2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 第二课时 直线与椭圆的位置关系课时作业
【2019-2020】高中数学第二章圆锥曲线与方程1
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第二章圆锥曲线与方程1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一点与椭圆的位置关系思考1 判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系．思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？知识点二直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2 如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？梳理弦长公式：(1)|AB|＝＝|x1－x2|＝；(2)|AB|＝ |y1－y2|＝ .注：直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率．其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．类型一直线与椭圆的位置关系命题角度1 直线与椭圆位置关系的判断例1 直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定反思与感悟直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．命题角度2 距离的最值问题例2 在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．反思与感悟此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．跟踪训练2 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使点P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．类型二弦长及中点弦问题例3 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练3 已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练4 椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且直线l的方程为y＝kx＋(k>0)，若O为坐标原点，求△OAB的面积的最大值．1．经过椭圆＋＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为( )A．6 B．8 C．10 D．162．经过椭圆＋＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为( )A．1 B．2 C．3 D．43．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( ) A．m>1 B．m>1且m≠3C．m>3 D．m>0且m≠34．过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________．5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．答案精析问题导学知识点一思考1 当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外．思考2 当P在椭圆外时，＋>1；当P在椭圆上时，＋＝1；当P在椭圆内时，＋<1.知识点二思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2 联立消去y得关于x的一元二次方程.知识点三思考有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得．题型探究例1 A [直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．]跟踪训练1 解由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0， 解得k ＜－或k ＞. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪.例2 解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝x ＋m ，代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx ＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝x ＋4和y ＝x －4， 显然y ＝x －4距l 最近，d ＝＝＝，切点为P.跟踪训练2 解 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎨⎧x2＋8y2＝8，x－y＋a＝0，得9y2－2ay ＋a2－8＝0， Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝＝.由得⎩⎪⎨⎪⎧ x＝－83，y＝13，即P 点坐标为(－，)．例3 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝(x －4)， 即y ＝x.由消去y 可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝＝ 14 ＝＝×6＝3.所以线段AB 的长度为3.(2)当直线l 的斜率不存在时，不合题意．所以直线l 的斜率存在．设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k(x －4)．联立消去y 得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x ＋(64k2－64k －20)＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，由于AB 的中点恰好为P(4,2)，所以＝＝4，解得k ＝－，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－(x －4)，即x ＋2y －8＝0.跟踪训练3 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差， 得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①∵A，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴＝－1.由已知得＝kOC ＝，代入①式可得b ＝a.∵直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1.又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，∴|x2－x1|＝2.联立ax2＋by2＝1与x ＋y －1＝0，可得(a ＋b)x2－2bx ＋b －1＝0.且由已知得x1，x2是方程(a ＋b)x2－2bx ＋b －1＝0的两根， ∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4·.②将b ＝a 代入②式，解得a ＝，∴b＝.∴所求椭圆的方程是＋＝1.例4 解 (1)由⎩⎨⎧ 4x2＋y2＝1，y＝x＋m，得5x2＋2mx ＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知5x2＋2mx ＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，所以|AB|＝＝＝＝ ＝.所以当m ＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y ＝x. 引申探究 解 可求得O 到AB 的距离d ＝，又|AB|＝，∴S△AOB＝|AB|·d＝··＝ ≤·＝，当且仅当－m2＝m2时，等号成立，此时m ＝±∈[－，]．∴所求直线的方程为x －y±＝0.跟踪训练4 解 (1)已知椭圆的离心率为，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，即b ＝t ，其中t>0，又△F1PF2面积取最大值时，即点P 为短轴端点， 因此·2t·t＝，解得t ＝1，则椭圆的方程为＋＝1.(2)联立⎩⎨⎧ y＝kx＋3，x24＋y23＝1，整理得(4k2＋3)x2＋8kx ＝0.解得x1＝0或x2＝－.∵k>0，∴|AB|＝|x1－x2|＝|－|＝·，原点O到直线l的距离为d＝.∴S△OAB＝··＝＝≤＝，当且仅当4k＝，即k＝时，△OAB面积的最大值为.当堂训练1．B 2.D 3.B 4.x－2y＋3＝05．解设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，即(1＋k2)(－)2＝，化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.所以所求直线l的方程是x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆的标准方程B版-1一等奖公开课ppt课件
3．已知椭圆的焦点 F1，F2 在 x 轴上，且 a＝ 2c，过 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么椭圆的标准 方程为________．
解析：根据椭圆的焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为ax22＋by22＝ 1(a>b>0)，根据△ABF2 的周长为 16 得 4a＝16， ∴a＝4. ∵a＝ 2c，∴c＝2 2，则 b2＝a2－c2＝16－8＝8. 故椭圆的标准方程为1x62 ＋y82＝1. 答案：1x62 ＋y82＝1
1．设 F1，F2 是椭圆2x52＋y92＝1 的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF1F2
的周长为
()
A．16
B．18
C．20
D．不确定
解析：椭圆2x52＋y92＝1 中，a＝5，b＝3，c＝4.
