高中数学异面直线夹角自编
人教A版高中数学必修2：异面直线所成的角
b
b′
α
a
O a′
(1)两异面直线所成的角 θ 的范围是多少？ (0°, 90°]
(2)在定义中，空间一点 O 是任意取的． (3)在操作中，点 O 常取在两异面直线的一条上．
例题选讲
【例 1】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的中点，
D A
C１ B１
C B
小结：
1、求异面直线所成角的一般步骤： 一作二证三求角 2、作异面直线所成角常用方法： （1）平移法 （2）补形法
3、初步体验把空间问题转化为平面问题 的思想方法
Ａ
E
D
F
Ｂ
G
C
例题选讲
【例4】已知正三棱柱ABC-A1B1C1，侧面均是正方形，各 棱长为a，求AC1与A1B所成的角的余弦。
C2
补
A2
B2
形
法
C1
A1
B1
C
A
B
练习3：
如图．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=c, AB=a, AD=b, 且a>b.求AC1与BD所成角的余弦值。
D１ A１
第一步作图：确定平移点，做出平行线，构建三角形; 第二步证明：证明作出的角即为异面直线所成角或其补角; 第三步计算：计算作出角的大小（求余弦），并判断角的大小.
作图
证明
计算
结论
例题选讲
【例 3】、如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别 是 BC、AD 上的中点，AB＝4，CD＝10，EF＝6。求异面直 线 AB、CD 所成的角。
(1) 求直线 A1C 与直线 BD 所成的角；
(2) 求直线 A1E 与直线 BF 所成角的余弦值．
高中数学必修二《异面直线所成的角》PPT
异面直线在生活中处处可见
《异面直线的自白》
我们是异面直线 不能平行亦无法相交 不曾有过交集 不能仰望同一片蓝天 无论如何努力地伸长臂膀 也无法交握我们的双手
2.1.2 异面直线所成的角(2)
探究一：异面直线所成的角的概念
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. (2)问题提出
谢谢各位老师到场指导!
D1 A1
C1
B1
思路2
D
A
E
C F B
问题:上面两种办法哪种更优,为什么? 需要注意什 么?
变式2 求异面直线 D1B 与 EF 所成角的大小．
D1 A1
D AE
C1 B1
C F B
D1 A1
C1
思路1
B1 N
M
D
C F
A
E
B
D1
A1 M
C1
思路2
B1
D O
C F
A
E
B
D1 A1
C1 B1
(2)求 AA1 与 BC1所成的角是多少？
D
A
C1 B1
C B
探究二：求异面直线所成的角
例题 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 变式1 若 E、F 分别是 AB 与BC 的中点,求EF 与BC1 所成的
角是多少?
D1
C1
A1
B1
D AE
C F B
D1 A1
D
A
E
C1
B1
思路1
G
C F B
在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB 与HF的错开程度可以怎样来刻 画呢?
