高中数学 线性方程组与矩阵范例例题
线性代数应用案例
行列式的应用案例1大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。
大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。
种食物的量。
角牟：设X i,X2,X3分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组36x1 51x2 13x3 337x2 1.1x3 352x1 34x2 74x3 45利用matlab可以求得 x =0.277223183614430.391920861637010.23323088049177案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。
假设在一段时间内,每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，神军：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是x,x2,x3元，根据题意，建立方程为0.2x2 0.3x3 500x2 0.1x1 0.4x3 700x3 0.3x1 0.4x2 600利用matlab可以求得x =1.0e+003 *1.25648414985591 1.44812680115274 1.55619596541787案例 3 医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c,已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表， 试求所配菜肴中每种食物的数量。
解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为x 1,x 2,x 3百克，根据题意，建立方程组60x 1 300x 2 600x 3 1200 3x 1 9x 2 6x 330 90x 1 60x 2 30x 3300利用matlab 可以求得 x =1.521739130434782.39130434782609 0.65217391304348矩阵的应用的系数a ij (i,j 1,2,L ,n),b j (j 1,2,L ,n)按原来的位置构成一数表案例 1矩阵概念的引入(1)线性方程组a 21x 1 L LH E X Ia 12x2a 22x2a n2x 2a 1n xna 2n%a nnx n现1 a12 L a in b la2i a22 L a2n b2L L L L La ni a n2 L a nn 4该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。
高中数学(三)第3章_矩阵
第三章 一次方程组系数矩阵及增广矩阵：将一次方程组的系数依序列出来的矩阵，称为该方程组的系数矩阵。
将其系数及常数项依序列出来的矩阵，称为该方程组的增广矩阵。
若一次方程组有m 个方程式且有n 个未知元，则其系数矩阵之阶数为m ⨯ n ， 其增广矩阵之阶数为m ⨯ (n + 1)。
例：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+--=+24122352z y x z y x z x ，系数矩阵为A 3 ⨯ 3 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--141223102， 增广矩阵为B 3 ⨯ 4 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----214112235102。
矩阵的基本列运算：将矩阵的某一列乘以某一数后加到另一列。
将矩阵的某一列乘以一个不为0的数。
将矩阵中的某二列互换位置。
解：将(3, -1, 2)代入a 1x + b 1y + c 1z = d 1⇒ 3a 1 – b 1 + 2c 1 = d 1 ⇒ 12a 1 – 4b 1 + 8c 1 = 4d 1………..…2a 1x + b 1y - 3c 1z = 4d 1 ⇒ (2x )a 1 + yb 1 + (-3z )c 1 = 4d 1……比较 , 系数得 x = 6，y = -4，z =38- ∴(x , y , z ) = (6, -4,38-)。
解： ⨯ (-2) + ， ⨯ (-2) + 得⎪⎩⎪⎨⎧'-=--'-=--'=++ .........112.......1533......1322z y z y z y x ， ÷' (-3) ⨯ (-2) + '，÷' (-3) + ' 得⎪⎩⎪⎨⎧''-=-''=+''= .......6......5............3z z y x ， ''+''， ''⨯ (-1) 得x = 3，y = -1，z = 6 ∴(x , y , z ) = (3, -1, 6)。
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。
(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。
线性方程组练习题
线性方程组练习题引言：线性方程组是数学中的重要概念之一，它对于解决实际问题和研究抽象数学理论都有着重要意义。
本文将通过一些线性方程组的练习题，以帮助读者更好地理解线性方程组的概念、性质和解法。
一、一元一次线性方程组1、已知线性方程组：{ 2x + 3y = 7 (1)4x - 5y = 1 (2)求解方程组。
解:首先，我们可以使用消元法来求解方程组。
以第一个方程为基准，将第二个方程中的x消去：(2) * 2 - (1) * 4，得到：-14y = -13解得 y = 13/14。
将y的值代入方程(1)中，得到：2x + 3 * (13/14) = 7化简，得到：2x = 7 - 39/142x = 98/14 - 39/142x = 59/14解得x = 59/28。
综上所述，方程组的解为：x ≈ 2.107，y ≈ 0.929。
2、练习题：考虑以下线性方程组：{ 3x + 2y = 5 (1)5x - y = 1 (2)请你解答：该线性方程组有无解？若有解，求解方程组。
解:我们同样使用消元法来求解方程组。
以第一个方程为基准，将第二个方程中的x消去：(2) * 3 - (1) * 5，得到：-11y = 2解得 y = -2/11。
将y的值代入方程(1)中，得到：3x + 2 * (-2/11) = 5化简，得到：3x = 55/11 + 4/113x = 59/11解得x = 59/33。
综上所述，方程组的解为：x ≈ 1.788，y ≈ -0.181。
二、二元一次线性方程组1、已知线性方程组：{ 3x - 2y = 5 (1)2x + y = 1 (2)求解方程组。
解:我们可以使用消元法来求解方程组。
以第一个方程为基准，将第二个方程中的y消去： (2) * 3 + (1) * 2，得到：7x = 8解得 x = 8/7。
将x的值代入方程(2)中，得到：2 * (8/7) + y = 1化简，得到：y = 1 - 16/7y = -9/7综上所述，方程组的解为：x ≈ 1.143，y ≈ -1.286。
第十一章 矩阵与线性方程组
4 5
, 求A '.
