高中数学《一元二次不等式及其解法》导学案 北师大版必修5

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高中数学必修五北师大版 一元二次不等式的解法 学案

高中数学必修五北师大版 一元二次不等式的解法 学案

§2 一元二次不等式 2.1 一元二次不等式的解法1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(难点)2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数,一元二次方程的联系,会解一元二次不等式.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 一元二次不等式的有关概念 阅读教材P 78例1以上,完成下列问题.含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)不等式ax 2+x -1>0一定是一元二次不等式.( ) (2)2x 2+3y 2+1≠0是一元二次不等式.( ) (3)一元二次不等式的解集可能有无穷多个.( )(4)一元二次不等式的解可能是空集.()【解析】(1)当a=0时,不是一元二次不等式.(2)2x2+3y2+1≠0中的未知数个数有两个.(3)如x2-4>0的解有无穷多个.(4)如x2+4<0的解集为空集.【答案】(1)×(2)×(3)√(3)√教材整理2一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式之间的关系阅读教材P78例1以下至P79小资料以上部分,完成下列问题.一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)设一元二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}.()(2)不等式f(x)=ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集为空集,则f(x)=0无零点.()(3)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合.()【解析】(1)当a<0时,解集为{x|x1<x<x2}.(2)解集为空集说明二次函数y=ax2+bx+c与x轴无交点,即方程f(x)=0无零点.(3)结合二次函数图像可知. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√[小组合作型]0; (3)x (7-x )>0.【导学号:47172035】【精彩点拨】 按照解一元二次不等式的步骤来解. 【尝试解答】 (1)原不等式可化为2x 2-x +6>0. ∵方程2x 2-x +6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0, ∴函数y =2x 2-x +6的图像开口向上,与x 轴无交点. 如图所示,由图像知不等式的解集为R .(2)原不等式可化为(2x -1)2≤0,方程(2x -1)2=0的根为x =12,图像如图所示,由图像得4x 2-4x +1≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =12. (3)原不等式可化为x (x -7)<0,方程x (x -7)=0的两根是x 1=0,x 2=7,函数y =x (x -7)的图像如图所示,观察图像可知不等式的解集为{}x |0<x <7.。

北师大版高中数学必修5《三章 不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_25

北师大版高中数学必修5《三章 不等式  2 一元二次不等式  2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_25

含参一元二次不等式的解法(北师大版高中数学必修五)第二学时【教学目标】1.知识与能力:根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高二学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征,确定了三个层面的教学目标。

通过复习要求学生熟练掌握一元二次不等式的解法;提高运算能力正确理解一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数三者的关系;对含有参数的一元二次不等式,能正确地对参数分类讨论,初步掌握分类讨论的思想方法及技巧.2.过程与方法:采用探究法,按照思考、交流、讨论、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学;发挥学生的主体作用,作好探究性教学;理论联系实际,激发学生的学习积极性.3.情感态度与价值观:进一步提高学生的运算能力和思维能力;培养学生分析问题和解决问题的能力;强化学生应用分类讨论的数学思想.培养学生的合作意识和创新精神。

【教学重点】一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系及对含参数的一元二次不等式的分类讨论。

【学时难点】对含参数的一元二次不等式的分类讨论。

【教材分析】教材地位及作用概括地讲,本节课内容的地位体现在它的基础性,作用体现在它的工具性。

一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化,对已学习过的集合、函数知识的巩固和运用具有重要的作用,也与后面的线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。

许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。

因此,一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性,体现出很大的工具作用。

【学情分析】会用因式分解法解一元二次方程,会看函数图像,利用图像解决问题,学生在解含参不等式时可能会遇到困难。

【教学策略】为了更好地体现课堂教学中“教师为主导,学生为主体”的教学关系和“以人为本,以学定教”的教学理念,在本节课的教学过程中,我将紧紧围绕教师组织——启发引导,学生探究——交流发现,组织开展教学活动。

我设计了①复习回顾——引入新课,②例题讲解——发现规律,③启发引导——形成结论,④合作探究——提高能力,⑤练习小结——深化巩固五个环环相扣、层层深入的教学环节,在教学中注意关注整个过程和全体学生,充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。