高中数学两条异面直线所成的角
两条异面直线所成的角一、素质教育目标（一）知识教学点1．两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念．2．两异面直线的公垂线和距离的概念及两异面直线所成角及距离的求法．（二）能力训练点1．利用转化的思想，化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围，并体现了定义的合理性．2．利用类比的方法掌握两异面直线的公垂线和距离等概念，应用在证题中体现了严格的逻辑思维，并会求两条异面直线所成角与距离．（三）德育渗透点进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：两异面直线所成角的定义；两异面直线的公垂线及距离的概念；两异面直线所成角和距离的求法．2．教学难点：两异面直线所成角及距离的求法．3．教学疑点：因为两条异面直线既不相交，但又有所成的角，这对于初学立体几何的学生来说是难以理解的．讲解时，应首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要性．三、课时安排1课时．四、教与学的过程设计（一）复习提问引入课题师：上新课前，我们先来回忆：平面内两条相交直线一般通过什么来反映它们之间的相互位置关系？生：通过它们的夹角．如图1－46，a、b的位置关系与a′、b′的位置关系是不一样的，a、b的夹角比a′、b′的夹角来的小．师：那么两条异面直线是否也能用它们所成的角来表示它们之间相互位置的不同状况．例如要表示大桥上火车行驶方向与桥下轮船航行方向间的关系，就要用到两条异面直线所成角的概念．（二）异面直线所成的角师：怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示．如图1－47，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．师：针对这个定义，我们来思考两个问题．问题1：这样定义两条异而直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O 有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的．若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等．即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上．问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否有矛盾？答：没有矛盾．当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广．师：在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直（出示模型：正方体）．例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面．（三）两条异面直线的距离师：（出示模型）观察模型，思考问题：a与b，a′与b所成角相等，但是否就表示它们之间的相互位置也一样呢？生：不是．它们之间的远近距离不一样，从而得到两条异面直线的相互位置除了用它们所成的角表示，还要用它们之间的距离表示．师：那么如何表示两条异面直线之间的距离呢？我们来回忆在平面几何中，两条平行线间的位置关系是用什么来表示的？生：用两平行线间的距离来表示．师：对．如图1－50，要知道它们的距离，先要定义它们的公垂线，如图1－50：a∥b，a′∥b′，c⊥a，c′⊥a′，则a、b与a′、b′的公垂线分别为c、c′，且线段AB、A′B′的长度分别是a、b与a′、b′之间的距离．对两条异面直线的距离，我们可以应用类似的方法先定义它们的公垂线．定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．师：根据定义，思考问题．问题1：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？答：无数条．因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．问题2：两条异面直线的公垂线有几条？答：有且只有一条（出示正方体骨架模型），能和AA′、 B′C′都垂直相交的只有A′B′一条；能和AB与面A′C′内过点A′的直线都垂直相交的直线只有一条AA′．师：有了两条异面直线公垂线的概念，我们就可以定义两条异面生成的距离．定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．如图1－52中的线段AB的长度就是异面直线a、b间的距离．下面，我们来完成练习和例题．（四）练习（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′例设图1－53中的正方体的棱长为a，成异面直线？（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小．（3）求异面直线BC和AA′的距离．解：（l）∵A′平面BC′，而点B，直线CC′都在平面BC′∴直线BA′与CC′是异面直线．同理，直线C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直线BA′成异面直线．（2）∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．∵=∠A′BB′=45°，∴BA′和CC′所成的角是45°．（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA′的公垂线段．∵AB=a，∴BC和AA′的距离是a．说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范．【练习】（P．16练习1、3．）1．（1）两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，还可能异面．（2）垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面．3．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．解：（五）总结本节课我们学习了两条异面直线所成的角，以及两条异面直线间的距离和有关概念．并学会如何求两条异面直线所成角及距离，懂得将其转化为平面几何问题来解决．五、作业P．17-18中9、10．。
