《高等数学》有理函数积分
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高数上4.4 有理函数积分法
5 2
d
x
1 2
x 1 2 3
2 4
解
(
x
x2 2x 1 1)( x2 x
1)
dx
x
2
1
x3 x2 x
1 dx
2
ln
|
x
1
|
1 2
d
( x2 x 1) x2 x 1
5 2
d
x
1 2
x
1 2
2
3 4
2ln | x 1 | 1 ln | x2 x 1 | 2
1
去分母, 得
x2 2x 1 A( x2 x 1) (Bx C )( x 1)
令 x 1, 得 A 2; 令 x 0, 得 1 A C, 所以 C 3;
令 x 2, 得 7 3A 2B C, 所以 B 1.
因此
(x
x2 2x 1 1)( x2 x 1)
4
dx
x
4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
(x2 1) (x2 4) (x2 1)(x2 4)
dx
1 ln x4 5x2 4 1 arctan x arctan x C
2
2
2
例 9
求不定积分 I
2
x
3 x4
2x2 5x2
解 根据例5的结果, 有
(
x
x2 2x 1 1)( x2 x
1)
dx
2 x
1
x3 x2 x
1 dx
2 ln
|
x
1
|
1 2
2x x2
高等数学 第四节 有理函数的积分
第四节
有理函数的积分
P 210 −
初等函数 f ( x ) 在它的定义域上是连续 的 , 它的不定积
分 I = ∫ f ( x ) dx 一定存在 , 但是却不一定能把 I 用初等函数
表示出来 , 例如 sin x , x
1 , ln x
e
− x2
,
sin x2 .
我们称这些函数 "积不出来" , "积不出来" 不能说明它 的原函数不存在 .
⌠ x+ p d 2 In = n 2 p p2 x + 2 + q − 4 ⌡
1 u + I1 + c , I2 = 2 2 2a u + a 2
In =
1 u + ( 2n − 3) I n −1 + c . n 2a 2 ( n − 1) ( u 2 + a 2 ) −1
B D − 1 Bp ⋅ I = n 2 n −1 + 2 2 (1 − n) ( x + px + q )
4
⌠ I n = 2 du 2 n , ⌡ (u + a )
p p2 u= x+ , a = q− . 2 4
我们已经知道 : I1 = 1 arctan u + c , a a
2
⇒
1− u , 2u sin x = , cos x = 2 1+ u2 1+ u
1+ u2
x
2u
1− u2
x = 2arctanu ,
dx = 2 du . 1+ u2
有理函数的积分
P 210 −
初等函数 f ( x ) 在它的定义域上是连续 的 , 它的不定积
分 I = ∫ f ( x ) dx 一定存在 , 但是却不一定能把 I 用初等函数
表示出来 , 例如 sin x , x
1 , ln x
e
− x2
,
sin x2 .
我们称这些函数 "积不出来" , "积不出来" 不能说明它 的原函数不存在 .
⌠ x+ p d 2 In = n 2 p p2 x + 2 + q − 4 ⌡
1 u + I1 + c , I2 = 2 2 2a u + a 2
In =
1 u + ( 2n − 3) I n −1 + c . n 2a 2 ( n − 1) ( u 2 + a 2 ) −1
B D − 1 Bp ⋅ I = n 2 n −1 + 2 2 (1 − n) ( x + px + q )
4
⌠ I n = 2 du 2 n , ⌡ (u + a )
p p2 u= x+ , a = q− . 2 4
我们已经知道 : I1 = 1 arctan u + c , a a
2
⇒
1− u , 2u sin x = , cos x = 2 1+ u2 1+ u
1+ u2
x
2u
1− u2
x = 2arctanu ,
dx = 2 du . 1+ u2
44有理函数的积分知识讲解
44有理函数的积分知识讲解有理函数意为有理数的函数，即可以表示为$p(x)/q(x)$的函数，其中$p(x)$和$q(x)$均为多项式函数。
有理函数积分是指对有理函数进行积分运算，是高等数学中一个非常重要的内容。
下面将介绍有理函数积分的知识。
一、分式分解要求有理函数的积分，首先要进行分式分解。
分式分解是将一个有理函数分解成多个个简单的有理函数的和的过程，即对于一个形如$p(x)/q(x)$的有理函数进行分解，使得分解式的分母均为一次多项式或既约二次多项式。
分式分解的基本方法是：用二次多项式的因式作分子的一次式，二次多项式必须既约，即无重根。