则△PF1F2 的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2×5＋2×4＝18.
答案：B
2．已知椭圆2x52＋y92＝1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2，
即|PF2|＝4－|PF1|.
②
②代入①解得|PF1|＝65.
所以 S△PF1F2＝12|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝12×65×2× 23＝353，
即△PF1F2 的面积是35 3.
[一点通] 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的△ F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充 分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对 于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用 S＝12absin C 把 |PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a 及余弦定理 求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量．
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.1
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第二章 圆锥曲线与方程
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(2)方法一：若焦点在 x 轴上， 设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)． 因为 M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
a12－b12＝1， 所以－a222－5b22＝1， 若焦点在 y 轴上，
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2．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，且经过点(0,2)与 ( 5，2 2)； (2)c＝ 6，经过点(－5,2)，焦点在 x 轴上．
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第二章 圆锥曲线与方程
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双曲线的定义
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的_差__的__绝__对__值_ _是__常__数___的点的轨迹叫做双曲线
焦点 焦距 集合语言
_两__个__定__点__F_1，__F__2 _叫做双曲线的焦点
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1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过 程．
2．掌握双曲线的标准方程． 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问 题．
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第二章 圆锥曲线与方程
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队 远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
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2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程讲义含解析新人
2．1.1 椭圆及其标准方程预习课本P32～36，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？2．椭圆的标准方程是什么？[新知初探]1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．[点睛] 定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2[点睛] 椭圆的标准方程的特征(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于x a 与y b的平方和，并且分母为不相等的正值. [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )(2)已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为圆( )(3)方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)表示的曲线是椭圆( )答案：(1)× (2)√ (3)×2．若椭圆x 25＋y 2m＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案：C3．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10答案：D4．若椭圆的焦距为6，a －b ＝1，则椭圆的标准方程为________________． 答案：x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1求椭圆的标准方程[典例] (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52；(3)椭圆的焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝ 6.[解] (1)椭圆的焦点在x 轴上，故设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝9. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)椭圆的焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义，知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(3)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.①又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ，代入①得4b 2－b 2＝6， ∴b 2＝2，∴a 2＝8. 又∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．解：(1)法一：(分类讨论法)若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以－52a 2＋32b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 y 220＋x 24＝1. 椭圆的定义及其应用[典例] (1)已知椭圆的方程为a 2＋25＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．20C ．241D ．441(2)如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．[解析] (1)∵a >5，∴椭圆的焦点在x 轴上．又c ＝4，∴a 2－25＝42，∴a ＝41.由椭圆的定义知△ABF 2的周长＝|BA |＋|F 2B |＋|F 2A |＝|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 1|＋|AF 2|＝4a ＝441.(2)由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是335.[答案] (1)D (2)3351.如图所示，已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，则椭圆的标准方程为____________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2，所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝12．已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝________.解析：由题意，得a 2＝9，∴a ＝3，c 2＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴c ＝7，∴|F 1F 2|＝27. ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1||PF 2|＝42＋22－2722×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：120°与椭圆有关的轨迹问题[典例] (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为________．(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．[解析] (1)设P (x P ，y P )，Q (x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x P 2，y ＝yP2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝2x ，y P ＝2y ，又点P 在椭圆x 24＋y 28＝1上，所以2x24＋2y 28＝1，即x 2＋y 22＝1. 答案：x 2＋y 22＝1(2)解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．[活学活用]求过点P (3,0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．解：圆方程配方整理得(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3，0)，半径为R ＝10.