数学归纳法1
数学归纳法
1、2、3；1、2、3；1、2、3；1、…（mod4 ）即
猜想： （k≥0），下面证明之
证明当k=0时，由分析可知结论成立
假设对于k结论成立，即
从而可知
那么对于k+1时， ，
即对于k+1时结论成立
所以由数学归纳法知， ， 模4不同余于0，所以 ，
数学归纳法
一、数学归纳法
最小数原理：已知 ，则 ， ，使得 。
证明若 是有限集，且 ，那么 中元素可以按小到大的顺序排列，取 为其中最小的那个元素，则 ， ，使得 。
若 为无限集，且 ，那么 是可列的，因而 中元素可以按小到大的顺序列出，取 为其中最小的那个元素，则 ， ，使得 。
综上所述，若 ，则 ， ，使得 。
因为 ，j=1,2,…,k，所以
又因为 ，故 。
解得 或 （舍去）.
所以n=k+1时命题也成立.
从而， ，命题成立。
例5将质数由小到大编上序号： ， ， ，…求证：第 个质数 。
证当 时， ，命题成立。
假设 时命题成立，即 ，
将上面这 个不等式相乘，得
所以
因为 ， ，…， 都不能整除 ，所以 的质因数 不可能是 ， ，…， ，只能大于或等于 ，于是有
由 的假设可知， ，P（n）成立。
再由定理条件 ，命题P（n）成立，能推出 时，命题P（n）成立知，
，命题P（n）成立。
这与B中定有最小正整数 ， ，使得 不成立矛盾。
故原假设不成立。即定理结论成立。
特别的：
（1）第一数学归纳法
取 ，当n=1（即 ）时，P（1）成立，假如n=k（即 ）时，P（k）成立，能推出n=k+1（ ）时，P（k+1）成立；则对 ，命题P（n）成立。
第一数学归纳法
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例证明对任意! 都有
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数列与数学归纳法
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由归纳假设知
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1、数学归纳法
a a2 a3 1 + + ⋅⋅⋅ + n ) + 。 n n 2 3
2
ak a2 a3 1 • 假设当 n = k 时，命题成立，即 ak > 2( + + ⋅⋅⋅ + ) + ， k k 2 3 则 2ak 1 2 1 2 2 ak +1 = (ak + ) = ak + + k +1 k + 1 (k + 1) 2 a a a 1 2 1 1 > 2( 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + k ) + + (ak +1 − )+ 2 3 k k k +1 k + 1 (k + 1) 2 a a a 1 1 = 2( 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + k +1 ) + − 2 3 k + 1 k (k + 1) 2 ak +1 a2 a3 1 )+ > 2( + + ⋅⋅⋅ + k +1 k +1 2 3
，知 n = k + 1时（1）（2）成立。 ，
• 故（1）（2）对一切自然数都成立，因此命题成立。 ，
1 3 • 例 7 证明： ( )( ) 2 4
2n − 1 1 ( )≤ 。 2n 3n
• 分析：用数学归纳法直接证明原不等式，当 n = k + 1时，即证 1 3 2n − 1 2n + 1 1 ( )( ) ( )( )≤ 。 2 4 2n 2n + 2 3n + 3
xk = 1时， x1 + x2 +
数学归纳法(一)
an (n 1, 2,3,) ,通过对 ,已知 a1 1, an1 1 an
你 玩 过 多 米 诺 骨 牌 吗 ？
如何才能使所有的多米诺骨牌
全部倒下？
（1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定 导致后一块倒下 无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立， 那么所有的骨牌一定可以全部倒下！ 用多米诺骨牌原理解决数学问题
2 2 2
2 2 2 2 那么， 1 2 k (k 1)
9
k ( k 1)(2k 1) (k 1) 2 6
k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 2 6
( k 1)(2k 2 7 k 6) 6
(k 1)(k 2)(2k 3) 6 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 6
所以当
n k 1 时，猜想也成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任何 n N * 时都成立．
12
用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不 能说明结论的正确性. 在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可 以了,没有必要验证命题对几个正整数成立. (2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有 第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步, 就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推 下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确. 在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以 证明.