高中数学 3-2 第2课时一元二次不等式的应用同步导学案 北师大版必修5

高中数学 3-2 第2课时一元二次不等式的应用同步导学案 北师大版必修5

第2课时 一元二次不等式的应用知能目标解读1.能利用一元二次不等式解简单的分式不等式与高次不等式.2.利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.3.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.4.解决相关实际应用问题.重点难点点拨重点:1.解简单的分式不等式与高次不等式.2.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.难点:利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.学习方法指导解不等式的关键问题就是保证转化的等价性.(1)分式不等式一般先移项通分,然后利用()()x g x f >0(或<0)型转化为f (x )·g (x )>0(或<0),再求解.对于()()x g x f ≥0(或≤0),一定不能忽视去掉g (x )=0的情况. (2)含绝对值号的不等式,可分段去掉绝对值号讨论,也可采用两边平方法,应根据题目条件的特点选取方法.(3)高次不等式一般分解因式后用标根法求解,但要注意x 的高次项系数为正.(4)不等式恒成立求字母取值范围问题: 在给定区间上不等式恒成立,一般地,有下面常用结论:①f (x )<a 恒成立,⇔f (x ) max <a ;②f (x )>a 恒成立,⇔f (x ) min >a .(5)关于二次方程根的分布主要有以下几种常见问题(a ≠0条件下):①方程ax 2+bx+c =0有实根,有两不等实根,无实根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a 的符号. ②方程ax 2+bx+c =0有两正根⇔方程ax 2+bx+c =0有一正一负两实根⇔③方程ax 2+bx+c =0有零根⇔c =0.④方程ax2+bx+c=0有两个大于n的根(解法类似于有两正根)方程ax2+bx+c=0有两个小于k的根(解法类似于有两负根情形)方程ax2+bx+c=0一根大于k,另一根小于k(解法类似于一正一负根的情形).则需⑤方程ax2+bx+c=0两根都在(m、n)内.则需⑥方程ax2+bx+c=0一根在(m、n)内,另一根在(n、p)内.则需方程ax2+bx+c=0一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内.则需思路方法技巧命题方向分式不等式的解法[例1] 不等式2731422+-+-x x x x <1. [分析] 解分式不等式一般首先要化为()()xg x f >0(或<0)的标准形式,再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用"穿针引线法",借助于数轴得解.[解析] 解法一:原不等式可化为27313222+-+-x x x x >0⇔ (2x 2-3x +1)(3x 2-7x +2)>0⇔解得原不等式的解集为{x |x <31或21<x <1,或x >2}. 解法二:原不等式移项,并因式分解得()()()()213112----x x x x >0⇔ (2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0, 在数轴上标出(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)=0的根,并画出示意图,如图所示.可得原不等式的解集为{x |x <31或21<x <1,或x >2}. [说明] 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式,本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则,故在求解分式不等式时,首先应将一边化为零,再进行求解.变式应用1 解不等式:112-+x x ≤1.[解析] 原不等式⇔112-+x x -1≤0⇔12-+x x ≤0⇔故原不等式的解集为{x |-2≤x <1}.命题方向 高次不等式的解法[例2] 解下列不等式:(1)(x+1)(1-x)(x-2)>0;(2)x3-2x2+3<0;(3)x(x-1) 2(x+1) 3(x+2)≥0.[分析]通过因式分解,把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积的问题,然后再依据相关性质解答.[解析](1)原不等式等价于(x-1)(x-2)(x+1)<0,令y=(x-1)(x-2)(x+1),当y=0时,各因式的根分别为1,2,-1,如图所示可得不等式的解集为{x|x<-1或1<x<2}.(2)原不等式可化为(x+1)(x2-3x+3)<0,而对任意实数x,恒有x2-3x+3>0(∵Δ=(-3)2-12<0).∴原不等式等价于x+1<0,∴原不等式的解集为{x|x<-1}.(3)∵方程x(x-1) 2(x+1) 3(x+2)=0的根依次为0,1,-1,-2,其中1为双重根,-1为三重根,(即1为偶次根,-1为奇次根),如图所示,由"穿针引线法"可得∴不等式的解集为{x|-2≤x≤-1,或x≥0}.[说明]解高次不等式用穿针引线法简捷明了,使用此法时一定要注意:①所标出的区间是否是所求解的范围,可取特值检验,以防不慎造成失误;②是否有多余的点,多余的点应去掉;③总结规律,"遇奇次方根一穿而过,遇偶次方根只穿,但不过",如上图.变式应用2解不等式(x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)>0.[解析]令(x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)=0,得各因式的根分别为-2,1,3,4.将各因式的根从小到大依次标在数轴上,如图∴原不等式的解集是{x|-2<x<1或1<x<3或x>4}.命题方向不等式恒成立问题[例3]函数f(x)=mx2-mx-6+m.(1)若对于m∈[-2,2],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围;(2)若对于x∈[1,3],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.[分析]在(1)中,由已知m的取值范围,要求x的取值范围,因此需要把f(x)转化为m的函数,即以m 为主元,把x 视为参数,在(2)中则恰好相反.(1)设f (x )=m (x 2-x +1)-6=g (m ),则g (m )是关于m 的一次函数,且一次项系数为x 2-x +1.∵x 2-x +1=(x -21)2+43>0, ∴g (m )在[-2,2]上递增, ∴g (m )<0等价于g (2)=2(x 2-x +1)-6<0,即-1<x <2,∴所求的x 的取值范围为-1<x <2.(2)∵f (x )=m (x -21)2+43m -6<0在x ∈[1,3]上恒成立,解(Ⅰ)得0<m <76. 解(Ⅱ)得m =0.解(Ⅲ)得m <0.综上可得m 的范围是m <76.[说明] 在给定区间上,不等式恒成立,常有如下结论: a>f (x )恒成立⇔a >f (x ) maxa <f (x )恒成立⇔a <f (x ) min .变式应用3当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4>0恒成立,求m 的取值范围.[解析] 设f (x )=x 2+mx +4,∵当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4>0恒成立,等价于f (x ) min >0恒成立.