设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|PC |＝r ，|CC 1|＝R －r ，消去r 得R －|PC |＝|CC 1|⇒|PC |＋|CC 1|＝R ，即|PC |＋|CC 1|＝10.又P (3,0)，C 1(－3,0)，且|PC 1|＝6<10.可见C 点是以P ，C 1为两焦点的椭圆，且c ＝3,2a ＝10， 所以a ＝5，从而b ＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.层级一 学业水平达标1．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝7.2．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．5或3D ．8解析：选C 由题意得c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.当m >4时，m ＝4＋1＝5；当m <4时，4＝m ＋1，∴m ＝3.3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a >|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D 由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.6．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由直线AB 过椭圆的一个焦点F 1，知|AB |＝|F 1A |＋|F 1B |，∴在△F 2AB 中，|F 2A |＋|F 2B |＋|AB |＝4a ＝20，又|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝8.答案：87．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时 △PF 1F 2的面积最大， ∴12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝19．求符合下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点⎝⎛⎭⎪⎫63，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫223，1； (2)过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．解：(1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．∵椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫63，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫223，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫632＋n ·32＝1，m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＋n ·12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.(2)由题意得已知椭圆x 29＋y 24＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5.∴设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2a ′2－5＝1.∵点(－3,2)在所求椭圆上， ∴9a ′2＋4a ′2－5＝1.∴a ′2＝15或a ′2＝3(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1.10．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． 解：(1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2， 所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4.又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35.故∠F 1PF 2的余弦值等于35. 层级二 应试能力达标1．下列说法中正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为5＋42＋32＋5－42＋32＝410>|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选C.2．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1―→·PF 2―→＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．9B ．12C ．10D ．8 解析：选A ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a .又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|2＋|PF 2|2＝64， ①|PF 1|＋|PF 2|＝10. ② ②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|·|PF 2|＝18，∴△F 1PF 2的面积为S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝9. 3．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B.⎝⎛⎦⎥⎤0，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α<π2. 4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15 解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心：且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________．解析：易知k ≠0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k ＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132. 答案：1326．已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12. 答案：127．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程． 解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，2c 2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 法二：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2. 由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a ；在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意有b 2a ＝3，得b 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.8. 如图在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：如图，连接MA .由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.又A (1,0)，C (－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.。
2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2.2椭圆方程及性质的应用课件新人教A版选修1_1
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得 m2≤1＋4k2.(**) 由(*)(**)可知 0<t≤1， 因此 S＝2 （4－t）t＝2 －t2＋4t，故 S≤2 3. 当且仅当 t＝1，即 m2＝1＋4k2 时取得最大值 2 3. 由①知，△ABQ 的面积为 3S， 所以△ABQ 面积的最大值为 6 3.
1x222 ＋y422＝1，②
用
①
减
去
②
得
：
（x1－x2）（x1＋x2） 12
＝
（y1－y2）－（4 y1＋y2），所以 k＝xy11－－xy22＝－13×xy11＋ ＋xy22， 再由垂直平分线的性质得－1k＝xy11＋ ＋22 yx22－－20＝y1x＋1＋y2x－2 4，
所以3（xy11＋＋xy22）＝y1x＋1＋y2x－2 4，
●规律总结 解椭圆综合问题的常用技巧 椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其他 章节知识结合考察，如不等式、三角函数以及平面向 量等．解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及 转化的思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方 程或函数是常用的技巧．
◎对点训练
3．(2018·天津)设椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的右顶点为 A，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 35，|AB|＝ 13.
x420＋y20＝1，所以 λ＝2，即||OOQP||＝2。
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 将 y＝kx＋m 代入椭圆 E 的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由 Δ>0，可得 m2<4＋16k2.(*)
则有 x1＋x2＝－1＋8k4mk2，x1x2＝41m＋2－4k126.
