第四讲逻辑函数的公式化简
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逻辑函数的公式化简
一、化简的意义
逻辑函数的公式化简
1.逻辑函数表达式的不同形式 2.逻辑函数化简的意义 用较少的门电路实现相同的逻辑功能，不仅可以降低成本，而且还可提高电路工作的可 靠性。
二、公式化简的方法
1.并项法 2.吸收法 3.消去法 4.配项法
谢谢！
每一个逻辑函数式都对应 着一个具体电路。在具体实现 电路时，往往根据现有的元器 件（集成门电路）选择相应的 逻辑表达式。
一、化简的意义
2.逻辑函数化简的意义
在数字电路中，是由逻辑门电路来实现一定的逻辑功能，逻辑函数的化简就意味着实现该 功能的电路简化，能用较少的门电路实现相同的逻辑功能，不仅可以降低成本，而且还可提高 电路工作的可靠性。
逻辑函数的公式化简
逻辑函数化简的意义是什么？ 逻辑函数公式化简的方法有哪些？
一、化简的意义
1.逻辑函数表达式的不同形式
异或门
Y AB AB A B
Y AB AB
与或表达式
AB AB AB AB (A B)(A B) AB AB AB AB
与或非-非表达式 与非-与非表达式 或与非表达式 与或非表达式 或非-或非表达式
AB
二、公式化简的方法
2.吸收法 利用公式A+AB＝A ，吸收多余项AB。
【例2】化简逻辑函数 Y AC ABCD 【解】 Y AC ABCD
AC（1 BD） AC
二、公式化简的方法
3.消去法
利用公式 A AB A B，消去 AB 项中的多余因子 A。 【例3】化简逻辑函数 Y AB AC BC 【解】Y AB AC BC
AB（A B）C AB（AB）C AB C
二、公式化简的方法
4.配项法
利用公式 A A 1 ，给适 【解】Y AB BC BC AB
逻辑函数及其简化
消去法
运用吸收律 A AB A B 消去多余因子。
L A AB BE A B BE ABE
L AB AC BC
AB A B C
AB ABC
AB C
AB AB C C ABC ABC
AB AC AB AC BC
将某一乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项 进行合并化简。
AB
A
C 00 01 11 10
00 0 1 0
C1 0 1 1 1
B
从逻辑表达式到卡诺图
（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图,方法如下：
逻辑函数包含的最小项，其对应的方格填1。 逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填0。
用卡诺图表示3变量逻辑函数： F ABC ABC ABC ABC
所以：F F * * AC B D B F
不受变量数目的限制。
没有固定的步骤可循； 需要熟练运用各种公式和定理； 复杂的逻辑函数化简时需要技巧和经验； 有时很难判定化简结果是否最简。
1. 逻辑函数化简的意义和目标； 2. 逻辑函数的化简方法； 3. 公式法化简的方法和步骤。
逻辑函数的 卡诺图法化简
从真值表到卡诺图
已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。
解 该函数有3个变量，先 画出3变量卡诺图，然 后根据真值表将8个最 小项的取值0或者1填入 卡诺图中对应的8个方 格中即可。
真值表
ABC L
000 0 001 0 010 0 011 1 100 0 101 1 110 1 111 1
A AC BD BEF （利用 A AB A ） A C BD BEF （利用 A AB A B ）
化简函数
F A A B A C B D A C E F B F D E F
组合逻辑电路的分析和设计—逻辑函数的化简
1.卡诺图的构成 将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形
式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按 照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。
2.卡诺图的特点
卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是 相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反 变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。
约束项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现 的变量取值所对应的最小项称为也叫做约束项。
例如：判断一位十进制数是否为偶数。
ABCD Y
ABCD Y
说明
0000 1 1000 1
0001 0 1001 0
0 0 1 0 1 1 0 1 0 × 不会出现
0 0 1 1 0 1 0 1 1 × 不会出现