“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计
“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计双流中学数学组 邱国界教材分析：异面直线及异面直线的夹角这一节设置为两课时，这是第二课时的教学设计．异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角扩充而生成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们的夹角的大小也就随之确定了．这对于初学立体几何的学生来说，是较难理解的，对“异面直线还有夹角”这一概念感到陌生和新鲜，是学习的一个难关．教学中应通过现实生活中的例子，说明如何抽象出异面直线的夹角概念．强调异面直线的夹角的存在性和学习的必要性．异面直线的夹角的范围是000~90，不含00．最后，通过教科书中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角，使学生较好地掌握这一内容．要计算异面直线a b 、的夹角的大小，必须通过平移转化为相交直线''a b 、的夹角．如何实现“转化”是学习中的一个难关．根据异面直线夹角的定义，在空间任取一点O 实现转化固然可以，而在实际操作中，可将点O 取在a 或b 上．两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特殊位置情况．应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．对于本节的学习，仍然应注意概念的形成过程，让学生去完成意义建构，而决不单纯以记忆结论为目的，要注重空间想象能力的形成过程，并有意识地加以引导、培养.教学目标：1、知识目标：（1）掌握异面直线所成角的概念；（2）能求出一些较特殊的异面直线所成的角； （3）了解异面直线垂直． 2、能力目标：（1）空间能力的进一步形成； （2）平面向空间的推广能力； （3）空间向平面的转化能力．3、情感目标：通过理论与实际的结合，培养学生实事求是的态度；同时在实际生活中不断发现问题，解决问题，培养学生的创新精神，为自己的人生垫定扎实的基础．学情分析：学生已有知识：空间四大公理、等角定理、异面直线的概念与判断；已有能力：立体空间的想象、抽象思维能力（但这种能力欠缺）；情感定位：初步接触立体几何，有较强的兴趣，对一门新的数学分支充满了激情．教学重点：异面直线所成的角概念的形成及应用教学难点：异面直线所成的角的发现与概念形成，将异面直线所成角转化为平面角 授课类型：新授课授课方式：探索法、引导法、讨论法教法设计：创设问题的现实情境，通过启发、引导学生发现异面直线所成的角的存在性，通过由特殊到一般、从具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力与空间想象课时安排：1课时教 具：FLASH多媒体课件、实物投影仪、实物教具 教学过程： 一、创设情境：多媒体课件给出嫦娥奔月的轨迹图，通过动画说明空间中异面直线的方向存在差异，也即空间异面直线的“角度”的存在性，即本节课的课题：异面直线所成的角（异面直线的夹角）．（设计意图：建构主义教学模式在高中数学中的力能否吸引到教学内容上的关键所在．嫦娥奔月刚刚成功，中国人所拍摄的第一幅月球照片也刚刚公布，这是中国人的骄傲，也是每个中国人所熟知的事情，也是这段时间人们谈论最多的话题，因此，以此为情境引入，能一下抓住学生的注意力，激发学生的学习热情，引导学生积极主动地参与学习、思考．）二、新知形成过程：1、质疑一：平移会改变这两条异面直线原有的方向吗？2、质疑二：怎样度量异面直线的方向的差异呢？3、质疑三：相交直线中，选取哪个角作为度量结果呢？4、质疑四：两直线交点的位置会影响这个度量值吗？5、提问：你可以怎样定义异面直线夹角呢？（设计意图：这一版块属于建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教性学习是一种以问题为载体、以主动探究为特征的学习活动，是学生在教师的指导下在学习和社会生活中自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程．在这个环节中，既让学生独立思考与学习，同时也采用协作学习的方式来解决所提出的问题，最后形成异面直线夹角的概念．问题5的提出就目的是培养学生的归纳总结能力，并体会到学习的乐趣．）三、形成新知：1、形成异面直线所成角的定义．异面直线所成的角：已知两条异面直线a b 、，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，''a b 、所成的角的大小与点O 的选择无关，我们把''a b 、所成的锐角（或直角）叫异面直线a b 、所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在两条异面直线中的一条上．2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a b 、 垂直，记作a b ⊥．两直线垂直含异面垂直与共面垂直．3、两条异面直线所成角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦． （设计意图：异面直线概念的得出在前面三步的进行下也就成了顺理成章的事了，只有用严格的数学语言来对一个知识下了定义才能方便我们对该知识的使用，也正是将一个数学概念顺理成章的学生自己构建在了自己的已有的知识体系中，这正是建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概四、新知应用：正方体ABCD A B C D ''''-中： （1）求直线AB 与B C ''夹角的度数；（2）求直线BA '与CC '夹角的度数； （3）求直线BA '与'AD 夹角的度数． 学生活动：讨论、思考、求解；教师活动：参与讨论共同解决；强调解题的思维与书写步骤的完整．