解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆
“化椭为圆”解决椭圆中的面积问题
龙源期刊网
“化椭为圆”解决椭圆中的面积问题
作者：王旭光
来源：《广东教学报·教育综合》2019年第46期
【摘要】在仿射变换下，图形的一些性质不会发生变化。
如，同素性、结合性、平行性、面积比等。
本文通过仿射变换“化椭为圆”来解决椭圆中的一些面积问题，在椭圆的教学和学习过程中，许多问题只能用解析幾何的方法来解决，计算量往往比较大，技巧也比较多。
而在解决圆的某些问题时，往往利用一些性质来处理，过程简明很多。
通过仿射变换正好可以“化椭为圆”，将椭圆中的面积问题转化到圆中来处理。
【关键词】仿射变换；椭圆；圆；面积
参考文献：
[1]吐尔洪艾尔米丁.仿射变换在椭圆面积中的应用[J].新疆师范大学大学学报（自然科学版），2009（1）：44.。
化“椭”为“圆”,由“研题”到“命题”的探索
化“椭”为“圆”,由“研题”到“命题”的探索作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2022年第04期[摘要] 橢圆与圆有很多相似之处，椭圆的很多性质都可以由圆类比得出. 文章主要借助于伸缩变换，化“椭”为“圆”，以椭圆中心三角形面积问题为例进行题源探究，并揭示了问题的本质，从命题者的角度来思考、设计题目，更好地把握命题规律，有利于学生学科素养的提高.[关键词] 椭圆;圆;三角形;面积数学家波利亚（George Polya，1887—1985）曾说过，“类比是一个伟大的引路人”. 椭圆是解析几何的重要内容，它的很多性质都可以由圆类比得出. 文章主要借助于伸缩变换，化“椭”为“圆”，以椭圆中心三角形面积问题为例进行了题源探究，并进一步对此类问题进行了命题研究. 通过化“椭”为“圆”，能够有效地降低题目难度，减少运算量，有助于学生系统掌握圆锥曲线问题，提高学科素养;教师通过命题的分析与研究，可以站在更高的视角看问题，提高课堂教学效果.[⇩] 伸缩变换在高中数学（人教A版选修4-4）中有伸缩变换的定义：设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′=λ·x（λ>0），y′=μ·y（μ>0）的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换[1].对于椭圆E：+=1（a>b>0）和直线l：y=kx+m，在变换φ：x′=·x，y′=·y的作用下，分别化为E′：x′2+y′2=1和l′：by′=kax′+m. 椭圆在变换φ的作用下，有以下性质[2]：性质1 比值关系不变性：若A，B，C三点共线，伸缩变换后A′，B′，C′仍旧三点共线，同时对应的线段长度比值不变，特别地，当点B为线段AC的中点时，点B′也为线段A′C′的中点.性质2 位置关系不变性：伸缩变换前直线与椭圆的位置关系（相切、相交、相离）在伸缩变换后保持不变.性质3 面积关系确定性：伸缩变换前图形面积S与伸缩变换后图形面积S′满足关系S=abS′.[⇩] 问题探究设直线l：y=kx+m不过原点O，且与椭圆E：+=1（a>b>0）有两个不同的交点A，B，则称△OAB为椭圆的中心三角形. 由伸缩变换的性质可知，求解椭圆中心三角形的面积，完全可以转化为求解对应圆的中心三角形的面积.在伸缩变换φ的作用下得到：l′：by′=kax′+m与E′：x′2+y′2=1的交点为A′，B′，∠A′OB′=α，则S△A′OB′=sinα，S△AOB就转化为了S△A′OB′. 显然当α=90°时，S△A′OB′的最大值为;由伸缩变换的性质3可知S△AOB的最大值为，此时直线l′与圆E′的位置关系如图1所示. S△AOB的最大值取决于直线l与椭圆E的位置关系，即在椭圆已知的情况下，需要研究k，m对S△AOB的影响，有如下三种情况：（1）k确定;（2）m确定;（3）k，m存在线性关系.（1）当k确定时，不妨设k=k，直线l为一族平行线，在伸缩变换φ的作用下，l′：by′=kax′+m，当圆心O到l′的距离d=（α=90°）时，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，如图2所示. 此时d==，即m=±，直线l′与圆x′2+y′2=相切，直线l：y=kx±，同时S△AOB 无最小值.（2）当m确定或k，m存在线性关系时，直线l过定点，不失一般性. 设直线l过定点P （s，t），在伸缩变换φ的作用下，对应的l′过点P′，. 