am1
am
2
L
amn
1 3
解 A' 7 1 0 2
4
5
容易看出,若A为m n矩阵,则A'为n m矩阵, A中第i行第j列处的 元素aij ,在A'中则为第j行第i列的元素.
转置矩阵具有以下性质.
(1)( A') ' A; (2)( A B) ' A' B '
(3) AE EA A;
(4)( A)B (AB) A(B),(为常数).
例5 求解矩阵方程.
2 1
1 2
X
1 1
2 4
,
X
为二阶方阵.
解
设X
x11
x21
x12 x22
,
由题设
2 1x22
1 1
2 4
.
所以
2x11 +x21 x11 2x21
2x12 x22 x12 2x22
L , Ak Ak1A, (k 2,3,L , n).
可以证明Ak Ap Ak p , ( Ak ) p Akp , (k, p为非负整数),当A, B不 可交换时,(AB)k Ak Bk
设线性方程组的一般形式为
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La21 x1
a22 x2 L
第十一章 矩阵与线性方程组
第一节 矩阵的概念及运算 第二节 逆矩阵 第三节 矩阵的秩与初等变换 第四节 线性方程的矩阵求解 第五节 数字实验五 用Mathematica进行矩阵运算和解
线性方程组
第十一章 矩阵与线性方程组
矩阵是解线性方程组的一个十分重要的数学工具，是线性 代数的一个主要研究对象.
高中矩阵练习题及讲解详细解析
高中矩阵练习题及讲解详细解析### 高中矩阵练习题及详细解析#### 练习题一：矩阵的基本运算题目：给定两个2x2矩阵 A 和 B：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵 A 和 B 的加法和乘法结果。
解析：首先进行矩阵加法，即对应元素相加：\[ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]接下来进行矩阵乘法，根据矩阵乘法的定义：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} \]#### 练习题二：矩阵的行列式和逆矩阵题目：已知矩阵 C：\[ C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 C 的行列式和逆矩阵。
解析：首先计算矩阵 C 的行列式，使用公式：\[ \text{det}(C) = 2\cdot3 - 1\cdot4 = 6 - 4 = 2 \]接着计算逆矩阵，使用公式：\[ C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \]#### 练习题三：矩阵的特征值和特征向量题目：给定矩阵 D：\[ D = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 D 的特征值和对应的特征向量。
高中数学线性方程组解答详解
高中数学线性方程组解答详解引言：线性方程组是高中数学中的重要知识点，也是数学建模和实际问题求解中经常遇到的内容。
在解线性方程组的过程中，我们需要运用矩阵、行列式、向量等概念和方法，通过适当的变换和运算，求得方程组的解集。
本文将详细介绍解线性方程组的方法和技巧，并通过具体的例题进行解析，帮助高中学生和他们的家长更好地理解和掌握相关知识。
一、一元一次线性方程组一元一次线性方程组是最简单的线性方程组形式，其方程个数与未知数个数均为1。
例如：2x - 3 = 53x + 2 = 8对于这类方程组，我们可以通过移项和合并同类项的方法求解。
以第一个方程为例，我们将3移至等号右侧，得到2x = 5 + 3 = 8，然后除以2，即可得到x的值为4。
同样地，对第二个方程进行变换和运算，可得到x的值为2。
因此，该一元一次线性方程组的解集为{x = 4}和{x = 2}。
二、二元一次线性方程组二元一次线性方程组是高中数学中常见的线性方程组形式，其方程个数为2，未知数个数为2。
例如：2x + 3y = 74x - y = 5对于这类方程组，我们可以通过消元法或代入法求解。
以消元法为例，我们可以通过变换和运算，将方程组化为简化形式。
首先，我们可以将第二个方程乘以2，得到8x - 2y = 10。
然后，将第一个方程乘以4，得到8x + 12y = 28。
接下来，我们将第二个方程减去第一个方程，消去x的项，得到14y = 18，进而得到y = 18/14 =9/7。
将y的值代入任意一个方程，可得到x的值为(7 - 3y)/2 = (7 - 3(9/7))/2 = 5/2。
因此，该二元一次线性方程组的解集为{x = 5/2, y = 9/7}。
三、三元一次线性方程组三元一次线性方程组是稍复杂的线性方程组形式，其方程个数为3，未知数个数为3。
例如：3x - 2y + z = 52x + y - 3z = -1x + 2y + 4z = 6对于这类方程组，我们可以通过高斯消元法或矩阵运算求解。
高中数学《矩阵与变换》练习题(含答案解析)