高中数学选修2-1《圆锥曲线》教案
4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质第二课时直线与椭圆的位置关系练习新人教A版
第二课时直线与椭圆的位置关系1.已知点(2,3)在椭圆+=1上,则下列说法正确的是( D )(A)点(-2,3)在椭圆外(B)点(3,2)在椭圆上(C)点(-2,-3)在椭圆内(D)点(2,-3)在椭圆上解析:由椭圆的对称性知点(2,-3)也在椭圆上.2.直线y=k(x-2)+1与椭圆+=1的位置关系是( B )(A)相离 (B)相交(C)相切 (D)无法判断解析:直线y=k(x-2)+1过定点P(2,1),将P(2,1)代入椭圆方程,得+<1,所以P(2,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.故选B.3.在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(-1,0)的距离与P到定直线x=-4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为( B )(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:设点P(x,y),由题意知=,化简得3x2+4y2=12,所以动点P的轨迹C的方程为+=1,故选B.4.过椭圆+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|等于( C )(A)4 (B)2(C)1 (D)4解析:因为+y2=1中a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标为(,0),将x=代入+y2=1得,y=±,故|AB|=1.故选C.5.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( D )(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点D(1,-1),则k AB=,x1+x2=2,y1+y2=-2,两式相减得:+=0,即=-,即=,所以a2=2b2.又因为c=3,所以b2=9,a2=18,椭圆方程为+=1.故选D.6.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是( A )(A)(B)(C)(D)解析:联立方程组⇒(m+n)x2-2nx+n-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则x0==,y0=1-x0=1-=.所以k OP===.故选A.7.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上任意一点,则·的最小值为( A )(A)(B)3 (C)8 (D)15解析:a2=9,b2=5,所以c2=a2-b2=4.所以c=2,所以左焦点F(-2,0).设P(x0,y0),则+=1.①=(x0,y0),=(x0+2,y0),所以·=x0(x0+2)+.②由①得=5-,代入②得·=+2x0+5=(x0+)2+.因为点P(x0,y0)在椭圆上,所以-3≤x0≤3,所以当x0=-时,·取最小值.故选A.8.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点A∈l,线段AF交椭圆C于点B,若=3,则||等于( A )(A)(B)2 (C)(D)3解析:设点A(2,n),B(x0,y0).由椭圆C:+y2=1知a2=2,b2=1,所以c2=1,即c=1.所以右焦点F(1,0).由=3,得(1,n)=3(x0-1,y0).所以1=3(x0-1)且n=3y0.所以x0=,y0=n.将x0,y0代入+y2=1,得×()2+(n)2=1.解得n2=1,所以||===.9.设椭圆+=1与直线x+y=t有公共点,则实数t的取值范围是.解析:由方程组消去y,得16x2+9(t-x)2=144,即25x2-18tx+9t2-144=0.由Δ=(-18t)2-4×25×(9t2-144)≥0,得t2≤25,所以-5≤t≤5.答案:[-5,5]10.椭圆+=1上的点到直线x-2y-12=0的距离的最大值为.解析:设椭圆上的点P(4cos α,2sin α),点P到直线的距离d==当cos(α+)=-1时,距离取得最大值,d max==4.答案:411.设F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,若△F1F2P为直角三角形,该三角形的面积为.解析:由题∠F1PF2≠90°,不妨设PF2⊥x轴;椭圆+=1的右焦点(3,0),2c=6,|F2P|==.三角形的面积为×6×=.答案:12.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是.解析:设椭圆的左焦点为F1,半焦距为c,连接AF1,BF1,则四边形AF1BF为平行四边形,所以|AF1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.根据椭圆定义,有|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a,所以8=4a,解得a=2.因为点M到直线l:3x-4y=0的距离不小于,即≥,b≥1,所以b2≥1,所以a2-c2≥1,4-c2≥1,解得0<c≤,所以0<≤,所以椭圆的离心率的取值范围为(0,].答案:(0,]13.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求被椭圆截得的最长弦的长度.解:由方程组消去y并整理,得5x2+2mx+m2-1=0.(1)因为直线与椭圆有公共点,所以Δ=4m2-20(m2-1)=20-16m2≥0,解得-≤m≤.即m的取值范围为[-,].(2)由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1·x2=.则弦长l=|x1-x2|===.当m=0时,l取得最大值为.14.过点P(-1,1)的直线与椭圆+=1交于A,B两点,若线段AB的中点恰为点P,求AB所在的直线方程及弦长|AB|.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B两点在椭圆上得两式相减得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0.①显然x1≠x2,故由①得k AB==-.因为点P是AB的中点,所以有x1+x2=-2,y1+y2=2.②把②代入①得k AB=,故AB的直线方程是y-1=(x+1),即x-2y+3=0.由消去y得3x2+6x+1=0.所以x1+x2=-2,x1x2=,|AB|==·=×=.15.已知椭圆+=1(a>b>0)上的点P到左、右两焦点F1,F2的距离之和为2,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点.若y轴上一点M0,满足|MA|=|MB|,求直线l斜率k的值.解:(1)|PF1|+|PF2|=2a=2,所以a=.因为e==,所以c=×=1,所以b2=a2-c2=2-1=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)可得F2(1,0),则直线的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆方程得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)-2k=,所以AB的中点坐标为G(,).k=0时,不满足条件;当k≠0时,因为|MA|=|MB|,所以k MG===,整理得2k2-3k+1=0,解得k=1或k=.16.已知F1,F2为椭圆C:+=1的左、右焦点,点E是椭圆C上的动点, ·的取值范围为( B )(A)[7,9] (B)[7,8] (C)[8,9] (D)[8,17]解析:由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0),设E(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),·=x2-1+y2=x2-1+8-x2=x2+7(-3≤x≤3),所以当x=0时,·有最小值7,当x=±3时,·有最大值8,·的取值范围为[7,8],故选B.17.