由平面几何知识可知：①当OP′=≥，即2+2≥时，存在直线l′使得α=90°时，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，此时圆心O 到l′的距离d=，直线l′与圆x′2+y′2=相切，如图3所示.②当OP′=<，即2+2<时，不存在直线l′使得α=90°，此时圆心O到l′的距离d≤OP′<，所以α为钝角. 由S△A′OB′=sinα知，当α取最小值时，S△A′OB′有最大值，也就是当弦心距d取最大值时，α取最小值，即d=OP′，OP′⊥A′B′，如图4所示. 所以sin==，cos==d，所以S△A′OB′的最大值为·2d=d，S△AOB的最大值为abd.由以上讨论可知，不论是平行直线族还是直线过定点，S△AOB的最值都与圆x′2+y′2=椭圆+=有关：如果平行直线族或定点在此圆（椭圆）外，S△AOB的最大值为;如果定点在此圆（椭圆）内，当OP′⊥A′B′时，S△AOB的最大值为abd.[⇩] 应用举例例1 （2014年全国Ⅰ卷理科第20题）已知点A（0，-2），椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.（1）求E的方程;（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.解析：（1）+y2=1.（2）设直线l：y=kx-2，作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.椭圆E：+y2=1，直线l：y=kx-2，点A（0，-2）在φ的作用下，得到：E′：x′2+y′2=1，l′：y′=2kx′-2，A′（0，-2）. 根据上述分析可知，S△OP′Q′的最大值为，于是S△OPQ的最大值为×2×1=1，此时d==，解得k=±，所以直线l的方程为y=±x-2.例2 （2015年浙江卷理科第19题）如图5所示，已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称.（1）求实数m的取值范围;（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）.解析：（1）略.（2）作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.椭圆+y2=1，直线y=mx+，k=-在φ的作用下，得到：x′2+y′2=1，y′=mx′+①，kA′B′=-. 设P为AB的中点，根据性质1可知，P′为A′B′的中点，于是kOP′=，OP′：y′=x′②，联立方程①②得P′-，-，当P′在x′2+y′2=上，即m2=2时，S△A′OB′有最大值，如图6，于是S△AOB的最大值为=.[⇩] 命题探索通过前面的题源分析及示例，笔者尝试命制如下题目.1. 利用弦过定点构造条件改编2018年全国Ⅰ卷理科第19题如下：命题1：已知椭圆E：+y2=1，点M的坐标为（2，0），过M的直线l与E相交于A，B 两点，点B关于x轴的对称点为C，设O为坐标原点，求△OAC面积的最大值.命题设计分析：可以证明直线AC过定点P（1，0），作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.点M，P对应的坐标分别为M′（，0），P′，0，显然P′在圆x′2+y′2=上，因此S△OA′C′的最大值为，S△OAC最大值为=.通过改变M的位置控制题目难度，M的位置改变使得定点P的位置也发生了改变，导致P′位于圆x′2+y′2=内或外，从而S△OAC的最大值也发生了变化. 一般地：结论1：对于椭圆E：+=1（a>b>0），设M的坐标为（x，0），通过计算可知直線l过定点P，0，所以P′的坐标为，0.①当M的横坐标满足0<x≤a时，P′位于圆x′2+y′2=外，S△OA′C′的最大值为，S△OAC的最大值为.②当M的横坐标满足x>a时，P′位于圆x′2+y′2=内，由前面的分析可知，当OP′⊥A′C′时，S△OA′C′有最大值. S△OA′C′的最大值为，S△OAC的最大值为ab.2. 利用特殊图形构造条件如椭圆内接平行四边形，相似题目有2015年全国Ⅱ卷理科第20题、2021年佛山市高二期末考试第22题，题目如下：命题2：已知椭圆E：+=1，O为坐标原点，在椭圆上是否存在点A，B，C，使得四边形OACB为平行四边形，且面积为定值.命题设计分析：根据题意作伸缩变换φ：x′=·x，y′=·y.由伸缩变换的性质可知，平行四边形OACB所对应的四边形OA′C′B′是夹角为120°的菱形，因此SOA′C′B′=，于是S=×2×=3. 一般地：结论2：对于椭圆E：+=1（a>b>0），O为坐标原点，则在椭圆上存在A，B，C三点，使得四边形OACB为平行四边形，且面积为定值ab.伸缩变换使椭圆问题回归到圆上进行解决，搭建了两者的桥梁，借助于圆的丰富性质来解决椭圆问题，避免了复杂的计算. 同时从命题者的角度来思考、设计题目，更好地抓住问题的本质，把握命题规律，让教学游刃有余.参考文献：[1] 人民教育出版社. 数学选修4-4的“坐标系与参数方程”[M]. 北京：人民教育出版社，2008.[2] 魏国兵. 让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用[J]. 数学教学，2014（05）：13-16.。
