函数典型例题精析

2．2 函数·例题解析

【例1】判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？

(1)x2＋y＝1

(2)x＋y2＝1

解(1)由x2＋y＝1得y＝1－x2，它能确定y是x的函数．

于任意的x∈{x|x≤1}，其函数值不是唯一的．

【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？

解(1)中两式的定义域部是R，对应法则相同，故两式为相同函数．

(2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数．

(4)中两式的定义域都是－1≤x≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数．

【例3】求下列函数的定义域：

【例4】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域：

求实数a的取值范围．

为所求a的取值范围．

【例6】求下列函数的值域：

(1)y＝－5x2＋1

(3)y＝x2－5x＋6，x∈[－1，1)

(4)y＝x2－5x＋6，x∈[－1，3]

(9)y＝|x－2|－|x＋1|

解(1)∵x∈R，∴－5x2＋1≤1，值域y≤1．

(6)定义域为R

(7)解：定义域x≠1且x≠2

(y－4)x2－3(y－4)x＋(2y－5)＝0 ①

当y－4≠0时，∵方程①有实根，∴Δ≥0，

即9(y－4)2－4(y－4)(2y－5)≥0

化简得y2－20y＋64≥0，得

y＜4或y≥16

当y＝4时，①式不成立．

故值域为y＜4或y≥16．

函数y在t≥0时为增函数(见图2．2－3)．

(9)解：去掉绝对值符号，

其图像如图2．2－4所示．

由图2．2－4可得值域y∈[－3，3]．

说明求函数值域的方法：

1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等．(如例1，2)

2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理．假如求函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，在给

定区间[m，n]的值域(或最值)，分三种情况考虑：

(如例5)可做公式用．

法求y的范围(如例6－7)．

为二次函数求值域．但要注意中间量t的范围(如例6－8)．

6°分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来．利用有界变量的范围，求函数y的值域(如例6－6)．

7°图像法(如例6－9)：

由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解．

解(2)∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝100．

说明本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义．求分段函数值时，要注意在定义域内进行．

【例8】根据已知条件，求函数表达式．

(1)已知f(x)＝3x2－1，求①f(x－1)，②f(x2)．

(2)已知f(x)＝3x2＋1，g(x)＝2x－1，求f[g(x)]．

求f(x)．

(4)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)．

(5)设周长为a(a＞0)的等腰三角形，其腰长为x，底边长为y，试将y表示为x的函数，并求它的定义域和值域．

(1)分析：本题相当于x＝x－1时的函数值，用代入法可求得函数表达式．

解∵f(x)＝3x2－1

∴f(x－1)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2

f(x2)＝3(x2)2－1＝3x4－1

(2)分析：函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x用g(x)来代替而得到的解析式，∴仍用代入法求解．

解由已知得f[g(x)]＝3(2x－1)2＋1＝12x2－12x＋4

法(或观察法)．

∴x＝(t＋1)2代入原式有f(t)＝(t＋1)2－6(t＋1)－7

＝t2－4t－12 (t≥－1)

即f(x)＝x2－4x－12 (x≥－1)

说明解法二是用的换元法．注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法．

(4)分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解．

解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)

由f(0)＝2，得c＝2．由f(x＋1)－f(x)＝x－1，得恒等式2ax＋

说明待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握．

(5)解：∵2x＋y＝a，∴y＝a－2x为所求函数式．

∵三角形任意两边之和大于第三边，

∴得2x＋2x＞a，又∵y＞0，

说明求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义．