高二第二次月考模拟卷最终版
2023-2024学年四川省绵阳中学高二(下)第二次月考数学试卷(5月份)(含解析)
2023-2024学年四川省绵阳中学高二（下）第二次月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列{a n}中，若a1=27，a5=13，则a3=( )A. 3或−3B. 3C. −9或9D. 92.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5+a7=14，则S11=( )A. 140B. 70C. 154D. 773.已知函数f(x)=ax2+bx+c，若b是a与c的等比中项，则f(x)的零点个数为( )A. 0B. 0或1C. 2D. 0或1或24.已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=−1处有极值0，则a+b=( )A. 11或4B. −4或−11C. 11D. 45.高三(2)班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有( )A. 42种B. 96种C. 120种D. 144种6.设f(x)=sinx，f1(x)=f′(x)，f2(x)=f1′(x)，⋯，f n+1′(x)=f n′(x)，数列a n=f n(π6)，则{a n}的前100项和是( )A. 12B. 32C. 3−12D. 07.已知函数f(x)={4x2−3x,x≤0x−alnx,x>0，若∀x1≤0，∃x2>0，使得f(x1)=f(x2)成立，则a的取值范围为( ) A. (−∞,0)∪[1，+∞) B. (−∞,0)∪[e，+∞)C. (0,1]D. (0,e]8.已知e是自然对数的底数，a=π2lnπ,b=e2sin1e,c=2ln2，则( )A. a>b>cB. c>a>bC. a>c>bD. b>c>a二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
四川省成都市2023-2024学年高二下学期第二次月考物理试卷含答案
成都2023—2024学年度下期高2025届6月阶段性测试物理试卷（答案在最后）考试时间：75分钟满分：100分试卷说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，试卷自己带走，只将答题卡交回。
一、单项选择题（本题共7个小题，每小题4分，共28分。
在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
选对得4分，选错得0分。
）1.如图所示，两个正点电荷A 、B 所带电荷量分别为AQ 和BQ ，C 是A 、B 连线上一点，A 、C 之间的距离是B 、C 之间距离的3倍，在A 、B 连线上，C 点的电势最低，则AQ 和BQ 之间关系正确的是（ ）A.A B 2Q Q =B.A B 3Q Q =C.A B 6Q Q =D.A B9Q Q =【答案】D 【解析】【详解】C 点的电势最低，则C 点的场强为0（A 、C 之间，B 、C 之间场强均大于0），根据场强2QE kr =得A B9Q Q =故选D 。
2.如图所示，光滑固定金属导轨M 、N 水平放置，两根导体棒P 、Q 平行放于导轨上，形成一个闭合回路，当条形磁铁从高处下落接近回路的过程中，下列说法正确的是（）A.P 、Q 将相互远离B.P 、Q 对导轨M 、N 的压力小于自身重力C.磁铁下落的加速度可能大于重力加速度gD.磁铁动能的增加量小于重力势能的减少量【答案】D 【解析】【详解】A ．当条形磁铁从高处下落接近回路的过程中，穿过回路的磁通量增大，则由“增缩减扩”可得，P 、Q 将相互靠近，故A 错误；BC ．由于穿过回路的磁通量增大，则由“来拒去留”可得，竖直方向磁铁受到向上的力，由于力的作用是相互的，则P 、Q 棒受到向下的力，则磁铁下落的加速度肯定小于重力加速度，P 、Q 对导轨M 、N 的压力大于自身重力，故BC 错误；D ．由能量守恒可得，磁铁减小的重力势能等于磁铁增加的动能、导体棒增加的动能以及产生的焦耳热之和，则磁铁动能的增加量小于重力势能的减少量，故D 正确。
江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题
江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题一、单选题1．设集合{}1,|3|04x A x x B x x -⎧⎫=>=≤⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð（ ） A ．(1,3) B ．[1,3] C ．(3,4) D ．[3,4)2．设,,a b c ∈R ，则“2b ac =”是“b 为,a c 的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设R a b ∈，，且a b >则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．22ac bc < C ．a b > D ．33a b >4．下列函数中，是偶函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A ．()2f x x x =-B ．()e xf x =C ．()ln f x x =D ．()21f x x =5．已知正数a ，b 满足111a b+=，则3ab b +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．126．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn(2ln )ln(21)f x x x =--的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5Z ,0,1,2,3,4k n k n k =+∈=，则下面选项正确的为（ ）A ．[]20253∈B ．[]22-∈C ．][][][][Z 01234⎡⎤=⋃⋃⋃⋃⎣⎦D ．整数a b 、属于同一“类”的充分不必要要条件是“[]0a b -∈”8．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有()()11a b ++个小球，第三层有()()22a b ++个小球……依此类推，最底层有 cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为()()()22.6b d a d b c c a n ⎡⎤++++-⎣⎦若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列命题中，说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为()0,3，则函数(1)1f x y x +=-的定义域是()()1,11,2-⋃ B ．函数11y x =+在()(),11,-∞--+∞U 上单调递减 C ．命题“2110x x x ∀>>，＋＋”的否定为“2110x x x ∃≤≤，＋＋” D ．函数22xaxy -+=在(),1-∞上单调递增，则a 的取值范围是[)2,+∞10．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，且0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当32x =时，对应的函数值0y <．下列说法正确的有（ ） A ．0abc > B ．1009mn >C ．关于x 的方程20ax bx c ++=一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在12-和0之间D ．()112,P t y +和()222,P t y -在该二次函数的图象上，则当实数12t <时，12y y > 11．设1A 和2A 是满足以下三个条件的有理数集Q 的两个子集： （1）1A 和2A 都不是空集； （2）12A A Q =U ；（3）若11a A ∈，22a A ∈，则12a a <，我们称序对()12,A A 为一个分割． 下列选项中，正确的是（ ）A ．若{}13A x Q x =∈<，{}25A x Q x =∈≥，则序对()12,A A 是一个分割B ．若{10A x Q x =∈<或}23x ≤，{20A x Q x =∈>且}23x >，则序对()12,A A 是一个分割C ．若序对()12,A A 为一个分割，则1A 必有一个最大元素，2A 必有一个最小元素D ．若序对()12,A A 为一个分割，则可以是1A 没有最大元素，2A 有一个最小元素三、填空题 12．已知)12fx =+，则()f x =.（写出定义域）13．函数()()31,1log ,1a a x x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩，函数()f x 是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围是．14．设函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p ”界函数，若给定函数()221f x x x =--，2p =，则()2p p f f ⎡⎤=⎣⎦．四、解答题15．函数()2223f x x ax =-+，其中R a ∈．(1)当2a =时，求不等式()69f x x >-的解集；(2)当[]13,x ∈-时，f （x ）的最小值为0，求a 的值．16．如图，在三棱锥A BCD -中，,,AB BC CD 两两互相垂直，,M N 分别是,AD BC 的中点.(1)证明：MN BC ⊥；(2)设2,BC AD MN ==和平面BCD 所成的角为π6，求点D 到平面ABC 的距离.17．已知公差不为零的等差数列{}n a ，37a =，1a 和7a 的等比中项与2a 和4a 的等比中项相等. (1)若数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ； (2)若数列{}n c 满足11c =，()()113n n n n a c a c +-=+（*n ∈N ），求数列{}n c 的通项公式. 18．某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试． (1)已知某位学生定点投篮投中的概率为25，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望；(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n 次甲踢到毽子的概率为n P ，则11P =． ①证明：数列14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；②比较第k 次与第()2k k ++∈N 次踢到毽子者是甲的可能性大小．19．已知函数()3231f x x x =++．(1)求()f x 的极值；(2)设()g x '是函数()g x 的导函数，若对任意的x ∈R ，都有()()2e xg x g x ='-，且()01g =．①求函数()g x 的解析式；②若函数ℎ x 满足：()()()g x h x f g x ⎡⎤=⎣⎦，且存在()1212,x x x x <，使得()()12h x h x =，求证12ln 2x x +<-．。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
高二年级第一学期语文第二次月考试卷(含答案)
