9传染病模型与微分方程数值解讲课讲稿
关于数学建模之传染病模型.docx
第五章微分方程模型如果象的某特性是随（或空）化的，那么分析它的化律，它的未来性，通常要建立此象的模型，就是微分方程模型.§1传染病模型建立染病的数学模型来描述染病的播程，分析受感染人数的化律，染病高潮的到来等，一直是各国有关家和官关注的.考某地区的染病的染情况，地区人口数N ，既不考生死，也不考迁移，以天量位.一. SI模型假条件：1.人群分易感染者 ( Susceptible ) 和已感染者 ( Infective ) 两人，称健康人和病人，在刻t 两人在人数中所占比例分作s t 和 i t .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是( 常数 ) ，称日接触率，当病人与健康人有效接触，使健康者受感染病人.建立描述 i t化的数学模型 .解：s t i t1s t N i t N N由假 2 知，每个病人每天可使s t 个健康者病人，又由于病人数N i t ，每天共有s t N i t个健康人被感染 .于是N si 就是病人数 N i的增加率，即有N di N si ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)dtdi1.si 而s i又记初始时刻 ( t0 ) 病人的比例为 i 0 ，则dii 1idti 0 i 0这就是 Logistic模型，其解为i t1 111 e ti 0［结果分析］作出 i t ~ t 和di~ i 的图形如下：dtdi idtdi 1 dt m2t mt1i21. 当 i1 时， di取到最大值 di ，此时刻为2 dtdtmt m1ln 11i 02. 当 t时， i 1即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二 . SIS 模 型在前面假设 1、2 之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型 .假设 1、 2 同 SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率. 病人治愈后成为易感染者（健康人）. 显然1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、 3 之下，模型（ 1）修正为N diN iNsidtdiii 1 i于是dti 0i0解得1i 0 i t11e－1t,t,i 0［结果分析］1. 令.＝注意到和 1的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数 .111i1i i11i 01111 i00t0t当1，病人比例i t越来越小，最于零.1，i t的增减性取决于i0的大小，其极限 i 1当1.3. SI 模型是 SIS 模型中0 的情形.三 . SIR模型大多数染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很的免疫力，所以病愈的人既非健康者, 也非病人 , 他已退出染系，此模型的假1. 人群分健康者、病人和病愈免疫的移出者三，称SIR 模型 . 三人在人数N 中占的比例分作s i 、 i t和 r t .1. 病人的日接解率，日治愈率（与 SIS模型相同），染期接触数＝.解：由假1，有s t i t r t1ds di dr0 dt dt dt由假2，得N drN idisi N i N dtNdtdridt又 s 0s0 , i 0i0 , r 00 disi idt于是disi idtdssi⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2) dti 0i0 , s 0s0我在相平面上来解的性.精选文库相的定域D s, i s0, i0,s i 1由 (2) 式消去dt，得di11ds s里i s s0i 0解得 i s0i 0- s 1 ln s⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)s0在定域 D 内，(3)式表示的曲即相.。
传染病传播的数学模型---上课
微分方程模型[学习目的]1.加深对微分方程概念的理解，掌握针对一些问题通过建立微分方程的方法及微分方程的求解过程；2.了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧；3.领会建立微分方程模型的逐步改进法的核心及优点，并掌握该方法；4.理解微分方程的解的稳定性的意义，会用稳定性判定模型的解是否有效；5.体会微分方程建摸的艺术性。
在自然学科（如物理、化学、生物、天文）以及在工程、经济、军事、社会等学科中大量的问题可以用微分方程来描述。
正如列宁所说：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似中’．”（列宁选集第二卷，人民出版社1972年版第295页）。
要建立微分方程模型，读者必须掌握元素法（有关元素法，在高等数学中已有介绍）。
所谓元素法，从某种角度上讲，就是分析的方法，它是以自然规律的普遍性为根据并且以局部规律的独立的假定为基础。
在解决各种实际问题时，微分方程用得极其广泛。
读者通过下面的几个不同领域中的模型介绍便有所体会，要想掌握好它，在这方面应作大量的练习。
§17.1、传染病传播的数学模型[学习目标]1.通过学习建立传染病传播的数学模型的思维方法，能归纳出该类建模的关键性步骤及思维方法；并能指出求解传染病传播的数学模型的方法技巧；2.能用已知的传染病传播的数学模型，预报某种传染病的传播；3.学会从简单到复杂的处理问题的方法。
由于人体的疾病难以控制和变化莫测，因此医学中的数学模型较为复杂。
生物医学中的数学模型分为两大类：传染病传播的数学模型和疾病数学模型。
以下仅讨论传染病的传播问题。
人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。
这一现象如何解释呢？关于这个问题，医学工作者试图从医学的不同角度进行解释都得不到令人满意的解释。
最后由于数学工作者的参与，在理论上对上述结论进行了严格的证明。
同时又由于传染病数学模型的建立，分析所得结果与实际过程比较吻合，这个现象才得到了比较满意的解释。
传染病传播模型PPT课件
模型的假设条件为
(1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移 出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占 的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。
(2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ， 传染期接触数为 = /。
(3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N
不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时 间以天为计量单位。
在上述的假设条件下，人员流程图如下
由假设条件显然有 s(t) + i(t) + r(t) = 1
N ds Nsi
dt
Ndi Nsi Ni
dt
N dr Ni
dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别是
s0（s0 > 0）和 i0（i0 > 0）（不妨设移出者的初 始值 r0 = 0），于是得到 SIR 模型为如下的初值 问题
(2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ， 传染期接触数为 = /。
(3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为 N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且
新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ，
则人口的平均寿命为 1/。
在上述的假设条件下，人员流程图如下
此时由假设条件有 s(t) + i(t) + r(t) = 1
NdsNsiNNs
dt
Ndi NsiNiNi
dt
Ndr NiNr
dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 > 0）和 i0（i0 > 0）（不妨设移出者的初 始值 r0 = 0），于是得到考虑出生和死亡的 SIR 模型如下
ds
dt di
dt dr
dt
si s, si i i, i r,
传染病模型PPT
02
03
时间序列分析
通过对历史病例数据进行 时间序列分析，预测未来 一段时间内的病例数量。
机器学习算法
利用机器学习算法对历史 数据进行训练，预测未来 疾病的传播趋势。
贝叶斯推断
基于贝叶斯定理，利用历 史数据和先验知识，推断 未来疾病传播的概率分布 。
模拟与预测的应用场景
政策制定
通过模拟和预测，为政府和卫生部门提供决策依据， 制定有效的防控策略。
公共卫生管理
模拟和预测有助于公共卫生机构评估防控措施的效果 ，优化资源配置。
疫情预警
通过预测方法，提前预警可能的疫情爆发，为及时采 取防控措施提供时间保障。
05
传染病模型的优化与改 进
模型的改进方向
考虑更多影响因素
除了基本的传播方式，还应考虑 人口流动、环境变化、社会经济 因素等对传染病传播的影响。
概率论
传染病模型的预测结果存在不确定 性，因此需要使用概率论知识来评 估预测结果的可靠性和误差范围。
传染病模型的建立过程
数据收集
收集相关数据，包括疾病报告 数据、人口数据、地理信息等 ，用于参数估计和模型验证。
模型验证
使用历史数据对模型进行验证 ，评估模型的准确性和可靠性 。
确定模型目标
根据研究目的确定模型的目标 ，如预测疾病的传播趋势、评 估防控措施的效果等。
提高模型精度
通过增加数据来源和改进模型参 数调整方法，提高模型的预测精 度和可靠性。
动态建模
将传染病模型与时间序列分析、 机器学习等方法结合，实现动态 建模，更好地反映传染病传播的 时变特性。
模型的优化方法与技术
混合模型
结合不同模型的优点，构建混合模型，以提高预 测精度和可靠性。
传染病数学模型PPT课件
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1
传染病的随机感染模型
在人群中有病人(带菌者)和健康人(易感人群)， 任何两个人之间的接触都是随机的。当然健康人 与非健康人之间的接触时是否被感染也是随机的。 这时如何估计平均每天有多少健康人被感染？
最新课件
2
接触概率
感染概率
总的感染人数
一个健康人被其他的所有病人感染的概率
0
0
f ( x1 , x2 ) g( x1 , x2 )
的两个实根 x1x1 0,x2x2 0 称为该微分方程的平衡点
lti m x 1 (t) x 1 0 ,lti m x 2 (t) x 2 0则称该点为稳定点 f , g 是非线性，这时应用泰勒公式，只保留其线
性主部，而这时的新方程和原来的方程有相同的稳定性。 当特征根为负数或者有负实部时，该点为稳定
i(0 ) i0 , s(0 ) s0
ds
d
i
i
1
1
s s s0 i0
i(s0i0)s1lnss0
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随着时间的变化, s , i , r 如何变化?
sri1
ds di
1 s
1
i s s 0 i 0
dr i dt ds si dt
1 10 s 1
s
s0
1
p1
p m
n1
一健康人被感染的概率 p 2 1(1p1)i
健康人被感染的人数也服从二项分布， 每天被
感染的人数 也服从二项分布 sp2
p21(1m ni )
mi (ni)
n
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离散
连续 变化是时间的函数
人群中只分为健康人和病人两种或者易感染者 （Susceptible）和已感染者（Infective）.病人数和健
微分方程模型—传染病-PPT精选文档
dsolve('Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y','y(0)=i0','t')
SIS模型 di
di/dt
di 1 i [ i ( 1 )] i( 1 i) i / dt dt i
i0
1-1/
>1
>1
i
1
i0
di/dt < 0
i s 1 ( 通常 r ( 0 ) r 很小） 研究解的性质 0 0 0
SIR模型
di dt si i ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
消去dt /
1 di ds s 1 i s s i0
di dt si i ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
R0=λS/=S表示平均每 个病人总传播人数。 R0<1, 传染病不蔓延
无法求出 i(t),s(t)
的解析解！！！
在相平面 s ~ i 上
0
1-1/
1 i
i0
0
1 1 , 1 i() 1 0,
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1
i0小
1 i(t)
人数不超过病人数 思考：Logistic模型 (SI模型)如何看作SIS模型的特例？
感染期内有效接触感染的 i(t)按 S形曲线增长
有治愈无免疫模型Susceptible Infective Susceptible
SIS模型
数模选修课传染病与微分方程稳定性PPT学习教案
2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）
1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条) （5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被
治愈的病人数占病人总数的比例为μ。 μ表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以1/μ就可 以表示传染病的平均感染期，也是一个病人从发病到被治愈 经历的时间。 根据假设5，Logistic模型被修改为：
若P0稳定，则应有：ltim
x1(t )
x10
,
lim
t
x2 (t )
x20 .
第24页/共33页
其次将方程组线性化：
x 1 (t ) x 2 (t )
f ( x1, x2 ) g( x1, x2 )
x 1 ( t x 2 (t
) )
f x1 ( P0 )(x1 gx1 ( P0 )(x1
i
i0
画出解的图象为 ：
1-1/σ i0
t
第10页/共33页
模型结果分 析
σ=λ ∕ μ
i σ<1，t →+∞时 i(t)→0.
i0
0
第11页/共33页
t
3、SIR模型（免疫模型）
1、假设：这里的假设类似于模型B，只是引入R类人群。分 别记s(t)、i(t)、r(t)为病人、易感人群、移出者在总人口中 所占的比例。s(t)+ i(t)+ r(t) = 1。另外，日接触率λ，日治 愈率μ。 根据假设，模型被修正为 注意：此方程组无法求解 析解。
P3(0,0),
P4
N1(1 1 1 1 2
)
,
N2(1 2 1 1 2
)
p
P1
r1-r2(1- 2 )
传染病的数学模型讲课讲稿
传染病模型详解2.2.2 /,SI SIS SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。
S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。
I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。
SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下：dS SI dt N I SId tN ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而得到(1)di i i dtβ=- 对此方程进行求解可得：0000(),01tt i e i t i i i i eββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。
与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。
而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。
SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。
Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。
假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 2.9 所示。
微分方程模型—传染病
di/dt dt
i
>1
i0
>1
1-1/
di i[i (1 1 )]
dt
i
1
i0 di/dt < 0
0
1-1/ 1 i
i0
0
i()
1
1
,
1
0,
1
1 i0小 i(t)按S形曲线增长
t0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t)
出者的比例分别为 i(t), s(t), r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
SIR模型
思考：r(t)的方程？
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
感染期内有效接触感染的 人数不超过病人数
思考：Logistic模型 (SI模型)如何看作SIS模型的特例？
有治愈有免疫模型Susceptible Infective Removed
SIR模型 传染病有免疫性——病人治愈
后即移出感染系统，称移出者
肝炎、 SARS等
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
1 2
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
(日接触率) tm
所有人被感染?
有治愈无免疫模型Susceptible Infective Susceptible
SIS模型 传染病无免疫性——病人治愈成
为健康人，健康人可再次被感染
伤风、 痢疾等
《传染病数学模型》PPT课件
24
25
• 变量和参数的含义
26
• 参数及初始值的确定
27
• 基本再生数
R0 k bD
28
• 数值模拟结果 初始时间选为2002年，终止时间选为2010 年。数值模拟结果见图（在图2.1中，30％ 或70％的干预表示传染性系数降低30％或 70％；在图2.2中，30％或70％的干预表示 共用注射器比例降低30％或70％。同时， 干预的时间定为2003年底）。
在参数的确定过程中，由于参考资料的缺乏，有些 参数的取值与实际情况相比会存在一定的差异。今后， 随着参考资料的不断充实和一些统计结果的出现，我们 将会对一些参数做必要的调整和完善。
在本模型中，我们仅仅考虑了共用注射器，而没有 考虑其他途径（如经性），这样做将会使得预测的结果 存在一定的偏差。
23
五、西昌市静脉吸毒人群HIV/AIDS流行趋势
7
三、流行传播的确定性模型
• 标准的流行传播确定性模型为房室模型 (compartment model)。
• 以乙型肝炎病毒（HBV）在人群中的感染和传 播为实例，建立动态模型。按照乙型肝炎感染 传播的特征可以把人群划分为五个部分：(1)
易感者，S(a,t)；(2)潜隐者（从感染发展为 传染的时期），L(a,t)；(3)HBV短期携带者， T(a,t)；(4)慢性HBV携带者，C(a,t)；(5)免 疫者，I(a,t) 。这里，“a”代表年龄，“t”
• 还要注意到在上述预测模型中没有考虑从一个社 区（国家）到另一个社区（国家）的移民（移入 或移出）所产生的影响。
总之，反向计算法仅提供疾病发病和感染流行的 粗病自然史指在没有干预的情况下疾病的演变 过程。
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2
(二)建立数值解法的一些途径
设x i1xi h, i0,1,2,n1,可用以下离解 散微 化分 方方 法 y' f(xy,) y(0x )y0
1、用差商代替导数
若步长h较小，则有
故有公式：
y'(x)y(xh)y(x) h
y yi01yy (x i0 )h(fxi,yi) i0,1,n 2-1,
x2
y i 1 y i 1 2 h f ( x i,y i)i 1 ,.,. n . 1
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5
3、使用泰勒公式
以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法
库塔三阶方法
y n 1
yn
h 6 (K1 4K2
K 3 ),
K
1
K
2
f ( xn , yn ), h
f (xn 2 , yn
因此，研究常微分方程的数值解法十分必要。
对 常 微 分 方 程 ： y y'(x 0f)(x ,yy)0， 其 数 值 解 是 指 由 初 始 点 x0开 始 的 若 干 离 散 的 xi处 ， 即 对 x0x1x2Lxn， 求 出 准 确 值 y(x1), y(x2),L,y(xn)的 相 应 近 似 值 y1,y2,L,yn。
plot(y(:,1),y(:,2),'co');
(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
hold off
legend('t ~ x', 't ~ x`', 'x ~ y');
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11
[t,x]=ode45(@dfun2,[0,20],[2,0]) plot(t,x(:,1),'r-',t,x(:,2),'b.-'); hold on
2、取t0=0, tf=20, 输入命令：
[t,y]=5(@dfun2,[0,20],[2,0]);
[t,y]
1、建立m-文件dfun2.m如下： plot(t,y(:,1),'r-',t,y(:,2),'b.-');
function dx=dfun2(t,y)
hold on
dx=[y(2);
0.6000 1.4832
0.8000 1.6125
1.0000 1.7321 10
例
d2x
dt
2
(x2
1)
dx dt
x
0
x(0) 2; x'(0) 0
解: 令 y1=x，y2=y1’, 则微分方程变为一阶微分方程组：
y1 y2
' '
y2 (1
y12 )
y2
y1
y1(0) 2, y2 (0) 0
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7
(三)用Matlab软件求常微分方程的数值解
[t，x]= solver( ‘f’, ts, x0, options）
自变 函数 量值 值
ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s
由待解 方程写 成的m文件名
ts=[t0，tf]， t0、tf为自变 量的初值和 终值
函数初 值条件
[t,x]=ode23(‘f’, ts, x0) 3级2阶龙格-库塔公式 [t,x]=ode45(@f, ts, x0) 5级4阶龙格-库塔公式
用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at), rt, at：分别为设定的相对误差和绝对误差.
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注意:
1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向 量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.
2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必 须等价地变换成一阶微分方程组.
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微分方程求解实例
设取步长
，从
到
用四阶龙格-库塔方法
求解初值问题
建立m-文件dfun1.m如下
function dx=dfun1(x,y) dx=y-2*x/y;
输入命令
h=0.2;
ts=0:h:1;
y0=1;
[t, x]=ode45('dfun1',ts,y0);
[t, x], plot(t,x)
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3、结果如图
0
1.0000
0.2000 1.1832
0.4000 1.3416
h 2
K 1 ),
K
3
f ( xn h, yn hK1 2hK 2 ).
四阶龙格-库塔公式
6
4、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为o(hk)时
(k为正整数，h为步长)，称它是一个k阶公式。 k越大，则数值公式的精度越高。
欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。
线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。
第五章 微分方程模型
常微分方程的数值解 5.1 传染病模型
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1
常微分方程的数值解及实验
(一)常微分方程数值解 高数中微分方程解法在实际中基本不会直接使用
在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多 得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求 得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者 得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。
故有公式
yi1yi h2[f(xi,yi)f(xi1,yi1)] y0 y(x0)
实际应用时，与欧拉公式结合使用
yi( 01 ) yi h(fxi,yi) yi( k1 1) yi h 2[f(xi,yi)f(xi1,yi( k1 ))]k0,1,2,
对于已， 当 给满 y 的 i( k 1 1 ) 足 y 精 i( k 1 ) 确 时 取 y 度 ， i 1y （ i k 1 1 ） ，
此即欧拉法(向前欧拉法). 对应有隐式欧拉法
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yyi01yy(ix0)hf (xi1, yi1) 3
2、使用数值积分 梯形方法/*trapezoid formula*/
对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分,并利用梯形公式, 有
y(xi1)y(xi)xx ii1f(x,y(x))dx (x i 1 x i)f(x i,y (x i)) 2 f(x i 1 ,y (x i 1 ))
然后继 y i 2的 续计 下算 一 此。 即步 改进的欧拉法
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4
中点欧拉公式 /* midpoint formula */
中心差商近似导数 y(x1)y(x2)2hy(x0)
y ¢( x 1 )
y (x 2 ) y (x 0 ) 2 h f(x 1 ,y (x 1 ))
x0
x1