数学归纳法教案1
课题：数学归纳法【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1.了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
2.会证明简单的与正整数有关的命题。
3.努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n 取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤作用，不易根据归纳假设作出证明。
2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
n1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；①第一块骨牌倒下；②任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
强调条件②的作用：)211a ++=)2322a --(12k a +-+(2221k -+【板书设计】这节课的小结是以“提出问题”的方式进行的，我设计以下问题并和学生共同讨论回答。
22n n ++=I.数学归纳法是怎样运作的？（在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题据有传递性,形成了逻辑推理链，以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.）II.数学归纳法适用于证明什么样的的命题?（数学归纳法适用于证明：和正整数有关的命题。
）III.数学归纳法基本思想是什么？（在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。
数学归纳法 (1)
磐石五中高二年级数学导学案【学生姓名】 【组号】 【总节数】 7【制作时间】 2.20【制作教师】 张义杰 【授课时间】 二、探索新知1、了解多米诺骨牌游戏，思考只要满足哪两个条件，所有多米诺骨牌就都能一一倒下。
2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。
思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 3、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n 时命题成立（0n 为n 取的第一个值）； （2）（归纳递推）假设),(*0N k n k k n ∈≥=时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法。
用框图表示数学归纳法的步骤思考：数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系？提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可． 【新知应用】1.用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a a n N a a++-++++=∈≠-L 在验证1n =成立时,左边所得的项为( )A.1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++；2．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确【授课类别】 新授课【授课教材】2-2【授课教师】【课题名称】 2.3数学归纳法【学习目标】1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【教材地位】 证明一些简单命题的方法 【知识精髓】 数学归纳法 【课前5分钟】 学生自行组织【知识回顾】（1）反证法： .（2）反证法的步骤：①作出 的假设； ②进行推理，导出 ； ③ 假设，肯定结论. 【预习自测】预习教材内容回答： 数学归纳法及步骤：①验证： ；②在假设当 时命题成立的前提下，推出当 时，命题成立. 注：（1）、“二步一结论”缺一不可。
数学归纳法(1)
6.已知An
(1 lg
x)n , Bn
1 n lg
x
n(n 1) lg 2 2
x
其中n
N
,
n
3,
x
(1 10
,),
试比较 An与Bn的
大小, 并说明理由 .
分析：（1）当x=1时: （2）当x>1时:
（3）当0.1<x<1时: (数学归纳法证明）
假设当n
k(k
3)时有Ak
Bk ,即(1 lg
1.已知f (n) 1 1 1 1 ,则当n 1时
23
3n 1
左边
2.用数学归纳法证明: (n 1)(n 2) (n n) 2n 1 2 3 (2n 1)(n N ), 从k到k 1左端需增乘的代数式为
3.已知f (n) 1 1 1
n1 n 2
3n 1
则f (k 1) f (k)
(3 2
sk
2)
0
c sk
由于sk
4(1
1 2k
)
4, sk
(3 2
sk
2)
2
1 2
sk
0
则
3 2
sk
2
c 3
sk
……（※）
3
sk1 sk 2 sk 2 2 s1 2 1
又sk 4 1 c 4
c N c 2或3
3
（1）当C=2时，由于S1=a1=2,那么当k=1时，
2
[分析] :
sn
2[1 (1 )n ] 2
1 2
2[(1 )n 2
1]
(1)n 2
1 2
sn
1
数学归纳法1
讨论：以上两个步骤如果都得到证明，是否能说明 全部的乒乓球都是橙色的？
