数据结构-东南大学

★数据结构是一门研究非数值计算的程序设计问题中的（A ）以及它们之间的（B ）和运算的学科。 A ．操作对象 B ．计算方法 C ．逻辑存储 D ．数据映象 A ．结构 B ．关系 C ．运算 D ．算法

★ 试举例说明，如果两个数据结构的逻辑结构和存储结构相同，但基本运算（操作）不同，则这两个数据结构

就是不同的。

例如二叉树和二叉排序树在逻辑结构上都是二叉树，都采用二叉链表形式存储，但是对于某些运算的定义不同，例如插入操作，二叉树需指明作为哪个结点的左孩子还是右孩子插入，而二叉排序树无需指明，由二叉排序树的形状决定插入位置

★算法有哪些特点？为什么说一个具备了所有特点的算法，不一定就是实用的算法？

答：特点：输入、输出、确定性、有穷性、有效性；一般地说，只有多项式时间度杂度的算法才是实用的。

★如何评价算法的好坏？ 答：正确性（四个层面）；可读性；健壮性；时空效率（复杂性）。

★程序段

for (i=n-1; i>=1; i++) for (j=1; j<=i; j++) if (A[j]>A[j+1])

A[j]与A[j+1]对换；

其中n 为正整数，则最后一行的语句频度在最坏情况下是（D ） A. O(n) B. O(nlog2n) C. O(n3) D. O(n2)

★分析以递归方式求阶乘的算法的时间复杂度。

long Factorial ( long n ) {

if ( n = = 1 ) return 1; // 递归终止 else return n*Factorial ( n-1); // 递归

}

)

()1())2(()1(2))1(()1())((n O O n n T O O n T O O n T O =?==-+?=-+=

★分析二分查找函数的时间复杂度。

int BinarySearch(int *a, const int x, const int n) {

for(int left = 0, right = n –1; left <= right;){ int middle = (left + right)/2; switch(compare(x, a[middle])){ case ‘>’: left = middle + 1; break; // x > a[middle] ca se ‘<’: right = middle – 1; break; // x < a[middle] case ‘=’: found x; // x == a[middle] } }

return –1; // not found }

实例特性是数组a 中元素的个数n 。循环部分的每次迭代花费的时间为O(1)。假定循环一共执行k 次迭代，在第i 次迭代中需搜索的元素为 n/2i-1。所以，每次迭代搜索的元素个数的序列为：

这样，循环迭代的次数一共是：log2n+1.

★设任意n个整数存放于数组A[n]中，试编写程序，将所有负数排在所有正数前面（要求不附加额外的存储空间，且算法算法时间复杂度为O(n)）。

int Rearrange（SeqList a[]; int n）

{

i=0; j=n-1; // i,j初始指向线性表a的第1个和第n个元素。

t=a[0]; //暂存枢轴元素。

while(i

{

while(i0) j--; //从右向左找负数。

if (i

while(i

if (i

}

a[i]=t; ∥将原第一元素放到最终位置。

}

★请设计算法，将一个向量(a1,a2,…,am)的内容原地逆置，成为(am,am-1,…,a1) 。

Reverse(int X[], int i, int j)

{ while ( i

{ A[i]和A[j]交换;

i++; j--;

}

}

★向量V=(a1, a2, …, an)存放在一个大小为n的一维数组A中，现要求V循环右移p位。请设计算法完成此功能。changeVector(int X[], int n, int p)

{

Reverse(X[], 0, n-p-1);

Reverse(X[], n-p, n-1);

Reverse(X[], 0, n-1);

}

★若让元素1，2，3依次进栈，则出栈次序不可能出现 C 的情况。

（A）3，2，1 （B）2，1，3 （C）3，1，2 （D）1，3，2

★铁路进行列车调度时, 常把站台设计成栈式结构的站台，如右图所示。试问：

（1）设有编号为1,2,3,4,5,6的六辆列车, 顺序开入栈式结构的站台, 则可能的出栈序列有多少种?

(2)若进站的六辆列车顺序如上所述, 那么是否能够得到435612, 325641, 154623和135426的出站序列, 如果不能, 说明为什么不能; 如果能, 说明如何得到(即写出"进栈"或"出栈"的序列)。

【解答】

(1)可能的不同出栈序列有:

()1327

65432112

1110987!

6!6!

1271)16/(1612

=???????????=??