高二年级第一学期语文第二次月考试卷（含答案）考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间150分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
中国传统文化中的“和”思想“和”是中国传统文化的重要理念之一，它贯穿于中国历史发展的各个时期，深刻影响着中国人的思维方式和行为准则。
“和”的内涵丰富多样。
首先，“和”强调和谐统一。
在中国传统文化中，天、地、人被视为一个有机的整体，三者之间相互依存、相互制约，只有保持和谐统一，才能实现万物的生长和发展。
其次，“和”注重协调平衡。
事物之间存在着各种矛盾和差异，但通过协调和平衡，可以达到一种相对稳定的状态。
例如，儒家主张“中庸之道”，强调在处理事物时要避免极端，保持适度和平衡。
最后，“和”倡导包容共生。
中国传统文化认为，不同的事物和文化之间应该相互包容、相互借鉴，共同发展。
只有这样，才能实现世界的多样性和丰富性。
“和”思想在中国传统文化中具有重要的价值。
一方面，它有助于促进社会的和谐稳定。
在社会生活中，人们之间存在着各种利益冲突和矛盾，如果能够秉持“和”的理念，以和谐、包容的态度去处理问题，就能够减少冲突，增进团结，促进社会的和谐发展。
另一方面，“和”思想对于个人的修身养性也具有重要意义。
它教导人们要保持平和的心态，学会包容他人，尊重不同的意见和观点，从而提高个人的道德修养和人格魅力。
在当今时代，“和”思想仍然具有重要的现实意义。
随着全球化的加速发展，不同国家和民族之间的交流与合作日益频繁。
在这种情况下，我们更需要弘扬“和”的思想，倡导不同文化之间的相互尊重、相互理解、相互包容，共同构建一个和谐、稳定、繁荣的世界。
1.下列关于原文内容的理解和分析，正确的一项是（）（3分）A.“和”是中国传统文化的唯一理念，贯穿中国历史发展各个时期。
B.中国传统文化认为，天、地、人是相互独立的，需要保持和谐统一。
2024-2025学年河南省金太阳高二上学期第二次月考数学试题及答案
2024-2025年度河南省高二年级第二次月考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册第一､二章．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 圆()221:11C x y +-=与222:4C x y +=的位置关系为（ ）A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切2. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ）A. 零向量是任意直线的方向向量B. 方向相同的两个向量是相等向量C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量3. 已知直线()1:210l x k y +-+=与2:230l y +=垂直，则k =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 124. 下列各组向量，不能构成空间基底的是（ ）A. ()()()1,1,1,1,1,0,1,0,0a b c === B. ()()()1,1,1,1,1,0,0,0,1a b c === C ()()()1,1,1,1,1,0,0,1,0a b c === D. ()()()1,1,1,1,1,0,0,1,1a b c === 5. 如图，在八面体ABCDEF 中，平面,ABE ACF 均垂直于底面ABC ，且AE BE AF CF ===，则下.列向量中与向量EF在平面ABC 上的投影向量相等的是（ ）A. 12AB B. 12 AC C. 12 BC D. BC AC --6. 已知直线1:24l y kx k =++与2l 关于原点对称，则2l 恒过点（ ）A. ()2,4-B. ()2,4- C. ()4,2- D. ()4,2-7. 设有一组圆()222:()()0k C x k y k kk -+-=>，若圆k C 上恰有两点到原点的距离为1，则k 的取值范围是（ ）A. ()0,1B. )1+C. ()1+D. )2-+8. 如图，在四面体ABCD 中，平面ACD ⊥平面,ABC ABC △是边长为6的正三角形，ACD 是等腰直角三角形，90,ADC E ∠=是AC 的中点，1,3CF CB DG DB λ== ，若//AG 平面DEF ，则λ=（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 23二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，则（ ）A. 111A B AC ⋅= B. 11AB AC ⋅= C 11CD AB ⋅= D. 11AB A D ⋅=的.10. 已知直线:20l x y m +--=和曲线()22:4300C x y x y +-+=≥相交于,A B 两点，下列结论正确的是（ ）A. 曲线C 的长度为2πB. (m ∈C. (AB ∈D. 若()4,2D ，则DA DB=11. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,AB AA E ==为BC 的中点，O 是1AC 上的动点，下列结论正确的是（ ）A. 若O 是1AC 的中点，且三棱锥O ABC -的体积为1，则3BC =B. 若O 是1AC 的中点，且直线1A E 与平面OAB 所成的角为π4，则2BC =C. 若1AO OB +的最小值为BC =D. 若OAB △BC =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12. 直线2:sin 20l x y θ-+=倾斜角α的取值范围是__________．13. 如图所示，在圆锥SO 中，AB 是底面圆直径，且4,SO AB AC BC ===，则二面角A SB C --的余弦值为______．14. 若过圆()222:(2)0C x y r r +-=>外一点()2,2P -作圆C 的两条切线，切点分别为,A B，且的AB =，则r =__________．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知点()()()1,1,0,1,3,0A B C --，且四边形ABCD 是平行四边形．（1）求点D 的坐标；（2）求平行四边形ABCD 的面积．16. 如图，在棱长均为1的四棱柱1111ABCD A B C D -中，11111π11,,333A AD C N C A BM BD ∠=== ，设1,,AB a AD b AA c === ．（1）试用,,a b c 表示MN ；（2）求MN 的长度；（3）求直线1AA 与直线MN 所成角的余弦值．17. 已知圆221:220C x y x y +-+=与圆2C 相交于,P Q 两点，直线PQ 的方程为20x y --=．（1）若圆2C 的圆心在圆1C 外，求圆2C 的半径的取值范围；（2）若()0,2,P B -是圆2C 上动点，且2PBC 的面积的最大值为5，求圆2C 的方程．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD为正方形，6,AB PC PD ===，二面角P CD A --的大小为π6．（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）求四棱锥P ABCD -的体积．（3）若点M 在线段PD 上，且平面MAC ⊥平面ABCD ，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值．19. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0k k >且1)k ≠的点的的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，(1,0),(4,0)N M ，动点Q 满足2QMQN =，设动点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若直线10x y -+=与曲线C 交于,A B 两点，求|AB |；（3）若曲线C 与x 轴的交点为,E F ，直线:1l x my =-与曲线C 交于,G H 两点，直线EG 与直线FH 交于点D ，证明：点D 在定直线上．2024-2025年度河南省高二年级第二次月考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一､二章．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AB【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．【12题答案】【答案】π[0,]4【13题答案】【答案】23【14题答案】【答案】2或4四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）()2,2（2）7【16题答案】【答案】（1）1233MN b c =+（2（3【17题答案】【答案】（1）()2,+∞（2）22(1)(1)10x y ++-=或22(3)(3)10x y -++=【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）（3【19题答案】【答案】（1）224x y +=（2 （3）证明见解析。
2021-2022年高二月考数学模拟试题二 含答案
2021年高二月考数学模拟试题二 含答案一、选择题(共12个小题，每小题5分，共60分) 1.已知命题，，则（ ） Ａ．， Ｂ．， Ｃ．，Ｄ．，2. “”是“”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件3．已知向量的夹角为 ( )A.0°B.45°C.90D.180°4．已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．m<2B ．1<m<2C ．m<－1或1<m<D ．m<－1或1<m<25．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．B ．C ．D ． 6. 已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+= ( )A.B.5，2C.D.-5，-27．设满足，则 （ ）（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值 8．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）9．当x >0时，不等式x 2－mx ＋9>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，6]C ．[6，＋∞)D ．(6，＋∞)10．已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是 ( )A ．B ．C ．D ．11．若 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则Δ的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ． 12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( ) A.256B.83C.113D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分) 13．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是__________．14. 在平行六面体中，M 为AC 与BD 的交点，若，则= 。
