 定义1 设X是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,映射 D→Y. 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 映射T: → . T(x1+x2)=Tx1+Tx2 (1)T是线性算子⇔∀x 是线性算子⇔∀ 及数 , (1) 是线性算子⇔∀ 1, x2∈D及数α∈K,有 T(αx)=αTx (2)T是连续算子⇔∀x ∈ (2) 是连续算子⇔∀ n, x∈D,n=1,2,…, xn→x, 有Txn→Tx 是连续算子⇔∀ ⇔∀x,x ⇔∀ 0∈D, x→x0, 有Tx→Tx0;⇔T在D上处处连续 → → 在 上处处连续 (3)T是有界算子⇔∀x∈ (3) 是有界算子⇔∀ ∈D, ∃M>0, 使||Tx||≤M||x||X 是有界算子⇔∀ , ≤ (4)T是有界线性算子⇔ 既是有界算子 既是有界算子, (4) 是有界线性算子⇔T既是有界算子,又是线性算子 是有界线性算子 (5)T是连续线性算子⇔ 既是连续算子, (5) 是连续线性算子⇔T 既是连续算子,又是线性算子 是连续线性算子 定义中, 算子 的定义域; 算子T 算子T的界值 的界值;T(D)={Tx|x∈D}- 算子 的值域 算子T的值域 注:1)定义中,D -算子T的定义域 M -算子 的界值 定义中 ∈ 无界函数 2）有界算子与有界函数不同,例如 f (x)=x ）有界算子与有界函数不同, 有界算子: 有界算子:|f(x)|=|x|<2|x|