=?+C (2) 不能得到435612和154623这样的出栈序列。因为若在4,3,5,6之后再将1,2出栈，则1,2必须一直在栈中，此时1先进栈，2后进栈，2应压在1上面，不可能1先于2出栈。154623也是这种情况。出栈序列325641和135426可以得到。

★利用双栈（设为S1和S2）模拟一个队列，写出入队和出队的算法。

答：入队算法

V oid enqueue(Stack S1, Q, Stack S2, int a ) {

if (!S1.StackFull( )) S1.push(a); else return("overflow"); }

出队算法

int dequeue(Stack S1, Stack S2) { if (!S2.StackEmpty( )) return (S2.pop( )); else

if (!S1.StackEmpty( ))

{ while (!S1.StackEmpty( )) S2.push(S1.pop( )); return (S2.pop( )); }

else return("Infeasible"); }

★已知一棵度为m 的树中，有N 1个度为1的结点，N 2个度为2的结点，…，N m 个度为m 的结点。问该树中有多少个叶子结点（度为0的结点）？

设该树中叶子结点为N 0个。该树总的结点个数应为：

∑=+=+++m

i i m N N N N N 1

010...

从求孩子结点总数的角度，也可以表示成：∑=?+

m

i i

N

i 1

1

所以：

★设树T的度为4，其中度为1，2，3和4的结点个数分别为4，2，1，1，则T中的叶子数为（D )。A．5 B．6 C．7 D．8

8

1

)1

4(

1

)1

3(

2

)1

2(

4

)1

1(

1

)1

(

1

1

=

?

-

+

?

-

+

?

-

+

?

-

+

=

?

-

+

=∑

=

m

i

i

N

i

N

★若一棵二叉树具有10个度为2的结点，5个度为1的结点，则度为0的结点个数是（B ）

A．9 B．11 C．15 D．不确定

根据二叉树的性质3，有n0＝n2＋1

★假设一棵有n个叶子结点的二叉树中所有非叶子结点都有左右子树，问这棵二叉数中共有多少个结点？

根据二叉树的性质3，度为2的结点数和度为0的结点数满足：n2= n0-1

而题中所述二叉树没有度为1的结点，所以总的结点数N为：

1 2

1

2

1

2

-=

-

=

+

-

=

+

= n

n

n

n

n

n

N

（度为0的结点数共有n个）

★试给出如图所示二叉树的前序、中序和后序遍历序列。

前序遍历序列：A B D E G C F

中序遍历序列：D B E G A C F

后序遍历序列：D G E B F C A

★设结点X有左孩子结点Y，右孩子结点Z。用三种基本遍历方法得到的遍历序列中，X（）是Y前驱，X（）是Z的后继，Y（）是Z的前驱。

1、一定

2、不

3、不一定

3、3、1

★任何一棵二叉树的叶结点在前序、中序和后序遍历序列中的相对次序（A ）

(A) 不发生改变(B) 发生改变(C) 不能确定(D) 以上都不对

★已知某二叉树的后序遍历序列是dabec, 中序遍历序列是debac , 它的前序遍历是（D )

A．acbed B．decab C．deabc D．cedba

★给出某二叉树的前序遍历和后序遍历结果，能否唯一确定一棵二叉树。试举例说明。

不能。考虑下面的两棵树：它们的前序遍历结果都是AB，后序遍历结果都是BA。

们的前序遍历结果都是AB，后序遍历结果都是BA。

：不能。考虑下面的两棵树：

★什么是二叉搜索树？试按照关键字序列45，24，53，12，28，90 的顺序构造一棵初始为空的二叉搜索树。

如果关键字序列为12，28，90，45，24，53，则构造出的二叉搜索树又是怎样的？

二叉搜索树（二叉排序树），指的是一棵为空的二叉树，或者是一棵具有如下特性的非空二叉树：（1）若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；（2）若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；（3）它的左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。

★如下二叉搜索树各结点的值依次为32－40，请标出结点的值。

解题思路：因为该树的中序遍历结果就是给定的序列，所以可按中序遍历确定结点序列，然后与给定的值序列相互对应填入。

★假设以二叉链表作为二叉树的存储结构，试编写一个计算二叉树中叶子结点数目的算法。

int leafs (BtNode *t )

{ if ( t == NULL ) return 0;

if (t→leftChild=NULL&&

t→rightChild==NULL) return 1;

else return leafs( t→leftChild ) +

leafs( t→rightChild )

}

★设二叉树中结点的数据域的值互不相同，试设计一个算法将值为x的结点及所有祖先结点的数据域中的内容打印出来。

递归算法

path(tnode *t, int x)

{ if (t==null) return 0;

else if (t->data==x)

{printf(“%d”,t->data), return 1;}

else if (path(t->lchild, x) ||

path(t->rchild, x))

{printf(“%d”,t->data), return 1;}

else return 0;

}

非递归算法

按非递归后序遍历方式进行遍历，设一外部栈S，遍历完成后，栈中的内容即为路径。栈元素的格式定义为：

struct stkNode {

BinTreeNode *ptr;

enum tag {L, R};

}

int path( BtreeNode *p, BtreeNode *x, stack *S) {

stkNode *w;

do {

while (p!=NULL)

