高考数学突破140分：巧用化椭圆为圆技巧
高考数学 专题06 椭圆解题技法(解析版)
专题06椭圆解题技法一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)为例(1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【题型总结】（一）椭圆的定义应用 （二）焦点三角形的应用（三）椭圆的几何意义与离心率 （四）椭圆与圆的综合（五）向量的几何意义与椭圆 （六）向量的数量积与椭圆综合 （七）椭圆中的反射 （八）椭圆的应用问题 （九）轨迹的求法 四．【题型方法】 （一）椭圆的定义应用例110=的化简结果为（ ）A.2212516x y += B.2212516y x += C.221259x y += D.221259y x +=【答案】D【解析】曲线方程()()2222+4+410x y x y ++-=，所以其几何意义是动点(),x y 到点()0,4-和点()0,4的距离之和等于10，符合椭圆的定义. 点()0,4-和点()0,4是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程()222210y x a b a b+=>>，其中210a =，所以5a =4c =，所以223b a c =-=，所以曲线方程的化简结果为221259y x+=.故选D 项.练习1．已知椭圆221259x y +=，1F 、2F 是其左右焦点，过1F 作一条斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ） A.5 B.10C.20D.40【答案】C【解析】由椭圆221259x y +=，得5a =，如图：由椭圆定义可得，12||||210AF AF a +==，12||||210BF BF a +==；2ABF ∴∆的周长为：2122C ||||||ABF AB AF BF ∆=++1212||||||||420AF AF BF BF a =+++==．故选：C ．（二）焦点三角形的应用例2．设1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点.椭圆上存在一点P 使得123PF PF b -=，1294PF PF ab ⋅=.则该椭圆的离心率为（ ） A.23 B.223C.13D.24【答案】B【解析】椭圆定义可得122PF PF a +=，又123PF PF b -=， 解得11|(23)2|a b PF =+，21(23)2PF a b =-，1294PF PF ab ⋅=，可得()22194944a b ab -=，即为224990a ab b --=，化为(3)(34)0b a b a -+=，可得3a b =，2222922c a b b b b =-=-=，则该椭圆的离心率为22c e a ==． 故选：B ．练习1．已知椭圆24x ＋23y ＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】B【解析】由题可知121214MF MF MF MF ⎧⎪⎨+⎪⎩－＝＝，解得125232MF MF ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，又因122F F =，2221221F F MF MF +=，所以△MF 1F 2为直角三角形 答案选B（三）椭圆的几何意义与离心率例3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为（ ） A.12 B.23 32 【答案】D 【解析】设|F 1B |=k （k ＞0），则|AF 1|=3k ，|AB |=4k ，∴|AF 2|=2a -3k ，|BF 2|=2a -k∵cos ∠AF 2B =35，在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB |2=|AF 2|2+|BF 2|2-2|AF 2|•|BF 2|cos ∠AF 2B ， ∴（4k ）2=（2a -3k ）2+（2a -k ）2-65（2a -3k ）（2a -k ），化简可得（a +k ）（a -3k ）=0，而a +k ＞0，故a =3k ，∴|AF 2|=|AF 1|=3k ，|BF 2|=5k ， ∴|BF 2|2=|AF 2|2+|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形， ∴c =22a ，∴椭圆的离心率e =22c a =，故选：D ．练习1．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【解析】如下图所示，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=o所以2260,30PF A F PA ∠=∠=o o，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C. （四）椭圆与圆的综合例4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（ ）3B.122 6 【答案】D【解析】如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-，所以，2223a c =，因此，椭圆的离心率为222633c c e a a ====，故选：D. 