高中数学《矩阵与变换》练习题（含答案解析）一、单选题1．方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为（ ） A ．()0,1B ．(){}0,1C ．{}0,1D ．{}2x x =2．若某线性方程组的增广矩阵为1282416⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组的解的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定3．关于x ，y 的二元一次方程组2332x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数矩阵为（ ）A ．1231- B ．1332C ．1231-⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2312-⎛⎫⎪⎝⎭4．某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是4.8元/斤，食用油的价格是15元/斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列哪个算式计算得到（ ）．A ．201510 4.8⎛⎫⎪⎝⎭B ．20 4.81015⎛⎫⎪⎝⎭C ．()4.8201015⎛⎫⎪⎝⎭D ．() 4.8201015⎛⎫⎪⎝⎭5．二元一次方程2135x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数行列式的值是（ ）A ．2B ．5C ．7D ．116．三阶行列式111222333a b c a b c a b c 中，1b 的代数余子式是（ ）． A ．1122a c a c B ．2233a c a c C ．2233c a c a D ．1122c a c a7．由9个互不相等的正数组成的矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列，且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列判断正确的有①第2列中的122232a a a 、、必成等比数列；①第1列中的112131a a a 、、不一定成等比数列；①12322123a a a a +>+； A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个8．若矩阵12a b -⎛⎫⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-9．下列行列式的值与()sin αβ+不相等的是（ ） A ．sin cos sin cos ααββ- B ．sin cos sin cos ββαα--C ．sin sin cos cos αβαβ- D ．cos sin cos sin ααββ-10．在ABC ∆中，如果1101a c b a c b =，则ABC ∆一定是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形二、填空题11．三阶行列式3510236774-----中元素5-的代数余子式的值为_________．12．行列式4126的值为____________． 13．函数()sin 111||x f x =的最小正周期为_____．14．若数列{}n a*10,N 1n =∈，且lim n n a →∞存在，则lim n n a →∞=___________； 三、解答题15．已知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．16．王明、李东、张红三位同学在第一、第二学期消费的部分文具的数量如表所示：若笔记本的单价为每本5元；练习本每本2元；水笔每支3元；铅笔每支1元.求三位学生在这些文具上各自花费的金额.17．已知三角形三边的和6a b c ++=，又0a b cc a b b c a=，求各边之长．18．已知sin 1cos 1x x x m ωωω=⎪⎭-⎛⎫⎝，(cos sin ,2sin )(0)n x x x ωωωω=->，若()f x m n =⋅且()f x 的图像相邻的对称轴间的距离不小于2π. (1)求ω的取值范围；(2)若当ω取最大值时，()1f A =，且在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，其面积ABCS =求ABC 周长的最小值.参考答案与解析：1．C【分析】解方程x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，由此能求出方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合 【详解】解：解方程x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1， 方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为{}0,1． 