{ w.ptr = p; w.tag = L; S.push(w); p=p->leftChild; } int continue = 1;

while (continue && !S.IsEmpty ( ))

{ S.Pop(w); p = w.ptr;

switch (w.tag) {

case L: w.tag = R; S.push(w); continue = 0;

p=p->rightChild; break;

case R: if (p == x) 输出S的内容;

}

}

} while ( !S.IsEmpty( ) );

return 0;

}

输出栈的内容即可得到路径：

while (!S.IsEmpty( ))

S.Pop(p); 输出p->ptr；

}

★试编写算法判定两棵树是否互为镜像。

int IsMirror(BtreeNode *r1, BbtreeNode *r2)

{

if (r1==NULL&&r2==NULL) return1;

if (r1->data == r2->data)

{ return (IsMirror( r1->lchild, r2->rchild)&&

IsMirror( r1->rchild, r2->lchild)));

else return 0;

}

★二叉搜索树的结点删除有几种情况，分别如何处理？

★请写出以下图的邻接矩阵。

★图中给出了7个顶点组成的无向图，从顶点1出发，对它进行深度优先遍历得到的的顶点序列是（1），而进行广度优先遍历得到的顶点序列是（2）。

（1）1534276 （2）1354276

★试给出是图的生成树和最小生成树的定义，且说明最小生成树是否是唯一的。

1、图的生成树是图的极小连通子图；

2、图的权值最小的生成树是图的最小生成树；

3、一般情况下图的最小生成树是不唯一的，当一个图的边上的权值均不相同时，图的最小生成树是唯一的。★分别用Prim算法和Kruskal算法求下图所示的无向图的最小生成树，并说明求解过程。

用Prim算法求最小生成树。

选择边的次序是：(0,5)、(5,4)、(4,3)、(3,2)、(2,1)、(1,6)

用Kruskal算法求最小生成树。

选择边的次序是： (0,5)、(3,2)、(1,6)、(2,1)、 (4,3)、(5,4)

★求如图所示的有向图中从v1到其他各顶点的最短路径。

∞/v1∞/v1∞/v13/v15/v12/v10

014/v5

6

14/v59/v2

514/v59/v27/v3

4∞/v19/v27/v34/v2

3∞/v19/v28/v43/v1

4/v22∞/v19/v2∞/v13/v14/v22/v1

1v7v6v5v4v3v2v1

∞∞∞∞∞3520

014/v5

6

149/v2

51497/v3

4974/v2

3∞983/v1

42∞9342/v1

1v7v6v5v4v3v2v1

v1到v2的最短路径为v1v2，长度为2； v1到v3的最短路径为v1v2v3，长度为4； v1到v4的最短路径为v1v4，长度为3；

v1到v5的最短路径为v1v2v3v5 ，长度为7； v1到v6的最短路径为v1v2v6 ，长度为9； v1到v7的最短路径为v1v2v3v5v7，长度为14；

★什么是排序算法的稳定性？如何判断一个排序算法是否是稳定的？

1、若在排序过程中关键字相同的对象在排序前后的先后次序不发生变化，则排序算法是稳定的，否则是不稳定的。

2、排序过程中是否发生了不相邻元素的交换。

★快速排序的过程是怎样的？试分析快速排序的效率。

1、快速排序的过程是：任取待排序对象序列中的某个对象 (例如取第一个对象) 作为基准，按照该对象的关键码大小，将整个对象序列划分为左右两个子序列，然后对子序列递归地继续快速排序，直到划分的序列中只有一个对象为止。

2、快速排序算法在初始序列基本有序时效率最低，可以表示为O(n2)，在初始序列无序（每次划分得到两个长度基本相同的子序列）时效率最高，可以表示为O(nlog2n)。 ★试分析归并排序的效率。

1、在对两个长度均为n的有序子序列进行归并时，最少需要比较n次，最多需要比较2n-1次。

2、归并排序算法的效率为O(nlog2n)，不受序列初始状态的影响。

★多关键字排序和基数排序之间是什么关系？多关键字排序有那些方法，需要注意那些问题？

1、基数排序是多关键字排序的一种特例：将关键字拆分为若干个位，每一位作为一个关键字，且取值范围相同。

2、常用的多关键字排序方法有：MSD和LSD。

3、与人的直觉相反，应首先从最不重要的因素排序，然后是次不重要的，…，最后对最重要的因素排序，且必须采用稳定的排序方法（如直接插入排序或起泡排序）。

★散列表存储的基本思想是什么？构造散列表需要解决那些问题？如何解决？

1、散列表存储的基本思想是通过数据元素关键字的Hash函数值决定数据元素的存储地址。

2、设计合适的散列函数和解决冲突。

3、常用的散列函数有：直接定址法、数字分析法、除留余数法、平方取中法、折叠法等；散列表存储中解决冲突的基本方法有：线性探查，二次探查，再散列法，链地址法等。