练习1. ．如图，已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．53C ．63D ．255【答案】B【解析】如图：连接OQ ，1PF ，Q 点Q 为线段2PF 的中点，1//OQ PF ∴，112OQ PF =，122PF OQ b ∴==，由椭圆定义，122PF PF a +=，222PF a b ∴=-Q 线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，2OQ PF ∴⊥，12PF PF ∴⊥，且122F F c =，222(2)(22)(2)b a b c ∴+-=即32b a =，2259a c =，5c e a ∴==故选：B ．（五）向量的几何意义与椭圆例5. 设F ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直线b y x a =与椭圆在第一象限内的交点，若()FO FC BO BC λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r，则椭圆的离心率是( )A 221+B ．2217C ．213D 21【答案】A【解析】根据()FO FC BO BC λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r，由平面向量加法法则，则BF 与OC 交点为OC 的中点，故BFOBFC S S ∆∆= ，由22221x y a b b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22C ，BFO BFC S S ∆∆=Q ，则2BOFC BOF S S bc ∆==112222BOFC BOC OFC S S S b c bc ∆∆=+=+= 可得(221)a c = 2217221c e a ∴===- 故选：A ．方法2，设BF 与OC 交于点M ，由条件知M 是OC 的中点，则)22,22(baM又B （0，b ），F （c ，0），B ，M ，F 三点共线,所以MF BF k k =,即c abcb-=-2222可得(221)a c =2217221c e a ∴===-练习1．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=u u u r u u u r，2FB FA FB ≤≤，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．25,23⎣⎦ B ．)5⎣ C ．2312⎤⎢⎥⎣⎦D ．)31,1⎡⎣ 【答案】A【解析】设椭圆左焦点为F '，连接,AF BF ''由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形0FA FB ⋅=u u u r u u u rQ FA FB ∴⊥ ∴四边形AFBF '为矩形设AF m =，AF n '=，则2m n a +=()222222424m n m n mn a mn c ∴+=+-=-=，解得：22mn b =22222m n m n c mn n m b+∴=+= ※(关键步骤)2FB FA FB ≤≤Q []1,2AF AF m FB AF n ∴==∈' 52,2m n n m ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦即222522c b ≤≤ 2222522c a c ∴≤≤-，即2225212e e ≤≤-，解得：21529e ≤≤25e ∴∈⎣⎦本题正确选项：A方法2,设∠AF’F =α,直角∆F’AF 中，AF’=2ccosα，AF=2csin α，AF+AF’=2a 即2ccosα+2csin α=2a)4sin(21cos sin 1πααα+=+==a c e 直角∆F’AF 中tan α=AF AF' =AF BF ∈[1,2],则],4[0απα∈其中2tan 0=α，51cos ,52sin 00==αα )4sin(21cos sin 1πααα+=+==a c e 在],4[0απα∈上单调递增， 当4πα=是e 最小值为22当0αα=时，e 最大值为3551521=+（六）向量的数量积与椭圆综合例6. ．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u u r u u u r ，222AF F B =u u u u v u u u u v，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34CD．