故选：C ．2．C【解析】将线性方程组转化为方程，即可判断解的个数. 【详解】该线性方程组可化为方程28x y +=，故有无数组解， 故选：C. 3．C【分析】根据方程组的系数矩阵的定义判断即可.【详解】解：关于x ，y 的二元一次方程组2332x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数矩阵为1231-⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C 4．D【分析】先计算出购买这两种商品的总花费，再计算矩阵比较即得解. 【详解】由题意得购买这两种商品的总花费为20 4.8+1015=246⨯⨯又() 4.82010=20 4.8+1015=24615⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ 故选：D 5．C【解析】先列出二元一次方程2135x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数行列式为1231-，再计算即可求解.【详解】因为二元一次方程2135x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数行列式为1231-，()121132731-=⨯-⨯-=，故选：C 6．C【分析】直接利用代数余子式的定义计算得到答案.【详解】行列式111222333a b c a b c a b c 1b 的代数余子式是()222222333313321a c a c c a a c a c c a +=-=-.故选：C.7．C【解析】根据每行中的三个数成等差数列，可以把原来的矩阵变形，最后根据等比的数列的性质、基本不等式，举特例对三种说法逐一判断即可.【详解】因为每行中的三个数成等差数列，所以有222a a d a d b b m b m c c n c n ++⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪++⎝⎭.111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++分别为：3(),3(),3()a d b m c n +++，它们成等比数列，因此有：2()()()b m a d c n +=++，因此说法①正确；()()2()a d c n b m +++>=+题中已知可知这九个数都不互相相等，故不取等号），因此说法①正确；当1232.54 5.56.589.5⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭显然符合已知条件，所以说法①正确. 故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质、等比数列的性质，考查了基本不等式的应用. 8．A【分析】直接根据系数矩阵的定义得到答案.【详解】矩阵12a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则1,1a b ==-.故选：A .【点睛】本题考查了系数矩阵，属于简单题. 9．D【分析】根据行列式的运算性质，结合两角和的正弦函数的公式，逐项运算，即可求解. 【详解】对于A 中，可得sin cos sin cos cos sin sin()sin cos αααβαβαβββ=+=+-；对于B 中，可得sin cos (sin cos cos sin )sin cos βββαβααα--=---sin cos cos sin sin()αβαβαβ=+=+；对于C 中，可得sin sin sin cos cos sin sin()cos cos αβαβαβαβαβ-=+=+；对于D 中，可得cos sin cos sin sin cos sin()cos sin αααβαβαβββ=--=-+-，故选D.【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及两角和的正弦公式的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合两角和的正弦公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题. 10．D【分析】根据1101a cb ac b =计算得到a b c ==，得到答案.【详解】2221101a cb a a bc ac bc ab c b =++---=即()()()222102a b b c a c a b c ⎡⎤-+-+-=∴==⎣⎦ 故选D【点睛】本题考查了行列式的计算，意在考查学生的计算能力. 11．34【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算．【详解】由题可知[]1226(1)24(6)(7)3474+--⋅=-⨯--⨯-=-.故答案为：34. 12．22【分析】根据行列式的计算方法求解即可【详解】行列式4126的值为461222⨯-⨯=故答案为：22 13．