简介“圆化法”
教学方法课程教育研究145学法教法研究在椭圆的解题过程中，我们常常遇到一些麻烦，比如：求椭圆的切线，求椭圆的弦长，还有椭圆中一个图形的面积，解决这些问题时，我们往往会算出一个冗长的包含二次根、二项式和分数的式子，这会让我们接下来的运算举步维艰。
于是我们想，能不能先将椭圆转化为一个圆，再利用圆特殊的几何性质进行分析呢？圆化法，即将椭圆通过投影的方法转化为圆，从而达到减少运算量并且更直接快速地解决问题的方法。
那么，我们该如何投影呢？可以从一道简单的例题入手：例题1（2011湖北）如图，直角坐标系xoy 所在的平面为α，直角坐标系（其中y 与重合）所在平面为β，（1）已知平面β内有一点，则点在平面α内射影P 的坐标为________（2）已知平面内β内曲线的方程是，则曲线在平面α内的投影c 的方程是________________分析：（1）已知那么即，又（2）把 代入方程得：由该题给我们提供了这样一个灵感：建立一个与直角坐标系xoy 所在的平面交线为y 轴的新坐标系平面，使两坐标系成某固定角度θ。
可使原坐标系系中的椭圆在新坐标系中射影为圆。
在新坐标系中每点坐标直线满足：。
即将原椭圆纵坐标不变，横坐标进行伸缩变换（类似于必修四中三角函数图象伸缩变换）。
这一方法在刚刚过去的2015湖北高考数学中同样有所体现。
例题2.（2015湖北）一种作图工具如图1所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可以绕O 转动，长杆MN 通过处铰链N 与ON 连接，MN 上的栓子可以沿AB 滑动，且DN=ON =1，MN =3。
当栓子D 在滑杆AB 内做往复运动时，带动N 饶O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立。
如图2所示的平面直角坐标系。
（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线和分别交于P ，Q 两点。
若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：ΔOPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由。
谈椭圆化圆的方法、结论及运用
如 图１ ，在ｘ Ｏ ｙ 平 面 内设直 线 的斜 率为ｋ ， Ｐ （ ｓ ， ｔ ） ，
则ｐ（ 一 ｓ ， 一 ｔ ） ， Ｎ （ Ｏ ， ｔ ） ，
（ １ ） 若Ａ， Ｂ， ｃ 三点共线 ， 贝 ， Ｂ ， Ｃ 三点共线 ； 若Ａ ／ ／ Ｃ Ｄ， 则４ Ｂ ／ ／ Ｃ Ｄ ；
１
ｃ ： ＝ １ 通 过 矩 阵 ＝ ［ 【 ０ ２ 。 ］ Ｊ 变 化 得 到 椭 圆 ２ ＋ ４ ＝ １ ， 那
根据矩 阵知识 ，椭 圆Ｘ ２ ＋ ： １ 通 过矩 阵 的逆矩 阵 一 ：
得 。 ， Ｉ Ｙ Ｉ ＝ ｒ Ｅ ， ／ ｌ Ｙ 。 Ｉ ， 所以 。 ， ｌ ｙ ｏ Ｉ ＝ Ｉ Ｙ ｌ ， 将（ ｙ ｏ ） 代人
一 ） ，
如果简单看待这个 问题 ，也 就是用 求轨迹方程类 型 中的相关动 点法求 轨迹 而已 但换 个角 度看 这个 问题 ，
１ Ｄ Ｍｌ ＝ ｍＩ Ｄ Ａ ｌ 的几何意义就是 ： 若Ｏ ＜ ｍ ＜ ｌ ， 它是向礴由 方
向压缩 ， 即对于 轴上方的点 向下压缩 ， 对于确 下方 的点 向上压缩 ， 而 轴上 的点保持不变 ； 若ｍ ＞ ｌ ， 也就 是相应拉 伸 ，这不正 是矩阵 中伸压变换 的本质吗 ！无论Ｏ ＜ ｍ＜ ｌ 或 ｍ＞ ｌ ， 均将 圆转化 为了椭 圆． 那 自然联 想到 ， 类 似此方 法 ， 椭圆不是也 可以转 化为圆吗？
一
例１ （ ２ ０ １ ２ 年湖 北理 ２ 】 题） 设Ａ是 单位 圆 ＋ ＝ ｌ 上 的任 意一点 ， ｆ 是过点Ａ 与 轴垂直 的直线 ， Ｄ 是直线Ｚ 与 轴
点Ｐ （ ， Ｙ ） ，
的交点 ， 点 在直线ｚ 上， 且满足 ｌ Ｄ ＭＩ ＝ ｍ Ｉ Ｄ Ａ Ｉ （ ｍ ＞ Ｏ ， 且
椭圆化圆优化解题
龙源期刊网
椭圆化圆优化解题