四川省内江市2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题含解析
内江2023—2024学年（上）高2025届第二次月考数学试题（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题（满分60分）一、单选题（每题5分，共40分）1.经过()()1,3,1,9A B -两点的直线的一个方向向量为()1,k ，则k =（）A.13-B.13C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】根据斜率公式求得3AB k =，结合直线的方向向量的定义，即可求解.【详解】由点()()1,3,1,9A B -，可得直线AB 的斜率为93311AB k -==+，因为经过,A B 两点的直线的一个方向向量为()1,k ，所以3k =.故选：D.2.已知圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为（）A.π3B.3C.23π3D.【答案】B 【解析】【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】根据题意，圆锥的底面面积为π，设底面半径为r ，圆锥母线为l ，则2ππr =，1r =，底面周长为2π2πr =，又12π2π2l ⨯=，∴圆锥的母线为2=，所以圆锥的体积1π33=．故选：B ．3.若椭圆22134x y +=的长轴端点与双曲线2212y x m-=的焦点重合，则m 的值为（）A.4B.4- C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】根据长轴端点确定焦点，再根据,,a b c 的关系可求得m 的值.【详解】椭圆22134x y +=的长轴端点为(0,2),(0,2)-，所以双曲线2212y x m-=的焦点为(0,2),(0,2)-，故242m m +=⇒=.故选：D.4.已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的是（）A.若m n ∥，n α∥，m α⊄，则m α∥B.若m n ⊥，m l ⊥，n α∥，l α∥，则m α⊥C.若m β∥，m α⊂，n αβ= ，则m n ∥D.若αβ∥，m α⊥，n β⊥，则m n∥【答案】B 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；根据线面垂直的判定定理可判断B ；根据线面平行的性质定理可判断C ；根据面面平行以及线面垂直的性质可判断D.【详解】对于A ，n α∥，则α内必存在直线，设为s ，使得n s ∥，又m n ∥，则m s ∥，而,m s αα⊄⊂，则m α∥，A 正确；B 中，若n l ，此时有可能是m α⊂或m α∥或m α⊥或m 和α相交不垂直，未必一定是m α⊥，则B 的说法不正确．对于C ，若m β∥，m α⊂，n αβ= ，则m n ∥，根据线面平行的性质定理可知m n ∥，C 正确，对于D ，若αβ∥，m α⊥，则m β⊥，又n β⊥，故m n ∥，D 正确，故选：B ．5.已知圆22:(1)1C x y -+=与抛物线22(0)x py p =>的准线相切，则p =（）A.18B.14C.8D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的几何性质，直线与圆的位置关系即可求解.【详解】 抛物线22(0)x py p =>的准线为2p y =-，又圆22:(1)1C x y -+=与该抛物线的准线相切,∴圆心(1,0)C 到准线2py =-的距离：1,22pd r p ===∴=.故选： D.6.如图，在圆锥PO 中，轴截面PAB 的顶角60APB ∠=︒，设D 是母线PA 的中点，C 在底面圆周上，且PC AB ⊥，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（）A.15°B.30°C.45°D.60°【答案】C 【解析】【分析】首先得出异面直线CD 与PB 所成的角即为ODC ∠（或其补角），在DOC △中求角即可.【详解】因为D 是AP 的中点，O 是AB 的中点，所以//OD PB ，所以异面直线CD 与PB 所成的角即为ODC ∠（或其补角）．易知AB PO ⊥．因为PC AB ⊥，PC PO P ⋂=，,PC PO ⊂平面POC ，所以AB ⊥平面POC ．因为OC ⊂平面POC ，所以OC AB ⊥．又OC OP ⊥，OP AB O = ，,OP AB ⊂平面PAB ，所以OC ⊥平面PAB ，而DO ⊂平面PAB ，所以OC DO ⊥．因为60APB ∠=︒，AP PB =，所以APB △为等边三角形，所以12OD AP OA OC ===，所以45ODC ∠=︒．故选：C ．7.已知双曲线的左､右焦点分别为12F F ､，过1F 的直线交双曲线左支于A B ､两点，且5AB =，若双曲线的实轴长为8，那么2ABF △的周长是（）A.5B.16C.21D.26【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义分析求解.【详解】由题意可知：21218AF AF BF BF -=-=，即21218,8=+=+AF AF BF BF ，所以2ABF △的周长()()22118816226++=++++=+=AF BF AB AF BF AB AB .故选：D.8.已知(1,0)F 为椭圆2219x ym+=的焦点，P 为椭圆上一动点，(1,1)A ，则||||PA PF +的最大值为（）A.6+B.6C.6+D.6【答案】A 【解析】【分析】根据焦点求得m ，利用椭圆的定义求得||||PA PF +的最大值.【详解】由于椭圆的焦点为()1,0F ，所以1c =且焦点在x 轴上，则90m >>，1=，8m =，所以椭圆方程为22198x y +=，所以3,a b ==，设左焦点为1F ，根据椭圆的定义得111||||2666PA PF PA a PF PA PF AF +=+-=+-≤+=+，当P 是1AF 的延长线与椭圆的交点时等号成立，所以||||PA PF +的最大值为6+.故选：A二、多选题（全选对得5分，少选得2分，选错不得分，每题5分，共20分）9.（多选）对于抛物线上218x y =，下列描述正确的是（）A.开口向上，焦点为()0,2B.开口向上，焦点为10,16⎛⎫⎪⎝⎭C.焦点到准线的距离为4D.准线方程为4y =-【答案】AC 【解析】【分析】写出标准形式即28x y =，即可得到相关结论【详解】由抛物线218x y =，即28x y =，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为()0,2，焦点到准线的距离为4，准线方程为=2y -．故选：AC10.下列四个命题中正确的是（）A.已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底B.n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若0a n ⋅=，则//l αC.已知向量()9,4,4a =- ，()1,2,2b = ，则a 在b方向上的投影向量为()1,2,1D.O 为空间中任意一点，若OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=，则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】AD 【解析】【分析】由空间向量基底的性质判断A ；由线面平行的条件判定B ；由投影向量的概念求C ；由向量基本定理的推论判断D.【详解】对于A ，假设,,a b m共面，则存在,R x y ∈，使得m a c xa yb =+=+ ，则()1c x a yb =-+ ，因为{},,a b c 是空间的一组基底，即,,a b c不共面，与()1c x a yb =-+ 矛盾，所以,,a b m不共面，则{},,a b m 也是空间的一组基底，故A 正确；对于B ，当l ⊂α时，满足0a n ⋅=，但直线l 不平行于平面α，故B 错误；对于C ，因为()9,4,4a =- ，()1,2,2b =，则a 在b方向上的投影向量为()1,2,2a b b bb +⋅+-⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，由空间向量基本定理的推论可知：若OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=，则P ，A ，B ，C 四点共面，故D 正确.故选：AD.11.已知直线:0l kx y k --=，圆()()22:214M x y -+-=，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0 B.圆M 与圆22:1C x y +=有两条公切线C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为 D.当1k =时，圆M 存在无数对点关于直线l 对称【答案】ABD 【解析】【分析】求解直线系所过的定点判断A ；判断两圆位置关系判断B ；求解直线被圆截的弦长判断C ，利用圆的圆心与直线的位置关系判断D ．【详解】对A ，直线:0l kx y k --=，即()10k x x y --=，恒过点(1,0)，所以A 正确；对B ，圆M 的圆心坐标为(2,1)，半径为2，而圆22:1C x y +=的圆心为()0,0，半径为1，=，半径和为3，半径差为1，则13<<，则两圆相交，则两圆有两条公切线，B 正确；对C ，圆()()22:214M x y -+-=的圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2．直线:0l kx y k --=，恒过点(1,0)，代入圆方程得()()22120124-+-=<，则定点在圆内，则直线与圆必有两交点，设圆心到直线的距离为d，则弦长l ==d 最大，=，所以直线l 被圆M截得的最短弦长为=≠，所以C 不正确；对D ，当1k =时，直线方程为：10x y --=，代入圆心坐标(2,1)，得2110--=，则该直线经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确．故选：ABD ．12.已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1AC 的中点．点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A.当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A B C所成的角的正切值为5B.无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C.当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA =D.无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30︒【答案】BD 【解析】【分析】选项A ：设E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，可得直线1A P 与平面111A B C 的平面角为1PA E ∠，求正切值即可；选项B ：利用线面垂直的性质可证明11A P OB ⊥即可判断；选项C ：利用三角形中线的性质判断即可；选项D ：由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围判断即可.