如图,圆O与离心率为的椭圆T:+=1(a>b>0)相切于点M(0,1),过点M引两条互相垂直的直线l1,l2,两直线与两曲线分别交于点A,C与点B,D(均不重合).若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为d1,d2,则+的最大值是( C )(A)4 (B)5 (C)(D)解析:易知椭圆C的方程为+y2=1,圆O的方程为x2+y2=1,设P(x0,y0),因为l1⊥l2,则+=PM2=+(y0-1)2,因为+=1,所以+=4-4+(y0-1)2=-3(y0+)2+,因为-1≤y0≤1,所以当y0=-时,+取得最大值,此时点P(±,-).18.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点的坐标为(3,0),M为平面内一点,||=1,且·=0,则||的最小值为.解析:由||=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,因为·=0且P在椭圆上运动,所以PM⊥AM,即PM为圆A的切线,连接PA(如图),则||==,所以当||min=a-c=5-3=2时,||min=.答案:19.若圆x2+(y-2)2=1与椭圆+=1的三个交点构成等边三角形,则该椭圆的离心率的值为.解析:如图,圆x2+(y-2)2=1圆心为(0,2),半径为1,则A(0,3),则椭圆+=1焦点在y轴上,即=3,则n=9,等边三角形ABC为圆x2+(y-2)2=1的内接正三角形,则AC=BC=AB=,所以DC=,AD=,所以OD=OA-AD=,所以C点坐标为(,),代入椭圆方程+=1,解得m=1,所以椭圆方程x2+=1,即a=3,b=1,c=2,所以椭圆的离心率e==.答案:20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个长轴顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N,(1)求椭圆C的方程;(2)当△AMN的面积为时,求k的值.解:(1)因为椭圆一个长轴顶点为A(2,0),离心率为,所以所以b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线y=k(x-1)与椭圆C联立消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=×=,因为A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d=,所以△AMN的面积S=|MN|d=,因为△AMN的面积为,所以=,所以k=±1.。
第二章 2.2.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系(一)
第2课时直线与椭圆的位置关系(一)学习目标进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系．知识点一点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.知识点二直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1.消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<01．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(×)2．直线y＝k(x－a)与椭圆x2a2＋y2b2＝1的位置关系是相交．(√)一、点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k ,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－332∪⎝⎛⎭⎫332，＋∞ 解析 依题意得，k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.延伸探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？ 解 依题意得，19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >423.反思感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m ＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．答案 9解析 依题意得，1m ＋4n ＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝1＋4m n ＋n m ＋4＝5＋4m n ＋n m≥5＋24m n ·nm＝9， 当且仅当n ＝2m ＝6时等号成立，故m ＋n 的最小值为9.二、直线与椭圆的位置关系命题角度1 由直线与椭圆的位置关系求参数问题例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③ Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144. (1)由Δ>0，得－32<m <3 2.于是，当－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m ＝±3 2.也就是当m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m <－32或m >3 2.从而当m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用． 跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，求k 的取值范围． 解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－22或k ＞22，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.命题角度2 可转化为直线与椭圆位置关系问题例3 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0， 解得m 2＝16，即m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4，即3x －2y －8＝0距l 最近，且最短距离d ＝|－16＋8|32＋(－2)2＝81313.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －8＝0，x 24＋y 27＝1，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－74，故切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 反思感悟 椭圆上的点到定直线的距离的最小值问题可转化为直线与椭圆位置关系问题，通过方程和判别式可达到解决此类题的目的．跟踪训练3 已知椭圆x 2＋8y 2＝8，直线l ：x －y ＋a ＝0. (1)当a 为何值时，l 与椭圆相切；(2)若a ＝6，在椭圆x 2＋8y 2＝8上求一点P ，使它到直线l 的距离最短，并求出最短距离．解 (1)由已知联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝－3或a ＝3. 此时椭圆与直线l 相切．(2)由(1)知与l 平行的两切线方程为x －y －3＝0或x －y ＋3＝0， 显然x －y ＋3＝0距l 最近，d ＝|6－3|12＋(－1)2＝322，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－83，y ＝13，故切点为P ⎝⎛⎭⎫－83，13.1．