2π【分析】化简函数结合最小正周期公式求解即可． 【详解】解：函数()sin 111||x f x =sin 1x =-，所以函数的周期为：221T ππ==． 故答案为：2π． 14．9【分析】由题设有60n a =，令0n x =有260x x --=，解方程即可得结果.60n a =-≥，则60n a =，又lim n n a →∞存在，故lim 60n n n a →∞-=，令0n x =≥，则2lim n n x a →∞=， 所以26(2)(3)0x x x x --=+-=，可得3x =或2x =-（舍），所以lim 9n n a →∞=. 故答案为：915．21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】根据矩阵特征值与特征向量的关系，建立,c d 关系式，从而求出矩阵A ，再利用公式求出逆矩阵.【详解】由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α 可得3311611c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即c ＋d ＝6； 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得333322c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3c －2d ＝－2， 解得24c d =⎧⎨=⎩即3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，A 的逆矩阵是21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查特征值和特征向量的计算，考查了逆矩阵求解公式，属于基础题. 16．分别花费79元、87元、115元【分析】根据题意用矩阵表示各文具每学期消费数量和文具的单价，而花费的金额等于数量乘文具的单价，利用矩阵乘法求出三位学生在这些文具上各自花费的金额.【详解】各文具每学期消费数量用矩阵表示1352426334742A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，24633485251064A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.这些文具的单价矩阵为5231P ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以这三位同学两学期在这几种文具上花费的矩阵为()12571157792614858739171061151C A A P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+⋅== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以这三位学生在这些文具上分别花费79元、87元、115元【点睛】本题考查了线性变换的矩阵表示理解与应用，矩阵乘法，属于容易题. 17．2a b c ===【分析】先由行列式得到3333a b c abc ++=，再利用基本不等式3333a b c abc +≥+，得到a b c ==，然后由6a b c ++=求解.【详解】因为0a b cc a b b c a =，所以3333a b c abc ++=， 又因为3333a b c abc +≥+， 当且仅当a b c ==时，取等号， 又因为6a b c ++=， 所以2a b c ===，【点睛】本题主要考查行列式的计算以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 18．(1)01ω<≤ (2)6【分析】（1）化简得到()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据周期的范围得到答案.（2）根据()1f A =得到π3A =，根据面积公式得到4bc =，再利用余弦定理结合均值不等式得到答案. (1)()sin 1sin cos cos 1x x x x x x m ωωωωωω⎛⎫== ⎭+⎝-⎪，()22cos sin cos cos22f x m n x x x x x x ωωωωωω=⋅=-+=π2sin 26x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππ2T ω=≥，解得01ω<≤.(2)()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 故π5π266A +=，π3A =.1sin 2ABC S bc A ===△4bc =，222222cos 4a b c bc A b c =+-=+-，6a b c b c ++=+，当2b c ==时等号成立.故周长的最小值为6.。
高斯消元法线性方程组解法练习题