(1)当2m ≤1,即m ≥-2时,f (x )在区间(1,2)上单调递增, ∴f (x ) min =f (1)=m +5≥0,∴m ≥-5,即m ≥-2.(2)当1<-2m <2,即-4<m <-2时, f (x ) min =f (-2m )=-42m +4>0, 解得-4<m <4,即-4<m <-2.(3)当-2m ≥2,即m ≤4时,f (x )在区间(1,2)上单调递减, ∴f (x ) min =f (2)=2m +8≥0,∴m ≥-4,即m =-4.综上所述,m 的取值范围为m ≥-4.命题方向 实际应用问题[例4] 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应地提高比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x ,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x 应在什么范围内?[分析] 首先根据题意建立y 与x 的函数关系式,然后解不等式.[解析] (1)由题意得y =[1.2×(1+0.75x )-1×(1+x )]×1000(1+0.6x )(0<x <1), 整理得y =-60x 2+20x +200(0<x <1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有解得0<x <31. 即投入成本增加的比例应在(0,31)的范围内. [说明] 应用问题中需把实际问题转换成数学语言,其中建模是关键,把题中的不等关系用不等式表示,通过不等式的解法解决范围问题.变式应用4(2012·如皋高二检测)国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实际征收附加税政策,现知某种酒每瓶70元,不加收附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税R 元(叫做税率R %),则每年的销售量减少10R 万瓶,要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元,则R 应怎样确定?[分析] 由题目可获取以下主要信息:①每瓶酒的价格:70元;②不加收附加税,每年产销约100万瓶;③征收附加税,每年销量减少10R ,且税率为R %.按"附加税金额=销售收入×税率"建立R 的不等式求解.[解析] 设产销量每年为x 万瓶,则销售收入为每年70x 万元.从中征收的附加税为70x·R%其中x=100-10R由题意得70(100-10R)·R%≥112,即R2-10R+16≤0.解此不等式得:2≤R≤8.故当2≤R≤8时,每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元.探索延拓创新命题方向用一元二次不等式讨论一元二次方程的根[例5]关于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的两根为正数,求m的取值范围.[分析]利用根与系数的关系或者相应二次函数的图像等价转化为不等式组求解.[解析]方法一:利用判别式Δ及根与系数的关系求解.所以m的取值范围是-1+22≤m<2.方法二:利用相应的二次函数图像及一元二次方程根的分布求解.记f(x)=x2-(m-1)x+2-m,则由题意得f(x)的图像为:下同方法一.下同方法一.[说明] 1.当Δ≥0时,方程才有实根,故在用根与系数的关系时不要忽略Δ.3.此题为一元二次方程根的分布问题,数形结合法是解决此类问题的好方法.变式应用5已知关于x 的方程2kx 2-2x -3k -2=0的两根一个小于1,一个大于1,求实数k 的取值范围.[解析] ∵关于x 的方程2kx 2-2x -3k -2=0有两个不同实根,∴k ≠0.又∵一个根小于1,一个根大于1,令f (x ) =2kx 2-2x -3k -2,当k >0时,有f (1)<0,即2k -2-2-3k <0,解得k >-4,∴k >0.当k <0时,有f (1)>0,即2k -2-3k -2>0,解得k <-4,∴k <-4.综上所述,k 的取值范围为k <-4或k >0.名师辨误做答[例6] 解不等式()21--x x a >1(a ≠1). [误解] 原不等式可化为a (x -1)>x -2,即(a -1)x >a -2.①当a -1>0,即a >1时,x >12--a a ; ②当a -1<0,即a <1时,x <12--a a . 综上所述,当a >1时,原不等式的解集为{x |x >12--a a },当a <1时,原不等式的解集为{x |x <12--a a }. [辨析] 在将分式不等式化整式不等式时,因没有考虑x -2的符号而直接乘到不等号右端,得到与原分式不等式不等价的整式不等式.事实上,当x -2>0时,在分式不等式两端同时乘以x -2得到的不等式与原不等式等价,而当x -2<0时,不等式两端同乘以一个负数x -2,不等号的方向要改变.这种因忽略代数式的符号(是正还是负)而直接乘到不等式右端的现象,是很容易犯的错误.[正解] 原不等式可化为()21--x x a -1>0,即(a -1) (x -12--a a ) (x -2)>0 ① 当a >1时,①式即为 (x -12--a a ) (x -2)>0.∵12--a a -2=-11-a -1<0,∴12--a a <2,此时x >2或x <12--a a . 当a <1时,①式即为 (x -12--a a ) (x -2)<0.2-12--a a =1-a a .若0<a <1,则12--a a >2,此时2<x <12--a a ; 若a =0,则(x -2) 2<0,此时无解;若a <0,则12--a a <2,此时12--a a <x <2. 综上所述,当a >1时,解集为{x |x <12--a a 或x >2};当0<a <1时,解集为{x |2<x <12--a a };当a =0时,解集为; 当a <0时,解集为{x |12--a a <x <2}. 课堂巩固训练 一、选择题1.不等式23+-x x <0的解集为( )A.{x |-2<x <3}B.{x |x <-2}C.{x |x <-2,或x >3}D.{x |x >3}[答案] A[解析] 不等式23+-x x <0可化为(x +2)(x -3)<0,-2<x <3,故选A.2.不等式xx 1-≥2的解集为( ) A.[-1,0) B.[-1,+∞)C.(-∞,-1]D.(-∞,-1]∪(0,+∞)[答案] A[解析] 解法一:原不等式化为xx 1-≥0, 即x (x +1)≤0且x ≠0,∴-1≤x <0,故选A.解法二:排除法:x =0时,不等式无意义,排除B ;x =-2时,原不等式化为23≥2,不成立,排除C 、D ,故选A.3.下列不等式的解集是R 的为( )A.x 2+2x +1>0B.2x >0C.(21)x +1>0D. x 1-31<x1[答案] C[解析] A 中不等式的解集为{x |x ≠-1},B 的解集为{x |x ≠0},D 的解集为{x |x ≠0},只有C 满足.A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)[答案] D[解析] 本小题考查内容为分段函数中不等式的解法.①当x ≤1时,21-x ≤2=21,∴1-x ≤1,∴0≤x ≤1,②当x >1时,1-log 2x ≤2,∴log 2x ≥-1=log 221. ∴x ≥21,∴x >1, 综合①②知,x ≥0. 二、填空题5.(2010·大纲全国卷Ⅰ)不等式2322++-x x x >0的解集是[答案] {x |-2<x <-1或x >2}[解析] 由2322++-x x x >0得()()212++-x x x >0,即(x +1)(x +2)(x -2)>0. 如图,用数轴穿根法得原不等式的解集为{x |-2<x <-1或x >2}.6.若函数f (x )=1222---a ax x 的定义域为R ,则a 的取值范围为 .