解：（1）由//B C BC ''，可知ABC ∠等于异面直线AB 与B C ''的夹角，易知ABC ∠=090，所以异面直线AB 与B C ''的夹角为90；（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45；（3）连结',''BC A C ，则'//'AD B C ，则''C BA ∠等于异面直线BA '与'AD 的夹角，易知''A BC ∆为正三角形，所以异面直线BA '与'AD 的夹角为60． 形成能力：1、点O 通常取为两条异面直线中的一条线段的端点或中点；2、求异面直线所成的角的方法： （1）平移直线相交——作； （2）确定角——证； （3）求解角——求．D'C'B'A'DCBA（了能解题，能用，在解题中体会概念的精妙之处，在用中反思概念的合理性．独立思考与合作学习，既发挥了个人的能力也共享了集体的智慧，让每个学生在学习过程中都学有所长，愉快地学习；在建构主义理论下，以任何一种学习模式组织教学，都有一个学习效果的评价，其中包括是否完成对所学知识的意义建构，即是说学以致用，异面直线的夹角来源于生活，形成了数学概念，同时还要回到生活中去，能解决实际问题．故设计的这组练习题是检查学生对异面直线的夹角的掌握情况的，同时也是对异面直线夹角概念的巩固．）六、巩固提高：1、教材16P 练习题第4题：如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线且互相垂直？ （2）已知'1AB AA ==，求异面直线'BA 与'CC 所成角的度数．2、空间四边形ABCD 中，AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，6EF =，求异面直线AD 与BC 所成的角．注：此题所给的解法是利用余弦定理求解，这是常用也是通用方法，称为解三角形，而此题数据特殊，EGF ∆为等腰三角形，故也可在直角三角形中求解EGF ∠的大小．解：取AC 中点G ，连结,,EG FG EF ，∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EG BC FGAD 且1122EG BC FG AD ==== ∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角，在EGF ∆中，2221cos 22EG FG EF EGF EG FG +-∠==-⋅， ∴120EGF ∠=，异面直线,AD BC 所成的角为60． 形成能力：(1)异面直线所成的角是锐角或直角，当EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，则异面直线AD BC 、所成的角是它的补角．(2)此题在平移时用到的是“双移”，手段是利用三角形中位线与底边平行，从而达到平移直线的目的．（3）在平移直线时，合理选择平移点→确定平面→找、移或连．（设计意图：对一个概念的真正撑握必然是经过反复再反复的过程，在实践中把握本质，故在此GFED CBAD'C'B'A'DC B A设计了这个环节．概念不变，但题目千变万化，在这个问题上，采用随机进入式教学；由于事物的复杂性和问题的多面性，要做到对事物内在性质和事物之间相互联系的全面了解和掌握、即真正达到对所学知识的全面而深刻的意义建构是很困难的．往往从不同的角度考虑可以得出不同的理解．为克服这方面的弊病，在教学中就要注意对同一教学内容，要在不同的时间、不同的情境下、为不同的教学目的、用不同的方式加以呈现．换句话说，学习者可以随意通过不同途径、不同方式进入同样教学内容的学习，从而获得对同一事物或同一问题的多方面的认识与理解．让学生思考、探索、讨论，获得多种解题思路，再展现出来，教师引导完成解法，并比较各种做法的差异与优缺点，从而提升学生的题解能力．）七、小结升华：本节课你有什么收获？异面直线夹角的概念及用平移的方法求异面直线所成的角，步骤是：作、证、算；异面直线夹角是二维到三维的推广，而求解异面直线夹角是三维向二维的转化．（设计意图：识升华，最终完成知识建构的重要环节，课后延伸可帮助学生建立自己的知识网络，对本节课起到辅助与延伸的作用，在建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教学模式中必不可少．）八、课后巩固：1、教材16P 习题第6、7题．2、（选做）在长方体D C B A ABCD '''-中，4AB =，2BC =，'2AA =，求异面直线B D '与AC 所成的角的余弦值．九、板书设计十、教学反思 （见前面网页处）D'C'B'A'DCBA。
【高中数学】求异面直线所成的角
【高中数学】求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种，一种是几何法，这是人教版（A）版本倡导的传统的，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是人教版（B）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。
解法1：平移法设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE//D1B高三，所以∠C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角△C1OE中所以异面直线图1解法2：补形法在长方体ABCD?DA1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图2解法3：利用公式、 2，则，，所以图3解法4：向量几何法：为空间一组基向量所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图4解法5：向量代数法：<以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图5解法6：利用公式定理：四面体A?DBCD两相对棱AC、BD间的夹角图6解：连结BC1、A1B在四面体，易求得图7由定理得：所以感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学同步教学课件 夹角问题
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)， 所以—A1→B ＝(2,0，－2)，A→E＝(0,2,1)，A→F＝(1,1,0). 设平面AEF的法向量为n＝(a，b，c)， 由nn··AA→ →EF＝ ＝00， ， 得2ab＋＋bc＝＝00，， 令a＝1，可得n＝(1，－1,2).