4【答案】C【解析】222AF F B =u u u u r u u u u rQ 设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-，120AF AF ⋅=u u u r u u u u rQ ,12AF AF ∴⊥ 在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3ax =，2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得225=9c a，c e a ∴==故选C 项.练习1. 已知椭圆C ：2222x y 1(a b 0)a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，且12AF AF 0⋅=u u u r u u u r，直线2AF 交y 轴于点M ，若12FF 6OM =，则该椭圆的离心率为( ) A.13C.58【答案】D【解析】结合题意，可知122,3c F F c OM ==则，故21tan 3MF C ∠=，结合120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，可知01290F AF ∠= 故1213AF AF =，设12,3AF x AF x ==，所以234a x x x =+=，()22224310c x x x =+=，所以c e a ==D 。
高考数学中的椭圆问题技巧
高考数学中的椭圆问题技巧高考椭圆题技巧高考数学复习策略和高考椭圆大题技巧对考生来说极其重要。
以下是边肖为大家整理的高考数学大椭圆题技巧内容。
希望你喜欢！高考椭圆大题技巧1。
设定点或直线一般来说，问题需要点的坐标或线性方程组，其中求解点或线性方程组的方法有很多。
该点可以设置为等于，或者如果它是椭圆上的点，也可以设置为。
一般来说，如果题目中只涉及椭圆xx上的运动点，这个点可以设置为。
还需要注意的是，很多点的坐标都是不求而设的。
对于直线，如果经过一个固定点，且不平行于Y轴，则可以设置为一个斜点；如果不平行于X轴，可以设置为参数方程，其中为直线的倾角。
一般题目涉及xx运动直线时，可以设置直线的参数方程。
二、转型条件有时题目给出的条件不直接适用或者直接使用不方便，此时需要对这些条件进行转化。
这是解决问题的关键一步。
如果翻译得巧妙，计算量可以大大减少。
例如，圆上的一个点可以转化为乘以零的向量点，三个共线性点可以转化为平行的两个向量。
如果一个角的平分线是一条水平或垂直的直线，则该角两边的斜率之和为零。
有些问题可以不通过变换直接带入条件解题，有些问题可以通过多种变换方法给出条件。
这个时候X最好不要急着做题，多想想几种变换方法，估计哪种方法更简单。
第三，代数运算在转换条件之后，没有什么可以计算的了。
在很多题目中，直线和椭圆要结合使用二次方程的vieta定理，但需要注意的是，并不是所有题目都是这样的。
有些题目可能需要计算弦长，可以用弦长公式。
设置参数方程后，弦长公式可以简化为解析几何中有时需要的面积。
如果O是坐标原点，椭圆上的两点A和B 的坐标分别是和，AB和X轴相交D，那么(d为O点到AB点的距离；我自己推了第三个公式，但是课本上没有。
几何分析中的许多问题都有移动的点或移动的线。
如果主题只涉及一个移动点，可以考虑用参数设置点。
如果只涉及一条移动的直线经过一个固定的点，而题目涉及到像求长度和面积这样的东西，那么直线的参数方程就会简单一些。
化“椭”为“圆”,由“研题”到“命题”的探索
化“椭”为“圆”,由“研题”到“命题”的探索作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2022年第04期[摘要] 橢圆与圆有很多相似之处，椭圆的很多性质都可以由圆类比得出. 文章主要借助于伸缩变换，化“椭”为“圆”，以椭圆中心三角形面积问题为例进行题源探究，并揭示了问题的本质，从命题者的角度来思考、设计题目，更好地把握命题规律，有利于学生学科素养的提高.[关键词] 椭圆;圆;三角形;面积数学家波利亚（George Polya，1887—1985）曾说过，“类比是一个伟大的引路人”. 椭圆是解析几何的重要内容，它的很多性质都可以由圆类比得出. 文章主要借助于伸缩变换，化“椭”为“圆”，以椭圆中心三角形面积问题为例进行了题源探究，并进一步对此类问题进行了命题研究. 通过化“椭”为“圆”，能够有效地降低题目难度，减少运算量，有助于学生系统掌握圆锥曲线问题，提高学科素养;教师通过命题的分析与研究，可以站在更高的视角看问题，提高课堂教学效果.[⇩] 伸缩变换在高中数学（人教A版选修4-4）中有伸缩变换的定义：设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′=λ·x（λ>0），y′=μ·y（μ>0）的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换[1].对于椭圆E：+=1（a>b>0）和直线l：y=kx+m，在变换φ：x′=·x，y′=·y的作用下，分别化为E′：x′2+y′2=1和l′：by′=kax′+m. 椭圆在变换φ的作用下，有以下性质[2]：性质1 比值关系不变性：若A，B，C三点共线，伸缩变换后A′，B′，C′仍旧三点共线，同时对应的线段长度比值不变，特别地，当点B为线段AC的中点时，点B′也为线段A′C′的中点.性质2 位置关系不变性：伸缩变换前直线与椭圆的位置关系（相切、相交、相离）在伸缩变换后保持不变.性质3 面积关系确定性：伸缩变换前图形面积S与伸缩变换后图形面积S′满足关系S=abS′.