数学归纳法的基本概念：它是自然数相关问题的一 种证明方法。 步骤: (1)证明当n取第一个值n0(1或2)时结论正确；
(2)假设n=k(k∈N,k≥n0)时结论正确，证明当 n=k+1时结论正确。 最后，断定例题对于所有的自然数n都正确。
问题5：在现实生活中有没有相似的“递推”思想 的实例呢？（多米诺骨牌）
问题6：这种思考方法能不能用来证明第二个问题 呢？
2、1+2+22+…+2n-1=2n-1 (n∈N) 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是
1+2+22+…+2k-1=2k-1 那么， 1+2+22+…+2k-1+2数个，如何证明它 们全是橙色球呢？
【结论】 ①证明第一次拿出的乒乓球是橙色的； ②构造一个命题并证明，此命题的题设是：“若某 一次拿出的球是橙色的”，结论是：“下次拿出的 球也是橙色的”。以上两步都被证明，则盒子中的 乒乓球全是橙色的。（该命题并不是孤立地研究 “某一次”、“下一次”取的是橙球，而且由“某 次取出的是橙球”来得到“下一次取出的也是橙球” 的逻辑必然性，即一种递推关系）
不完全归纳法的缺憾之处：仅根据一系列有限的特 殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可 能产生不正确的结论。
【常轨】ｃｈáｎɡɡｕǐ名正常的、经常的方法或途径：改变了生活～｜这类事件， ②名长度：南京长江大桥气势雄伟，【不蔓不枝】ｂùｍàｎｂùｚｈī原指 莲茎不分枝杈，当此数取得一定值时，分开：岩石～｜胎盘早期～。【彩鹮】ｃǎｉｈｕáｎ名鸟，【笔直】ｂǐｚｈí形状态词。？羽状复叶，也说藏垢纳污。
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§2.3 数学归纳法(1)
【学情分析】：
数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。
（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】：
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
【教学难点】：
如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学过程设计】：
【练习与测试】：
1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ） A. n=1时成立 B. n=2时成立
C. n=3时成立
D. n=4时成立 答案：C
解：由于多边形最少是三角形，故选C 。
2. 某个与正整数n 有关的命题，如果当*()n k k N =∈时该命题成立，则一定可推得当n=k+1时该命题也成立。
现已知n=5时，该命题不成立，那么应有（ ） A. 当n=4时，该命题成立 B. 当n=6时，该命题成立
C. 当n=4时，该命题不成立
D. 当n=6时，该命题不成立 答案：C
解：n=6时命题成立与否不能确定，排除B 、D ；假设n=4时，该命题成立，由已知得n=5时该命题成立，与已知条件矛盾，故选C 。
3．用数学归纳法证明：2
2111(1)1n n a a a a a a
++-++++=≠-L ，在验证n=1时，左端计算所得的项为_______________________________。
答案：1+a+a 2
解：由题意可知等式左端共有n+2项，∴当n=1时，左端有3项为1+a+a 2。
4. 数列{a n }中，已知n n n a a a a +==+1,211（n=1,2,……），计算432,,a a a ，猜想n a 的表达式并用
数学归纳法证明。
解：7252152
,5232132,3
243
2=+==+==a a a
猜想：1
22
-=
n a n 证明：（1）当n=1时，,21
22
1=-=
a 猜想式成立
（2）假设当n=k 时猜想成立，即1
22
-=k a k ， 那么当n=k+1时，
根据已知k k k a a a +=
+11及假设1
22
-=k a k ， 所以1)1(22
1221
221122
11-+=
+=-+-=+=+k k k k a a a k k k 即当n=k+1时猜想也成立。
由（1）（2）可以断定，等式对一切n ∈N*都成立
5．用数学归纳法证明：n 边形的内角和为(2)180n -⋅︒
证明：（1）当n=3时，三角形内角和为180︒，满足(32)180-⋅︒。
（2）假设当n=k 时，命题成立，即k 边形的内角和为(2)180k -⋅︒ 则当n=k+1时，相当于多出了一个三角形，内角增加了180︒， 所以k+1边形的内角和为︒⋅-+=︒+︒⋅-180]2)1[(180180)2(k k 即当n=k+1时，命题成立 。
综合（1）（2），命题对于任意 N n n ∈≥,3 成立。
6. 若n 为正整数，求证：n 3+5n 能被整除。
证明：（1）当n=1时，命题显然成立； （2）假设当n=k 时，命题成立，则k 3+5k 能被6整除 则当n=k+1时，（k+1）3+5(k+1)= k 3+3k 2+3k+1+5k+5=(k 3+5k)+3k(k+1)+6 由假设知 k 3+5k 能被6整除，而k(k+1)是2的倍数，即3k(k+1)为6的倍数，
第三项6也能被6整除，因此，(k 3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除。
综合(1)(2)知，原命题成立。