[答案] [-1,0][解析] 已知函数的定义域为R ,即2x 2-2ax-a -1≥0在R 上恒成立,也即x 2-2ax-a ≥0恒成立,所以有Δ=(-2a )2-4(-a )≤0,解得-1≤a ≤0. 三、解答题7.解不等式:32532-+-x x x ≤2.[解析] 原不等式等价变形为32532-+-x x x -2≤0,即321222-++--x x x x ≤0, 即为321222-+-+x x x x ≥0,画出示意图如下:可得原不等式的解集为{x |x <-3或-1≤x ≤21或x >1}. 课后强化作业 一、选择题1.若集合A ={x ||2x -1|<3},B={x |xx -+312<0},则A ∩B 等于( ) A.{x |-1<x <-21或2<x <3} B.{x |2<x <3} C.{x |-21<x <2} D.{x |-1<x <-21} [答案] D[解析] ∵|2x -1|<3,∴-3<2x -1<3,∴-1<x <2.又∵xx -+312<0, ∴(2x -1)(x -3)>0,∴x >3或x <-21. ∴A ={x |-1<x <2},B ={x |x >3或x <-21}, A ∩B ={x |-1<x <-21},故选D. 2.(2012·洛阳高二期末)不等式162---x x x >0的解集为( ) A.{x |x <-2,或x >3} B.{x |x <-2,或1<x <3}C.{x |-2<x <1,或x >3}D.{x |-2<x <1,或1<x <3}[答案] C[解析] 不等式162---x x x >0可化为()()123-+-x x x >0, 即(x -3) (x -1)(x +2)>0,如图,由数轴穿根法可得不等式的解集为{x |-2<x <1或x >3}.3.函数y =122-+x x 的定义域是( )A. {x |x <-4,或x >3}B.{x |-4<x <3}C.{x |x ≤-4,或x ≥3}D.{x |-4≤x ≤3}[答案] C[解析] 使y =122-+x x 有意义,则x 2+x -12≥0.∴(x +4)(x -3)≥0,∴x ≤-4,或x ≥3.4.(2011·湖北理,2)已知U ={y |y =log 2x ,x >1},P ={y |y =x1,x >2},则C U P =( )A.[21,+∞)B.(0, 21) C.(0,+∞) D.(-∞,0]∪[21,+∞) [答案] A[解析] 本题考查函数值域求解及补集运算.∵U ={y |y =log 2x ,x >1}=(0,+∞), P ={y |y =x 1,x >2}=(0, 21),∴C U P =[21,+∞). 5.(2012·宁德高二检测)设函数f (x )=x 2+bx +1,且f (-1) =f (3),则f (x )>0的解集为( )A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B. RC.{x |x ≠1}D.{x |x =1}[答案] C[解析] ∵f (-1)=f (3)∴1-b +1=9+3b +1,∴b =-2,∴f (x )=x 2-2x +1=(x -1) 2,∴f (x )>0的解集为{x |x ≠1}.6.若f (x )=-x 2+mx -1的函数值有正值,则m 的取值范围是( )A.m <-2或m >2B.-2<m <2C.m ≠±2D.1<m <3[答案] A[解析] ∵f (x )=-x 2+mx -1有正值, ∴Δ=m 2-4>0,∴m >2或m <-2.7.关于x 的不等式ax-b >0的解集是(1,+∞),则关于x 的不等式2-+x b ax >0的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(1,2)D.(-∞,1)∪(2,+∞)[答案] A[解析] 由ax-b >0的解集为(1,+∞)得8.如果方程x 2+(m -1)x+m 2-2=0的两个实根一个小于-1,另一个大于1,那么实数m 的取值范围是( )A.(-2,2)B.(-2,0)C.(-2,1)D.(0,1)[答案] D[解析] 解法一:验证排除法:当m =0时,原方程可化为x 2-x -2=0,∴方程两根为2和-1,不合题意,排除A 、C ;当m =-1时,原方程可化为x 2-2x -1=0,∴方程的两根为1+2或1-2,不合题意,排除B ,故选D.二、填空题9.(2011·安徽文,13)函数y =261x x --的定义域是[答案] {x |-3<x <2} [解析] 该题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法,注意填定义域(集合).由6-x-x 2>0,得x 2+x -6<0,即{x |-3<x <2}.10.不等式21+-x x >1的解集是 . [答案] {x |x <-2}[解析] 原不等式可化为21+-x x -1>0,即23+-x >0, ∴x +2<0,∴x <-2.11.方程2x 2+4mx +3m -1=0有两个不相等的负根,则m 的取值范围是 .[答案] (31,21)∪(1,+∞)12.已知1-x ax <1的解集是{x |x <1或x >2},则实数a 的值为 . 21 ∵1-x ax <1, ∴11-+-x x ax <0, 即[(a -1)x +1](x -1)<0, 又∵不等式1-x ax <1的解集为{x |x <1或x >2}, ∴a -1<0,∴(x +11-a )(x -1)>0. ∴-11-a =2,∴a =21. 三、解答题 13.已知不等式ax 2-3x +6>4的解集为{x |x <1或x >b },(1)求a,b 的值;(2)解不等式bax x --12>0. [解析] (1)由已知得:1,b 是方程ax 2-3x +6=4的两根,∴a -3+6=4,∴a =1,∴方程x 2-3x +2=0其两根为x 1=1,x 2=2,∴b =2.(2)将a =1,b =2代入不等式b ax x --12>0得,212--x x >0, 可转化为:(x +1)(x -1)(x -2)>0,把方程(x +1)(x -1)(x -2)=0的根x 1=-1、x 2=1.x 3=2顺次标在数轴上,穿根得:原不等式的解集为{x |-1<x <1或x >2}.14.在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ).若不等式(x-a )⊗(x+a )<1对任意实数x 恒成立,求a 的取值范围.[解析] 因为(x-a )⊗ (x+a )=(x-a )(1-x-a ),又不等式(x-a )⊗ (x+a )<1对任意实数x 恒成立,所以(x-a )(1-x-a )<1对任意实数x 恒成立,即x 2-x-a 2+a +1>0对任意实数x 恒成立,所以Δ=(-1) 2-4(-a 2+a +1)<0,解得-21<a <23. 即a 的取值范围是-21<a <23. 15.当a 为何值时,不等式(a 2-1)x 2-(a -1)x -1<0的解是全体实数?[解析] ①当a 2-1=0,即a =±1时,若a =1,则原不等式为-1<0,恒成立.若a =-1,则原不等式为2x -1<0,即x <21,不符合题目要求,舍去. ②当a 2-1≠0,即a ≠±1时,原不等式的解集为R 的条件是a 2-1<0Δ=(a -1) 2+4(a 2-1)<0,解得-53<a <1. 综上所述,当-53<a ≤1时,原不等式的解为全体实数. 16.解关于x 的不等式12-m x m x -x >0. [解析] 原不等式可化为1-mx x >0, 即x (mx -1)>0.当m >0时,解得x <0或x >m1; 当m <0时,解得m1<x <0; 当m =0时,解得x <0. 综上,当m >0时,不等式的解集为{x |x <0或x >m 1}; 当m <0时,不等式的解集为{x |m1<x <0}; 当m =0时,不等式的解集为{x |x <0}.。