点A (a ,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－2，2)C ．[－2，2]D ．(－2,2) 答案 B解析 由题意，得a 24＋12＜1，即a 2＜2，解得－2＜a ＜ 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切答案 A解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是________．答案32解析 椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为(1,0)，所以右焦点到直线y ＝3x 的距离为|3|1＋(3)2＝32. 4．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线与椭圆有公共点时，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－52，52解析 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m 2－4×5(m 2－1)≥0， 即－4m 2＋5≥0，解得－52≤m ≤52. 5．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．答案 (－2,2)解析 ∵直线y ＝kx ＋b 恒过定点(0，b )，且直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，∴点(0，b )在椭圆x 29＋y 24＝1内部，∴b 24<1，∴－2<b <2.1．知识清单：(1)点与椭圆的位置关系． (2)直线与椭圆的位置关系．2．方法归纳：数形结合、函数与方程． 3．常见误区：忽略椭圆中x ，y 的范围．1．若点P (a ,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－233，233 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫233，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43 答案 B解析 因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故选B.2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断答案 A解析 方法一 直线过点(0,1)，而0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．方法二 联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交． 3．直线y ＝k (x －2)＋1与椭圆x 216＋y 29＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断答案 B解析 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)， 将P (2,1)代入椭圆方程，得416＋19<1， 所以P (2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32 B. 3 C.72D ．4 答案 C解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72.5．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1C ．m >3D ．m >1且m ≠3答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，∴Δ＝16m 2－4m (3＋m )>0，∴m >1或m <0， 又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为________． 答案 ±22解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2，所以y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.7．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．答案 [1,5)∪(5，＋∞)解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m ≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.8．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为__________________． 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0， 由Δ＝0，得a ＝7， 所以椭圆的长轴长为27.9．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0. Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m <5时，Δ>0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m <－5或m >5时，Δ<0，直线与椭圆相离．10．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k (k >0)，则|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )．化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.11．已知椭圆x 2＋y 24＝1，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，点P 是椭圆上一点，则使得点P 到直线l 的距离为55的点P 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 设直线l ′：2x ＋y ＋n ＝0与椭圆相切，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋n ＝0，x 2＋y 24＝1，整理得8x 2＋4nx ＋n 2－4＝0， 则该方程有且只有一个解，由Δ＝16n 2－4×8(n 2－4)＝0，得n ＝22或n ＝－22，∴l ′的方程为2x ＋y ＋22＝0或2x ＋y －22＝0，易知直线2x ＋y ＋22＝0与直线l 的距离为22－25<55， 直线2x ＋y －22＝0与直线l 的距离为2＋225>55， ∴符合条件的点P 有2个．故选C.12．以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 C解析 由题意设椭圆方程为x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1， ⎩⎨⎧ x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，x －y ＋3＝0，得(2b 2＋1)x 2＋6(b 2＋1)x ＋8b 2＋9－b 4＝0，由Δ≥0得b 2≥4，所以b 2的最小值为4，由e ＝1－b 2b 2＋1＝1b 2＋1， 则b 2＝4时，e 取最大值，故选C.13．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点， 所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4， 即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，所以点M 在椭圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点． 