作者：徐才銮
来源：《理科考试研究·高中》2013年第10期
新课标数学选修4-4P4介绍了坐标的伸缩变换。
通过伸缩变换可以把曲线的方程化为简单形式，从而方便解题。
本文介绍用伸缩变换化椭圆为圆，来简化几类问题的求解。
一、最值问题
例1求椭圆x214+y2=1上的点到直线x+2y-4=0的最近距离和最远距离，并求出相应点的坐标。
解作伸缩变换x′=112x，
y′=y，则椭圆图1化为圆x′2+y′2=1，直线化为x′+y′-2=0。
如图1，过原点作与直线x′+y′-2=0垂直的直线y′=x′，交圆于A′和B′两点，可知点A′、B′到直线的距离分别最近、最远。
易得A′（212，212），B′（-212，212）。
那么由伸缩变换知原坐标系中，A（2，212），B（-2，-212）。
A、B两点到直线x+2y-4=0的距离dA=|2+2-4|15=2（2-2）15，dB=|-2-2-
4|15=2（2+2）15。
从而最近距离是2（2-2）15，最远距离是2（2+2）15，相应的两点分别是（2，212）和（-2，-212）。
点评本例的常规解法是设出与已知直线平行的椭圆的切线，代入椭圆方程，令判别式为零，解出参数，得到切线方程；再联立切线与椭圆的方程，解出切点；然后求出两个切点到直线的距离。
这种方法运算复杂。
而本文解法化为圆上两点到直线的距离问题，易得所求两点，回避了解复杂的方程（组），简捷获解。
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1 变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；性质2 变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）； 性质3 变换前后对应图形的面积比不变；现以一些高考试题为例加以说明。
例1设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点 ⑴若6=，求k 的值；⑵求四边形AEBF 面积的最大值。
分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’， 线段E ’F ’恰为圆的直径，根据性质1，D ’分线段E ’F ’的比与D 分线段EF 的比相同，利用圆当中的相交弦定理．．．．．求得D ’点的坐标，再反求出D 点坐标，从而很容易求出k 值；利用性质3，可以求得四边形AEBF 与四边形A ’E ’B ’F ’的面积关系，由于四边形A ’E ’B ’F ’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF 面积的最大值。
解：依题设得椭圆的方程为1y 4x 22=+ 作仿射变换，令x ’=2x ，y ’=y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’，且E ’F ’为圆的直径，E ’F ’=2，A ’(1,0)，B ’(0,1)⑴根据性质1 ∵DF 6ED = ∴''''F D 6D E = ∴E ’D ’=712 D ’F ’=72 ∵E ’D ’·D ’F ’=A ’D ’ ·D ’B ’ A ’D ’+D ’B ’=A ’B ’=2∴A ’D ’=724 D ’B ’=723或A ’D ’=723 D ’B ’=724 ∴''''B D 34D A =或''''D 43A = 由定比分点公式可得：D ’(7374,)或D ’(7473,) ∴D 点坐标为(7378,)或(7476,) ∴k=83或k=32 ⑵设四边形AEBF 的面积为S ，四边形A ’E ’B ’F ’的面积为S ’，E ’F ’与A ’B ’的夹角为θ，则S ’=θ⋅⋅sin ''''B A F E 21=θsin 2≤2（当θ=2π时取“=”号，此时F ’ (2222,)）由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr 2=π根据性质3有π=π'S 2S ，故S=2S ’ ∴S ≤22 当且仅当F 坐标为(22222,)，即k=21时取“=”号 说明：由上述证明过程可知，当D ’为A ’B ’中点是时四边形A ’E ’B ’F ’的面积取到最大值，根据性质1，当D 为AB 中点时四边形AEBF 的面积取到最大值。
三种思维巧突破,七招方法解椭圆--2019年全国卷Ⅲ第15题
x02 36
+
y02 20
蓸 蔀 =1，即 y02=20
1- x02 36
=20-
5 9
x02，MF2 的中点
N
的坐标为
蓸 蔀 x0+4 ，y0 22
.
