两条直线位置关系
《两条直线的位置关系》教学设计
本节课我坚持循序渐进与启发式的教学原则，采用了诱思探究教学法。在教法设计中充分利用 信息技术平台辅助教学，展示平行与垂直位置关系，学生直观想象，教师点拨，启发学生观察分析、 主动思考、动手操作、自主探究、归纳猜想来达到对知识的发现和接受。
2、教学建议
（1）在教学中要引导学生从初中的用两条直线平行的判定定理和性质来判定两条直线是否平行的 过渡到高中通过直线的方程来判断直线平行。在探究两条直线平行关系时要点拨学生将两条直线平 行的判定定理和性质定理转化成高中数学解析几何中的语言，用倾斜角、斜率、截距来重新刻画有 关的条件。
将作业分为必做题（教材 P79 习题 2-1 5，6，8 三道题和选作题两个部分，必做题面向全体， 注重知识反馈，选作题更注重知识的延伸性和连贯性，可让有能力的同学去探究。以上六个环节环 环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过交流，动 脑思考，层层递进，学生亲身经历了知识的形成和发展过程。以问题为驱动力，使学生对知识的理 解逐步深入。而最终的选做题又激发学生兴趣，带领学生进入更进一步的思考研究之中，从而达到 知识在课堂以外的延伸。
结 论 1 ： 两 直 线 平 行 的 充 要 条 件 ： 已 知 两 直 线 分 别 为 l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2x b2 ， 则
l1 // l2 k1 k2 且 b1 b2 .从而达到了重点的突破
（2）两直线垂直问题 通过三种不同情况的图例，学生归纳总结出两条直线倾斜角的关系，但是两直线垂直时的倾斜
四、板书设计
两条直线的位置关系
平行
特殊 两条直线斜率
情况 都不存在
（斜
率不
存在）
人教版高数必修二第9讲：两条直线的位置关系(学生版)
两条直线的位置关系一、两直线平行、相交与重合的条件1．已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0，i ＝1,2)．(1)l 1与l 2相交的条件：______________或 _____________(2)l 1与l 2平行的条件：________而__________或___________;或(3)l 1与l 2重合的条件：________________________或2.已知两直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2.(1)l 1∥l 2的条件：________________.(2)l 1与l 2重合的条件：_________________.(3)l 1与l 2相交的条件：________________.二、两直线垂直的条件1．两直线垂直的条件(1)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0)，l 1⊥l 2⇔____________________.(2)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔________________.类型一 两条直线平行例1：判断下列各组中两条直线的位置关系．(1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0；(2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23； (3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2；(4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.练习1：判定下列每组中所给两直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1：x ＋2y －3＝0，l 2：2x ＋4y ＋1＝0.(2)l 1：y ＝－3x ＋1，l 2：y ＝13x ＋2. (3)l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x －6y ＋2＝0.练习2：下列命题：①若直线1l 与2l 的斜率相等，则12//l l ；②若直线12//l l ，则两直线的斜率相等；③若直线12,l l 的斜率均不存在，则12//l l ；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤如果直线12//l l ，且1l 的斜率不存在，那么2l 的斜率也不存在．其中正确命题的序号为 ___ ．例2、已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合．练习1：(2014·辽宁大连市第三中学高一期末测试)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则实数a 的取值是( )A ．－1或2B ．0或1C ．－1D ．2练习2：已知两直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋(a ＋4)y ＋2＝0，若l 1∥l 2，求a 的值．例3：试求三条直线ax ＋y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0构成三角形的条件．练习1：三条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：x －y ＝0，l 3：x ＋ay －3＝0能构成三角形，求实数a 的取值范围．练习2：直线l 经过2320x y -+=和3420x y --=的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．类型二 两条直线垂直例4：当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？练习1：判断下列各组中两条直线l 1与l 2是否垂直．(1)l 1：2x －y ＝0，l 2：x －2y ＝0；(2)l 1：2x －4y －7＝0，l 2：2x ＋y －5＝0；(3)l 1：2x －7＝0，l 2：6y －5＝0.练习2：如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率为( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3例5：若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y ＝a 2(a >0)与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2练习1：若直线l 1：(2a ＋5)x ＋(a －2)y ＋4＝0与直线l 2：(2－a )x ＋(a ＋3)y －1＝0互相垂直，则( )A ．