若$q(x)$的某个根是$k$，则$(x-k)$是$q(x)$的因式；若二次多项式$(x^2+px+q)$有两个不同实根$x_1,x_2$，则分式分解式可写成两个部分的和形式，即分子为$k_1/(x-x_1)$，分母为$(x-x_1)$，分子为$k_2/(x-x_2)$，分母为$(x-x_2)$。
二、基本积分公式有理函数的积分可以根据基本积分公式进行求解。
常用的基本积分公式有以下几种：1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$2. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$三、换元积分法针对部分比较复杂的有理函数，可以采用换元积分法进行求解。
具体方法是：先将分式分解为几个部分，其中一个部分是含有根式的二次函数，用$t=\sqrt{x^2+a^2}$进行代换，然后进行简化，并根据基本积分公式计算积分。
四、分步积分法对于含有较多项的有理函数，可以采用分步积分法进行求解。
具体方法是：将原式中的有理函数分解为两个有理函数的和，其中一个有理函数是原式的导数的因式，另一个有理函数则是原式的乘积。
然后，用分部积分法求解原式的积分。
总之，有理函数积分是高等数学中的一个非常重要的内容，可以通过分式分解、基本积分公式、换元积分法和分步积分法进行求解。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
高等数学课件D44有理函数积分
积分的线性性质是积分的基本性质之一，也是积 分运算的重要基础
单击此处添加项标题
积分的线性性质在解决实际问题中具有广泛的应 用，如求解积分方程、积分不等式等
单击此处添加项标题
积分的线性性质还可以用于简化积分计算，提高 计算效率
积分的可加性
积分的可加性是指两个函数积分的 和等于它们积分的和
可加性可以用于求解一些复杂的积 分问题，例如积分的换元法
分解法
基本概念：将 函数分解为若 干个部分，分
别进行积分
适用范围：适 用于有理函数、 三角函数、指
数函数等
步骤：确定分 解方式，分别 进行积分，最
后合并结果
注意事项：分 解方式要合理， 避免产生不必
要的积分项
换元法
换元法是一种 常用的积分方 法，适用于有
理函数积分
换元法的基本 思想是将复杂 函数转化为简 单函数，从而 简化积分过程
添加标题
添加标题
积分公式可以用于求解积分方程
有理函数的积分方法
第三章
直接积分法
直接积分法是一种常用的积分方法，适用于求解有理函数的积分
直接积分法的基本思想是将有理函数分解为若干个部分，然后分别进行积分
直接积分法需要掌握一些基本的积分公式和技巧，如换元法、分部积分法等
直接积分法在求解有理函数的积分时，需要根据函数的特点选择合适的积分方法，以 提高计算效率和准确性
应用范围：适用于 有理函数积分
积分步骤：先分解 为两个部分，然后 分别积分
注意事项：积分过 程中需要注意符号 的变化，以及积分 限的变化
积分公式的推导
积分公式：∫(P(x)/Q(x))dx = ∫P(x)dx/Q(x) + C
其次，对P(x)和Q(x)进行分母有理 化，得到P(x)/Q(x)
单击此处添加项标题
积分的线性性质在解决实际问题中具有广泛的应 用，如求解积分方程、积分不等式等
单击此处添加项标题
积分的线性性质还可以用于简化积分计算，提高 计算效率
积分的可加性
积分的可加性是指两个函数积分的 和等于它们积分的和
可加性可以用于求解一些复杂的积 分问题，例如积分的换元法
分解法
基本概念：将 函数分解为若 干个部分，分
别进行积分
适用范围：适 用于有理函数、 三角函数、指
数函数等
步骤：确定分 解方式，分别 进行积分，最
后合并结果
注意事项：分 解方式要合理， 避免产生不必
要的积分项
换元法
换元法是一种 常用的积分方 法，适用于有
理函数积分
换元法的基本 思想是将复杂 函数转化为简 单函数，从而 简化积分过程
添加标题
添加标题
积分公式可以用于求解积分方程
有理函数的积分方法
第三章
直接积分法
直接积分法是一种常用的积分方法，适用于求解有理函数的积分
直接积分法的基本思想是将有理函数分解为若干个部分，然后分别进行积分
直接积分法需要掌握一些基本的积分公式和技巧，如换元法、分部积分法等
直接积分法在求解有理函数的积分时，需要根据函数的特点选择合适的积分方法，以 提高计算效率和准确性
应用范围：适用于 有理函数积分
积分步骤：先分解 为两个部分，然后 分别积分
注意事项：积分过 程中需要注意符号 的变化，以及积分 限的变化
积分公式的推导
积分公式：∫(P(x)/Q(x))dx = ∫P(x)dx/Q(x) + C
其次，对P(x)和Q(x)进行分母有理 化，得到P(x)/Q(x)
有理函数的积分-高等数学教案
2） 的一次 重因式 ，对应 项：
；
3） 的二次单因式 ，对应一项 ；
4） 的二次 重因式 对应 项：
证明略
例如：
例1将下列各分式分解成最简单分式之和。
（1） ；（2） .