高斯消元法线性方程组解法练习题线性方程组是数学中一个重要的概念，它表示由一组线性方程组成的方程集合。
解决线性方程组是数学和工程学中的常见问题，高斯消元法是一种经典的求解线性方程组的方法。
本文将通过一些练习题来演示高斯消元法的具体解法步骤。
题目一：求解下面的线性方程组：3x + 2y + z = 92x - y + 3z = -4x + 3y + 2z = 16解答：首先，将方程组写成增广矩阵的形式：[ 3 2 1 | 9 ][ 2 -1 3 | -4 ][ 1 3 2 | 16 ]接下来，通过高斯消元法将增广矩阵化为上三角矩阵。
以第一列为主元列进行消元，首先将第一行乘以2/3，然后减去第二行的两倍，再减去第三行的一倍。
[ 3 2 1 | 9 ][ 0 -5 11 |-22 ][ 0 2 1 | 3 ]然后，以第二列为主元列进行消元，将第二行乘以-1/5，然后加到第三行的五倍。
[ 3 2 1 | 9 ][ 0 1 -2 | 4 ][ 0 0 6 | 1 ]最后，以第三列为主元列进行消元，将第三行乘以1/6。
[ 3 2 1 | 9 ][ 0 1 -2 | 4 ][ 0 0 1 | 1/6]此时得到了上三角矩阵，可以通过回代求解得到方程组的解。
从最后一行开始，可以得到z=1/6，然后带入第二行的方程式中，解得y=10/6，再将z=1/6和y=10/6带入第一行的方程式中，解得x=8/6。
因此，方程组的解为：x = 4/3，y = 5/3，z = 1/6。
题目二：求解下面的线性方程组：2x + 3y + 4z = 133x + 2y + z = 104x + y + 2z = 14解答：同样地，将方程组写成增广矩阵的形式：[ 2 3 4 | 13 ][ 3 2 1 | 10 ][ 4 1 2 | 14 ]通过高斯消元法进行计算，先以第一列为主元列进行消元。
[ 2 3 4 | 13 ][ 0 -7 -11 |-23 ][ 0 -11 -14 | -32]然后，以第二列为主元列进行消元。
矩阵的初等变换及线性方程组习题课共33页
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。—，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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矩阵的初等变换及线性方程组习题课
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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x－
y＋
z＝2 。
4x＋ y－2z＝1
解■ 高斯消去法
2x＋3y－ z ＝3……………①
x－ y ＋ z ＝2……………②
将①与②对调得
4x＋ y －2z＝1……………③
x－ y ＋ z ＝2……………④ 2x＋3y－ z ＝3……………⑤ 4x＋ y －2z＝1……………⑥
④×（－2）＋⑤， ④×（－4）＋⑥得
×（－2） ×（－3） →
1 0
0
－2 4 8
－3 1
4 8
－4 a－3
×14
1 －2 －3 1
1 －2 －3 1
→
0
1
1
－1
×（－8）
→
0
1
1
－1
0 8 8 a－3
0 0 0 a＋5
例题 5 用列运算来判断方程组的解（无限多组解的情形）
x－2 y－3z＝1 已知方程组 2x－ 2z＝－2有解，试以列运算求 a 的值，并求此方
1
2
2
0
2 3 a 4
1 1 3 6
×（－1）
0 1 ×（－2）
－1
－6
0 1 a－6 －8
×（－1）
1 1 3 6
0
1
－1
－6
0 0 a－5 －2
范例 6 三元一次方程组解的讨论
x＋y＋3z＝6
试解方程组
x＋2
y＋2
z＝0
，并就 a 值讨论之。
2 x＋3 y＋az＝4
。
x－2 y＋3z＝a
1 1 －2 1
解■
2
－1
1
2
1 －2 3 a
1 1 －2 1
×（－2）
0 －3 ×（－1）
5
0
0 －3 5 a－1
×（－1）
1 1 －2 1
0
－3
5
0
0 0 0 a－1
∵有解，则必为无限多组解，且 a－1＝0，即 a＝1
主题 3 用高斯消去法来判断三元一次方程组的解
例题 5 用列运算来判断方程组的解（无限多组解的情形）
x－2 y－3z＝1 已知方程组 2x－ 2z＝－2有解，试以列运算求 a 的值，并求此方
3x＋2 y－ z＝a
程组的解。
解■ 利用矩阵列运算如下：
1
2
3
－2 0 2
－3 1
－2
－2
－1 a
4 x－3 y＋2 z＝5
解■
方程组有无限多解，且方程组可改写为
x－2 y＋3z＝1 5 y－10 z＝1
令 z＝t，可得 y＝ 1 ＋2t，x＝ 7 ＋t，t 为实数
5
5
x＝7＋t 5
故方程组的解为
y＝1＋2t 5
，t
为任意实数（表示法不唯一）
z＝t
上一题
下一题
范例 4 矩阵的列运算（无解）
解■ (1) 当 a＝\ 5 时，可依序解出 x，y，z，得
z＝ －2，y＝－6a＋28，x＝12a－52
a－5
a－5
a－5
1 1 3 6
(2)
当
a＝5
