函数图像反函数基本初等函数讲义例题
函数图像+反函数+基本初等函数
一、函数图像：注意数形结合
（1）平移：??????→?=个单位
向右平移a x f y )()(a x f y -=；)(x f y =??????→?个单位向上平移b .)(b x f y += （2）对称：)(x f y =??
???→?轴对称
关于x )(x f y -=；)(x f y =?????→?轴对称
关于y )(x f y -=； )(x f y =?????→?关于原点对称
)(x f y --=. *若有等式)()(x a f x a f -=+成立，那么函数关于a x =对称；
*若有等式)()(a x f a x f -=+成立，那么函数是周期函数，且周期为a 2
（3）其他：)(x f y =??
??????→?再把轴上方图象保留,x |)(|x f y =；)(x f y =?????????→?再把
轴右边的图象保留,x |).(|x f y = 习题1. 例3、利用函数x
x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象：
（1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）
.|1)(|-x f
习题2. 函数1
1
1--
=x y 的图象是（ B ） 习题3.已知)(x f 是偶函数，则)2(+x f 的图像关于__2x =-____对称；已知)2(+x f 是偶函数，则函数)(x f 的图像关于____2x =_____对称.
二、反函数
（1）互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －
1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称. （2）原函数与反函数有相同的增减性 （3）求反函数的步骤：
（a ）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －
1（y ）.
（b ）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －
1（x ）. （c ）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕.
习题4.函数y =－
11
+x （x ≠－1）的反函数是（ A ） A. y =－x 1－1（x ≠0）B. y =－x
1
+1（x ≠0）C. y =－x +1（x ∈R ） D. y =－x －1（x ∈R ）
习题5..函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为（ A ）
A. y =2x －1－1（x ＞1）
B. y =2x －1+1（x ＞1）
C. y =2x +1－1（x ＞0）
D. y =2x +1+1（x ＞0）
习题6.函数f （x ）=－12+x （x ≥－
2
1
）的反函数（ D ） A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－2
1
，+∞）上为减函数
C.在（－∞，0］上为增函数
D.在（－∞，0］上为减函数
习题7.设函数f （x ）是函数g （x ）=x 2
1
的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为（ C ）
A.［0，+∞）
B.（－∞，0］
C.［0，2）
D.（－2，0］
习题8. 求函数f （x ）=???->+-≤+)
1(1),1(12x x x x 的反函数
习题9. 求函数x
a y =的反函数 三、基本初等函数
（1）指数函数：)1,0(≠>=a a a y x 且
轴下方图象对称到上方
x 轴左边
轴右边图象对称到y y
a.定义域：R x ∈,
b.函数的值域为),0(+∞；
c.当10<a 时函数为增函数，
d.过定点（0,1）
e.0 s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （2）对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a 且 a. 定义域：),0(+∞ b.函数的值域为R ； c.当10<a 时函数为增函数； d.过定点（1,0） e.0 对数函数运算法则：如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,那么 （3）幂函数：()a f x x = ，定义域根据特定的a 值来确定。 当a=1时，一次函数；当a=2时，二次函数； 当a=-1时，反比例函数；当a=1 2 时，y=x 习题10. （1）2 (lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+；答案：1（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+；答案： 4 5 （3）1 .0lg 2 1036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2 3--+? 答案：4 3 习题11. 0.90.481233122113123132 .5y 4,y 8,y () A.y y y B.y y y C.y y y D.1y ,y 2y -==>>>>>>>>?? = ???ex:设则答案：D 习题12.设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( D ) A ．a B ．b C ．a D ．b 习题13.下列函数中，在区间()0,+∞不是增函数的是（ D ） A.x y 2= B. x y lg = C. 3x y = D. 1y x = 习题14.函数y ＝log 2x ＋3（x≥1）的值域是（ C ） A.[)+∞,2 B.（3，＋∞） C.[)+∞,3 D.（－∞，＋∞） 习题15.若{|2},{|1}x M y y P y y x ==== -，则M∩P （ C ） A.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥ 习题16.对数式2log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ C ） A.a>5,或a<2 B.2 C.2 D.3 习题17. 已知x a x f -=)( )10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（ D ） A. 0>a B. 1>a C. 1 D. 10< 习题18.函数|log |)(2 1x x f =的单调递增区间是 ( D ) A 、]2 1 ,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞ 习题19.图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =， l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ D ） A 、0 B 、0 C 、0 D 、0 习题20.已知幂函数f(x)过点（2， 2 2），则f(4)的值为 （ A ） A 、 2 1 B 、 1 C 、2 D 、8 习题21.a=log 0.50.6，b=log 2 0.5，c=log 3 5，则( B ) A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.a ＜c ＜b D.c ＜a ＜b 习题22.已知)2(log ax y a -=在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( B ) A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.［2，+∞］ 答案：11．{x|21≤ 1-= x y 的定义域为 . 习题24.设函数()( )()()42 42x x f x x f x ?≥?=?<+??，则 ()2log 3f = 习题25.计算机的成本不断降低，如果每隔5年计算机的价格降低 3 1 ，现在价格为8100元的计算机，15年后的价格可降为 习题26.函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点 习题27.点（2，1）与（1，2）在函数 ()2ax b f x +=的图象上，求()f x 的解析式：()22x f x -+= 习题28．已知()2x f x =，() g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数 [()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．：()23g x x =- 习题29.已知函数x x x f -+=11lg )(，（1）求)(x f 的定义域； （2）使0)(>x f 的x 的取值范围. （1）(-1,1), （2）(0,1) x 习题30.已知定义域为R 的函数12()22 x x b f x +-+=+是奇函数。 （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 的单调性;（减函数） 反函数-习题 1．函数f (x )=1-x ＋2 (x ≥1)的反函数是（ ） A ．y =(x －2)2＋1 (x ∈R) B ．x =(y －2)2＋1 (x ∈R) C ．y =(x －2)2＋1 (x ≥2) D ．y =(x －2)2＋1 (x ≥1) 2.已知函数x x f a log )(=)1,0(≠>a a 且的图象过点（2，-1），函数()y g x =是函数 ()y f x =的反函数，则函数()y g x =的解析式为（ ） A.()2x g x = B.1()()2 x g x = C.12 ()log g x x = D.2()log g x x = 3. 若函数)1(-=x f y 的图像与函数1ln +=x y 的图像关于x y =对称，则)(x f =（ ） A. 1 2-x e B. x e 2 C. 1 2+x e D. 2 2+x e 4. 函数? ??≥<+=0,0,1x e x x y x 的反函数是______________. 5. 函数)2(,2-≥+-=x x y 的反函数是_______________. 6. 若函数)1,0(≠>=a a a y x 的反函数的图象过点（2，-1）,则a =_________. 7. 函数)0)(24(log 2>++=x x y 的反函数是_______________. 8. 已知函数()f x 的反函数为)0(,lg 21)(>+=x x x g ，则(1)(1)f ＋g ＝_____________. 9. 函数1ln(1) (1)2 x y x +-= >的反函数是_______________. 10．若函数()y f x =的反函数．．． 图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点__________. 11. 将x y 2=的图像先向______(填左、右、上、或下)平移_______个单位，再作关于直线 x y =对称的图象可得到函数)1(log 2+=x y 的图像. 12. 已知函数b a y x +=的图象过点（1,4）其反函数图象过点（2,0），则___.___==b a . 13. 已知函数x x x f 3 131)(+-=，则)5 4 (1 -f =____________. 第十二讲 基本初等函数 一：教学目标 1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质； 2、理解基本初等函数的性质； 3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数 二：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用 三：知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a -= （6）,||,n n a n a a n ?=??奇偶 2). 指数函数：形如(01)x y a a a =>≠且 2.1）对数的运算： 1、互化：N b N a a b log =?= 2、恒等：N a N a =log 3、换底： a b b c c a log log log = 指数函数 0 推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2）对数函数： 3.幂函数 一般地，形如 a y x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中 a 是常数 1)性质： (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1); 对数函 数 0 2．4 反函数·例题解析 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1) ＝≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝ ≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----22 2 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x 【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3． 学习必备 欢迎下载 2． 4 反函數·例題解析 【例 1】求下列函數的反函數： (1)y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 ) ． 2x 1 2 (2)y ＝ x 2 － 2x ＋ 3， x ∈ ( －∞， 0] ． 1 (3)y ＝ x 2 1 (x ≤ 0) ． x +1 ( －1≤x ≤ 0) (4)y ＝ － x (0＜x ≤1) 解 (1) ∵ y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 )，∴ y ≠ 3 ， 2x 1 2 2 由 y ＝ 3x 5 得 (2y － 3)x ＝－ y － 5， 2x 1 ∴ x ＝ y 5 所求反函数为 y ＝ y 5 (x ≠ 3 )． 3 2y 3 2y 2 解 (2)∵ y ＝(x －1) 2 ＋ 2， x ∈ (－∞， 0]其值域為 y ∈ [2，＋∞ )， 由 y ＝ (x － 1) 2 ＋ 2(x ≤ 0) ，得 x －1＝－ y 2，即 x ＝ 1－ y 2 ∴反函数为 f 1 (x) ＝ 1－ x 2， (x ≥ 2) ． 