用好判别式解题真功夫

第３３卷第９期２０１４年９月数学教学研究
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用好判别式，解题真功夫
黄锦龙
（浙江金华第一中学３２１０１５）

高考试题是许多专家、学者、优秀教师集体智慧的结晶；高考试题凝聚着命题者的智慧，也闪烁着新课改的理念，是非常重要的教学、教研资源．研究高考试题，剖析高考试题的本质，将对教学起着积极的导向作用．文Ｅ１３对２０１３年浙江理科数学第７题：设ＡＡＢＣ，Ｐ。是边ＡＢ上的一定点，满足Ｐ。Ｂ＝＋ＡＳ，且对于边ＡＢ上任意一点ｔＰ，恒有葡·亢≥瓦亩·瓦亡，则（）．（Ａ）么ＡＢＣ＝９０。（Ｂ）么ＢＡＣ＝９０。（Ｃ）ＡＢ＝ＡＣ（Ｄ）ＡＣ＝ＢＣ从多个维度去考量，利用不同的思想方法探究出了多种解法，这些解法的共同点是将题设条件转化为某未知数的一元二次不等式恒成立问题，最终运用判别式求解，显示了判别式的强大解题功能．１判别式解题判别式法是技巧层次的解题方法，它在讨论一元二次方程ａ，Ｔ２＋ｂｘ＋ｃ一０（口ｖｅＯ）的实数根，解一元二次不等式，求函数值域（最值）等许多方面神通广大，若灵活地运用它。就能化难为易，化繁为简，化生为熟，成功解题．笔者研究浙江省近几年的数学高考试题，发现了不少运用判别式解题的身影．例１（２０１１年浙江高考理科第１０题）设ａ，ｂ，ｃ为实数，，（ｚ）＝（ｚ＋口）（ｚ２＋ｂｘ＋ｆ），ｇ（ｚ）一（ａｘ＋１）（ｃｘ２＋ｂｘ＋１），记集合Ｓ一｛蚓，（ｚ）一０，ｚ∈Ｒ｝，Ｔ＝（ｚ
ｇ（ｚ）＝０，ｚ

∈Ｒ），若ｌＳｌ，ＩＴ１分别为集合元素Ｓ，Ｔ的元
素个数，则下列结论不可能的是（
）．

（Ａ）ＩＳＩ一１且ｌＴＩ一０
（Ｂ）ＩＳｌ一１且ｌＴｌ一１
（Ｃ）ＩＳＩ一２且ＩＴｌ一２
（Ｄ）ｌＳｌ一２且Ｉ丁ｌ＝３
解析此题属于分类讨论型问题，可利
用判别式逐个检验进行排除：（Ａ）在ａ—ｂ＝
０，ｃ≥０下成立；（Ｂ）在ａｖｅ０，ｂ２—４ｃ＜０下成
立；（Ｃ）在ａ≠ｏ，ｂ２—４ｃ＝０下成立；（Ｄ）必须
在ｂ２—４ｃ＝０和ｂ２—４ｃ＞０同时成立下才成
立，显然不可能，故选Ｄ．
例２（２０１１年浙江高考文科第１０题）
设函数，（ｚ）一日ｚ２－４－ｂｘ＋ｃ（ｎ，ｂ，ｆ∈Ｒ），若ｚ
一一１为函数厂（ｚ）ｅ。的一个极值点，则下列
图像不可能为ｙ一，（ｚ）的图像是（
）．