a ＝2B ．a ＝－2C ．a ＝2或a ＝－2D ．a ＝2,0，－2练习2：已知直线2ax ＋y －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0垂直，则实数a 的值等于( )A.12B.32C ．0或12D ．0或321．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝02．经过两条直线2x ＋y －4＝0和x －y ＋1＝0的交点，且与直线2x ＋3y －1＝0平行的直线方程是() A ．2x ＋3y －7＝0 B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －8＝0D ．2x －3y ＋2＝03．直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－34．直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0垂直，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．25过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝06. 以A (－2,1)、B (4,3)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0B ．3x －y －5＝0C ．3x ＋y －5＝0D ．3x ＋y ＋5＝07. l 1过点A (m,1)、B (－3,4)，l 2过点C (0,2)、D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________.8.求过直线x －y －2＝0和4x －2y －5＝0的交点且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－16，12B.⎝⎛⎭⎫－12，12C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，－16∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞2．对于直线ax ＋y －a ＝0(a ≠0)，以下说法正确的是( )A ．恒过定点，且斜率与纵截距相等B ．恒过定点，且横截距恒为定值C ．恒过定点，且与x 轴平行D ．恒过定点，且与x 轴垂直3．和直线3x ＋4y －7＝0垂直，并且在x 轴上的截距是－2的直线方程是________________．4．下列命题：①若两条直线平行，则其斜率必相等；②若两条直线垂直，则其斜率的乘积必是1-；③过点()1,1-且斜率为2的直线方程是121y x -=+；④同垂直于x 轴的两条直线都和y 轴平行或重合．其中真命题的由 ．5．已知三角形三顶点A (4,0)、B (8,10)、C (0,6)，求：(1)AC 边上的高所在的直线方程；(2)过A 点且平行于BC 的直线方程．能力提升6．设P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上一点，P 2(x 2，y 2)是不在直线l 上的点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与l 的关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交D ．位置关系不确定7. 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y －3x －1＝2，x 、y ∈R ，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－2D ．－4或2 8. 已知直线3ax －y ＝1与直线⎝⎛⎭⎫a －23x ＋y ＋1＝0互相垂直，则a 的值是( ) A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1D ．－13或1 9. 无论m 取何值，直线(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0都过定点________．10. 已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直相交于点(1，m )，则a ＝________，C ＝________，m ＝________.11. 平行四边形的两邻边的方程是x ＋y ＋1＝0和3x －y ＋4＝0，对角线的交点是O ′(3,3)，求另外两边的方程．12. 已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程．。
第八章 第二节 两直线的位置关系1
设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线
方程可设为Bx－Ay＋n＝0，在用待定系数法求直线方 程时，这种设法可以避免对斜率是否存在的讨论． (2)在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时 直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0形式后才能指出A，
B，C的值，否则会出错．
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平 行
A1 B 1 C 1 (当 A2B2C2≠0 时，记为A ＝B ≠C ) 2 2 2
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斜截式
一般式
重 合
k1＝k2 且 b1＝b2
A1＝A2，B1＝B2，C1＝C2(≠0)(当 A2B2≠0时，记为 A1＝B1＝C1 ) A2 B2 C2
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二、两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y ＋ C2 ＝ 0 ， 两 条 直 线 的 交点坐标 就 是 方 程 组
答案：A
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3．直线 ax＋y＋5＝0 与 x－2y＋7＝0 垂直，则 a 为 A．2 C．－2 1 B.2 1 D．－2
(ห้องสมุดไป่ตู้
)
解析：由a×1＋1×(－2)＝0，
∴a＝2.
答案： A
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4．(教材习题改编)若两直线x＋ay＋3＝0与3x－2y＋a＝0 平行，则a＝________.