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1 ＣＤ
0
0
0
0
ＢＤ
冗余项
的将
乘代
3
积表
项每
相个
加圈
最简与或表达式 Y (A, B,C, D) BD CD AC D
两点说明
① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的 各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的， 要经过比较、检查才能确定。
AB
CD
00 01 11 10
Y A B C ABC ABC ABC (A B C ABC) (ABC ABC) (ABC ABC) AC AB BC
4
1.4逻辑函数的图形法化简
（1）最小项
①最小项的定义
如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中 每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则 这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按 照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。
2.卡诺图的特点
卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是 相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反 变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。
约束项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现 的变量取值所对应的最小项称为也叫做约束项。
例如：判断一位十进制数是否为偶数。
ABCD Y
ABCD Y
说明
0000 1 1000 1
0001 0 1001 0
0 0 1 0 1 1 0 1 0 × 不会出现
0 0 1 1 0 1 0 1 1 × 不会出现
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1 ＣＤ
0
0
0
0
ＢＤ
冗余项
的将
乘代
3
积表
项每
相个
加圈
最简与或表达式 Y (A, B,C, D) BD CD AC D
两点说明
① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的 各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的， 要经过比较、检查才能确定。
AB
CD
00 01 11 10
Y A B C ABC ABC ABC (A B C ABC) (ABC ABC) (ABC ABC) AC AB BC
4
1.4逻辑函数的图形法化简
（1）最小项
①最小项的定义
如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中 每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则 这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
逻辑函数的化简及其门电路的实现
逻辑函数的化简 及其门电路的实
现
一、逻辑函数的化简法
（一）逻辑函数的公式化简法
（二）逻辑函数的卡诺图化简法
1.逻辑函数的最小项及最小项表达式
2.逻辑函数的卡诺图表示方法
1）卡诺图的画法规则的性质 2）用卡诺图化简逻辑函数的基本步骤
（三）含随意项的逻辑函数的化简
化简含随意项的逻辑函数时，充分利用随意项可以得到更加 简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过 程中，随意项的取值可视具体情况取0或者取1。简单地说，如果 随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。
二、逻辑函数门电路的实现
谢谢观看！
现
一、逻辑函数的化简法
（一）逻辑函数的公式化简法
（二）逻辑函数的卡诺图化简法
1.逻辑函数的最小项及最小项表达式
2.逻辑函数的卡诺图表示方法
1）卡诺图的画法规则的性质 2）用卡诺图化简逻辑函数的基本步骤
（三）含随意项的逻辑函数的化简
化简含随意项的逻辑函数时，充分利用随意项可以得到更加 简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过 程中，随意项的取值可视具体情况取0或者取1。简单地说，如果 随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。
二、逻辑函数门电路的实现
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数字电子技术-逻辑函数的化简(公式化简)
冗余项