Ｊ，
＼一
．｛

一ｌ
０
Ｊ

（Ａ）
｜ｙ
一ｌ
／’、
。＼＼Ｉ
∥

‘，
一１
／。、
０
ｘ

｛

（Ｂ）
。，
＼＼彳

Ｖ—ｌ
Ｄｊ

（Ｃ）（Ｄ）
解析设Ｆ（ｚ）＝厂（ｚ）ｅ。，则

作者简介：黄锦龙（１９７４一）。男，１９９６年毕业于湖北大学．理学学士，中学高级教师．
Ｅ－ｍａｉｌ
ｈｊｌｄｌｐ＠ｓｉｎ＊＊．ｃｏｌｌｌ

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数学教学研究第３３卷第９期２０１４年９月

Ｆ７（ｚ）＝ｒ厂７（ｚ）＋ｅ。厂（ｚ）
一ｅ２（２ａｘ－｝－ｂ＋口ｚ２＋ｂｘ＋ｃ），
又因为Ｘｍ一１为，（ｚ）ｅ。的一个极值点，所以Ｆ７（一１）＝ｅ＿１（一口＋ｃ）一０，即ｎ—ｆ，所以Ａ＝ｂ２－－４ａｃｍｂ２－－４ａ２．当Ａ＝０时，ｂ一士２口，即对称轴所在直线方程为ｚ一士１；当△＞ｏ时，Ｉ乏Ｉ＞ｌ，即对称轴所在直线方程ｚ２一瓦ｂ∈［一１，１］．故选Ｄ．例３（２０１１年浙江高考理科第１６题）设ｚ，Ｙ为实数，若４２２＋ｙ２＋ｚｙ一１则２ｚ＋Ｙ的最大值是——．解析设２ｚ＋ｙ＝竹，则ｙ＝行一２ｚ，代入４２２＋ｙ２＋ｚｙ一１，整理得６ｘ２－－３ｎｘ＋竹２—１一Ｏ。此方程有实根，所以△＝（一３ｎ）２—２４（ｎ２—１）＞／ｏ，解得，ｌｚ≤詈，故２ｘ＋３，的最大值是生乎．例４（２０１０年浙江高考理科第１５题）设ｎ。，ｄ为实数，首项为ａｔ，公差为ｄ的等差数列｛ａ．）的前行项和为Ｓ。，满足Ｓ。Ｓ。＋１５＝０，则ｄ的取值范围是——．解析由Ｓ。Ｓ。＋１５＝０及等差数列前挖项和公式得（５ａ１＋１０ｄ）（６ａ１＋１５ｄ）＋１５一Ｏ，化简整理得２口｛＋９ｄａＩ＋１０ｄ２＋１＝ｏ，关于ａ。的二次方程有实根，所以△一（９ｄ）２－－８（１０ｄ２＋１）≥０，解得ｄ≤一２抠或ｄ≥２厄为所求ｄ的取值范围．例５（２０１０年浙江高考理科第１６题）已知平面向量口，／Ｋａｖａ０，口≠卢）满足ｌｐＩ＝１，
且口与ｐ一口的夹角为１２０。，则Ｉ口Ｉ的取值范
围是
解析依题意，
Ｉ卢Ｉ—Ｉ口＋（ｐ一口）Ｉ，
平方得
１＝Ｉ口２Ｉ＋２川户口Ｉｃ０Ｓ
１２０。＋Ｉ严口ｌ

２，

整理得关于Ｉ卢一口Ｉ的一元二次方程
Ｉ卢一口Ｉ２一Ｉ口｜Ｉ卢一口ｌ＋ｌ口Ｉ
２—１—０
有实根，所以
Ａｍ
ｌ口Ｉ２—４（Ｉ口Ｉ２—１）≥Ｏ，
解得…２≤詈，故…的取值范围是（ｏ，学Ｉ．

例６（２０１０年浙江高考理科第１０题）
已知向量口≠ｅ，ｌｅｌ一１，对任意ｔ∈Ｒ，恒有
ｌ口一衍Ｉ≥ｌｎ—ｅｌ，则（
）．
（Ａ）口上ｅ（Ｂ）口上（４一ｅ）
（Ｃ）Ｐｊ－（口一ｅ）（Ｄ）（口＋Ｐ）上（口一ｅ）
解析由Ｉ口一ｔｅＩ≥Ｉ口一据Ｉ得
Ｉ口一ｔｅ２≥Ｉ口一ＰＩ
２，

展开并整理得

ｔ２—２（ｎ·ｅ）￡＋２口·Ｐ一１≥Ｏ，
由ｔＥＲ得
△一（一２口·Ｐ）２＋４—８ａ·ｅ≤Ｏ，
得ｅ（口一口）一０，即ａ上（口一口），选Ｃ．
点评上述试题取材广泛，题干简洁，立
意深刻．例１，例２以函数为背景，以集合、函
数极值为载体，考查方程的根与二次函数的
图像；例３，例４以方程、数列为背景，考查求
最值与取值范围问题；例５，例６以平面向量
为背景，考查平面向量的数量积运算与向量
的模，通过将问题转化为“三个二次”（二次函
数、二次方程和二次不等式），运用判别式求
解，不仅考查了学生思维的广阔性、深刻性和

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灵活性，而且考查了学生对数学思想方法和数学本质的理解．２摩悟判别式著名数学教育家波利亚曾说：“掌握数学就是意味着善于解题．”要善于解题就要设法找出解决一类问题的更高观点或统一原理，并且要熟悉该原理的本质．说起判别式，学生们都知道，但能够用好判别式解题的就难说了，究其原因就是对判别式的理解不透彻．文Ｆ２］对此做了完美阐述：对实系数一元二次方程口ｚ２＋ｂｘ＋ｃ一０（ｎ≠Ｏ），（１）作配方４口２≯＋４ａｂｘ＋４ａｃ＝０．有（２ａｘ＋６）２一（６２－－４ａｃ）＝０，得ｂ２—４口ｆ＝（２ａｘ＋６）２．（２）这就得出了判别式Ａ＝ｂ２－－４ａｃ，（３）并且由这个式子的符号便可判别二次方程是否有实根，实根是否相等，如果我们对判别式不是只见到孤立的式（３），而是把式（２）作为一个整体与式（１）联系起来看，就发现二次方程判别式是配方的结果，实质上就是完全平方式（２口ｚ＋６）２．上述例４解答中：２口；＋９ｄａｌ＋１０ｄ２＋１＝０关于口。的二次方程有实根，所以△＝（９ｄ）２—８（１０ｄ２＋１）≥０有的学生理解困难，如果配方得Ｚ（ａ－＋詈ｄ）２一音ｄ２—１≥０就豁然开朗了．浙江省高考数学命题坚持“有利于高校选拔人才，有利于中学素质教育”的命题原则，体现“稳中求进、进中求变、变中求新”的命题思路．上述数学试题对“判别式法”的坚守，正是这一命题指导思想的真实写照，体现
了命题者“能力立意”的良苦用心．当前，浙江
省新一轮课程改革正在大力进行，在此背景
下，数学教学内容也有了大幅度变化，将解决
函数问题的重要工具——导数调整为选修模
块，那么，将来高考对函数的考查是否会因为
导数的“缺席”而“黯淡”呢？笔者以为，未来
高考数学将因二次函数而“大放光彩”，二次
函数是中学数学中的基本内容之一，它既简
单又具有丰富的内涵和外延，作为最基本的
幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，
可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，
可以偏制出层出不穷、灵活多变的数学问题，
对二次函数的考查能从解答问题的深入程度
中，区分出学生运用数学知识和思想方法解
决数学问题的能力．二次函数是“三个二次”
的核心，是构造函数解题的重要模型。考查二
次函数就少不了判别式，这就为“判别式法”
的运用提供了广阔的舞台．然而，“判别式法”
也有局限性，判别式只有在实数范围内才可
以产生非负性的功能，至于判别式法求值域
（或最值），它的前提是△一（２ａｘ＋６）２＞１０中
的不等式能取等号，当ｚ为任意实数时就可
以做到，但当ｚ限定在某一有限区间时，就
不一定能做到了．所以，在数学教学中要切实
加强对判别式的理解和运用，使判别式成为
学生解题的“利器”．
参考文献
［１］施刚良，周笔崇．试题虽。小”，有。魂”则。大”
［Ｊ］．中学数学，２０１３，（８）．
［２］罗增儒。数学解题学引论［Ｍ］．西安：陕西师范
大学出版社，２００１．
（收稿日期：２０１４—０４．２１）

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