【详解】选项A ：当点P 运动到1BC 中点时，设E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1BB ⊥面111A B C ，又因为11C B B 中中位线1EP BB ∥，所以EP ⊥面111A B C ，所以直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值1tan EPPA E AE∠=，因为112EP BB =，22111152AE A B B E BB =+=，所以15tan 5PA E ∠=，故说法A 错误；选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示，由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥，因为1111A B B C ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，1BB ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，所以111A B BB ⊥，因为1111B C BB BB = ，111B C BB ⊂，面11B BCC ，所以11A B ⊥面11B BCC ，因为1BC ⊂面11B BCC ，所以111A B BC ⊥，又1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂面11A B C ，所以1BC ⊥面11A B C ，因为1OB ⊂面11A B C ，所以11BC OB ⊥，连接11,AB AC ，同理11A B AB ⊥，11B C ⊥面11AA B B ，因为1A B ⊂面11AA B B ，所以111B C A B ⊥，又1111AB B C B ⋂=，111,AB B C ⊂面11AB C ，所以1A B ⊥面11AB C ，因为1OB ⊂面11AB C ，所以11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=，11,A B BC ⊂面11A BC ，所以1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 说法正确；选项C ：点P 运动到1BC 中点时，即在11A B C 中1A P 、1OB 均为中线，所以Q为中线的交点，所以根据中线的性质有：112PQ QA =，故C 错误；选项D 中，由于11∥A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角11B A P ∠，由选项A 可知11A B ⊥面11BB C C ，因为1B P ⊂面11BB C C ，所以111A B B P ⊥，所以11111tan B PB A P A B ∠=，点P 在1BC 上运动时，当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45︒，当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小，此时为11tan 23B A P ∠=>，1130B AP ∠>︒，所以11B A P ∠不可能是30︒，故D 说法正确；故选：BD第Ⅱ卷非选择题（满分90分）三、填空题（每题5分，共20分）13.过椭圆22143x y +=的左顶点，且与直线210x y -+=平行的直线方程为____________.【答案】240x y -+=【解析】【分析】由已知求出椭圆左顶点，利用平行直线斜率相等结合点斜式方程可得答案.【详解】由椭圆22143x y +=知，24a =，所以左顶点为(2,0)-，又所求直线与直线210x y -+=平行，所以斜率2k =，故直线方程为2(2)y x =+，即240x y -+=.故答案为：240x y -+=14.已知数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则数列{}n a 的通项公式为__________.【答案】21412n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】【分析】利用11,1=,2n nn S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩求解【详解】数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，可得11211=2a S -==+；2n ≥时，()221212(1)141+1n n n n a S S n n n n -=-=--+=----，不满足12a =，则2,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为：2,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.15.若2y kx =+与y =k 的取值范围为_____________.【答案】(,2][2,)-∞-+∞ 【解析】【分析】根据题意，得到曲线221(0)x y y +=≤和直线2y kx =+恒过定点(0,2)P ，画出图象，结合斜率公式，即可求解.【详解】由曲线y =221(0)x y y +=≤，表示以原点为圆心，半径为1的下半圆，又由直线2y kx =+恒经过定点(0,2)P ，因为曲线221(0)x y y +=≤与x 轴的交点分别为(1,0),(1,0)A B -，可得2,2AP BP k k ==-，要使得2y kx =+与y =2k ≤-或2k ≥，所以实数k 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞ .故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且2PF x ⊥轴，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，与直线1PF 交于点A ，若点A 在圆222:O x y a +=上，则C 的离心率为__________.【解析】【分析】由题意求出22||b PF a=，结合双曲线定义以及角平线性质推出1||2AF a =，从而推出1222cos 2cPF F b a a ∠+=，在1AOF △中，利用余弦定理可求得4224340a a c c -+=，结合齐次式求解离心率，即可得答案.【详解】由题意知2(,0)F c ，2PF x ⊥轴，故将x c =代入22221x y a b-=中，得22221c y a b -=，则2b y a =±，即22||b PF a=，不妨设P 在双曲线右支上，则12||||2PF PF a -=，故21||2b PF a a=+；设PQ 为12F PF ∠的平分线，由题意知2F A PQ ⊥，则2||||PA PF =，即2||b PA a =，而211||||||2b PF PA AF a a=+=+，故1||2AF a =，由点A 在圆222:O x y a +=上，得||OA a =；又1||OF c =，则1221212c ||os 2||F F PF b c PF F a a ∠=+=，在1AOF △中，222111112||||||2||||cos OA OF AF OF AF PF F =+-⋅∠,即222224222ca c a c ab a a=+-⋅⋅⋅+，结合222b c a =-，即得4224340a a c c -+=，即42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍），故e =，即C【点睛】关键点睛：求解双曲线的离心率，关键是求出,,a b c 之间的数量关系式，因此解答本题时，要结合题中条件以及双曲线定义推出相关线段长，从而在1AOF △中，利用余弦定理求出,,a b c 的关系，化为齐次式，即可求得答案.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，已知焦距为8，离心率为2，（1）求双曲线标准方程；（2）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.【答案】（1）221412x y -=（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程求出a ，b ，c ，然后可得标准方程；（2）根据（1）中a ，b ，c ，的值直接写出所求即可.【小问1详解】由题知，282c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得4,2c a ==，所以b ===，所以双曲线标准方程为：221412x y -=.【小问2详解】由（1）知4,2,c a b ===，双曲线焦点在x 轴上，所以双曲线的顶点坐标为(20)±,，焦点坐标为(4,0)±，实轴长24a =，虚轴长2b =，渐近线方程为2y x =±，即y =.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）若2OP =，求三棱锥E BCD -的体积.【答案】（1）证明见详解（2）16【解析】【分析】（1）连接OE ，由三角形中位线定理可得//OE PA ，再由直线与平面的判定定理可判定//PA 平面BDE ；（2）取OC 中点F ，连接EF ，可得//EF PO ，且112EF PO ==,易得EF ⊥平面ABCD ，再由棱锥体积公式得解.【小问1详解】证明：连接OE ，,O E 分别是AC ，PC 的中点，//OE ∴PA ，又OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，//PA ∴平面BDE .【小问2详解】取OC 中点F ，连接EF ，E 是PC 的中点，EF ∴为POC △的中位线，则//EF PO ，且112EF PO ==，又PO ⊥平面ABCD ，EF ∴⊥平面ABCD ，1111326E BCD V -∴=⨯⨯=所以三棱锥E BCD -的体积为16.19.已知圆C 过点(2,3),(5,0)和(4,.（1）求圆C 的方程；（2）已知动圆M 和圆C 外切且过点(2,0)A -，求圆心M 的轨迹方程.【答案】（1）22(2)9x y -+=；（2）224431()972-=≤-x y x .【解析】【分析】(1)设圆C ：()()222x a y b r -+-=把点(2,3),(5,0)(4,代入求解,,a b r .（2）根据点(2,0)A -在圆上和两圆相外切可以找到MA ，MC 的关系，根据双曲线的定义求解双曲线方程.【小问1详解】设圆C ：()()222x a y b r -+-=，又因为(2,3),(5,0)(4,在圆C 上即()()()()(2222222222354a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+=⎨⎪-++=⎪⎩ ①②③-①②得：()()()2732330a b -⋅+-⋅-=即20a b --= ④-③②得：()(2920a b -++⋅=即20a +-= ⑤-⑤④得)10b +=即0b =，2a =，29r =所以圆C ：22(2)9x y -+=【小问2详解】设动圆的半径为R ，又因为动圆M 经过点A ，所以MA R=动圆M 和圆C 外切，所以3MC R =+，即34MC MA -=<，根据双曲线的定义可知动点M 是以()()2,0,2,0A C -为焦点，3为实轴长的双曲线的左支.由双曲线的定义知：2,23c a ==，所以22297444b c a =-=-=所以动点M 的轨迹为：224431972x y x ⎛⎫-=≤- ⎪⎝⎭20.