AB AC BC
[例]
Y AB AC B C AB A C BC
AB AC B C 或 AB AC B C AB A C BC
AB A C BC
A (BC B C) A (BC BC) A B C A(B C) A
二、吸收法： A AB A
[例]
Y AB AD BE
A B AD BE A B
[例] Y AB ACD BCD AB ( A B) CD AB AB CD AB A B
[例] Y A A BC ( A B C D) BC ( A BC) ( A BC) ( A B C D)
A BC
三、消去法： A AB A B
[例]
Y AB AC BD
A B AC BD A B C D
[例] Y AB AC BC AB ( A B)C AB AB C AB C
2.3 逻辑函数的化简
思考： 为什么要对逻辑函数进行化简？
Y F ( A ,B ,C ) ABC ABC ABC AB B BC
பைடு நூலகம்
逻辑函数的标准与或式和最简与或式
最简式
[例]
Y F ( A ,B ,C ) AB AC
AB(C C ) AC( B B)
ABC ABC ABC ABC
[例] Y AB AB ABC ABC
A (B B C) A (B BC) A (BC) A (BC) AB AB AC AC AB AB C
四、配项消项法： AB AC BC AB AC
[例]
Y BC AC AC BC AB
BC AC AB 或 BC AC AC BC AB
标准与 或式
最小项
标准与或式就是最小项之和的形式
逻辑函数的化简
1.3.4 逻辑函数的化简•对逻辑函数进行化简，可以求得最简逻辑表达式，也可以使实现逻辑函数的逻辑电路得以简化，这样既有利于节省元器件，也有利于提高可靠性。
•逻辑函数有如下三种化简方法：•公式化简法：利用逻辑代数的基本公式和规则来化简逻辑函数。
•图解化简法：又称卡诺图（Karnaugh Map）化简法。
•表格法：又称Q－M（Quine-McCluskey）化简法。
1.逻辑函数的公式化简法同一个逻辑函数，可以用不同类型的表达式表示，主要有以下五类：“与或”表达式、“或与”表达式、“与非”-“与非”表达式、“或非”-“或非”表达式、“与或非”表达式。
例如函数：=+Z AC AB“与或”表达式A B A C“或与”表达=++()()式AC AB“与非”-“与非”表达=⋅式=+++A B A C“或非”-“或非”表达式“与或非”表达式判断最简“与或”表达式的条件如下：(1)乘积项（即与项）个数最少的“与或”表达式；(2)当乘积项个数相等，则每个乘积项中因子（即变量）的个数最少的“与或”表达式。
例1-5 以下4个“与或”表达式是相等的，即它们表示同一个函数：(1)(2)(3)(4)=+++=++=++=++Z AC BC AB ACAC ABC ACAC BC ACAC AB AC 试判断哪一个是最简“与或”表达式。
(1)(2)(3)(4)=+++=++=++=++Z AC BC AB ACAC ABC ACAC BC ACAC AB AC 解：根据判断条件（1），式（1）含有4个与项，而式（2）～（4）都含有3个与项，因此，式（2）～（4）有可能最简；进一步比较与项中个数，式（3）和式（4）中，各与项都含2个变量，而式（2）中有一个与项含3个变量。
结论：式（3）和式（4）同为该函数的最简“与或”表达式。
公式法化简：借助定律和定理化简逻辑函数，常用以下几种方法。
(1)并项法利用互补率1A A +=()+=+=A BC A BC A B C C A B()()+++=⋅⊕+⋅⊕=A BC BC A BC BC A B C A B C A+=B ABD B，将两项合并为一项，合并时消去一个变量，如：(2)吸收法利用定理1（A + AB = A ），吸收掉（即除去）多余的项，如：(3)消去法利用定理2（+=+A AB A B ()++=++=+=+AB A C BC AB A B C AB ABC AB C(4)配项法根据互补律，利用()=+B A A B +A A ()()+++=+++++AB BC BC AB AB BC A A BC AB C C =+++++AB BC ABC A BC ABC ABC()()()=+++++AB ABC BC ABC A BC ABC =++AB BC A C），消去多余的因子，如：，先添上（）作配项用，以便最后消去更多的项。
逻辑化简(公式)
核心
二、逻辑函数的最简表达式及相互转换 最简与或式
Y AB AC BC
最简 与非-与非式 最简或与非式 最简与或非式 最简或与式
AB AC
( A B)( A C )
AB A C
A B A C
最简或非-或式 最简或非-或非式
AB AC BC
( A B) ( A C )
ABC ABC ABC ABC
最小项
标准与或式就是最小项之和的形式
标准与 或式
1. 最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次。
Y F ( A ,B )
AB AB AB
( 2 变量共有 4 个最小项)
AB
( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Y ABC ABC ABC ABC ABC
4. 最小项的编号： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的 编号，用 mi 表示。
对应规律：原变量 1
反变量 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB C ABC
000 0 m0 001 1 m1 010 2 m2 011 3 m3 100 4 m4 101 5 m5 110 6 m6 111 7 m7
E BC D AE BC D
数字电路公式化简
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
§4.2 逻辑函数化简的含义
Y=ABC+ABC+ABC+ABC =AC+AB 最简与或式 =(A+B)(A+C) 最简或与式 =ACAB =A+B+A+C =AB+AC =(A+C)(A+B) 与非-- 与非式
常用公式
公式1： AB+AB=A 公式2： A+AB=A 公式3： A+AB=A+B 证明： 左=A+(AB+AB)=A+B 如果一个变量的反变量是另一式的因子， 则这个反变量是多余的。
公式4： AB+AC+BC=AB+AC AB+AC+(A+A)BC=AB+AC 互反变量的因子构成的第三项与式是多余的 推论：AB+AC+BCD=AB+AC 对偶：如果将一个函数式中的 与换成或，或换成与，0换成1，1换成0, 保持优先级和长反号 则得到原函数的对偶式。 对偶定理：一个等式的对偶式也相等。
或非--或非式 与或非式 或与非式
化简原则： 1. 输入端最少 2. 所需门电路的个数最少
§4.3 逻辑函数的代数化简法
1. 并项法: AB+AB=A 例： Y=AB+AC+ABC 解：Y=A(B+C+BC) =A(B+C+B+C) =A
2.吸收法：A+AB=A 例：Y=AC+ABC+BC =AC+BC 3.消去法： A+AB=A+B 例：Y=AB+AC+BC =AB+(A+B)C =AB+ABC =AB+C
电工基础：逻辑函数的公式化简法
AB Βιβλιοθήκη C AB AC AC 消项法-配项
AB BC AB A
吸收
A BC AB 消因子
A B BC
吸收
A B
1 B 1 CD 0-1律
B CD
二 逻辑函数的公式化简法
Y2 A A BD( A BC D) BD
( A BD) A BD( A BC D) 交换律、结合律
( A BD) ( A BD)( A BC D) 反演律
A BD
吸收
二 逻辑函数的公式化简法
首先是式中 乘积项最少
乘积项中含的 变量最少
实现电路的与门少 下级或门输入端个数少
与门的输入端个数少
一 逻辑函数的不同表达方式
2. 最简与非-与非表达式
Y AB AC
AB AC
AB • AC
a.在最简与或表达式的 基础上两次取反
b.用反演律去掉内层的非号
一 逻辑函数的不同表达方式
3. 最简与或非表达式
Y AB A C AB • A C ( A B)( A C)
一 逻辑函数的不同表达方式
5. 最简或非-或非表达式
在最简或与表达式的 基础上两次求反
Y ( A B)( A C) ( A B)( A C) A B AC
二 逻辑函数的公式化简法
常用公式和方法
并项法： AB AB A
吸收法： A AB A
消因子法： A AB A B
消项法： 配项法：
AB AC BCD AB AC AB AC BC AB AC
A A1 A A A
二 逻辑函数的公式化简法
例：将下列逻辑函数化成最简与或表达式
B
CD
Y1 AB AB ACD ACD 并项
AB BC AB A
吸收
A BC AB 消因子
A B BC
吸收
A B
1 B 1 CD 0-1律
B CD
二 逻辑函数的公式化简法
Y2 A A BD( A BC D) BD
( A BD) A BD( A BC D) 交换律、结合律
( A BD) ( A BD)( A BC D) 反演律
A BD
吸收
二 逻辑函数的公式化简法
首先是式中 乘积项最少
乘积项中含的 变量最少
实现电路的与门少 下级或门输入端个数少
与门的输入端个数少
一 逻辑函数的不同表达方式
2. 最简与非-与非表达式
Y AB AC
AB AC
AB • AC
a.在最简与或表达式的 基础上两次取反
b.用反演律去掉内层的非号
一 逻辑函数的不同表达方式
3. 最简与或非表达式
Y AB A C AB • A C ( A B)( A C)
一 逻辑函数的不同表达方式
5. 最简或非-或非表达式
在最简或与表达式的 基础上两次求反
Y ( A B)( A C) ( A B)( A C) A B AC
二 逻辑函数的公式化简法
常用公式和方法
并项法： AB AB A
吸收法： A AB A
消因子法： A AB A B
消项法： 配项法：
AB AC BCD AB AC AB AC BC AB AC
A A1 A A A
二 逻辑函数的公式化简法
例：将下列逻辑函数化成最简与或表达式
B
CD
Y1 AB AB ACD ACD 并项