A.60°
√C.60°或120°
B.30°或150° D.90°
cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝
2 2×2
2＝12，所以〈m，n〉＝60°，因为二面角
与二面角的两个半平面的法向量夹角相等或者互补，所以两平面所成
的二面角为 60°或 120°.
1234
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为
u·n
|u·n|
为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__u_，__n_〉__|_＝__|u_|_|n_|_ _＝__|u_|_|n_|__.
<<<
注 (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与
意 点
平面的法向量的夹角.
(2)线面角的范围为 0，π2.
(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所
<<<
注 (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题.
意 点
(2)两平面的夹角的范围是 0，π2.
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念.
例 3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相 等 ， AC∩BD ＝ O ， A1C1∩B1D1 ＝ O1 ， 四 边 形 ACC1A1 和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明：O1O⊥平面ABCD；
北智教育高二数学异面直线及其夹角
北智教育高二数学异面直线及其夹角中小学1对1课外辅导专家北智教育学科教师辅导讲义中小学1对1课外辅导专家②其本质属性为不共面——既不相交，也不平行。
（3）异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．【课堂练习】一、判断正误(1)没有公共点的直线叫异面直线.（）(2)分别在两个平面内的直线叫异面直线。
（）(3)在某个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线。
（）【知识点二】异面直线所成的角1、异面直线所成的角的定义：注意：①定义的思路：空间平面.②范围：_______.③角的大小与O点的位置____关.④当角为90°时，两条异面直线互相____.【课堂练习】(1)两条直线互相垂直，一定相交吗？(2)垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？什么叫两条异面直线所成的角？两条异面直线在什么情况下互相垂直？中小学1对1课外辅导专家【典型例题解析】例题1、已知不共面的直线相交于点，是直线上的两点，分别是上的一点．求证：和是异面直线。
（两种方法）【巩固练习】1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。
()2)空间两条不相交的直线一定是异面直线。
()例题2、设正方体的棱长为a.(1)哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？(2)求直线BA1和CC1所成的角的大小；(3)那些棱所在的直线与直线垂直？【巩固练习】如图,在正方体AC'中(1)哪些棱所在直线与直线AA'垂直(2)求直线BA'分别和CC'、DC'、AD'的夹角的度数.D'C'A'B'DABC中小学1对1课外辅导专家例题3、如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，MN=7，求异面直线AC，BD所成的角.说明：1、求异面直线所成的角的一般步骤：（1）构造；（2）认定；（3）计算；（4）结论.2、异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，表示异面直线所成的角是它的补角．【巩固练习】如图，在三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝5，AC＝6，BD＝8，则异面直线AC与BD的夹角为多少？AEB【课后总结】DFC中小学1对1课外辅导专家【课后练习】一、判断题：1)垂直于同一条直线的两条直线必平行。
立体几何篇(异面直线夹角)
立体几何篇（异面直线夹角专题）异面直线夹角专题：1、常见的六个夹角的范围①线线夹角：≤θ900≤②异面直线夹角：<θ900≤③向量直线夹角：≤θ0≤180④线面夹角：≤θ900≤⑤面面夹角：≤θ0≤180⑥倾斜角：≤θ0<1802、异面直线夹角平行移动异面直线至两条相交直线，所夹的线面角为原异面直线的夹角。
例1、已知正四面体ABCD中，E为AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_________60，且BD=AC=1，例2、四面体A-BCD中，E、F分别是AB、CD的中点，若BD、AC所成的角为则EF=______________求线面角的方法：1、定义法（垂线法）2、公式法3、等体积转化法4、向量法1、定义法（垂线法）例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2。
（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值21cos cos cos θθθ= 其中1θ为线面角， 最小角公式、三余弦定理例1、三棱柱111C B A ABC -，1,,AA AC AB 两两成 60，则侧棱1AA 与底面111C B A 所成的线面角的余弦值为_______3、等体积转化法：例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求PA与平面PBD所成角的正弦值；（3）求CD与平面PBD所成角的正弦值；。