解：（1）有定理可知， 。
右端通分，约去分母，解得 。
（2）
解得
例2求
解：
解得 ， ，所以
例3求
解：
例4求下列积分
（1） （2）
教学媒体
教法选择
讲授
教学过程
教法运用及板书要点
我们知道被积函数连续时，不定积分一定存在，但是，并不是每个不定积分都可以用初等函数表示的，例如：
等等，他们的原函数不再是初等函数。
有理函数的形式
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数:
其中m和n都是非负整数a0a1a2an及b0b1b2bm都是实数并且a00b00当nm时称这有理函数是真分式而当nm时称这有理函数是假分式
变换后原积分变成了有理函数的积分即：
例5求
解：令 ，有
例6求
解令 则 x2arctanu
于是
解令 则
说明:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如
例7求 .
解法一： ，有
解法二：
。
例18
无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去
例8求
解设xt6于是dx6t5dt从而
例9求
解设 即 于是
解：（1）
（2）
练习：1、求
解
提示
2、求
解
提示
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sinx及cosx的有理式表示故三角函数有理式也就是sinx、cosx的有理式
；
3） 的二次单因式 ，对应一项 ；
4） 的二次 重因式 对应 项：
证明略
例如：
例1将下列各分式分解成最简单分式之和。
（1） ；（2） .
解：（1）有定理可知， 。
右端通分，约去分母，解得 。
（2）
解得
例2求
解：
解得 ， ，所以
例3求
解：
例4求下列积分
（1） （2）
教学媒体
教法选择
讲授
教学过程
教法运用及板书要点
我们知道被积函数连续时，不定积分一定存在，但是，并不是每个不定积分都可以用初等函数表示的，例如：
等等，他们的原函数不再是初等函数。
有理函数的形式
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数:
其中m和n都是非负整数a0a1a2an及b0b1b2bm都是实数并且a00b00当nm时称这有理函数是真分式而当nm时称这有理函数是假分式
变换后原积分变成了有理函数的积分即：
例5求
解：令 ，有
例6求
解令 则 x2arctanu
于是
解令 则
说明:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如
例7求 .
解法一： ，有
解法二：
。
例18
无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去
例8求
解设xt6于是dx6t5dt从而
例9求
解设 即 于是
解：（1）
（2）
练习：1、求
解
提示
2、求
解
提示
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sinx及cosx的有理式表示故三角函数有理式也就是sinx、cosx的有理式
《有理函数积分》课件
有理函数的分类
总结词
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。
详细描述
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。例如，形如 f(x)=p(x)/x 的函数被称为一次有理函数，形如 f(x)=p(x)/(x^2+1) 的函 数被称为二次有理函数，以此类推。不同次数的有理函数具有不同的性质和积分方法。
舍入误差
在将数值近似为有限小数时，舍入误差是不可避免的。因 此，在处理实际问题时，需要注意舍入误差对结果的影响 。
初始条件和边界条件的影响
在求解微分方程时，初始条件和边界条件可能会影响积分 的结果。因此，在处理实际问题时，需要注意初始条件和 边界条件对结果的影响。
THANK YOU
信号处理
在信号处理中，有理函数积分用于描述信号的频 谱和滤波器的传递函数，如低通滤波器、高通滤 波器等。
材料力学
在材料力学中，有理函数积分用于描述材料的应 力-应变关系，从而为材料性能分析和优化提供 依据。
04
有理函数积分的注意 事项
积分公式的应用范围
确定被积函数的定义域
在应用积分公式之前，需要先确定被积函数的定义域，以避免出现 无意义或错误的积分结果。
02
有理函数的积分方法
部分分式积分法
总结词
将有理函数表示为部分分式的积分方法，适用于 有理函数积分问题。
适用范围
适用于有理函数积分问题，特别是当分母为多项 式时，应用更加广泛。
详细描述
部分分式积分法是一种将有理函数表示为部分分 式的积分方法，通过将有理函数分解为多项式和 简单函数的商，将积分问题转化为多项式和简单 函数的积分问题，从而简化计算过程。
高等数学有理函数的积分
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
(1
2u 1 u
2
)
2u 1 u
2
(1
1 1
u2 u2
)
2 1 u
2
du
1 2
(u
2
1 u
)du
1 2
(u2 2
2u
ln
|u
|)
C
1 tan 2 x tan x 1 ln |tan x |C .