解 (3)∵y ＝ 1 ，它的值域为 0＜y ≤1， x 2 (x ≤ 0) 1 由 y ＝ 2 1 得 x ＝－ 1 y ， x 1 y ∴反函数为 f 1 (x) ＝－ 1 x (0 ＜x ≤1) ． x 解 (4)由y ＝ x 1(－1≤ x ≤ 0)， 得值域 0≤y ≤1，反函数 f 1 (x) ＝ x 2 －1(0≤x ≤1)． 由 y ＝－ x (0＜x ≤1)， 得值域－ 1≤ y ＜ 0，反函数 f 1 (x) ＝x 2 ( －1≤x ＜ 0)， x 2 －1 (0≤ x ≤ 1) 故所求反函数为 y ＝ 2 ( － ≤ ＜ ． x 1 x 0) 一、简答题 1、设． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的定义域和值域． 2、设函数 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． 3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数． (1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； (3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值． 4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)． 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是： P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*) (1)写出第x月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x月的销售量g(x)＝ (单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403) 6、已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋a ln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求 证:. 9、已知命题p：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围． 1. 2. （2011-重庆）曲线尸?X 3+3X 2在点（I, 2） A. y=3x - 1 B. y=-3x+5 （201b 山东）曲线 y=x 3+l 1 在点 P （1, 12） 处的切线方程为（ ） C. y=3x+5 D. y=2x 处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ 15 3. A. [- 1，-岑] B ?[?1, 0] C. [0, II D.[兰，1] 乙 那么导函数y=f （x ）的图象可能是（ 函数q ： g （x ） =x 2 - 4x+3m 不存在零点则 p 是 D.既不充分也不必要条件 导数与反函数练习题 选择题 （2011 ?杭州）如图是导函数尸f （x ）的图象，则下列命题错误的是（ ） A .导函数y=f （x ）在x=xi 处有极小值 B .导函数y=F （x ）在x=x?处有极大值 C.函数y=f （x ）在x=X3 处有极小值 D.函 数y=f （x ）在x=X4处有极小值 4. （2011 ?福建）若a>0, b>0,且函数f （x ） =4x 3 - ax 2 - 2bx+2在x=l 处有极值，则ab 的最大值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5. （2010*江西）若 f （x ） =ax 4+bx 2+c 满足 f （I ） =2,则 f （ - 1）=（ ） A. -4 B. - 2 C. 2 D. 4 6. （2009?江西）若存在过点（1, 0）的直线与曲线尸x3和y=ax 2+^X- 9都相切，则a 等于（ ） 方 91 7 9R 7 A. - 1 或一竺 B. - 1 C. 一」或一竺 D. 一 ■或 7 64 4 4 64 4 ° TT 7. （2008?辽宁）设P 为曲线C ： y=x~+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,—],则点P 横 4 坐标的取值范围是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件8.（2008?福建）如果函数y=f （x ）的图象如图, q 的（ ） 高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一：任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边 相同的角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ ， 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22 r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1.平方关系： 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x 2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图：五点分别为： 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ?=?=+ ()) 1,,,0(.4*>∈>=n N n m a a a n m n m x N N a a x =?=log 必修1基本初等函数 复习题 1、幂的运算性质 （1）s r s r a a a +=?),(R s r ∈； （2）rs s r a a =)(；),(R s r ∈ （3）()r r r ab b a =?)(R r ∈ 2、对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1()N M N M a a a log log log +=?； ○2 N M N M a a a log log log -=； ○ 3()R n M n M a n a ∈=,log log ． ④1log ,01log ==a a a 换底公式：a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ） （1）b m n b a n a m log log = ；（2）a b b a log 1log =． 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)偶次方根的被开方数不小于零； (2)对数式的真数必须大于零； (3)分式的分母不等于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 4、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1 函数概念及其表示---典例分析 例1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）. 选题理由：函数三要素。 A. 1,x y y x == B. 11,y x y = += C. ,y x y == D. 2||,y x y == 点评：有利于理解函数概念，强化函数的三要素。 变式： 1．函数f (x )= 2(1)x x x ??+? ,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）. A. 1 B .2 C. 3 D. 4 例2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）. 选题理由：更好的帮助学生理解函数概念，同时也体现函数的重要表示法图像法，图形法是数形结合思想应用的前提。 变式： 1．下列四个图象中，不是函数图象的是（B ）. 2．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）. A. f ：x →y ＝ 1 2x B. f ：x →y ＝ 1 3x C. f ：x →y ＝1 4x D. f ：x →y ＝1 6 x A. B. C. D. 函数的表达式及定义域—典例分析 【例1】 求下列函数的定义域： （1）1 21 y x = +-；（2 ）y = . 选题理由：考查函数三要素，定义域是函数的灵魂。 解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. （2 ）由30 20 x -≥??≠，解得3x ≥且9x ≠， 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由：函数的重要表示法，解析式法。 变式： 1 ．函数y =的定义域为（ ）. A. (,1]-∞ B. (,2]-∞ C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 1 1(,) (,1]2 2 -∞-- 2．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)- 【例2】已知函数1( )1x f x x -=+. 求： （1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1 (2)3f =-. （2）设11x t x -=+，解得11t x t -= +，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x -=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 变式： 1．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 2．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . 【例 2】 已知f (x )=33x x -+?? (,1) (1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值. 选题理由：分段函数生活重要函数，是考察重点。 解：∵ 0(,1)∈-∞ ， ∴ f 又 ∵ >1， ∴ f )3)-3=2+ 12=52，即f [f (0)]=5 2 . 点评：体现了分类讨论思想。 2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为 t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）. 反函数求值 例1、设有反函数，且函数与 互为反函数，求的值． 分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果． 解：设，则点在函数的图象上，从而点 在函数的图象上，即．由反函数定义有，这样即有，从而． 小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解． 两函数互为反函数,确定两函数的解析式 例2 若函数与函数互为反函数，求 的值. 分析：常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何 布列如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，有如下解法： 解：∵ g(x)的定义域为且，的值域为 . 又∵g(x) 的定义域就是的值域, ∴. ∵g(x) 的值域为 , 由条件可知的定义域是 , , ∴. ∴. 令, 则即点(3,1) 在的图象上. 又∵与g(x) 互为反函数, ∴ (3,1) 关于的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上. ∴ 3=1+ , . 故 . 判断是否存在反函数 例3、给出下列函数: (1)； (2)； (3)； (4)； (5) . 其中不存在反函数的是__________________. 分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数. 解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和 ,且 . 对于(4)时,和 .对于(5)当时,和 . 故(3),(4),(5)均不存在反函数. 小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可. 求复合函数的反函数 函数的三要素练习题 （一）定义域 1 、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 2 _ _ _； 定义域为________； [1,1]-； [4,9] 3、若函数(1)f x + (21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。1][,)2 +∞ 4、知函数()f x 的定义域为[]1,1-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。11m -≤≤ 5、求下列函数的定义域 （1）2|1|)43(43 2-+--=x x x y 解：（1）???-≠≠?≠-+≥-≤?≥--3 102|1|410432x x x x x x x 且或 ∴x ≥4或x ≤－1且x ≠－3，即函数的定义域为 （－∞，－3 ）∪（－3，－1）∪[4，+∞] （2）y = {|0}x x ≥ （3）0 1(21)1 11y x x = +-++（二）解析式 1． 设X=｛x|0≤x ≤2｝，Y=｛y|0≤y ≤1｝，则从X 到Y 可建立映射的对应法则是( ) （A ）x y 32= （B ）2)2(-=x y （C ）24 1x y = （D ）1-=x y 2． 设),(y x 在映射f 下的象是)2 ,2(y x y x -+，则)14,6(--在f 下的原象是( ) （A ）)4,10(- （B ）)7,3(-- （C ）)4,6(-- （D ）)2 7,23(-- 3． 下列各组函数中表示同一函数的是 （A ）x x f =)(与2)()(x x g = （B ）||)(x x x f =与?????-=22)(x x x g )0()0(<>x x （C ）||)(x x f =与33 )(x x g = （D ）1 1)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t x g 4． 