由于 F（1 -4，0），F（2 4，0），由三角形性质知 F1N彝MF2，
y0
则有
kF1N·kMF2 =-1，即
2 x0+4
· y0 +4 x0-4
36 20
6，b=2 姨 5 ，则有 c= 姨a2-b2 =4.
由 于 M 为 C 上 一 点 且 在 第 一 象 限 ，所 以 在 等 腰
代入椭圆
C：x2 36
+
y2 20
=1，可得
y0=
姨15（由于
y0跃0，负值舍去）.
所以 M 的坐标为（3，姨15）.
答案：（3，姨15）. 方法 4院（直线垂直关系法）由椭圆 C：x2 + y2 =1，可
36 20
知 a=6，b=2 姨 5 ，则有 c= 姨a2-b2 =4.
设点
M
的坐标为
M（x0，y0）（x0跃0，y0跃0），则有
=-1，整 理 可 得
y02=
2
48 -x02-8x0，则 有
20 -
5 9
x02=48 -x02-8x0，解 得
x0=3（由 于
x0跃0，负值舍去）.
将
x0=3
代入椭圆
C：x2 36
+
y2 20
=1，可得
y0=
姨15（由于
y0跃0，负值舍去）.
所以 M 的坐标为（3，姨15）.
用坐标伸缩变换解决椭圆问题
解 得 一５一
所 以 当 ｍ ＞ １＋ 时， 椭 圆 ① 内含于椭 圆 ②．
评析 用两 圆的位 置关系来 代 替两椭 圆的位 置
所以当 一５一√１ ３ ＜ｍ ＜一５＋￣ ／ １ ３时已知直
线与椭 圆相交 ．
２ ２
关 系显 然 问题容 易解决 ， 而坐标 伸缩 变换恰 好 沟通 了 两者 之间 的关 系 ， 化繁为 简 ， 安全可靠．
相应的圆 ＋ Ｙ ＝１ 和直线 ２ ｋ ｘ 一 √ ｍｙ 一１ ： ０ ， 要
使 已知 的直线 与椭 圆有且仅 有一个 公 共 点 ， 只要相 应
的直 线与 圆相切． Ｐ（ ｍ， ） 变 为 相 应 的 圆 ， ＋ｙ ， ２：１和 定 点 Ｐ （ ，
解 令 ， ： ，ｙ 车， 则已 知椭圆 和定点
ｆ １ 的距 离小 于半 径 １ ， 即 ｌ ２×１—３×（ 一１ ）＋， ｎ ｌ ，，
、
、 ／ ／ （ １ —０ ） ＋（ 一１— ０ ） ＜ ｌ ， ｎ一１ ｌ （ ， ｎ＞０ ） ，
解得 ｍ ＞ １＋ ， 或 ｍ ＜ １一 （ 舍去） ，
恩
＜ ｍ ＜一５＋
ｎ Ｚ
椭 圆方 程变为
所 在 直线的 方 程为ｙ ， 一 旱＝ 一 （ ， 一 ） ．
所 以以 Ｐ （ ｍ， ｎ ）为 中点 的弦 所在 的直 线 方程 为
ｙ
一
＋ Ｙ ＝１ Ｄ Ｄ 即 ＋ 午 １ ＝ ２ ｂ ，
，
２
令 ， ＿ ， Ｙ √ ２ ｙ ，
７ ３ ０ ０ ７ ０
宋
波
解 得 一 了 １ ＜ ＜ ÷ ．
评析 以上 两例也可 以用一 元二 次方 程 的判别
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆
——山西大学附中 刘嘉信
一、概念与基本的推导
化椭为圆，顾名思义，就是把椭圆变成圆。
那如何实现这一点呢?这里我们以中心在坐标系原点Ｏ点，长轴在Ｘ轴上的椭圆为例，看看如何将椭圆变成一个圆(在本文中默认a>b ＞0)： 椭圆的标准方程为:
)1......(122
22=+b
y a x 将（1)式中左右两边同时乘以2
a 可得： )2......(22222
a y
b a x =+ 我们可以设y b
a z =,代入（2）式消去ｙ就有: )3......(222a z x =+
这时,我们可以发现，(３）式中的形式就是xoz 坐标系里面的一个以坐标原点为圆心、以ａ为半径的一个圆。
这时我们就把一个xoy 坐标系里面的椭圆成功的变成了一个ｘoz 坐标系里面的一个比较特殊的圆。
实际上,我们可以发现,这个方法的本质就是把y 轴人为地拉长为原来的y b
a z =倍,变成ｘｏz 坐标系。