[⇩] 问题探究设直线l：y=kx+m不过原点O，且与椭圆E：+=1（a>b>0）有两个不同的交点A，B，则称△OAB为椭圆的中心三角形. 由伸缩变换的性质可知，求解椭圆中心三角形的面积，完全可以转化为求解对应圆的中心三角形的面积.在伸缩变换φ的作用下得到：l′：by′=kax′+m与E′：x′2+y′2=1的交点为A′，B′，∠A′OB′=α，则S△A′OB′=sinα，S△AOB就转化为了S△A′OB′. 显然当α=90°时，S△A′OB′的最大值为;由伸缩变换的性质3可知S△AOB的最大值为，此时直线l′与圆E′的位置关系如图1所示. S△AOB的最大值取决于直线l与椭圆E的位置关系，即在椭圆已知的情况下，需要研究k，m对S△AOB的影响，有如下三种情况：（1）k确定;（2）m确定;（3）k，m存在线性关系.（1）当k确定时，不妨设k=k，直线l为一族平行线，在伸缩变换φ的作用下，l′：by′=kax′+m，当圆心O到l′的距离d=（α=90°）时，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，如图2所示. 此时d==，即m=±，直线l′与圆x′2+y′2=相切，直线l：y=kx±，同时S△AOB 无最小值.（2）当m确定或k，m存在线性关系时，直线l过定点，不失一般性. 设直线l过定点P （s，t），在伸缩变换φ的作用下，对应的l′过点P′，. 由平面几何知识可知：①当OP′=≥，即2+2≥时，存在直线l′使得α=90°时，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，此时圆心O 到l′的距离d=，直线l′与圆x′2+y′2=相切，如图3所示.②当OP′=<，即2+2<时，不存在直线l′使得α=90°，此时圆心O到l′的距离d≤OP′<，所以α为钝角. 由S△A′OB′=sinα知，当α取最小值时，S△A′OB′有最大值，也就是当弦心距d取最大值时，α取最小值，即d=OP′，OP′⊥A′B′，如图4所示. 所以sin==，cos==d，所以S△A′OB′的最大值为·2d=d，S△AOB的最大值为abd.由以上讨论可知，不论是平行直线族还是直线过定点，S△AOB的最值都与圆x′2+y′2=椭圆+=有关：如果平行直线族或定点在此圆（椭圆）外，S△AOB的最大值为;如果定点在此圆（椭圆）内，当OP′⊥A′B′时，S△AOB的最大值为abd.[⇩] 应用举例例1 （2014年全国Ⅰ卷理科第20题）已知点A（0，-2），椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.（1）求E的方程;（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.解析：（1）+y2=1.（2）设直线l：y=kx-2，作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.椭圆E：+y2=1，直线l：y=kx-2，点A（0，-2）在φ的作用下，得到：E′：x′2+y′2=1，l′：y′=2kx′-2，A′（0，-2）. 根据上述分析可知，S△OP′Q′的最大值为，于是S△OPQ的最大值为×2×1=1，此时d==，解得k=±，所以直线l的方程为y=±x-2.例2 （2015年浙江卷理科第19题）如图5所示，已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称.（1）求实数m的取值范围;（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）.解析：（1）略.（2）作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.椭圆+y2=1，直线y=mx+，k=-在φ的作用下，得到：x′2+y′2=1，y′=mx′+①，kA′B′=-. 设P为AB的中点，根据性质1可知，P′为A′B′的中点，于是kOP′=，OP′：y′=x′②，联立方程①②得P′-，-，当P′在x′2+y′2=上，即m2=2时，S△A′OB′有最大值，如图6，于是S△AOB的最大值为=.[⇩] 命题探索通过前面的题源分析及示例，笔者尝试命制如下题目.1. 利用弦过定点构造条件改编2018年全国Ⅰ卷理科第19题如下：命题1：已知椭圆E：+y2=1，点M的坐标为（2，0），过M的直线l与E相交于A，B 两点，点B关于x轴的对称点为C，设O为坐标原点，求△OAC面积的最大值.命题设计分析：可以证明直线AC过定点P（1，0），作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.点M，P对应的坐标分别为M′（，0），P′，0，显然P′在圆x′2+y′2=上，因此S△OA′C′的最大值为，S△OAC最大值为=.通过改变M的位置控制题目难度，M的位置改变使得定点P的位置也发生了改变，导致P′位于圆x′2+y′2=内或外，从而S△OAC的最大值也发生了变化. 一般地：结论1：对于椭圆E：+=1（a>b>0），设M的坐标为（x，0），通过计算可知直線l过定点P，0，所以P′的坐标为，0.①当M的横坐标满足0<x≤a时，P′位于圆x′2+y′2=外，S△OA′C′的最大值为，S△OAC的最大值为.