已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） 反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <21-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -=x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ???<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ??≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ??<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ??<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ，的图像（如图），依图更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）． 由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f －1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x )的图像是 ( ) （A （（B （C 必修1基本初等函数复习题 换底公式：log a b = logc b ( a 0，且 a=1 ; c 0，且 c = 1 ; b 0) log c a n 1 (1 ) log a m b n log a b ； ( 2) log a b ——. m log b a 3、定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: （1）偶次方根的被开方数不小于零； （2）对数式的真数必须大于零； （3）分式的分母不等于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 4、函数单调区间与单调性的判定方法 1、 幂的运算性质 (1 ) a r ala r s (r,s R); (3) a r b r =(ab J (^ R) 2、 对数的运算性质 如果 a 0，且 a=1 , M 0 , (Dog a M N = log a M log a N ； ?og a M n 二 n log a M , n R . r s rs (2) (a ) =a ; (r,s R) m (4)a n =Q a m (a >0, m, n ^ N *,n >1) a * 二 N ：= log a N 二 N 0，那么: M D log a log a M - log a N ； N ④ log 0, log 1 C 、 0 反函数·例题解析 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝ ≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝ ≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x 【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x 函数定义域的求法及常见题型 一、函数定义域求法 （一）常规函数 函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。 例1.求函数y = 的定义域。 （二）抽象函数 1.有关概念 定义域：函数y=f(x)的自变量x 的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x 轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x 的取值范围； 2.四种类型 题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 例题2.已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域 强化训练： 1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5]，求函数y=f(3x-5)的定义域； 2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2]，求函数y=f(log 2x)的定义域； 3.已知(x)f 的定义域为［－2，2］，求2(x 1)f -的定义域。 题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？ 例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 强化训练： 1.已知函数y=f(x 2-2x+2)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 2.已知函数y=f[lg(x+1)]的定义域[0,9]，求函数y=f(x)的定义域. 题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？ 例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域. 强化训练： 1.已知函数y=f(x+1)的定义域[-2,3]，求函数y=f(2x-1)的定义域. 2.已知函数y=f(2x)的定义域[-1,1]，求函数y=f(log 2x)的定义域. 3. 已知f(x+1)的定义域为[-1/2，2]，求f(x 2)定义域。 题型四：已知f(x)的定义域，求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。 例6.已知f(x)的定义域为[-3，5]，求φ（x ）=f(-x)+f(2x+5)定义域。 强化训练： 1.已知f(x)的定义域为（0，5]，求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域，其中-1﹤a ≦0。 二、与函数定义域相关的变形题型 （一）逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例7.已知函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围。 例8.已知函数27 (x)43 kx f kx kx += ++的定义域是R ，求实数k 的取值范围。 （二）参数型 对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例9.已知(x)f 的定义域为［0，1］，求函数(x)(x )(x a)F f a f =++-的定义域。 高中数学-反函数例题选讲 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝ ≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232 3521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x 【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－ ≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3． 