4 2 22
2
令 u tan x , 2
则
s in
. 有理函数 相除 多项式 + 真分式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
A ln
xa
C
2.
(
x
A a)n
dx
1
A n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
Mx 2 px
例例5 求
x 1 dx . x
解解 设 x 1 u , 即 x u 2 1 , 则
x 1 x
dx
u
u 2 1
2udu
2
u
u
2
2
du 1
2
(1
1
1 u
2
)du
2(u
ar
c
tan
u
)
C
2( x 1 arctan x 1) C .
高等数学课件上第44有理函数积分
积分公式的应用场景
物理、工程等领域的计算
解决实际问题，如计算面 积、体积等
数学建模，如微分方程、 积分方程等
科学研究，如统计、概率 等
计算机科学，如数值计算、 算法设计等
积分公式的推导过程
积分的定义：将函 数在某一区间上的 值进行求和，得到 该区间上的积分值
积分的性质：积分 具有线性性、可加 性、可乘性等性质
积分变换：用于进行有理函数的积分变 换
积分不等式证明：用于证明有理函数的 积分不等式
积分估计：用于估计有理函数的积分值
在其他数学分支中的应用
微积分：有理 函数积分是微 积分的重要内 容之一，广泛 应用于求解微 分方程、积分
方程等
概率论与数理 统计：有理函 数积分在概率 论与数理统计 中用于求解概 率密度函数、 概率分布函数
结果相加
注意事项：在分 解被积函数时， 需要注意分解后 的部分能否进行 积分，以及分解 后的部分能否相 加得到原被积函
数
三角换元法
基本思想：将复杂函数转化为简单函数，便于积分 步骤：选择适当的三角函数，将原函数进行变换 注意事项：选择合适的三角函数，注意变换后的函数形式 应用：适用于有理函数积分的计算，特别是含有三角函数的有理函数
适用条件：f(x)为有理函数，且积分区间为[a, b]
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
计算步骤： a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
注意事项： a. 确保f(x)为有理函数 b. 积分区间[a, b]必须正 确 c. 计算过程中可能出现误差，需要多次计算以验证结果
高等数学第四章有理函数的积分
x2 1
-
1)
dx
1
2
1+
1 x2
x2
+
1 x2
dx
-1 2
1
-
1 x2
x2
+
1 x2
dx
技巧
1 2
d( x - 1 ) x
-1
( x - 1 )2 + 2 2
d( x + 1 ) x
( x + 1 )2 - 2
x
x
1
arctan
x
-
1 x
-
1
1
ln
22
2 22 2
x+ 1 x
A 1 ( x - a)1-n + C 1- n
16
( x2 + px + q) 2x + p
Ax + B
(3) x2 + px + q dx
Ax + A p- A p + B
22
x2 + px + q
dx
Ax + A p
x2
+
2 px +
dx q
+
(B
-
A 2
p)
Q( x) 部分分式的和. 如果分母多项式Q( x)在实数域 上的质因式分解式为:
Q( x) b0 ( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
5
Q( x) b0 ( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
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1) d sin x x sin4 x
(t 2 1) dt 1t2 t4
1 arctan t 1t C
3
3
1 arctan cos2 x C
3
3sin x
d(t
1 t
)
(t 1t )2 3
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2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
dx3 (a3)2 (x3)2
66a1a133llnnxxxx3333aaaa3333 CC
2. 原式
sin2 x sin3
cos2 x cos x
x
dx
dx
sin x cos x
cos sin 3
x x
dx
d tan x tan x
d sin sin 3
x x
ln tan x
1 2
1)
x2
1 2
x
2
C
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dx
例6. 求 x4 1
解: 原式 1 2
(x2 1) (x2 1) x4 1
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
注意本题技巧 按常规方法较繁
1 2
(
d(x
x
1 x
)2
1 x
)
2
1 2
(
d(x
1 x
5
5
5
例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求
解: 原式
1 2
(2x
2)
3
x2 2x 3
dx
1 2
d(x2 2x 3) x2 2x 3
3
d(x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln x2 2x 3 3 arctan x 1 C
2
2
2
思考: 如何求
提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 .