时，此时增广矩阵为
0
1
－1
－6
0 0 0 －2
方程组无解
上一题 下一题
范例 7 有解的条件
x＋y－2 z＝1
利用矩阵的列运算求方程组 2x－y＋z＝2 ，若有解，则 a＝
范例 4 矩阵的列运算（无解）
x－2 y＋z＝3 试利用矩阵的列运算，解方程组 3x－y＋2z＝1 。
7x－4 y＋5z＝4 x－2 y＋z＝3 解■ 现在方程组为5 y－z＝－8 0＝－1 显然第三个方程式无解，因此方程组无解
上一题 下一题
范例 5 矩阵列运算与方程组的解
ax＋y＋3z＝2
小明解方程组
3x＋2 y－ z＝a
程组的解。
解■
x－2 y－3z＝1
即原方程组的解与方程组
y＋ z＝－1 的解相同
0＝a＋5
方程组有解必须满足 0＝a＋5，此时 a＝－5
令 z＝t，可解得 x＝－1＋t，y＝－1－t
x＝－1＋t
故
a＝－5
时，方程组的解为
y＝－1－t
，t 为实数
z＝t
上一题 下一题
例题 6 变量代换解线性方程组
x＋by－2z＝11
，先写成增广矩阵，然后再利用列运算
－3x＋y＋cz＝5
1 －5 4 －13
化简到
0
1
2
5
，试求序组（a , b , c）＝
0 0 1 1
x－5y＋4z＝－13 x＝－2
解■
y＋2
z＝5
y＝3
z＝1
z＝1
－2a＋3＋3＝2 a＝2
代入原方程组得 －2＋3b－2＝11 b＝5
z ＝2 ……………⑮
x－ y ＋ z ＝2
即原方程组与
5y－3z＝－1 有相同的解
z ＝2
z＝2 先代入⑭再代入⑬即可得 y＝1，x＝1
故方程组的解为 x＝1，y＝1，z＝2
解■ 矩阵的列运算
2 3 －1 3
1
－1
1
2
4 1 －2 1
对调
→
1 2
－1 3
1 －1
2
3
×（－2） ×（－4）
4 1 －2 1
1
→
0
0
－1 1 2
5
－3
－1
5 －6 －7
1 －1 1 2
→
×（－1）
0 0
5 0
－3 －3
－1 －6
×－13
1 －1 1 2
→
0
5
－3
－1
0 0 1 2
上一题 下一题
例题 3 矩阵列运算（无限多组解）
x＋ y＋ z＝4
利用矩阵列运算解方程组
解■ 高斯消去法
x＋2 y－2z＝－3
①
3x－y＋4z＝14
②
2 x＋3 y－z＝2
③
①×（－3）＋②，①×（－2）＋③得
矩阵的列运算
1 2 －2 －3
3
－1
4
14
2 3 －1 2
×（－3） ×（－2）
将第一列×（－3）加到第二列 第一列×（－2）加到第三列
范例 2 高斯消去法与矩阵的列运算（恰有一解）
x－2 y＋3z＝－5 ……………⑩
y－ z＝2 ………………⑪ ⑪×（－4）＋⑫得
4 y－5z＝11………………⑫
例题 1 高斯消去法
x－2 y＋3z＝－5
利用高斯消去法解方程组
3x－2 y＋4z＝－4
。
－x＋ y－2z＝3
解■ x－2 y＋3z＝－5 ……………⑬
y－ z＝2 ………………⑭ ⑮ ×（－1）得
将第二列×（－1）
范例 2 高斯消去法与矩阵的列运算（恰有一解）
x＋2 y－2z＝－3
解■
y－3z＝－8
－7 y＋10z＝23
①
1 2 －2 －3
②
0
1
－3
－8
×7
③
0 －7 10 23
将②×7＋③得
将第二列×7 加到第三列
x＋2 y－2z＝－3
y－3z＝－8
－11z＝－33
①
1 2 －2 －3
利用矩阵列运算解方程组
x＋2 y＋3z＝5
。
2 x＋3 y＋4 z＝9
解■
x＋y＋ z＝4
即原方程组与
y＋2z＝1 有相同的解
0＝0
此时，令 z＝t，t 为任意实数，可推得 y＝1－2t，x＝3＋t
x＝3＋t
故方程组有无限多组解，其解为
y＝1－2t
，t
为实数
z＝t
上一题
下一题
例题 4 矩阵列运算（无解）
－ z＝3 ………………⑮
x－2 y＋3z＝－5 ……………⑯
y－ z＝2 ………………⑰
z＝－3 ……………⑱
z＝－3 先代入⑰ 再代入⑯ 即可得 y＝－1 与 x＝2
故方程组的解为 x＝2，y＝－1，z＝－3
下一题
主题 2 矩阵的列运算
例题 2 矩阵列运算（恰有一组解）
2x＋3y－ z＝3
利用高斯消去法与矩阵列运算解线性方程组
主题 1 高斯消去法
例题 1 高斯消去法
x－2 y＋3z＝－5
利用高斯消去法解方程组
3x－2 y＋4z＝－4
。
－x＋ y－2z＝3
解■ x－2 y＋3z＝－5 …………①
3x－2 y＋4z＝－4…………②
将①×（－3）＋②，①＋③得
－x＋ y－2z＝3……………③
x－2 y＋3z＝－5……………④
x＋2 y－2z＝－3 解■ －7 y＋10z＝23
－y＋3z＝8
①
1 2 －2 －3
②
0
－7
10
23
③
0 －1 3 8
将②与③对调
x＋2 y－2z＝－3 －y＋3z＝8 －7 y＋10z＝23 将②×（－1）
将第二列与第三列对调
①
1 2 －2 －3
②
0
－1
3
8 ×（－1）
③
0 －7 10 23
有一件工程，如果甲、乙、丙三人合作，3 天就可完成；如果甲、乙两 人合作，则 6 天可完成；如果甲独做 7 天后，余下的工程由乙、丙合 力来做，需要再 2 天才可完成。试求甲、乙、丙三人独做，分别需要 几天才能完成整个工程。