14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________. 答案 57解析 设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.15．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－263，263 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎝⎛⎭⎫－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－63，63 答案 A解析 由F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＝x 20＋y 20－3<0，① 由x 204＋y 20＝1，即y 20＝1－x 204，② ②代入①可得，34x 20－2<0，即－263<x 0<263. 16.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝ 52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程． 解 (1)由已知|AB |＝52|BF |， 即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2，4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ， 得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217. ∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0.从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0， 解得b ＝1，满足b >21717.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.。
直线与椭圆的位置关系 课件
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
2．直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系判断方
y＝kx＋m， 法：由ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程．
位置关系 相交 相切 相离
∴x1＋x2＝42kkk2＋－11，
又∵x1＋x2＝2，∴42kkk2＋－11＝2，得 k＝－12．故弦所在直线
方程为 y－1＝－12(x－1)，即 x＋2y－3＝0．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k， 且设弦的两端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
直线与椭圆的位置关系
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
直线与椭圆的位置关系 温故知新 回顾复习点与圆的位置关系的代数表示，直线与圆的位置 关系的代数与几何表示．
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导， 直 线 l ： y ＝ x ＋ m 与 椭 圆 9x2 ＋ 16y2 ＝ 144．(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共 点．
[解析] 由y9＝x2＋x＋16my，2＝144. 消去 y 得， 9x2＋16(x＋m)2＝144， 化简整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14400．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2第2课时椭圆方程及性质的应用
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解析：∵直线 AB 的斜率为 1，
∴∠BAP＝45°，
即△BAP 是等腰直角三角形，|A→B|＝
→ 2|AP|.
∵A→B·A→P＝9，
∴|A→B||A→P|cos 45°＝ 2|A→P|2cos 45°＝9，
∴|A→P|＝3.
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(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y＝45(x－3)，
设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程 y＝45(x－3)代入 C 的方程，
得2x52Байду номын сангаасx－2532＝1，即 x2－3x－8＝0.
解得
x1＝3－2
41，x2＝3＋2
41 .
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1．设椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求 C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标． 解析：(1)将(0,4)代入 C 的方程得1b62 ＝1，∴b＝4. 又由 e＝ac＝35，得a2－a2 b2＝295， 即112/1－2/201a2162 ＝295，∴a＝5，∴C 的方程为2x52＋1y62 ＝1.
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01 课前 自主(zìzhǔ)梳理 02 课堂(kètáng) 合作探究
03 课后 巩固提升
课时(kèshí)作业
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[自主梳理] 一、点与椭圆的位置关系 设点 P(x0，y0)，椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)． 位点P在椭圆上⇔ax022＋yb202 ＝1 置 关点P在椭圆内⇔ax022＋yb202<1 系12点/12/2P02在1 椭圆外⇔ax202＋yb202 >1
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第二课时 直线与椭圆的位置关系
【选题明细表】
知识点、方法 题号
直线与椭圆的位置关系 1,2
弦长问题 3,4,7
中点弦问题 6
最值问题 8
定值、定点问题 11
综合问题 5,9,10,12
【基础巩固】
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为( A )
(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)不确定
解析:直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
故选A.
2.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点,则实数k的取值范围是( C )
(A)(-,)
(B)()∪(-)
(C)(-∞,-)∪(,+∞)
(D)(-∞,-)∪(-,)
解析:由可得(4k2+1)x2+24kx+20=0,
当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.
故选C.
3.(2017·哈师大附中高三月考)已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于A,B,
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则△ABM的周长为( B )
(A)4 (B)8 (C)12 (D)16
解析:因为椭圆的焦点为(±,0),M为右焦点,直线过左焦点,
所以△ABM的周长为4a=4×2=8.
故选B.