②当M的横坐标满足x>a时，P′位于圆x′2+y′2=内，由前面的分析可知，当OP′⊥A′C′时，S△OA′C′有最大值. S△OA′C′的最大值为，S△OAC的最大值为ab.2. 利用特殊图形构造条件如椭圆内接平行四边形，相似题目有2015年全国Ⅱ卷理科第20题、2021年佛山市高二期末考试第22题，题目如下：命题2：已知椭圆E：+=1，O为坐标原点，在椭圆上是否存在点A，B，C，使得四边形OACB为平行四边形，且面积为定值.命题设计分析：根据题意作伸缩变换φ：x′=·x，y′=·y.由伸缩变换的性质可知，平行四边形OACB所对应的四边形OA′C′B′是夹角为120°的菱形，因此SOA′C′B′=，于是S=×2×=3. 一般地：结论2：对于椭圆E：+=1（a>b>0），O为坐标原点，则在椭圆上存在A，B，C三点，使得四边形OACB为平行四边形，且面积为定值ab.伸缩变换使椭圆问题回归到圆上进行解决，搭建了两者的桥梁，借助于圆的丰富性质来解决椭圆问题，避免了复杂的计算. 同时从命题者的角度来思考、设计题目，更好地抓住问题的本质，把握命题规律，让教学游刃有余.参考文献：[1] 人民教育出版社. 数学选修4-4的“坐标系与参数方程”[M]. 北京：人民教育出版社，2008.[2] 魏国兵. 让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用[J]. 数学教学，2014（05）：13-16.。
高中数学椭圆标准方程解题技巧
高中数学椭圆标准方程解题技巧椭圆是高中数学中的一个重要概念，涉及到椭圆的标准方程的解题技巧对于学生来说是必备的。
本文将介绍椭圆标准方程的解题方法，并通过具体的例子来说明考点和解题思路，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、椭圆标准方程的基本形式椭圆的标准方程一般形式为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
二、确定椭圆的中心和半长轴、半短轴对于给定的椭圆标准方程，首先需要确定椭圆的中心和半长轴、半短轴的长度。
通过观察方程可以得到以下信息：1. 中心：椭圆的中心为坐标原点$(0,0)$。
2. 半长轴和半短轴：椭圆的半长轴的长度为$a$，半短轴的长度为$b$。
三、确定椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点和离心率是椭圆的重要属性，通过椭圆的标准方程可以计算得到。
1. 焦点：椭圆的焦点的坐标为$(\pm c, 0)$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。
2. 离心率：椭圆的离心率为$e=\frac{c}{a}$。
四、解题技巧举例下面通过具体的例子来说明椭圆标准方程的解题技巧。
例题1：已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，求椭圆的焦点和离心率。
解析：根据椭圆的标准方程，可以得到$a=4$，$b=3$。
通过计算可以得到$c=\sqrt{a^2-b^2}=2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。
因此，椭圆的焦点为$(\pm 2, 0)$，离心率为$\frac{1}{2}$。
例题2：已知椭圆的焦点为$F_1(-3, 0)$，$F_2(3, 0)$，离心率为$\frac{1}{2}$，求椭圆的标准方程。
解析：根据椭圆的焦点和离心率的定义，可以得到$c=\frac{1}{2}a$，$c=3$。
解方程组可以得到$a=6$。
由于椭圆的中心为坐标原点$(0,0)$，因此椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{27} = 1$。
2017高考数学超越140分的秘籍
2017年高考数学超越140分的秘籍1·三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性（转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式（奇变、偶不变；符号看象限）时，很容易因为粗心，导致错误！一着不慎，满盘皆输！）。
2·数列题1.证明一个数列是等差（等比）数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差（公比）的等差（等比）数列；2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法；如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法（用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证；3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单（所以要有构造函数的意识）。