北师大版高中数学必修5《三章 不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_31

北师大版高中数学必修5《三章 不等式  2 一元二次不等式  2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_31

3.2.1 一元二次不等式的解法教学设计教学目标:1.掌握一元二次不等式的解法.2.会解与二次不等式有关的恒成立问题.3.会解含有参数的一元二次不等式.4.培养数形结合的能力,培养抽象概括能力和逻辑思维能力;5.激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想.教学重点:1.一元二次不等式当a<0时的解法.2.含参数的不等式的解法.教学难点:含参数的不等式的解法及分类讨论思想的应用.教学方法:启发探究教学手段:多媒体辅助教学教学过程:一、问题情境1、请同学说一说三个二次之间的关系二、数学理论1、一元二次不等式的解法步骤: (1)先解出相应的一元二次方程的根; (2)确定二次函数图象与x 轴交点的横坐标; (3)根据二次函数的图象写出不等式的解集. (4)会解与二次不等式有关的恒成立问题. (5)会解含有参数的一元二次不等式. 三、数学应用例1 解下列不等式(1)3x 2+5x -2>0. (2)-x 2+2x -3>0.【思路探究】 应先将不等式转化成标准形式,再利用一元二次方程的解及相应的二次函数的图像得出解集.(1)解 ∵Δ=52-4×3×(-2)=49>0,∴方程3x 2+5x -2=0有两个不相等的实数解x 1=-2,x 2=13. 画出函数y =3x 2+5x -2的图像如图所示,观察图像,可得不等式的解集为}2|{31>-<x x x 或【思路探究】 应先将不等式转化成标准形式(二次项系数a >0),再求一元二次方程的解,画出相应的二次函数的图像,由图像得出不等式的解集. (3)解 原不等式可化为x 2-2x +3<0. ∵Δ=-8<0,∴方程x 2-2x +3=0无实数根.画出函数y =x 2-2x +3的图像如图所示,观察可得原不等式的解集为∅.学生活动:1、学生总结步骤:形如ax2+bx +c>0(<0)(a<0)的解法技巧 ①将二次项的系数化为正. ②解方程的根.③作出y =ax2+bx +c 的图像. ④结合图像写解集. 学生训练 解下列不等式.(1)-x 2+2x -23>0;(2)9x 2-6x +1≥0. (3)2x 2-2x +1<0.解(1)两边都乘以-3,得3x 2-6x +2<0,∵3>0,且方程3x 2-6x +2=0的解是x 1=1-33,x 2=1+33,∴原不等式的解集是{x |1-33<x <1+33}. (2)结合二次函数y =9x 2-6x +1的图像知,原不等式解集为R .(3)因为Δ<0,所以方程2x 2-2x +1=0无实数解,根据y =2x 2-2x +1的图像,可得原不等式2x 2-2x +1<0的解集为∅. 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 例2解关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<0(a ∈R ).【思路探究】 含参数的一元二次不等式的解法,首先应对二次项系数进行讨论,然后再比较两根的大小写出解集. 若a =0,原不等式等价于-x +1<0⇔x >1;若a <0,原不等式等价于1x 101)-(x 1->⇔<>⎪⎭⎫⎝⎛或a a x ;若a >0,原不等式等价于0.1)-(x 1-<⎪⎭⎫⎝⎛a x(1)当1a =1,即a =1时,不等式01)-(x 1-<⎪⎭⎫⎝⎛a x 无解;(2)当1a >1,即0<a <1时,不等式01)-(x 1-<⎪⎭⎫ ⎝⎛a x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11|; (3)当1a <1,即a >1时,不等式01)-(x 1-<⎪⎭⎫ ⎝⎛a x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11|x a x综上,当a <0时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >1;当a =0时,原不等式的解集为{}x |x >1;当0<a <1时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ;当a =1时,原不等式的解集为∅; 当a >1时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1. 学生活动:2、学生总结步骤:引发含参数的一元二次不等式分类讨论的标准: (1)二次项系数是否等0; (2)二次函数图像的开口方向; (3)判别式Δ与0的大小关系;(4)在Δ>0的条件下,两根x1,x2的大小关系. 学生训练解关于x 的不等式x 2-(a +a 2)x +a 3>0(a ∈R ).故当a <0时,a <a 2,解集为{x |x <a 或x >a 2};当a =0时,a 2=a ,解集为{x |x ≠0}; 当0<a <1时,a 2<a ,解集为{x |x <a 2或x >a };当a =1时,a 2=a ,解集为{x |x ≠1}; 当a >1时,a <a 2,解集为{x |x <a 或x >a 2}. 综上所述,当a <0或a >1时,解集为{x |x <a 或x >a 2};当0<a <1时,解集为{x |x <a 2或x >a };当a =0时,解集为{x |x ≠0};当a =1时,解集为{x |x ≠1}.题型三 三个二次之间的关系 例3 已知ax 2+2x +c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x -13<x <12,试求a 、c 的值,并解不等式-cx 2+2x -a >0.【思路探究】 易知-13,12是方程ax 2+2x +c =0的两根,故可用韦达定理求得a 、c 值.由ax 2+2x +c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x -13<x <12,知a <0,且方程ax 2+2x +c =0的两根为x 1=-13,x 2=12,由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧a <0,-13+12=-2a ,-13×12=c a ,由此得a =-12,c =2.此时-cx 2+2x -a >0,即2x 2-2x -12<0. 得解集为{x |-2<x <3}. 规律方法一元二次不等式解集的端点恰好是其对应的一元二次方程的两根,也是与其对应的二次函数与x 轴交点的横坐标. 学生练习已知不等式ax 2-3x +6>4的解集为{x |x <1或x >b },(1)求a ,b ;(2)解不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0.(c >2)解 (1)因为不等式ax 2-3x +6>4的解集为{x |x <1或x >b },所以x 1=1与x 2=b 是方程ax 2-3x +2=0的两个实数根,且b >1.由根与系数的关系,得⎩⎪⎨⎪⎧1+b =3a ,1×b =2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =2.(2)不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0,即x 2-(2+c )x +2c <0,即(x -2)(x -c )<0.当c >2时,不等式(x -2)(x -c )<0的解集为{x |2<x <c }.题型四 不等式的恒成立问题例4若对于任意实数x >0,不等式x 2+(2+k )x +3+k >0恒成立,求k 的取值范围. 解:原不等式变形为x 2+2x +3+kx +k >0,对x >0恒成立,即k (x +1)>-x 2-2x -3=-(x 2+2x +3)恒成立, 亦即k >-x 2+2x +3x +1,当x >0时恒成立.令y =-x 2+2x +3x +1=-(x +1)2+2x +1=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x +1)+2x +1∵x >0,∴x +1>1.∵y =t +2t 在[1,2]上为减函数,在(2,+∞)上为增函数, ∴当x +1=2时,y 有最大值-22,∴k >-2 2.方法探究有关恒成立问题的解法1.不等式ax 2+bx +c >0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:当a =0时,b =0,c >0;当a ≠0时,⎩⎨⎧ a >0,Δ<0.2.不等式ax 2+bx +c <0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:当a =0时,b =0,c <0;当a ≠0时,⎩⎨⎧a <0,Δ<0.类似地,还有f (x )≤a 恒成立⇔[f (x )]max ≤a ; f (x )≥a 恒成立⇔[f (x )]min ≥a .学生练习若关于x 的不等式(a 2-4)x 2+(a +2)x -1≥0的解集为空集,求a 的取值范围. 解 若a 2-4=0,则a =2或a =-2.① 当a =2时,原不等式化为4x -1≥0,其解集非空,不合题意. ②当a =-2时,原不等式化为-1≥0,解集为∅,符合题意.若a 2-4≠0,则原不等式的解集为∅的条件是⎩⎨⎧a 2-4<0Δ<0,即⎩⎨⎧a 2-4<0(a +2)(5a -6)<0,解得-2<a <65. 故a 的取值范围是-2≤a <65. 四课堂小结1.解一元二次不等式的常见方法(1)图像法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤:①化不等式为标准形式:ax2+bx +c>0(a>0)或ax2+bx +c<0(a>0); ②求方程ax2+bx +c =0(a>0)的根,并画出对应函数y =ax2+bx +c 图像的简图;③由图像得出不等式的解集.(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助因式分解或配方求解. 当m<n 时,若(x -m)(x -n)>0,则可得x>n 或x<m ;若(x -m)(x -n)<0,则可得m<x<n.有口诀如下:大于取两边,小于取中间. 幻灯片212.含参数的一元二次不等式在解含参数的一元二次不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑:(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a =0.(2)关于不等式对应的方程的根的讨论:二根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2.3.对于部分恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到下述简单结论:(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.五.课后作业1.若不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-13≤x≤2},求不等式cx2+bx+a<0的解集.2.解关于x的不等式x2+ax+1>0.3.已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.六、课堂作业七、板书设计八、教学反思。

北师大版高中数学必修5《三章 不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_0

北师大版高中数学必修5《三章 不等式  2 一元二次不等式  2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_0

【课题】一元二次不等式的解法(第一课时)【教学时间】【教学目标】1、知识目标:熟练掌握一元二次不等式的解法,正确理解一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式三者的关系;2、能力目标:培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力,提高运算和作图能力;3、德育目标:通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识,向学生逐步渗透辨证唯物主义思想;4、情感目标:在教师的启发引导下,学生自主探究,交流讨论,培养学生的合作意识和创新精神。

【教学重点】从实际问题中抽象出一元二次不等式的模型,突出体现数形结合的思想,熟练地掌握一元二次不等式的解法。

【教学难点】深刻理解一元二次函数,一元二次方程和一元二次不等式之间的联系。

【教学用具】三角板、电脑【教学场所】多媒体教室【教学过程设计】【课堂小结】通过本节课的学习,让学生真正领会到通过一元二次函数图象解一元二次不等式的方法要领,理解在数学中利用数形结合法解决问题的方便性和准确性,最后强调不等式的解集写法要规范,可用集合或区间表示,区间是特殊数集的表示方式,要正确、熟练地使用区间表示不等式的解集。

【作业布置】1、预习课本相关知识2、思考课本习题3-2 A组6、7(1)(2)【板书设计】略【教学设计感想】本教学设计体现新课标理念,由于本节内容的工具性的特点,课堂上要鼓励学生思考交流与动手实践,让学生养成独立思考和勇于质疑的习惯,同时也应学会和他人交流合作、培养严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神。

本教案设计突出二次函数的作用,充分体现了新课标的编写意图,一元二次不等式解集的得出是数形结合运用的典型范例,必须要求学生对这种方法有深刻的认识与体会,必要时,甚至让学生像当初学习平面几何时识图一样,去认识函数的图象,从图象上真正把握其内在本质。

北师大版高中数学必修5《三章 不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_24

北师大版高中数学必修5《三章 不等式  2 一元二次不等式  2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_24

单位:姓名:年级:高二学科:数学课题:一元二次不等式的解法联系方式:课题: 一元二次不等式的解法(1)教材: 北京师范大学出版社普通课程标准试验教科书(必修5)教学目标1.知识与技能:了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,能借助函数的图象解一元二次不等式及一些简单的高次不等式。

2.过程与方法 :通过一元二次不等式的解法,进一步培养学生的数形结合能力;进一步培养学生合理转化的思想。

3.情感、态度价值观:利用辩证统一的哲学观点认识数学知识之间的联系与转化。

教学重点: 利用二次函数的图像解一元二次不等式的.教学难点: 一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.教学过程:一 .引入新课.问题1:(幻灯片)(1)画出一次函数y=2x-7的图象, (2)填空:方程2x-7=0的解是 . 不等式 2x-7>0的解集是 .不等式 2x-7<0的解集是 . 64224685510153.5()∙请同学们注意,一元一次方程、一元一次不等式和一次函数有什么关系?(“三个一次”关系).从上面的特殊情形引导学生发现一般的结论.通过复习一元一次方程、一元一次不等式和一次函数,我们明白了其中的联系。

那么我们将知识延伸。

我们对一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系也经行研究。

问题2:(幻灯片)1.画出二次函数y=x 2-4x 的图象,2.填空:方程 x 2-4x=0的解是 . .不等式 x2-4x>0的解集是 . .不等式 x2-4x<0的解集是 . .通过问题1类比作答问题2的过程中引出以下两个问题。

①一元二次不等式的定义。

形如ax2+bx+c>0(≥0)ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(期中a≠0),叫作一元二次不等式。

②解一元二次不等式的方法是做相应二次函数的图像。

(点出本节课的课题)同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系).二.讲授新课.1.问题2的解决表明,一元二次不等式的解集可以画出对应二次函数的图象写出.给出学生以下四个学习任务学习任务一:(幻灯片)通过阅读课本76页例1、例2、例3,借助课本中的图像解下列不等式(1)解不等式3x2+5x-2<0(2)解不等式9x2-6x+1<0(3)解不等式x2-4x+5<0以上联系练习使学生明白:(1)解一元二次不等式方法是转化为相应二次函数的图像上,图像的重要性。

北师大版高中数学必修5《三章 不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_26

x-50 x)0(02≠=++acbxax课题:一元二次不等式的解法(1)教学目标1.知识与技能目标(1)熟练掌握一元二次不等式的两种解法;(2)理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.2.过程与方法目标培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.3.情感态度价值观目标(1)通过等与不等的对立统一关系的认识,对学生进行辨证唯物主义教育.(2)经历从实际情景中抽象出一元二次方程的过程,体会学习本单元的意义,在自主探究与讨论交流过程中,培养学生的合作意识和创新精神。

教学重点、难点重点:一元二次不等式的解法,“三个二次”之间的关系难点:一元二次不等式的解法与数形结合思想教学过程一、情景引入一个水产养殖户想要挖一个周长为100m的矩形水池搞特种养殖,要求水池面积不小于600平方米,则该水池的一边长应在什么范围之间?析:设水池一边长为x米,则另一边长为x-50米,根据题意可得:600)50(≥-xx整理得:0600502≤+-xx(不等式)特点:1.只有一个未知数2.未知数的最高次数为2 (形如这样的不等式叫一元二次不等式)总结:形如)0(02≥>++cbxax或)0(02≤<++cbxax的不等式(其中0≠a),叫做一元二次不等式。

二、诱思联想思考:知道了什么是一元二次不等式,那么我们如何解一元二次不等式呢?联想:由这里的“二次”你还可以想到之前我们学习过哪些跟“二次”相关的知识呢?他们之间有什么联系?(一元二次方程、二次函数)一元二次方程二次函数)0(02≠>++a c bxax 0>y )0(02≠=++a c bx ax )0(2≠++=a c bx ax y一元二次不等式思路:可以利用二次函数来解一元二次不等式,即要解不等式)0(02≠>++a c bx ax ,只需在二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像中找出0>y 时对应的x 的取值范围即可。

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一元二次不等式的解法教学设计§3.2一元二次不等式的解法第1课时授课人:【教学目标】知识与技能目标:(1)理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;(2)掌握图象法解一元二次不等式的方法;(3)培养学生数形结合的能力,分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力;过程与方法目标:培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.情感目标:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】(1)从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;(2)一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系。

【授课类型】:新授课【教学过程】一.课题导入学校要在长为8米,宽为6米的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(如图)为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么?二.讲授新课(一)一元二次不等式的定义:只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式:()00022≤<++>++c bx ax c bx ax 或(二)如何解一元二次不等式探究一元二次不等式067-2>+x x的解集A .画出二次函数 的图像.B .观察图象:C .一元二次不等式的解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的 的值叫这个一元二次不等式的解。

一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集。

小结解一元二次不等式步骤:求根------画图------定范围(三)例题讲解例1:解一元二次不等式x2-2x-3<0练习1解下列不等式()025312>-+x x()016922>+-x x()05432>+-x x设计目的:使学生更深刻体会解一元二次不等式。

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一元二次不等式及其解法------教学设计一元二次不等式及其解法【教学内容分析】本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式,本节共分三课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。

学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想。

【教学目标】:1.知识与技能:能正确利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式,理解它们三者之间的内在联系。

2.过程与方法:回顾一元二次方程,二次函数的相关知识,学会利用二次函数的图象,找出一元二次方程、一元二次不等式的解与解集,进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法,体会数形结合的数学思想。