第四节
第四章
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ;
分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数
本节内容:
一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分
有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
1
dx 3x
2
.
解: 令 u 3 x 2 , 则
原式
3u 1
2
u
du
3
(u2 1) 1 u
1 du
3
(
u
1
1
1
u
)
du
3
1 2
u
2
u
ln
1 u
C
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例12. 求
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 , 令 x t 6 , 则有
)
x 1x)2
2
(见P348公式21)
1
arctan
x
1 x
22
2
1 1 22 2
ln
x
1 x
x
1 x
2 C
2
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二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分
设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x) dx
令
t
tan
x 2
万能代换
t 的有理函数的积分
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
4 2 22
2
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例8. 求
解:
原式
a2
1 cos 2
x
dx
tan2 x
b2
1 a2
d tan x
tan 2
x
(
b a
)
2
1 arctan( a tan x ) C
ab
b
说明: 通常求含 sin2 x, cos2 x 及 sin x cos x 的有理式 的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
例9. 求
(a
sin
x
1 b
cos
x)
2
dx
(ab 0)
解法 2 令
a sin ,
a2 b2
b cos
a2 b2
原式
a2
1
b2
dx
cos2 (x )
a
2
1
b2
tan(x
)
C
asin x bcos x sin
cos
a
2
b2 a
2
1ab22atabn2(
xsinaxrctanaba2b)bC2
cos
x
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例10. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
.
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 t sin x,
原式
(cos2 x 2) cos x dx 1 sin2x sin4 x
(sin2 x 1 sin2
内容小结
1. 可积函数的特殊类型
有理函数
万能代换
分解
根式代换
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
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思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
解: 1. 原式 1 3
x 2
x3 x3
x2
5
B (x 3) 原式
x
3
x3 x2
x
3
6
故
原式 5 6
x2 x3
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(3) 混合法
(1
1 2 x)(1
x2)
A 1 2x
Bx C 1 x2
A (1 2x) 原式
x
1 2
4 5
1 4C 5
1 4 BC 6 15 2
原式
=
1 5
1 x(x 1)2
x (x 1) x(x 1)2
(
x
1 1)2
x(
1 x
1)
1 (x 1)2
x (x 1) x(x 1)
(x
1 1)2
1 x 1
1 x
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(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
A x2
B x3
A (x 2) 原式
2.求不定积分
解：原式 =
前式令 u
tan
x 2
;
后式配元
3
1
1u 1u
2 2
1
2 u2
d
u
1 arctan u
2
2
1 arctan( 1 tan x)
2
22
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2 2
x 2
x 2
1 1
tan 2 tan 2
x 2
x 2
1 1
t t
2 2
dx
1
2 t
2
dt
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1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
1
2t 1t
2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
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例9. 求
(a
sin
x
1 b
cos
x)
2
dx
(ab 0) .
解法 1
原式
dx (a tan x b)2 cos2 x
令 t tan x
dt (a t b)2
1 C a(a t b)
cos x
C
a(a sin x b cos x)
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例4. 求
解:
I
x
2x3 5x 4 5x2
4
dx
x
4
2x2 5
x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
(x2 1) (x2 4) (x2 1)(x2 4)
Mp 2
再分项积分
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例2. 求
解: 已知
1 (1 2x)(1 x2 )
1 5
1
4 2x
1
2
x x2
1
1 x
2
原式
2 5
d(1 2x) 1 2x
1
5
d(1 x2 1 x2