高二数学课件异面直线及夹角
β
b α a
如何来刻划两条异 面直线的相对位 置？
夹角
距离
如何度量其 大小呢？
(1).定义：a、b是两条异面直线，过空间任一点O作 a'∥a ，b'∥ b，则a ' 、 b'所成的锐角(或直角) 就是异面直线a、b所成的角。 b a/ 思考：
a
• O
b/
1.由于点O的任意性，这样作出的角有多少个？ 大小有什么关系? 2.异面直线所成角的范围是（0， 2 ]
D1
C1
B1
D
C
A
B
D1 A1 D A B
C1
F1
B1 C
E1
F
E
基础训练：
如图，正方体中， 1. A1B1与C1C所成的角 2. AD与B1B所成的角 3. A1D与BC1所成的角 4. D1C与A1A所成的角 5. A1D与AC所成的角
A D B C A1 D1
C1
B1
能力训练：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm，
说明：
E 异面直线所成角的范围是（0， ]，在把异面直
A
B
F
解题思想是：化归与转化，即空间问题平面化
解题方法是：平移
解题步骤是：①作角；②证角；③求角（解 三角形）；④结论。
提高训练：
AB=BC=2,E,F 分别是 AB、 CD ADA
E
D
变式：若 AD与 BC所成的角为 60 ，则 EF=——————
G F
C
授课人：贾玉香
1、理解并掌握异面直线的画法。 2、熟练掌握空间两条直线的位置 关系。 3、理解异面直线夹角的概念及两 条异面直线互相垂直的概念,会求 异面直线的夹角。
建系求异面直线所成角的公式高中
建系求异面直线所成角的公式高中When it comes to finding the angle between two distinct lines in three-dimensional space, it's important to first determine whether or not the lines are coplanar. If the lines are not coplanar, they can be said to be skew lines, which means they do not intersect and lie in different planes. This makes finding the angle between them a bit more complex than if the lines were in the same plane.要确定三维空间中两条不同直线之间的角度，首先重要的是要确定这两条直线是否共面。
如果这两条直线不共面，那么它们被称为异面直线，这意味着它们不相交且位于不同的平面上。
这使得找出它们之间的角度比这两条直线共面时要复杂一些。
One way to find the angle between two skew lines is to determine their direction vectors. The direction vectors of the two lines will lie in the planes that contain the lines, and the angle between the direction vectors will be equal to the angle between the lines. By using the dot product of the direction vectors, one can calculate the cosine of the angle between the lines, and then find the angle itself using inverse trigonometric functions.找出两条异面直线之间的角度的一种方法是确定它们的方向向量。
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第1页 共12页 浅 谈 异 面 直 线 所 成 的 角
第2页 共12页
异面直线所成角的求法 求异面直线夹角主要有三种主要方法，一是几何法，二是矢量法，三是公式法。 一、几何法： 几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 例：长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。 直接平移：常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a的平行线。 解法一：如图④，过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。 则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35，
cos∠DB1E=734170 ∴∠DB1E=cosarc734170。
解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，
∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170，∴∠C1BE=cosarc734170。 第3页 共12页
课堂思考： 1.如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。
2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值. 【例2】 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.