一、选择题 1．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()() 2200x x x h x x x x ?-+>?=?+≤??， 则()(),f x h x 的奇偶性依次为（ ） A ．偶函数，奇函数 B ．奇函数，偶函数 C ．偶函数，偶函数 D ．奇函数，奇函数 2．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数， 则)2 52()23(2+ +-a a f f 与的大小关系是（ ） A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)2 52(2++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)2 52(2++a a f 3．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ） A .2a ≤- B .2a ≥- C .6-≥a D .6-≤a 4．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=， 则()0x f x ?<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或 B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|3003x x x -<<<<或 5．已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( ) A ．2- B ．4- C ．6- D ．10- 6．函数33()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ） A ．(,())a f a -- B ．(,())a f a - C ．(,())a f a - D ．(,())a f a --- 二、填空题 1．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞ 时，()(1f x x =， 则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。 2．若函数()2f x a x b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是 。 3．已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____。 4．若1()2 ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。 5．函数4()([3,6])2 f x x x =∈-的值域为____________。 反函数题型及解析 1.求下列函数的反函数，找出它们的定义域和值域（1）y=2+lg（x+1）；（2）y=3+；（3）y=． 2.求函数的反函数（1）y=（2）y=（3）y=lnx+1 （4）y=3x+2 3.求下列函数的反函数的定义域（1）y=（2）（3） 4.求下列函数的反函数，并指出该函数和它的反函数的定义域（1）y=；（2）y=；（3）y=e x﹣1 5.求下列函数的反函数（1）y=；（2）y=（e x﹣e﹣x）；（3）y=1+ln（x﹣1） 6.求下列函数的反函数． （1）y=log（1﹣x）+2（x＜0）；（2）y=2﹣（﹣2≤x≤0）；（3）y=（﹣1≤x≤0）；（4）y=x|x|+2x． 反函数题型解析 1.分析:（1）由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，化对数式为指数式，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域； （2）由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域； （3）由分式的分母不为0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y 互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域． 解：（1）y=2+lg（x+1），由x+1＞0，可得x＞﹣1，∴原函数的定义域为（﹣1，+∞），值域为R． 由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y﹣2，化为指数式得，x+1=10y﹣2，x，y互换得：y=10x﹣2﹣1， 此反函数的定义域为R，值域为（﹣1，+∞）； （2）y=3+，由x≥0，可得原函数的定义域为[0，+∞），值域为[3，+∞）．由y=3+，得，x=（y ﹣3）2，x，y互换得：y=（x﹣3）2，此反函数的定义域为[3，+∞），再由为[0，+∞）； （3）y=，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴原函数的定义域为{x|x≠﹣1}，由y==，∴原函数的值域为{y|y≠1}．由y=，得yx+y=x﹣1，即（1﹣y）x=1+y，∴x=，x与y互换得：，此反函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠﹣1}． 2. 分析：由已知的解析式求出x的表达式，再把x换成y、y换成x，并注明反函数的定义域． 解：由y=的得，xy+4y=x﹣4，解得（y≠1），所以（x≠1），则函数y=的反函数是（x≠1）．（2）函数y=可得：2x=2x y+y．可得2x（1﹣y）=y，2x=，可得x=，函数y=的反函数为y=．（3）由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1，∵x＞0，∴y∈R所以函数f （x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）；（4）∵y=3x+2，∴3x=y﹣2，又3x＞0，故y＞2，∴x=log3（y﹣2）（y＞2），∴函数y=3x+2的反函数是y=log3（x﹣2）（x＞2） 3.分析：欲求反函数的定义域，可以通过求原函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可，反函数的定义域即为原函数的值域求解即可 解：（1）∵y=，∴ye x+y=e x，∴（y﹣1）e x=﹣y，∴，∴x=ln，x，y互换，得函数y= 的反函数为：，，解得反函数的定义域为：{x|0＜x＜1} （2）反函数的定义域即为原函数的值域，由，x＞0，所以，所以， 则y＜0，反函数的定义域为（﹣∞，0） （3）由得，e x=．∵e x＞0，∴＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1） 4.解：（1）由y=，即2xy﹣y=x，x（2y﹣1）=y，解得x=，x，y互换得y=，其定义域为{x|x ≠} （2）由（2）y=可得y2=2x﹣3，即x=（y2+3），x，y互换得y=（x2+3），因为原函数的值域为[0，+∞）， 则反函数的定义域为[0，+∞） （3）由y=e x﹣1则x﹣1=lny，即x=1+lny，x，y互换得y=1+lnx，则其定义域为（0，+∞）反函数与零点习题含答案
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