已知F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，()04,M y 是抛物线C 上一点，且||4MF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点坐标为(8,12)，求直线l 的斜率.【答案】（1）28x y=（2）2【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可；（2）设出,A B 坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率.【小问1详解】由题可知，0016242py p y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得024y p =⎧⎨=⎩，故抛物线C 的方程为28x y =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则21122288x y x y ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212128x x y y -=-，即1212128y y x x x x -+=-.因为线段AB 的中点坐标为(8,12)，所以1216x x +=，则12122y y x x --=，故直线l 的斜率为2.21.如图1，在平面四边形PDCB 中，//PD BC ，BA AD ⊥，1PA AB BC ===，12AD =，将PAB 沿BA 翻折到SAB △的位置，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，如图2所示：（1）求证：BC ⊥平面SAB ；（2）设线段SC 的中点为Q ，求平面QBD 与平面ABCD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】【分析】（1）根据已知结合面面垂直的性质，即可得出SA ⊥平面ABCD ，SA BC ⊥.进而即可根据线面垂直的判定定理得出证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面QBD 与平面ABCD 的法向量，根据向量运算求解，即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，SA AB ⊥，AD AB ⊥.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，SA ⊂平面SAB ，所以，SA ⊥平面ABCD .因为BC ⊂平面ABCD ，所以SA BC ⊥.又//AD BC ，AD AB ⊥，所以BC AB ⊥.因为AB SA A = ，AB ⊂平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB .【小问2详解】如图，建立空间直角坐标系，因为1SA PA ==，1AB BC ==，12AD =，则()0,0,0A ，1,0,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1S ，()1,1,0C ，()0,1,0B ，111,,222Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以110,,22DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，1,1,02DB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,0,1AS = .设平面QBD 的法向量为(),,n x y z = ，则11022102n DQ y z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取2x =，则()211,,n =- .又AS ⊥平面ABCD ，所以()0,0,1AS = 即为平面ABCD 的一个法向量.设平面QBD 与平面ABCD 所成的锐二面角为θ，所以cos ,6AS n AS n AS n ⋅===-⋅，所以cos cos ,6AS n θ== ，所以平面QBD 与平面ABCD所成角的余弦值为6.22.如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0M 的直线l 交C 于A 、B 两点，交直线4x =于点P ．若= PA AM λ，PB BM μ= ，证明：λμ+为定值，并求出这个定值．【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析，定值为0.【解析】【分析】（1）由已知得a ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩224,2a b ==，即可得椭圆方程；（2）令:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，(4,3)P k ，联立椭圆方程并应用韦达定理得2122412k x x k+=+，21222(2)12k x x k-=+，再由向量数量关系的坐标表示得到λμ+关于参数k 的表达式，将韦达公式代入化简即可证.【小问1详解】由题设2122c a a ab a b ⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⋅⋅=⎪⎩，又222a b c =+，则224,2a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.【小问2详解】由题设，直线l 斜率一定存在，令:(1)l y k x =-，且()1,0M 在椭圆C 内，联立直线与椭圆并整理得2222(12)4240k x k x k +-+-=，且0∆>，令1122(,),(,)A x y B x y ，而(4,3)P k ，则1111(4,3),),PA x y k AM x y =--=-- ，由= PA AM λ，则11114(1)3x x y k y λλ-=-⎧⎨-=-⎩且11x ≠，得1141x x λ-=-，同理2222(4,3),),PB x y k BM x y =--=-- 由PB BM μ= ，则22224(1)3x x y k y μμ-=-⎧⎨-=-⎩且21x ≠，得2241x x μ-=-，所以121221121244(4)(1)(4)(1)11(1)(1)x x x x x x x x x x λμ----+--+==---+-121212125()28()1x x x x x x x x +--=-++又2122412k x x k +=+，21222(2)12k x x k-=+，则λμ+=2222222222222242(2)5282048816121202(2)42441211212k k k k k k k k k k k k k k -⋅-⋅--+--++==---++-+++.+为定值0.所以λμ。
高二下语文第二次调研月考试卷
高二下语文第二次调研月考试卷【高二下语文第二次调研月考试卷】一、积累与运用(24分)1.下列加点字的注音完全正确的一项( )(2分)A.滞留(zhì ) 抽噎(yē) 拮据(jí) 层累(lěi)B.扶掖( yè ) 亵渎( xiè) 脚踝(huái) 相契(qiè)C.佝偻(gōu) 骈进(pián) 煞白shà 别墅(shù)D.恣睢(suī.睿智(ruì.栈.(jiàn.庸碌(yōng)2.下列词语中书写正确的一项( )(2分)A.凌驾断章取义黎民百姓廊然无累B.宽恕一抔黄土刻骨名心涕泗横流C.陨落怒不可竭恼羞成怒媚上欺下D.秘诀心无旁骛强聒不舍重蹈覆辙3.下列句子中加点的成语使用有误的一项是( )(2分)A.作为一名公务员, 最要紧的一点是恪尽职守。
B.毛泽东的《沁园春雪》有气吞斗牛的气概。
C.经过大家的努力, 我们终于登峰造极, 在山顶欣赏到了美好的景色。
D.贝壳不为人知的血和泪造就了一颗颗无与伦比的璀璨珍珠。
4.下列句子中没有语病的一项是 ( ) (2分)A.“空谈误国, 实干兴邦”这八个字彰显了新一届中央领导集体求真务实。
B.为了避免交通道路不拥挤, 各地纷纷出台交通管理新措施。
C.能否根治学生沉迷网络游戏的顽症, 是保证青少年健康成长的条件之一。
D.晚年的他，仍然经历充沛，充满创作激情，写出了许多优秀作品。
5、下列四组标点, 最适合下面这段话的一组是( )(2分) 山东省平邑县一同志来信反映①人情风正在污染人们的心灵②金钱的多少③表示着人情的轻重④礼品的贵贱⑤显示出关系的亲疏⑥A.: .. . . . 。
”B... . . . 。
C... . . . 。
D... . . . 。
6.古诗文默写填空。
(6分)(1)塞下秋来风景异, 。
(范仲淹《渔家傲秋思》)(2)了却君王天下事, , 。
福建省厦门双十中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷【含答案】
厦门双十中学2025届高二（下）第二次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（）A ．2±B ．±C ．±D ．8±2．若随机变量()2~3,2X N ，随机变量1(3)2Y X =-，则()1()1E Y D Y +=+（）A ．0B ．12C ．45D ．23．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A ．6种B ．3种C ．20种D ．12种4．已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m α⊥、//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥C ．若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则()|P B A =（）A ．14B ．13C ．16D ．1126．已知n S 等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0.91ln1.1,,e a b c ===）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．c a b<<8．如图，在ABC 中，120BAC ∠= ，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =.延长BA 至点E .使得BC BE =，连接CE .设以,C E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,C E两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是（）A．∞⎫+⎪⎪⎣⎭B．∞⎫+⎪⎪⎝⎭C ．[)1,+∞D ．()1,∞+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C的短轴长为C ．C 的离心率为32D ．2ABF △的周长为810．已知321()2313f x x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．若方程()f x a =有三个实数根，则71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 的通项公式为143n na =-，其前n 项和为n S ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与数列{}14nn n a a +的前n 项和分别为n R ，n T ，则（）A ．114n n a a +<B ．存在n ，使得13n T >C ．4339n S <D ．