中位线平移法 分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。 解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为
所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=34，BC1=5，
BE=352，∴cos∠BOE=734170 ∴∠BOE=cosarc734170
解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF
A B C D jD1C
1
B1
A1
BA
CD
例2题图 第4页 共12页
∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则OF=732，cos∠OEF=734170，∴异面直线B1D与BC1所成的角为
cosarc734170。
解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF
或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF=352，cos∠DOF=734170，∴∠DOF=cosarc734170。 课堂练习 1．在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。
补形法 分析：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。 解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体
ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与
BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，cos∠C1BD2=－734170，
EDBC
A第5页 共12页
∴异面直线DB1与BC1所成的角是cosarc734170。 课堂练习：求异面直线A1C1与BD1所成的角 在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，
二、矢量法。 利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法
之一。常有向量几何法和向量代数法两种。 解法一：如图⑦，连结DB、DC1，设异面直线DB1与BC1所成的角为，1111
DBcosBCDBBC，而11DBBC=1DB(111BBBC)=11DBBB+111DBBC
=1DB1BBcos〈1DB，1BB〉+1DB11BCcos〈1DB，11BC〉 ∵ BB1∥DD1 ∴ 〈1DB，1BB〉=〈1DD，1DB〉=∠D1DB1
cos∠D1DB1=434 第6页 共12页
〈1DB，11BC〉=180°－∠DB1C1
∵cos∠DB1C1=334 ∴cos〈1DB，11BC〉=－cos∠DB1C1=－334
11DBBC=7 ∴ cos=734170，734arccos170 解法二：如图⑧，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，3，0），B1
（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。
设1DB和1BC的夹角为，
则1111DBcosBCDBBC=734170
∴异面直线1DB与1BC所成的角为734arccos170。 课堂练习： 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。
向量几何法： 为空间一组基向量
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为 向量代数法：
< 以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2）， 第7页 共12页
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为 三、公式法 公式法实质是矢量几何法的推广： 公式一、定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为
则有 证明，
CADACAABCADAABCADBDAABDBCOSDBDBCADB••••
•而
2222222222222CDABBCADCDACADBCACAB
所以有： 例：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。
解：连结BC1、A1B在四面体为，易求得
由定理得：
所以 第8页 共12页
已知平面的斜线a与内一直线b相交成θ角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有coscoscos21 公式2 用几何法研究： 在平面的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B 连接OB，则OB⊥b.
在直角△AOP中，APAO1cos.
在直角△ABC中，AOAB2cos. 在直角△ABP中，APABcos. 所以 coscoscos21
APABAOABAP
AO
所以coscoscos21成立 （7）已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（ D ）
（A）34 （B）54 （C）74 (D) 34 解：设BC的中点为D，连结1AD，AD，易知1AAB即为异面直线AB与1CC所成的角,由三角余弦定理，易知113cocs4oscosADADAADDABAAAB.故选D 讲解习题： 例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．（如图1）
例2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．（如图2）
例3 已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B1B的中点．求A1M与C1N所成的
2
1c
b
a
P
OABB
C
BCA11
1
AD第9页 共12页 角的余弦．（如图3）（1992年高考题） 例4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．（如图4）
作业： 3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F分别是AB，BC中点．求：（1）异面直线A1D1和CD的距离；（2）异面直线C1O和EF的距离．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°．求：（1）AB与A1C1所成的角的度数；（2）A1A与CB1所成的角的度数；（3）AB1与A1C1所成的角的余弦．
5、如图，在三棱锥S-ABC中，E、F分别是SC、AB的中点，且8C,6SA,5BEF，则异面直线SA与BC的夹角为多少？