二、应用
无论什么理论，有实际的应用才有价值，那么那么这个方法到底有什么用处呢？
我们知道，一般情况下，解决椭圆与直线关系等的问题时,我们需要联立、求解或者用韦达定理求解出21x x +或者是21x x ,较为繁琐，计算量较大,原因就是椭圆的几何性质太少，没有办法直接作出判断。
但是，在我们把椭圆变成圆以后,我们就可以利用远的一些性质来解决一些问题。
1、 判断直线与椭圆的位置关系。
比如我们已知一条直线Ｌ：)1)......(0(0≠=++AB C By Ax
我们还知道一个椭圆C:)2......(122
22=+b
y a x 我们可以用上面的方法,设y b
a z =，代入（1）、（2)式得到: )3......(0=++C z a
Bb Ax )4......(222a z x =+
这时候，我们就可以看出来:(3)式是ｘoz 坐标系里面的一条直线,而（４)式是xoz 坐标系里面的一个圆心为(0,0)、半径为a 的一个圆。
这样我们就可以用点线距离和半径的关系来判断椭圆C 和直线L 的位置关系。
设d 为(0,0）到（3）表示的直线L ’的距离，则有:
2222a b
B A C
d +=既然知道了一个圆圆心与一条直线的距离和这个圆的半径,那么二者的
位置关系就十分好判断了。
2、 弦中点问题
弦中点问题是我起的一个名字。
在椭圆中这类问题可以用化椭为圆的方法来解决。
由于从x ｏｙ坐标系变成ｘoz 坐标系以后，原来的弦的中点仍然是中点,所以我们就可以连接圆心（即坐标原点)和这个中点,制造出一个垂直(弦的垂直平分线）。
下面我举个例子:
【例1】已知椭圆C 的标准方程为:14
162
2=+y x ，求该椭圆所有的斜率为2的弦的中点的轨迹方程。
【解析】我们用上面的方法就可以把椭圆变成：1622=+z x 。
由于我们是要在xo ｚ坐标系里面做工作，所以必须把直线也变进来。
设这些弦所在的直线的方程为：b x y +=2,把ｙ代换成z 就有：b x z 24+=。
我们知道,圆里面弦的中点与圆心(这里是坐标原点）的连线与这条弦所在直线垂直，所以,很明显就有这些中点一定分布在直线x z 41-=上面，即x y 8
1-=。
因为弦的中点一定在椭圆内部,所以我们只需再加上范围即可。
不必再用原来的代入消元求解的方法,十分简洁。
【例2】已知椭圆C 的标准方程为:14
162
2=+y x ，P 、Q 为椭圆C 上的两点,直线O Ｐ、OQ 的斜率的乘积为4
1-。
求|ＯP ｜+｜OQ|。
【解析】设P ),(11y x ，Q ),(22y x
我们可以按照上面的方法把C 的方程变成1622=+z x ,于是在xoz 坐标系里面,有： 112y z =,222y z =。
因为O Ｐ、OQ 过原点,所以11x y k OP =,2
2x y k OQ =；变成ｘｏz 坐标系后,因为112y z =、222y z =，所以1111'22x y x z k k OP OP ==
=、2222'22x y x z k k OQ OQ ===。
又因为4
1-=⨯OQ OP k k ，所以有1''-=⨯OQ OP k k ，即在x ｏz 坐标系中,OP ⊥O Ｑ,所以||||21z x =。
所以:
20
1244)(4
3)(41)(414
1412221222221212222212122
222121=++=+++++=+++
=+++x x z x z x z x z x y x y x
三、注意
对于这种方法，我们必须注意两点：
1、 对于大多数给定某一个角度的题目,这个方法并不适用，因为角经过对y 轴的拉伸之后就变了,失去了原来的集合性质，不适合用这种方法。
2、 对于求某一段距离的长的问题,如果用这种方法，就需要求出两个点的坐标，因为距离经过变换以后也可能变得不同。