4.(2018·杭州调研)已知椭圆+=1的上焦点为F,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆分别
相交于点A,B和C,D,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|等于( D )
(A)2 (B)4 (C)4 (D)8
解析:如图,设F1为椭圆的下焦点,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连接AF1,BF1.由
椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,
所以|AF1|=|FD|,
同理|BF1|=|CF|,
所以|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|BF|+|BF1|+|AF1|=4a=8.
故选D.
5.(2018·扬州高二检测)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B
两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
解析:由已知可得直线方程为y=2x-2,
联立方程得交点坐标,
不妨令A(0,-2),B(,),
所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=.
答案:
6.(2017·潜江高二期中)椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,那
么这弦所在直线的方程为 .
解析:设以P(3,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),
因为P(3,2)为EF中点,
所以x1+x2=6,y1+y2=4,
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把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆4x2+9y2=144,得
所以4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,
所以24(x1-x2)+36(y1-y2)=0,
所以k==-,
所以以P(3,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为
y-2=-(x-3),
整理,得2x+3y-12=0.
答案:2x+3y-12=0
7.已知椭圆C的对称轴为坐标轴,一个焦点为F(0,-),点M(1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:2x-y-2=0与椭圆C交于A,B两点,求|AB|.
解:(1)因为椭圆C的对称轴为坐标轴,一个焦点为F(0,-),
所以c=,
因为点M(1,)在椭圆C上,
所以2a=+=4,
a=2,b2=a2-c2=2,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)联立直线l与椭圆C的方程
解得
令A(0,-2),B(,),
则|AB|==.
【能力提升】
8.(2018·宜宾高二月考)若直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于A,B两点,当t变化时,|AB|的
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最大值为( C )
(A)2 (B) (C) (D)
解析:将y=x+t代入+y2=1,
得5x2+8tx+4t2-4=0,
则x1+x2=-,x1x2=.
由|AB|=×=·,
当t=0时|AB|最大,最大值为×=.
故选C.
9.(2018·河北质检)已知直线l:y=kx+2过椭圆+=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F,且被
圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L≥,则椭圆离心率e的取值范围是( B )
(A)(0,) (B)(0,)
(C)(0,) (D)(0,)
解析:依题意,知b=2,kc=2.
设圆心到直线l的距离为d,则L=2≥,
解得d2≤.
又因为d=,
所以≤,
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解得k2≥.
于是e2===,
所以0
10.(2018·成都诊断)过点M(-1,)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点,线段AB中点为
M,设直线l的斜率为k1(k1≠0).直线OM的斜率为k2,则k1k2的值是 .
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则+2=2,①
+2=2,②
②-①得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0.
则=-,
所以k1==-=1,
而k2==-,
故k1k2=-.
答案:-
11.(2018·温州联考)已知椭圆+=1(a>b>0)过点(0,1),其长轴长、焦距和短轴长三者的
平方成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不
重合且满足=λ1,=λ2.
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(1)求椭圆的标准方程;
(2)若λ1+λ2=-3,试证明直线l过定点并求此定点.
解:(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,
又a2=b2+c2,
所以a2=3.
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),
设l方程为x=t(y-m),
由=λ1知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),
所以y1-m=-y1λ1,由题意y1≠0,
所以λ1=-1.
同理由=λ2知λ2=-1.
因为λ1+λ2=-3,
所以y1y2+m(y1+y2)=0,①
联立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,
由题意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0,②
且有y1+y2=,y1y2=,③
③代入①得t2m2-3+m·2mt2=0,
所以(mt)2=1,
由题意mt<0,
所以mt=-1,满足②,
得l方程为x=ty+1,过定点(1,0),即Q为定点.
【探究创新】
12.(2018·承德高二期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为
k(k>0)的直线与C相交于A,B两点.若=3,则k= .
解析:根据已知=,可得a2=c2,
则b2=c2,
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故椭圆方程为+=1,
即3x2+12y2-4c2=0.
设直线的方程为x=my+c(m=),
代入椭圆方程得(3m2+12)y2+6mcy-c2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据=3,
得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1=3y2,
根据根与系数的关系得y1+y2=-,
y1y2=-,
把-y1=3y2代入得,y2=,=,
故9m2=m2+4,故m2=,
从而k2=2,k=±.
又k>0,故k=.
答案: