高考数学数学归纳法1

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2
2
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1) + 1
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这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
例3
用数学归纳法证明
) ) 思 1× 4 + 2× 7 + 3×10+L+ n(3n +1 = n(n +1 考 1）第一步应做什么？此时 0= 1 ，左＝＿ ＝4 ＝ ）第一步应做什么？此时n 1×4＝ × 右 ？ 当n=2时，左＝ 1×4＋2×7 ，右＝ 2(2＋1)2 。 时 × ＋ × ＋
(2) 假 设 当 n = k ( k ∈ N , 且 k ≥ n0 )时 命 题 成 立 ，
*
并 证 明 n = k + 1时 命 题 也 成 立
(3)下结论 由以上可知对于 取第一个值 下结论:由以上可知对于 下结论 由以上可知对于n取第一个值 后面的所有正整数也都成立. 后面的所有正整数也都成立
数学归纳法: 二.数学归纳法 数学归纳法
1.适应范围 某些与正整数有关的数学命题 适应范围:某些与正整数有关的数学命题 适应范围 某些与正整数有关的数学命题.
2.数学归纳法的解题步骤： 数学归纳法的解题步骤： 数学归纳法的解题步骤
(1)先证明当n 取第一个值（例如n0＝或2等）时命题成立 n0 1
容易验证 a1=1，a2＝1，a3＝1，a4=1，由 此得出结论
对于任何 n ∈ N ， a n = ( n - 5 n + 5) =1
2 2
不完全归纳法与完全归纳法
不完全归纳法是根据事物的部分（而不 是全部）特例得出一般结论的推理方法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有 （有限种）特殊情况后得出一般结论的 推理方法，又叫做枚举法。
象这种证明方法叫数学归纳法．
3.数学归纳法的应用： 数学归纳法的应用： 数学归纳法的应用 （1）恒等式例1例2例3 ） （2）不等式 ） （3）三角方面 ） （4）整除性例4 ） （5）几何方面例5 ） （6）计算、猜想、证明 ）计算、猜想、
假设n=k时，等式 时 假设
2＋4＋6＋L＋2n = n + n + 1
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
例4 用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除 （若A＝BC，则A能被B整除） （1）当n=1时， x2-y2＝(x+y)(x-y)， x2-y2能被x+y 整除。 （2）假设当n=k(k∈N*)时， x2k-y2k能被x+y整除。 那么 X2(k+1)-y2(k+1)＝x2 x2k -y2 y2k ＝ x2 x2k - x2 y2 k + x2 y2 k -y2 y2k ＝x2 ( x2k - y2 k ) + y2 k (x2 - y2k ) 这就是说，当时n=k+1时X2(k+1)-y2(k+1)能被x+y整除。 根据⑴⑵，可知命题对任何n ∈N*都成立
= k ( k + 1) 2 , 那么 ＋ ( k + 1 ) [3 ( k + 1 ) + 1 ] × 4 + 2 × 7 + 3 × 10 + L + k ( 3 k + 1 ) 1
= k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) [3 ( k + 1 ) + 1 ]
2
= ( k + 1 )[ k ( k + 1 ) + 3 ( k + 1 ) + 1 ] = ( k + 1 )( k + 4k + 4) = ( k + 1 )[( k + 1 ) + 1 ] 2 这就是说，当n=k+1时等式也成立。
4）此时，左边增加的项是 ）此时，
2
( k + 1) [3 ( k + 1) + 1 ]
5)从左到右如何变形？ 从左到右如何变形？ 从左到右如何变形
证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
× 4 + 2 × 7 + 3 × 10 + L + k ( 3 k + 1 ) 1
即n=k+1时，命题成立。 时 命题成立。 根据①②问可知， 等式成立。 根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立 ①②问可知 ∈ 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。 既然不对，如何改正？ 既然不对，如何改正？
（2）分组练习P66 1、2、3 （3）小结：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 明确初始值n 并验证真假。（必不可少） 。（必不可少 ① 明确初始值 0并验证真假。（必不可少） ② ③ 时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 ④ 明确等式左端变形目标， 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 用上假设。 并 用上假设。 可明确为： 时命题正确” “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 假设 时命题正确 并写出命题形式。 分析“ 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时 命题是什么，并找出与“
数学归纳法证明恒等式时， 数学归纳法证明恒等式时，第二步证明中常用到 哪些变形手段？ 哪些变形手段？
因式分解 、 配方 、 添拆项 、 乘法公式 等变形手段 等变形手段。
复习巩固、 复习巩固、小结提高
（1）如下证明对吗？ ）如下证明对吗？
1 证明： 证明：①当n=1时，左边＝ 时 左边＝ 2
等式成立。 等式成立。 ②设n=k时，有 时
k (k +1)(2k +1) 1 + 2 + 3 +L+ k = 6
2 2 2 2
那么
1 = = = = =
2
+ 2 2 + 3 2 + L + k 2 + (k k ( k + 1 )( 2 k + 1 ) + (k + 1 6 k ( k + 1 )( 2 k + 1 ) + 6 ( k + 6 ( k + 1 )( 2 k 2 + 7 k + 6 ) 6 ( k + 1 )( k + 2 )( 2 k + 3 ) 6 ( k + 1 ) [( k + 1 ) + 1 ][2 ( k + 6
2
当n=k时，等式左边共有 时 第(k 2） 1） × 1)项 项 (K
k
项， 1)＋1] ＋ 。
1)×[3(k ×
， 4 + n=k时 + 3 × 10 + L + k ( 3 k + 1) 2 ×时 7
2
= k ( k + 1)
3）当n=k+1时，命题的形式是 ） 时
1× 4 + 2 × 7 + 3 × 10 + L + k (3k + 1) ＋( k + 1)[3( k + 1) + 1] = ( k + 1)[( k + 1) + 1]
2
成立， 成立，就是
2＋4＋6＋L＋2k = k + k + 1
2
那么， 那么，
=k2+k+1+2(k+1)
2 + 4 + 6 + L + 2k + 2(k + 1)
=(k+1)2+(k+1)+1
这就是说，如果 时等式成立， 这就是说，如果n=k时等式成立，那么 时等式成立 那么n=k+1时等式 时等式 也成立。 也成立。 能否得出对任何非零自然数n，命题都成立？ 能否得出对任何非零自然数 ，命题都成立？ 同学们可以自己验证n=1，n=2，n=3等时，命题是否成立 ， 等时， 同学们可以自己验证 ， 等时
1 1 1 1 1 n 求证： ＋ 2 ＋ 3 ＋L＋ n = 1 ( ) 2 2 2 2 2
右边＝
1 1 1 = 2 2
1
1k 1 1 1 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋L＋ k = 1 ( ) 2 2 2 2 2
那么， 那么，当n=k+1ห้องสมุดไป่ตู้，有 时
1 k+1 1 1 k +1 2 2 1 1 1 1 1 =1 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ＋ k + k+1 = L 1 2 2 2 2 2 2 1 2
重点：两个步骤、一个结论； 重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。 结论写明莫忘掉。 作业布置 P68 习题2.1 3、4题
我们在学习等差数列时，是这样推导首项为a1， 公差为d的等差数列｛ an ｝的通项公式的 a1＝ a1+0d a2＝ a1+d= a1+1d a3＝ a2+d= a1+2d a4＝ a3+d= a1+3d ……
数学归纳法及其应用举例
一.由一系列有限的特殊事例得出一般结论 由一系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法， 的推理方法，通常叫做归纳法. 举例说明: 举例说明 (1)等差数列通项的推导 等差数列通项的推导; 等差数列通项的推导
(2)an = (n - 5n + 5) ∈ N ) (n