265n R n n≥-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项的系数为．13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，若341a a +=，6247S S =，则12S =.14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表面积之和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，高为4，点M ，N 分别在线段PC ，AB 上，且2AN NB =，4PC PM =，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMN ；(2)求直线AC 与平面DMN 所成角的正弦值．16．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为20202318-年全球新能源汽车的销售量情况统计.年份201820192020202120222023年份编号x 123456销售量y /百万辆2.022.213.136.7010.8014.14若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)求变量y 与x 的样本相关系数r (结果精确到0.01)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb ay bx x x xnx ====--- ===---∑∑∑∑，样本相关系数()()nnii ii xx y y x ynx yr--- =∑∑参考数据：66211181.30,11.2i i i i i x y y ====≈≈∑∑.17．设函数()()24ln 42f x x ax a x =-+-，a ∈R(1)讨论()f x 的单调性．(2)若函数()f x 存在极值，对任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得()()()()21021f x f x f x x x '-=-（ⅰ）证明不等式212121ln ln 2x x x x x x ->-+．（ⅱ）判断并证明122x x +与0x 的大小．18．已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，A ，B ，C 为E 上不重合的三点.(1)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++ 的值；(2)过A ，B 两点分别作E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，过A ，B 两点分别作1l ，2l 的垂线3l ，4l ，3l 与4l 相交于点M .（i ）若AB 4=，求ABD △面积的最大值；（ii ）若直线AB 过点()1,0，求点M 的轨迹方程.19．设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n niM a a a a a i n i =∈≤≤∈N L ，从集合nM中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．(1)求3M 中(),2d A B =的点对的个数；(2)从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）1．B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆22:10C x y mx +++=，即222124m m x y ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以22π(1)ππ4m S r ==-=，解得m =±故选：B.2．B【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=，就可以求出结果.【详解】由()2~3,2X N 可知：()3,()4E X D X ==，又因为1(3)2Y X =-，所以()131333()()0222222E Y E X E X =-=-=-=，()131()(1224D Y D X D X =-==，则()1011()1112E Y D Y ++==++，故选：B.3．A【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有23A 326=⨯=种坐法.故选：A.4．D【分析】对于A ，可过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，即可判断；对于B ，由线面垂直的性质即可判断；对于C ，由条件，可得m β⊥，又m α⊥，则//αβ，即可判断；对于D ，要考虑n 可能在平面α内，即可判断．【详解】对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，当m α⊥，//m n ，由线面垂直的性质可得n α⊥，故B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n ⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误．故选：D ．5．B【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.6．B【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.【详解】当等差数列{}n a 为常数列时，此时n n S na =，满足前者，但是此时“{}n a 不是递减数列”，故充分性不成立；当{}n a 是递减数列，则对n *∀∈N ，1n n a a +<，()()1122n n n n n n a a n a a S na na +--=-=，当1n =时，0n n S na -=，当2n ≥时，1n a a >，0n n S na ->，所以对n *∀∈N ，n n S na ≥，则反推成立，故必要性成立，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的必要而不充分条件.故选：B.7．C【分析】初步判断三个数值都在0到1之间，常规方法不好处理，可考虑结合导数放缩来比较,a b 大小，设()()ln 1f x x x =--，()()e 1xg x x =-+，求出()f x '在()1,2的单调性，()g x '在()1,0-的单调性，可判断,a b 与0.1的大小；0.91,b c e ==断0.9e 大小，判断,b c ，进而得解.【详解】设()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-，当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单减，故()()()1.1ln1.1 1.1110f f =--<=，即ln1.10.1<；设()()e 1x g x x =-+，()e 1xg x '=-，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，所以()()0.90g g ->，即()()0.900e0.9101e ---+>-+=，即0.90.1e ->；1120.10.10.1c =>=，故a最小，0.91,b c e ==()100.99319683e <=，10510100000==，因为19683100000<，所以()10100.993e <<，所以0.9e<，0.91e >，所以b c a >>故选：C【点睛】本题考查由指对幂比大小，常规比大小步骤为：①结合指对幂函数单调性初步判断每个数值所在区间；②当两数值所在区间相同时，一般考虑引入中间量进一步比大小；③若常规方法不好处理时，常考虑构造函数法，结合导数放缩来进一步求解，此法难度较大，对学生基础能力要求较高，平常可积累一部分常见放缩公式，如1e 1ln x x x x x ≥+≥≥-≥等.8．D【分析】设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，设CF CD EG x ===，可得223CE x =+，结合椭圆和双曲线的定义可得12134e e x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦定理求得3x >，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，由切线长定理和BCE 的对称性，可设CF CD EG x ===.由1AD =，可得1,1AC x AE EG AG x =+=-=-.在ACE △中，由余弦定理，()()2222(1)(1)211cos603CE x x x x x =++--+-=+ .于是根据椭圆和双曲线的定义，221222313224CE CE CE x e e x AC AE AC AE AC AE x x +⎛⎫=⋅===+ ⎪+--⋅⎝⎭.接下来确定x 的取值范围.设BF BG y ==，在ABC 中， 1.1,AC x AB y BC x y --=+=+，于是由余弦定理，()()222()(1)(1)211cos120x y x y x y +=+++-++，整理得()330xy x y -+-=，于是()3103x y x +=>-，故3x >，又因为3y x x =+在()3,∞+内单调递增，可知33341y x x =+>+=，可得121314e e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以12e e 的取值范围是()1,∞+.故选：D.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．9．ABD【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b ma m==+⎝⎭，进而可求解2,1a b c===，即可根据选项逐一求解.【详解】由于12π3F AF∠=，所以12π6F AO OAF∠=∠=,故11πcos cos62AO bF AOAF a∠=====，因此222221b ma m==+⎝⎭，故23m=，所以椭圆22:143x yC+=，2,1a b c===对于A，焦距为22c=，故A正确，对于B，短轴长为2b=B正确，对于C，离心率为12cea==，C错误，对于D，2ABF△的周长为48a=，D正确，故选：ABD10．BC【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D.【详解】2()43f x x x'=-+，令()0f x'<解得13x<<，令()0f x'>解得1x<或3x>，所以()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，因为13(1)03f -=-<，极大值7(1)03f =>，且极小值1(3)0f =>，所以()f x 在(1,1)-有一个零点，共1个零点，A 错误；由A 知，函数有1,3两个极值点，故B 正确；由A 知，函数()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，且x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以方程()f x a =有三个实数根，需(3)(1)f a f <<，即71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为(3)1f =，所以点(3,1)在函数图象上，又点(3,1)关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，而13(1)3f -=-，即111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()f x 图象上的点，故函数()f x 不关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据1191144434n n n a a ++-<-=即可求解A ，根据裂项求和即可求解B ，根据放缩法即可求解C ，根据作差求解数列单调性即可求解D.【详解】对A ，由143n n a =-可得11143n n a ++=-，所以()11111111994343114344414343443443n nn n n n n nn a a ++++++----====-<----，故A 正确，对B ，()()414441143,33143n n nn n R n n a --=-∴=-=--，()()11141114343434343n nn n n n n n a a +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以12231111111111111113434334343343433433n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,故B 错误，对C ，由于3n ≥时，1111449433n n n -->>⇒-，故111131114311443n n n n a --=<=-，所以221221111314111414214344111131113444134439393914n n n n S a a a --⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=+++<++⨯=+-<+<+= ⎪⎝⎭-()()()222441441653656233n n n R n n n nn nn ----=--+=-+,对D ，记()()()()()1222144144144162,61216233n n n n n n P nn P P n n n n ++----=-+-=-++++-，故114124n n n P P n ++-=--，根据指数幂的性质可知14124n n +≥+，当且仅当1n =取等号，故11141240n n n n n P P n P P +++-=--≥⇒≥，只有1n =取等号，故143210n n P P P P P P ->>>>≥=,故D 正确，故选：ACD 12．118-【分析】由()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出()512x +展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()5525221121212x x x x x +⋅-++=+，其中()512x +展开式的通项为()155C 22C rrr r r r T x x +==⋅（{}0,1,2,3,4,5r Î），所以251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 的项为()215533355521C 2C (2)2C (2)118x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅-⋅=-，所以含3x 的项的系数为118-．故答案为：118-13．6316【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得1q ≠，由6247S S =，可得()()6211417111a q a q qq--=--，解得212q =，又341a a +=，即22121a q a q +=，所以122a a +=，同理5612a a +=，7814a a +=，91018a a +=，1112116a a +=，因为12123456789101112S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以12111163212481616S =+++++=.故答案为：631614．43π##43π9π【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】设正四面体的棱长为x ，高为h ，底面圆半径为r ，则2sin 60xr ︒=，得r =，又h x ，所以正四面体的体积为2111···sin 60332A BCD BCD V S h x ︒-=== ，解得x =如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE =，AE DE ===过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==，解得1R =，所以最大球的体积为344ππ33R =，且1OM OF ==，则413AO =-=，1sin 3OM EAF AO ∠==，设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故答案为：4π3；9π【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.15．(1)证明见解析【分析】(1)构造面面平行，再证线面平行.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角的正弦.【详解】（1）在线段CD 上取点F ，使得2CF DF =，连接EF 、BF ，如图：因为4PC PM =，E 为PC 的中点，所以2CE ME =，所以//EF DM ，又EF ⊄平面DMN ，DM ⊂平面DMN ，所以//EF 平面DMN ，在平行四边形ABCD 中，因为2AN NB =，2CF DF =，所以DF NB =，且//DF NB ，所以四边形DFBN 是平行四边形，所以//DN FB ，又BF ⊄平面DMN ，DN ⊂平面DMN ，所以//BF 平面DMN ，又BF ，EF ⊂平面EFB ，且BF EF F ⋂=，所以平面//EFB 平面DMN ，又BF ⊂平面EFB ，所以//BE 平面DMN ．（2）连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，因为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，所以PO ⊥平面ABCD ，且OA OB ⊥，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线依次为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得：()A，()B，()C -，()0,D -，324M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，)N所以()AC =-，)DN =，324DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则·0·0DN n DM n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒323040x z ⎧-++=⎪+=，取5,1,4n ⎛=- ⎝⎭设直线AC 与平面DMN 的夹角为θ，则：·102cos ,17·AC n sin AC n AC nθ===16．(1)0.95.r ≈(2)ˆ 2.56 2.46yx =-，15.46百万辆【分析】（1）利用相关系数r 公式即可求解；（2）根据已知数据，利用公式先求出ˆb，进而求出ˆa ，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可.【详解】（1）因为1234563.56x +++++==，2.02 2.213.13 6.710.814.146.56y +++++==，所以6221496149162536617.54i i x x =-=+++++-⨯=∑，622216380.2316 6.5126.731ii yy =-=-⨯=∑，所以6644.80.95.4.211.2iix yxyr -==≈≈⨯∑（2）由题意得61621644.8ˆ 2.5617.56iii ii x yxybxx ==-===-∑∑，所以ˆˆ 6.5 3.5 2.56 2.46ay bx =-=-⨯=-，得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.56 2.46yx =-，所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为2.567 2.4615.46⨯-=百万辆.17．(1)()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1202x xx +>，证明见解析【分析】（1）求导得()()()1241f x ax x x'-=-+，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即只需证明()()21ln 11t t t t ->>+，从而构造函数即可得证；（ⅱ）同构作差法并结合（ⅰ）中结论即可得解.【详解】（1）()()()41242241f x ax a ax x x x'-=-+-=-+，0x >，若0a ≤，则()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，若0a >，由()0f x '=得2x a=，当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ¢>；当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >，()()()()()()22212121214ln ln 42f x f x x x a x x a x x -=---+--()()()()()212121214ln ln 42x x a x x x x a x x =--+-+--，由题设得()()()()()212102121214ln ln 42f x f x x x f x a x x a x x x x --==-+'+---，∵120x x <<，设21(1)x t t x =>，（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即证明()()21ln 11t t t t ->>+，设()()21ln 1t g t t t -=-+，（1t >），则()()()22221211(1)0(1)(1)t t t g t t t t t +---=-=+'>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+得证，（ⅱ）()1221128422x x f a x x a x x '+⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，()()2112210211221124ln ln ln ln 82402x x x x x x f x f x x x x x x x x '-⎛⎫+-⎛⎫-=-=-> ⎪ ⎪-+⎝'+-⎝⎭⎭，∴()1202x x f x f +⎛⎫> ⎪⎝'⎭'，∵()()424f x ax a x=-+-'在()0,∞+上是减函数，∴1202x x x +>.【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及到函数的单调性以及不等式证明问题，难点在于不等式的证明，解答时要注意根据所要证明的不等式的结构特征，构造恰当的函数，利用导数的单调性进行证明.18．(1)3(2)（i ）8；（ii ）224y x =-【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据向量的坐标运算即可得12332x x x ++=，再根据抛物线的定义即可得结论；（2）（i ）设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii ）利用直线相交、直线过定点即可得点M 的轨迹方程.【详解】（1）依题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由0FA FB FC ++= 得，1231110222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12332x x x ++=，由抛物线定义得，1231113222FA FB FC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .（2）（i ）显然，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y，由22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得：2220y my n --=，2480m n ∆=+>，122y y m ∴+=，122y y n =-.22y x =Q，则y =1y y=='∴，∴切线1l 的方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，同理，切线2l 的方程为2212y y x y =+，联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x n y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(),D n m -，则点D 到直线AB的距离为d =由4AB ===，化简得：22421m n m +=+，114822ABDS AB d ∴==⨯=≤ ，当且仅当0m =时取等号，ABD ∴ 面积的最大值为8.（ii ）若直线AB 过点()1,0，由（i ），可以设直线AB 的方程为1x my =+，122y y m ∴+=，122y y =-.∴直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得222,2,x m y m ⎧=+⎨=⎩消去m 得：224y x =-，∴点M 的轨迹方程为224y x =-.【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率.19．(1)12对(2)①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【详解】（1）当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.（2）①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n n n n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且10C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n nn n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
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高二第二次月考模拟卷
一．单选题
1．关于磁感应强度，下列说法中正确的是()
A．若长为L、电流为I的导线在某处受到的磁场力为F，则该处的磁感应强度
必为F IL
B．由B＝F
IL知，B与F成正比，与IL成反比
C．由B＝F
IL知，一小段通电导线在某处不受磁场力，说明该处一定无磁场
D．磁感应强度的方向就是小磁针北极所受磁场力的方向
2．19世纪20年代，以塞贝克(数学家)为代表的科学家已认识到：温度差会引起电流．安培考虑到地球自转造成了太阳照射后，正面与背面的温度差，从而提出如下假设：地球磁场是由绕地球的环形电流引起的，则该假设中的电流方向是()
A．由西向东垂直磁子午线
B．由东向西垂直磁子午线
C．由南向北沿磁子午线
D．由赤道向两极沿磁子午线
(注：磁子午线是地球磁场N极与S极在地球表面的连线)
3.如图所示是云层之间闪电的模拟图，图中A、B是位于南、北方向带有电荷的两块阴雨云，在放电的过程中在两云的尖端之间形成了一个放电通道，发现位于通道正上方的小磁针N极转向纸里，S极转向纸外，则关于A、B的带电情况说法中正确的是()
A．带同种电荷B．带异种电荷C．B带正电D．A带负电
4．关于磁场方向、电流方向、安培力方向三者之间的关系，正确的说法是() A．磁场方向、电流方向、安培力方向三者之间总是互相垂直的
B．磁场方向一定与安培力方向垂直，但电流方向不一定与安培力方向垂直
C．磁场方向不一定与安培力方向垂直，但电流方向一定与安培力方向垂直D．磁场方向不一定与电流方向垂直，但安培力方向一定既与磁场方向垂直，又与电流方向垂直
5.在赤道正上方某处有一条东西方向水平放置的长直导线，通有从东向西流动的电流，则此通电导线所受地磁场的作用力的方向是()
A．竖直向上B．竖直向下C．向南D．向北
6.如图所示，一条形磁铁放在水平桌面上，在磁铁右上方固定一根与磁铁垂直的长直导线．当导线中通以由外向内的电流时磁铁仍然
保持静止，则()
A．磁铁受到向左的摩擦力，对桌面的压力减小
B．磁铁受到向右的摩擦力，对桌面的压力减小
C．磁铁受到向左的摩擦力，对桌面的压力增大
D．磁铁不受摩擦力，对桌面的压力不变
7．关于电场力与洛伦兹力，以下说法正确的是()
A．电荷只要处在电场中，就会受到电场力，而电荷静止在磁场中，也可能受到洛伦兹力
B．电场力对在电场中的电荷一定会做功，而洛伦兹力对在磁场中的电荷却不会做功
C．电场力与洛伦兹力一样，受力方向都在电场线和磁感线上
D．只有运动的电荷在磁场中才会受到洛伦兹力的作用
8.如图所示，设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，已知一粒子在重力、电场力和洛伦兹力作用下，从静止开
始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C
点是运动的最低点，以下说法不正确的是()
A．这粒子必带正电荷
B．A点和B点在同一高度
C．粒子在C点时速度最大
D．粒子到达B点后，将沿曲线返回A点
9．
如图所示为某种用来束缚原子的磁场的磁感线分布情况，以O 点为坐标原点，沿z 轴正方向磁感应强度B 大小的变化最有可能为( )
10.如图是医用回旋加速器示意图，其核心部分是两个D 形金属盒，两金属盒置
于匀强磁场中，并分别与高频电源相连。
现分别加速氘核(21H)和氦核(4
2He)。
下列
说法中正确的是( )
A ．它们的最大速度不相同
B ．它们的最大动能相同
C ．它们在
D 形盒中运动的周期相同
D ．仅增大高频电源的频率可增大粒子的最大动能
11．一重力不计的带电粒子以初速度v 0(v 0＜E
B )先后穿过宽度相同且紧邻在一起
的有明显边界的匀强电场E 和匀强磁场B ，如图甲所示，电场和磁场对粒子总共做功W 1.若把电场和磁场正交叠加，如图乙所示，粒子仍以v 0的初速度穿过叠加场区，电场和磁场对粒子总共做功W 2，比较W 1、W 2的大小（ ） A ．一定是W 1＝W 2
B ．一定是W 1＞W 2
C ．一定是W 1＜W 2
D ．可能是W 1＞W 2，也可能是W 1＜W 2
12.如图所示，一个质子和一个α粒子先后垂直磁场方向进入一个有理想边界的匀强磁场区域，它们在磁场中的运动轨迹完全相同，都是以图中的O 点为圆心的半圆．已知质子与α粒子的电荷量之比q 1∶q 2＝1∶2，质量之比m 1∶m 2＝1∶4，则以下说法中正确的是（ ）
A ．它们在磁场中运动时的动能相等
B ．它们在磁场中所受到的向心力大小相等
C ．它们在磁场中运动的时间相等
D ．它们在磁场中运动时的质量与速度的乘积大小相等
13．速率相同的电子垂直磁场方向进入四个不同的磁场，其轨迹如图所示，则磁场最强的是( )
14.如图所示，一根质量为m 的金属棒AC 用软线悬挂在磁感应强度为B 的匀强磁场中，通入A →C 方向的电流时，悬线张力不为零，欲使悬线张力为零，可以采用的办法是( ) A ．不改变电流和磁场方向，适当增大电流 B ．只改变电流方向，并适当减小电流
C ．不改变磁场和电流方向，适当减小磁感应强度
D ．只改变磁场方向，并适当减小磁感应强度 二．填空题
15.质量为m ，电量为q 带正电荷的小物块从半径为R 的1
4光滑圆槽顶点由静止下滑，整个装置处于电场强度为E ，磁感应强度为B 的区域内如图所示，则小物块滑到底端时对轨道的压力为________．
16.一种测量血管中血流速度的仪器原理图，如图所示，在动脉血管两侧分别安装电极并加磁场，设血管直径为2mm ，磁场的磁感应强感度为0.080T ，电压表测出的电压为0.10mV ，则血流速度大小为________m/s.
三．计算题
17.如图所示，在倾角为37°的光滑斜面上有一根长为0.4m ，质量为6×10－2kg 的通电直导线，电流I ＝1A ，方向垂直纸面向外，导线用平行于斜面的轻绳拴住不动，整
个装置放在磁感应强度每秒增加0.4T ，方向竖直向上的磁场中，设t ＝0，B ＝0，
则需要多长时间斜面对导线的支持力为零？(g 取10m/s 2)
18．如图所示，倾角为θ、间距为L 的平行导轨上端连接电动势为E 的电源和阻值为R 的电阻，其它电阻不计。
在导轨上水平放置一根质量为m 、电阻不计的导体棒ab ，棒与斜面间动摩察因数μ<tan θ，欲使棒所受的摩擦力为零，且能使棒静止在斜面上，应加匀强磁场的磁感应强度B 的最小值是多少？方向如何？
19．如图3－21所示，光滑的平行导轨倾角为θ，处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，导轨中接入电动势为E 、内阻为r 的直流电源．电路中有一阻值为R 的电阻，其余电阻不计，将质量为m 、长度为L 的导体棒由静止释放， 求导体棒在释放瞬间的加速度的大小．
20.如图所示，直线MN 上方有垂直纸面向外的足够大的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B ，正、负电子同时从O 点以与MN 成300角的相同速度v 射入该磁场区域(电子质量为m ，电量为e)，经一段时间后从边界MN 射出。
求： (1)它们从磁场中射出时，出射点间的距离； (2)它们从磁场中射出的时间差。
21.已知质量为m的带电液滴，以速度v射入互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B中，液滴在此空间刚好能在竖直平面内做匀速圆周运动，如图所示．求：
(1)液滴在空间受到几个力作用．
(2)液滴带电荷量及电性．
(3)液滴做匀速圆周运动的半径多大？
22.如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度B＝2×10－3T；磁场右边是宽度L＝0.2
m、场强E＝40 V/m、方向向左的匀强电场．一带电粒子电荷量q＝－3.2×10－19C，
质量m＝6.4×10－27 kg，以v＝4×104 m/s的速度沿OO′垂直射入磁场，在磁场
中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出．求：
(1)大致画出带电粒子的运动轨迹；(画在题图上)
(2)带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
(3)带电粒子飞出电场时的动能．。