1 a 3 2 解析：由3＝ ≠a，∴a＝－3. －2
＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·2＝－1. k
②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则： l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 返回
[精析考题] [例2] (2011· 北京高考)已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函 数y＝x2的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个
《两条直线的位置关系》教学设计
《两条直线的位置关系》教学设计教学目标：1.知识目标：学生理解两条直线的位置关系，包括平行、相交和垂直。
2.能力目标：学生能够根据给定的两条直线，判断它们的位置关系，并能够正确画出这些直线。
3.情感目标：培养学生对几何概念的兴趣，提高其观察能力和逻辑推理能力。
教学重点和难点：重点：介绍和讲解直线的位置关系，包括平行、相交和垂直。
难点：辅助学生学会如何判断两条直线的位置关系，并正确表达这些关系。
教学准备：教具准备：黑板、粉笔、白板、彩色笔、直尺、圆规等。
教学材料：包括展示两条直线的图片和实例，以及相关的练习题和作业。
教学过程：一、导入教师可利用幻灯片或实物展示图片，让学生观察并思考两条直线的位置关系，引发学生对今天课程主题的兴趣和好奇。
二、讲授1.平行直线-介绍：如果两条直线上的任意一点都不能同时在另一条直线上，这两条直线就是平行的。
-展示：在白板或黑板上画出两条平行直线，并使用彩色笔标记出它们的特点。
-示范：给出一些实例，让学生判断和画出这些平行直线。
2.相交直线-介绍：如果两条直线上的一点都在另一条直线上，这两条直线就是相交的。
-展示：在白板或黑板上画出两条相交直线，并标记出它们的相交点和特点。
-示范：给出一些实例，让学生判断和画出这些相交直线。
3.垂直直线-介绍：如果两条直线相交时，它们的交角为90度，则这两条直线是垂直的。
-展示：在白板或黑板上画出两条垂直直线，并标记出它们的交角和特点。
-示范：给出一些实例，让学生判断和画出这些垂直直线。
三、练习教师出示一些练习题，让学生根据所学知识判断和画出给定直线的位置关系，以巩固和加深学生对这些概念的理解。
四、拓展教师可以出示一些拓展题目，让学生运用所学知识解决更复杂的问题，激发其思维和探索能力。
五、总结通过让学生总结本节课所学知识，巩固他们的学习成果，确保他们能够正确理解和运用直线的位置关系概念。
六、作业布置相关作业，让学生在家里进一步练习和巩固所学知识，加深对直线位置关系的理解和掌握。
两条直线的位置关系知识点总结
两条直线的位置关系知识点总结在几何学中，直线是最基本的几何元素之一。
考虑两条直线之间的位置关系是几何学的一个基本问题。
在这篇文章中，我们将讨论两条直线的位置关系，并总结一些重要的知识点。
平行线当两条直线在同一平面内，且它们不相交（或在一个点相交）时，这两条直线被称为平行线。
我们常常使用符号“||”来表示平行线。
如果直线l和m平行，则我们可以表示它们为l || m。
平行线有一些重要的性质。
首先，平行线之间的距离始终相等。
其次，平行线之间的夹角始终相等。
因此，如果我们有两条平行线和一条横穿它们的第三条直线，则其中每一组相邻角度都相等。
这被称为平行线的交错内角定理。
垂直线另一种常见的直线位置关系是垂直线。
当两条直线在同一平面内且它们交叉成直角时，这两条直线被称为垂直线。
我们通常使用符号“⊥”来表示垂直。
垂直线也有一些重要的性质。
首先，当两条直线垂直相交时，它们之间的夹角恰好是90度。
其次，如果我们有一条直线和另一条线的垂线交叉，那么其中每一组相邻的角都是补角相等的。
这称为垂线的垂直角定理。
倾斜线倾斜线是指既不是平行线也不是垂直线的直线。
在考虑倾斜线的位置关系时，我们可能需要使用一些比较专业的术语。
首先，我们可以使用夹角的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。
如果两条倾斜线之间的夹角小于90度，则这两条线是锐角。
如果夹角等于90度，则这两条线是垂直线。
如果夹角大于90度，则这两条线是钝角。
其次，我们可以使用距离的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。
两条倾斜线之间的距离是它们之间最短的距离。
如果两条倾斜线从不相交，则它们的距离为零。
如果两条倾斜线相交，它们的距离将大于零。
总结在几何学中，考虑两条直线之间的位置关系是一个基本问题。
平行线的距离相等，夹角相等；而垂直线的夹角为90度，其相邻角度是补角相等的。
倾斜线的位置关系可以用夹角和距离来描述。
对于倾斜线，我们可以使用术语锐角、垂直线和钝角来描述它们之间的夹角。
知识点梳理 -两条直线的位置关系
两条直线的位置关系两条直线倾斜角斜率 斜截式111222::l y k x b l y k x b =+=+ 一般式(1)11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=一般式(2)重合相等1212,k k b b ==111222222(0)A B C A B C A B C ==≠ 两直线方程可化为同样形式 平行相等1212,k k b b =≠111222222(0)A B C A B C A B C =≠≠(对应系数成比例)()12112212//:0,:0l l l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠⇔垂直121k k =-12120A A B B +=(对应系数相乘再相加等于零)121122:0,:0l l l Ax By C l Bx Ay C ⊥++=-+=⇔相交不相等12k k ≠1122222(0)A B A B C A B ≠≠ /3.已知两直线1:(3)453l m x y m ++=-，2:2(5)8l x m y ++=. 当m 为何值时，1l 与2l ，(1)平行；(2)相交；(3)垂直.解：(1)当5m =-时，得12:2420,:28l x y l x -+==，此时两直线相交. 当5m ≠-时，若12,l l 相交，则由3425m m+≠+，得7m ≠-且1m ≠-. 综上，当7m ≠-且1m ≠-时，12,l l 相交.(2)若12//l l ，则由3453258m mm +-=≠+，得7m =-.故当7m =-时，12//l l . (3)若12l l ⊥，则由()()32450m m +⨯+⨯+=，得133m =-.故当133m =-时，12l l ⊥.点评：上面我们讨论两直线相交或平行时，要根据根据分母情况分类讨论，能否不分类直接计算呢？实际上，我们可以将分式化为整式，从而避免讨论分母.即111222222(0)A B C A B C A B C =≠≠12211221,A B A B B C B C ⇒=≠ 解法二：(1)若12,l l 相交，则由()()3524m m ++≠⨯，得7m ≠-且1m ≠-. 故当7m ≠-且1m ≠-时，12,l l 相交.(2)若12//l l ，则由()()3524m m ++=⨯，()()()48535m m ⨯-≠+⨯-，得7m =-.故当7m =-时，12//l l .。
与同一平面平行的两条直线的位置关系
与同一平面平行的两条直线的位置关系
两条直线的位置关系：平行、相交。
两种。
分析过程如下：在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行、相交。
在空间中两条直线的位置关系有三种：平行、相交、异面。
假定两直线不平行，那么就必定相交。
这样，这两条不平行的直线就与第三条相截的直线构成一个三角形。
其中的一个同位角就成了三角形的外角。
因为三角形的外角等同于与它不相连的两个内角的和，即为：其中的一个同位角等同于另一个同位角和不相连的内角的和。
所以，其中的一个同位角不等同于另一个同位角。
也就是两直线不平行同位角不成正比，反之必定设立。
平行线的性质：
1、平行于同一直线的直线互相平行；
2、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
3、两平行直线被第三条直线所封盖，内错角成正比；
4、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
专题 两条直线的位置关系(知识点串讲)(老师版)
专题05两条直线的位置关系重难突破知识点一对顶角、邻补角、互余、互补1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．相交线的定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．2、对顶角两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．如图1∠和3∠是对顶角；2∠和4∠是对顶角对顶角的性质：对顶角相等．注意：①形成对顶角的前提条件是两条直线相交。
对顶角不仅反映了角的数量关系，还反映了角的位置关系；②对顶角必须具备两个条件：有公共顶点；两边互为反向延长线．③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角．3、邻补角两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．如图，1∠和2∠有公共顶点O ，有一条公共边OC ，OA 与OB 互为反向延长线，所以1∠和2∠互为邻补角；4、余角和补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．（2）性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．典例1（2021春•福田区校级月考）下列四个图形中，1∠与2∠是对顶角的是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、1∠的两边不是2∠的两边的反向延长线，不是对顶角，不合题意；B 、1∠的两边不是2∠的两边的反向延长线，不是对顶角，不合题意；C 、1∠的两边是2∠的两边的反向延长线，是对顶角，符合题意；D 、1∠的两边是2∠没有公共顶点，不是对顶角，不合题意；故选：C ．典例2（2020春•南山区期中）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 为DOB ∠的角平分线，若54AOC ∠=︒，则DOE ∠的度数为()A ．25︒B ．26︒C ．27︒D ．28︒【解答】解：54AOC ∠=︒，54BOD ∴∠=︒，OE 为DOB ∠的角平分线，154272DOE ∴∠=⨯︒=︒，故选：C ．（2020春•高明区期末）如图，直线AB CD ⊥于点O ，EF 为过点O 的一条直线，则1∠与2∠的关系中一定成立的是()A ．互为邻补角B ．互为补角C ．互为对顶角D ．互为余角【解答】解：图中，2COE ∠=∠（对顶角相等），又AB CD ⊥，190COE ∴∠+∠=︒，1290∴∠+∠=︒．故选：D ．知识点二垂直、垂线段最短1、垂直两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB 与CD 互相垂直，记作AB CD ⊥或（CD AB ⊥），读作“AB 垂直于CD ”，垂足为O ；注意：两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况．2、垂线的性质平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．注意：①画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条；②必须强调“在同一平面内”，否则，在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线有无数条；③点到直线的距离，一定是线段的长度，不是线段．（2020春•揭阳期中）若点A 到直线l 的距离为7cm ，点B 到直线l 的距离为3cm ，则线段AB 的长度为()A ．10cmB ．4cmC ．10cm 或4cmD ．至少4cm 【解答】解：从点A 作直线l 的垂线，垂足为C 点，当A 、B 、C 三点共线时，线段AB 的长为734cm -=，其它情况下大于4cm ，当A 、B 在直线l 的两侧时，4AB cm >，故选：D ．典例2（2020•金平区一模）能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是()A ．两点之间线段最短B ．两点确定一条直线C ．垂线段最短D ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【解答】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是两点确定一条直线，故选：B ．典例3（2020•南海区校级模拟）如图，CA AB ⊥，EA AD ⊥，已知45DAB ∠=︒，那么EAC ∠的大小是()A ．50︒B ．45︒C ．30︒D ．60︒【解答】解：CA AB ⊥，90CAD DAB CAB ∴∠+∠=∠=︒，45DAB ∠=︒，45CAD ∴∠=︒，EA AD ⊥，90EAD ∴∠=︒，90904545EAC CAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：B ．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2020春•五莲县期末）下列四个图中，1∠与2∠是对顶角的是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：图B 中的两角没有公共顶点，不符合对顶角的条件；图A 、D 满足两角有一个公共定点，但两个角的边不是互为反向延长线，故不符合对顶角的条件；只有C 中的两个角满足对顶角的定义．故选：C ．2．（2019•紫金县一模）如图，直线AC 和直线BD 相交于点O ，若1290∠+∠=︒，则BOC ∠的度数是()A ．100︒B ．115︒C ．135︒D ．145︒【解答】解：12∠=∠，1290∠+∠=︒，1245∴∠=∠=︒，135BOC ∴∠=︒，故选：C ．3．（2019春•光明区期末）如图，CO AB ⊥，垂足为O ，90DOE ∠=︒，下列结论不正确的是()A ．1290∠+∠=︒B ．2390∠+∠=︒C ．1390∠+∠=︒D ．3490∠+∠=︒【解答】解：如图，CO AB ⊥，123490BOC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，90DOE ∠=︒，2390∴∠+∠=︒，1490∴∠+∠=︒，∴结论不正确的是：1390∠+∠=︒，故选：C ．4．（2020春•济阳区期末）如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分EOC ∠，100EOC ∠=︒，则BOE ∠的大小为()A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【解答】解：OA 平分EOC ∠，100EOC ∠=︒，1502AOE EOC ∴∠=∠=︒，180130BOE AOE ∴∠=︒-∠=︒．故选：D ．5．（2020秋•长春期末）如图，AC BC ⊥，4AC =，点D 是线段BC 上的动点，则A 、D 两点之间的距离不可能是()A ．3.5B ．4.5C ．5D ．5.5【解答】解：AC BC ⊥，4AC =，AD AC ∴ ，即4AD ．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．6．（2021春•历下区期中）如图，要把河中的水引到村庄A ，小凡先作AB CD ⊥，垂足为点B ，然后沿AB 开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是()A ．两点确定一条直线B ．两点之间线段最短C ．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短D ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线【解答】解：先过点A 作AB CD ⊥，垂足为点B ，然后沿AB 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；故选：C ．7．（2020春•南海区期末）如图，小华同学的家在点P 处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段PC 去公路边，他的这一选择用到的数学知识是()A．两点确定一条直线B．两点之间直线最短C．两点之间线段最短D．垂线段最短【解答】解：某同学的家在P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择P C→路线，是因为垂线段最短，故选：D．8．