3·立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单；2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系；3.注意向量所成的角的余弦值（范围）与所求角的余弦值（范围）的关系（符号问题、钝角、锐角问题）。
4·概率问题1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数；2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式；3.记准均值、方差、标准差公式；4.求概率时，正难则反（根据p1+p2+…+pn=1）；5.注意计数时利用列举、树图等基本方法；6.注意放回抽样，不放回抽样；7.注意“零散的”的知识点（茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等）在大题中的渗透；8.注意条件概率公式；9.注意平均分组、不完全平均分组问题。
5·圆锥曲线问题1.注意求轨迹方程时，从三种曲线（椭圆、双曲线、抛物线）着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法；2.注意直线的设法（法1分有斜率，没斜率；法2设x＝my+b （斜率不为零时），知道弦中点时，往往用点差法）；注意判别式；注意韦达定理；注意弦长公式；注意自变量的取值范围等等；3.战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。
高考数学椭圆大题技巧
高考数学椭圆大题技巧一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
其中点可以设为等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。
一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
三、代数运算转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则d是点O到AB的距离;第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用。
解析几何中很多题都有动点或动直线。
如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
四、能力要求做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
巧求圆、椭圆、双曲线方程又一法
巧求圆、椭圆、双曲线方程又一法
孙晓艳
【期刊名称】《数学学习与研究》
【年(卷),期】2003(000)009
【摘要】当已知圆或椭圆或双曲线的切线时，求圆或椭圆或双曲线的方程，有时颇感不便．笔者在教学实践中总结出这样一个结论：
【总页数】2页(P44-45)
【作者】孙晓艳
【作者单位】内蒙古兴安盟札莱特旗五中137600
【正文语种】中文
【中图分类】O123.3
【相关文献】
1.圆、椭圆、双曲线的切线系方程初探 [J], 倪健飞
2.利用圆的方程推导椭圆和双曲线的标准方程 [J], 田卫东
3.用圆交点法求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 [J], 齐邦交
4.巧求圆、椭圆、双曲线方程又一法 [J], 孙晓艳
5.椭圆双曲线尺规作图又一法 [J], 巨福才
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谈椭圆化圆的方法、结论及运用
如 图１ ，在ｘ Ｏ ｙ 平 面 内设直 线 的斜 率为ｋ ， Ｐ （ ｓ ， ｔ ） ，
则ｐ（ 一 ｓ ， 一 ｔ ） ， Ｎ （ Ｏ ， ｔ ） ，
（ １ ） 若Ａ， Ｂ， ｃ 三点共线 ， 贝 ， Ｂ ， Ｃ 三点共线 ； 若Ａ ／ ／ Ｃ Ｄ， 则４ Ｂ ／ ／ Ｃ Ｄ ；
１
ｃ ： ＝ １ 通 过 矩 阵 ＝ ［ 【 ０ ２ 。 ］ Ｊ 变 化 得 到 椭 圆 ２ ＋ ４ ＝ １ ， 那
根据矩 阵知识 ，椭 圆Ｘ ２ ＋ ： １ 通 过矩 阵 的逆矩 阵 一 ：
得 。 ， Ｉ Ｙ Ｉ ＝ ｒ Ｅ ， ／ ｌ Ｙ 。 Ｉ ， 所以 。 ， ｌ ｙ ｏ Ｉ ＝ Ｉ Ｙ ｌ ， 将（ ｙ ｏ ） 代人
一 ） ，
如果简单看待这个 问题 ，也 就是用 求轨迹方程类 型 中的相关动 点法求 轨迹 而已 但换 个角 度看 这个 问题 ，
１ Ｄ Ｍｌ ＝ ｍＩ Ｄ Ａ ｌ 的几何意义就是 ： 若Ｏ ＜ ｍ ＜ ｌ ， 它是向礴由 方
向压缩 ， 即对于 轴上方的点 向下压缩 ， 对于确 下方 的点 向上压缩 ， 而 轴上 的点保持不变 ； 若ｍ ＞ ｌ ， 也就 是相应拉 伸 ，这不正 是矩阵 中伸压变换 的本质吗 ！无论Ｏ ＜ ｍ＜ ｌ 或 ｍ＞ ｌ ， 均将 圆转化 为了椭 圆． 那 自然联 想到 ， 类 似此方 法 ， 椭圆不是也 可以转 化为圆吗？
一
例１ （ ２ ０ １ ２ 年湖 北理 ２ 】 题） 设Ａ是 单位 圆 ＋ ＝ ｌ 上 的任 意一点 ， ｆ 是过点Ａ 与 轴垂直 的直线 ， Ｄ 是直线Ｚ 与 轴
点Ｐ （ ， Ｙ ） ，
的交点 ， 点 在直线ｚ 上， 且满足 ｌ Ｄ ＭＩ ＝ ｍ Ｉ Ｄ Ａ Ｉ （ ｍ ＞ Ｏ ， 且