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分AOC∠的度数为BOD∠=︒，则CON∠，ON OM⊥．若70()A．35︒B．45︒C．55︒D．65︒【解答】解：70∴∠=∠=︒，AOM MOCBOD AOC∠，35∠=∠=︒，射线OM平分AOCCON∴∠=︒-︒=︒．故选：C．ON OM⊥，903555二、填空题（共5小题）9．（2021春•福田区校级期中）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是（用字母表示）．【解答】解：PM MN⊥，∴由垂线段最短可知PM是最短的，故答案为：PM．10．（2019春•杏花岭区校级期中）如图，直线a与直线b相交于点O，231∠=∠，2∠=．【解答】解：依题意设1xx=，2135∴+=，解得45∴∠=︒．∠=︒，12180∠=︒，则23x∠+∠=︒，3180x x故答案为：135︒．11．（2021春•南海区校级期中）如图，E是直线CA上一点，40⊥，∠，GE EFFEA∠=︒，射线EB平分CEF则GEB∠=︒．【解答】解：40FEA ∠=︒．140CEF ∴∠=︒．EB 平分CEF ∠．∴1702CEB BEF CEF ∠=∠=∠=︒．GE EF ⊥．90GEF ∴∠=︒．20GBE GEF BEF ∴∠=∠-∠=︒．故答案为：20．12．（2020春•金山区期中）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，40AOC ∠=︒，过点O 作EO AB ⊥，则DOE ∠的度数为．【解答】解：直线AB 与直线CD 相交，40AOC ∠=︒，40BOD AOC ∴∠=∠=︒．EO AB ⊥，90BOE ∴∠=︒，904050DOE BOE BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：50︒．13．（2021春•金牛区校级月考）已知A ∠与的B ∠两边分别垂直，且A ∠比B ∠的3倍少20︒，则A ∠的大小是．【解答】解：设B ∠是x 度，根据题意，得①两个角相等时，如图1:B A x ∠=∠=︒，320x x =-，解得10x =；②两个角互补时，如图2:320180x x +-=，所以50x =，35020130⨯︒-︒=︒．故A ∠的大小是10︒或130︒．故答案为：10︒或130︒．三、解答题（共2小题）14．（2021春•简阳市月考）如图所示，直线AB 、CD 相交O ，OE AB ⊥于O ，且3DOE COE ∠=∠，求BOD ∠的度数和AOD ∠的度数．【解答】解：3DOE COE ∠=∠，180DOE COE ∠+∠=︒，135DOE ∴∠=︒，OE AB ⊥，45BOD ∴∠=︒，180AOB ∠=︒，135AOD AOB BOD ∴∠=∠-∠=︒．15．（2020秋•砚山县期末）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，90AOM ∠=︒．（1）如图1，若OC 平分AOM ∠，求AOD ∠的度数；（2）如图2，若4BOC NOB ∠=∠，且OM 平分NOC ∠，求MON ∠的度数．【解答】解（1）90AOM ∠=︒，OC 平分AOM ∠，11904522AOC AOM ∴∠=∠=⨯︒=︒，180AOC AOD ∠+∠=︒，180********AOD AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，即AOD ∠的度数为135︒；（2）4BOC NOB∠=∠∴设NOB x ∠=︒，4BOC x ∠=︒，43CON COB BON x x x ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，OM 平分CON ∠，1322COM MON CON x ∴∠=∠=∠=︒，3902BOM x x ∠=+=︒，36x ∴=︒，33365422MON x ∴∠=︒=⨯︒=︒，即MON ∠的度数为54︒．。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b ⇔==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B CA B C A B C ⇔==≠。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
1） 斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+平行1212,k k b b ⇔=≠ 2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=平行()1112222220A B C A B C A B C ⇔=≠≠。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k ⇔≠2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B ⇔≠ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
1）1l 与2l 相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
例2：设三条直线21,23,345x y x ky kx y -=+=+=交于一点，求k 的值。
中职数学教案：两条直线的位置关系(全2课时)
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题§8.4.1两条直线的位置关系(1)教学目标1理解两条直线的位置关系2通过解直线方程组求两条直线交点3通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力重点求两条直线的交点难点平面上两条直线的交点问题与二元一次方程组关系的理解教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一新课引入平面内两条直线，若不平行（或重合），则必然相交，交于一点；如何通过直线方程研究两条直线的位置关系呢？二新知探究1 已知平面内两条直线的方程，若两条直线不平行（或重合），则必然相交，且交点坐标是唯一确定的，如何求交点坐标呢？2求两条直线交点的方法——解方程组设两条直线的方程分别是：：教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容五小结作业求两条直线的交点方法是解方程组：这个方程组的解就是两直线交点的坐标．作业布置：P80练习1、2板书设计§8.4.1两条直线的位置关系一、两条直线的交点求法解方程组二、例题三、习题教后札记江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：教学内容两条直线平行的判定:说明:为了降低难度，设定两条直线不重合且有斜率存在。
结合图形，归纳结论一般地，如果两条直线的方程分别是若它们平行，则它们倾斜角相等，斜率相等.所以l1∥l2,21kk=⇒且;21bb≠反之，若,21kk=且;21bb≠则倾斜角相等，则l1∥l2，即,21kk=且⇒≠21bb l1∥l2，因此，当直线l1，l2的斜率分别为21,kk时，有l1∥l2,21kk=⇔且;21bb≠（板书）【引导分析】直线方程为一般式时，判断平行的步骤.三例题讲解例3．判断下列直线是否平行：（1）直线l1：2x-y=0 和l2：x+2y-3=0；（2）直线l1：x-y=0 和l2：2x-2y-3=0师生共同解题（板书）解：（1）两条直线的斜率分别是，即,21kk≠两条直线不平行.（2）两条直线的斜率分别是1,121==kk，。
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-- -- １1.3两条直线位置关系
一、教学内容分析
本小节的内容大致可以分为两部分：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两条直线的交点和位置关系; 第二课时, 两条直线的夹角; 第三课时，两直线的位置关系与夹角公式的应用. 在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中,我们用代数方法,在平面直角坐标系中,研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想. 本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上,抓住“形与数”的对应,理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解,将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题,由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合,对于相应的二元一次方程组就是:有唯一解、无解、无数多个解. 然后对两直线相交的情况作定量的研究,规定两条相交直-- -- 线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角,通过分析两条相交直线的图形的几何性质,联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式． 本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是:建立新旧知识的联系,寻找新知识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系,以及利用数量关系处理几何关系的方法． 对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题. 二、教学目标设计 理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解,会求两条相交直线的交点;掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映,理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论，运用已有知识解决新问题的能力，提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力. 三、教学重点及难点 -- -- 求两条直线的交点，掌握判断两条直线的位置关系的方法；两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应．
四、教学用具准备 多媒体设备 五、教学流程设计
六、教学过程设计 一、情境设置,导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线,让学生观察这两条直线的位置关系.
课堂小结并布置作业
两条直线的位置关系与方程组的解的关系 两条直线的交点坐标 问题引出如何用直线方程判断两直线的位置关系
两条直线的位置关系 （相交、平行、重合）
情境引入
运用与深化(概念辨析、例题解析、巩固练习、问题拓展) --
-- 思考并回答下列问题 1、平面上两条直线有几种位置关系?各有什么几何特征？ 解答:两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合.
从几何特征上看:相交有唯一的公共点；平行没有公共点；重合至少有两个公共点,进而有无数个公共点. [说明] 通过教具演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系,由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊情况. 2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢? [说明] 通过对已有相关知识的回顾，自然地提出此问题（暂不要学生回答）,给出下面的引例,引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标,促进学生学习的主动性． 二、学习新课 关于两直线的交点、位置关系
1、概念引入 引例：解下列方程组：
（1)0220243yxyx;(２）21310362xyyx；(3)2131062xyyx． -- -- 然后，请你回答:上述方程组所表示的两条直线的交点个数?如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系？ 解答:由直线方程的概念，我们知道 方程组(1)有唯一的解22yx，两条直线有且只有一个公共点为)2,2(;
方程组(2)有无数组解，两条直线有无数个公共点； 方程组（3)无解,两条直线无公共点． ［说明] ①启发学生观察，并得出如下结论:方程组（1）~（3）的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的；方程组(1）的解就是两条直线的交点坐标．并根据上述实例,引导学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.②在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,使得学生对概念的认识不断深入．
２、概念形成
一般地，设两条直线的方程分别为 1l：0111cybxa（11,ba不全为零)……①
2l：0222cybxa(22,ba不全为零）……② 两条相交直线的交点坐标 思考并回答：如何求直线1l、2l的交点？
解答：由直线与直线方程的对应关系,若两条直线相交,由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解,反之,若两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线1l、2l交点-- -- 的求法: 联立1l与2l的方程:002211cybxacybxa……（Ⅰ）,此方程组的解，即为直线1l、2l交点. 两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系
思考并回答：由方程①②如何判断直线1l、2l的位置关系?
解答:由引例分析、归纳出：直线1l、2l的三种位置关系:相交、平行、重合,对于直线1l、2l的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解．因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线1l、2l的位置关系.
联立1l与2l的方程,得方程组：002211cybxacybxa…(Ⅰ），此方程组的解的个数与直线1l、2l交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:2211babaD,2211bcbcDx，2211cacaDy．则
当02211babaD时，方程组（Ⅰ)有唯一的解为DDyDDxyx,此时1l、2l相交于一点，交点坐标是DDDDyx,. 当02211babaD且yxDD,中至少有一个不为零时，方程组(Ⅰ)无解,此时1l、2l没有公共点，即直线1l与2l平行． 当0yxDDD时,方程组(Ⅰ)有无穷多个解,此时1l、2l
有无数多个公共点,即直线1l与2l重合. ［说明]①这个问题是本节课的中心议题,应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见,形成“高潮”;②指出：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中,由于两个不同的方程可以表示同一条-- -- 直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究. 回到引例
请学生用上述结论，判断引例中三组直线的位置关系. ［说明] ①与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌握判断直线位置关系的方法：通过计算由直线方程的系数构成的行列式D、yxDD、的值,判断两直线的平行、重合、相交. ②通过引例(2)（3）指出,前提条件是直线方程为一般形式.
３、概念的辨析 两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:
1l与2l相交方程组(Ⅰ)有唯一解0D即1221baba;
1l与2l平行方程组(Ⅰ)无解0D且yxDD,中至少有
一个不为零； 1l与2l重合方程组(Ⅰ）有无穷多解0yxDDD
.
02211babaD时,1l与2l平行或重合，即02211
babaD是
1l
与2l平行的必要非充分条件．换言之,2112baba1l∥2l;若两条直线不重合，则1221baba1l／/2l.
[说明] 引导学生得出：①两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；②对易出错的概念进行反思.
４、例题分析 例1已知直线1l:313xay与2l:01)1(2yax,求实数a的值,使直线1l与2l平行.（补充例题） -- -- 解:先把直线1l的方程化为一般形式1l：013yax.
21//ll，由0D,∴(1)60aa,解得3a或2a， 当时3a两方程化为0133yx与0122yx显然平行; 当时，2a 两方程化为0132yx与0132yx两直线重合．
∴2a不符合,∴3a即为所求. [说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，将学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中,以便达到强化训练的目的.②强调0D是两直线平行的必要条件,求得的字母取值可能使两直线平行，也可能是重合，注意检验. 例２ 讨论直线下列各组直线之间的位置关系. (课本p17例２） (1)06:21ymxl与023)2(:2mmyxml ; (2） )3(1:11xkyl与)3(1:22xkyl. [说明］①及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解，在解题步骤和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考，以及严谨认真的数学学习习惯；②小题(2)是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.
例3求经过原点且经过直线022:1yxl与直线022:2yxl
的交点的直线方程．
解：解方程组：022022yxyx 得22yx，∴1l与2l的交点是)2,2(， 设经过原点的直线方程为kxy，把点)2,2(代入，得1k， 所以,所求的直线方程为xy. [说明]例题的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用,由浅入深,循序渐进的不同层次要求． 例４ 若三条直线1l：023yx，2l：032yx，3l:0ymx,当m为何值时,三条直线不能构成三角形?（补充例题) 解:三条直线不能构成三角形三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.