3.情感、态度与价值观:通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联系、相互转化的,从而树立辨证的世界观。

【教学重点】一元二次不等式的解法。

【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。

【学情分析】学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式【教学策略】:探究式教学方法(创设问题情境------界定问题-------选择问题解决策略------执行策略--------结果评价)【教学过程】:【创设情境】汽车在行使过程中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,一般称这段距离为“刹车距”,刹车距s (m )与车速x (km /h )之间具有确定的函数关系,不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要数据.甲乙两辆汽车相向而行,在一个弯道上相遇,弯道限制车速在40km /h 以内,由于突发情况.两车相撞了,交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m ,乙车的刹车距离刚刚超过了10m ,又知这两辆汽车的刹车距s (m )与车速x (km /h ) 之间分别有以下函数关系:s 甲=0.01x 2+0.1x , s 乙=0.005x 2+0.05x谁的车速超过了40km /h ,谁就违章了.试问,哪一辆车违章行驶了?0.01x 2+0.1x ≤ 120.005x 2+0.05x >10设计意图:通过实际问题抽象出不等关系——一元二次不等式。

北师大版高中数学必修5《三章 不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_20

§3.2.1一元二次不等式的解法(第一课时)学习目标:1.说出解一元二次不等式的一般步骤,会解一元二次不等式(二次系数大于0);2.在解一元二次不等式的过程中,体会数学结合的思想以及程序化的思想;3.感受数学是来源于生活,应用于生活的科学。

重点: 一元二次不等式的解法(二次系数大于0)难点:理解一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系预习案教材助读阅读教材,分析整理以下问题: 1.相关定义整理:一元二次方程: 。

一元二次函数: 。

一元二次不等式: 。

一元二次不等式的解: 。

一元二次不等式的解集: 。

2.解一元二次不等式2230x x --<当x 变化时,不等式左边可以看作是x 的函数,确定满足不等式2230x x --<的x ,实际就是确定x 的范围。

也就是确定函数223y x x =--的图像在x 轴下方时,其x 的取值范围。

作出函数223y x x =--的图像,并回答一下问题: (1)x 的取值范围是什么时,?0=y (2)x 的取值范围是什么时,?0<y 观察发现:一元二次方程与一元二次函数:对于(1),就是一元二次方程2230x x --=的解。

二次函数的图像与x 轴的 交点坐标是(-1,0)与(3,0)。

一元二次不等式与一元二次函数:对于(2),当31<<-x 时,二次函数223y x x =--的图像在x 轴的下方满足0<y ,也就是说,满足一元二次不等式2230x x --<的x 的取值范围是31<<-x 。

预习自测1.写出下列一元二次不等式的解集:(1)2340x x --≥ (2)24410x x -+≤(3)2213200x x -+> (4)27510x x ++<我的疑惑:。

探究案探究案一:如何解一元二次不等式(二次系数大于0)例1.解不等式:056922>-+x x 。

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第3课时一元二次不等式及其解法
1.体会一元二次不等式与二次函数的关系,掌握一元二次不等式的解法.
2.运用分类讨论思想解含参型的一元二次不等式.
3.解决简单一元二次不等式与函数的综合性问题.
为促进某品牌彩电的销售,厂家设计了两套降价方案.方案①:先降价x%,再降价x%(x>0);方案②:一次性降价2x%,问哪套方案降价幅度大
?
问题1:一元二次不等式
一般地,含有未知数,且未知数的最高次数为的不等式,叫作一元二次不等式.
使某个一元二次不等式叫作这个一元二次不等式的解.
一元二次不等式的组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.
问题2:二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a>0).
Δ=b2-4acΔ>0 Δ=0 Δ<0
y=f(x)的
示意图
f(x)=0的根x1,x2x0=-没有实数根
f(x)>0的解集(-∞,x1)∪
(x2,+∞)
(-∞,-)∪
(-,+∞)
(-∞,+∞)
f(x)<0的解集(x1,x2) ⌀⌀
问题3:解含参数的一元二次不等式的一般步骤
对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要不重不漏.一般方法是:
(1)当二次项系数不确定时,按二次项系数、、三种情况进行分类.
(2)判别式大于零时,还需要讨论两根的.
(3)判别式不确定时,按判别式、、三种情况讨论.结合方程的根、函数的图像得到解集.
问题4:(1)函数f(x)=ax2+bx+c>0在R上恒成立,则且.
(2)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的定义域为R,则或者.
(3)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的值域为R,则或者.
1.不等式x-x2+2>0的解集是().
A.(-2,1)
B.(-1,2)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
2.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则不等式ax2+bx+c≤0的解集为().
A.(-∞,-1]
B.[-1,1]
C.[-1,2]
D.[-1,3]
3.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是.
4.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0(k≠0)的解,求k的取值范围.
解一元二次不等式
解下列不等式:(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1;(3)x2<2x-2.
含参型的一元二次不等式
已知a≠0,解关于x的一元二次不等式ax2+(a+2)x+2>0.
一元二次不等式与函数的综合
已知函数f(x)=log2(mx2+mx+3)的定义域为R,求实数m的取值范围.
求下列一元二次不等式的解集.
(1)4x2-4x+1≤0;(2)-x2+7x>6;
(3)-x2+6x-9>0.
解关于x的不等式ax2-(a-1)x-1<0(a∈R).
已知函数f(x)=log2[mx2+(m+3)x+m+3]的值域为R,求实数m的取值范围.
1.不等式3x2-x+2<0的解集为().
A.⌀
B.R
C.{x|-<x<}
D.{x∈R|x≠}
2.不等式ax2+bx+2>0的解集是(-,),则a-b的值等于().
A.-14
B.14
C.-10
D.10
3.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是.
4.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-},求不等式ax2-bx+c>0的解集.
(2013年·四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是.
考题变式(我来改编):
第3课时等差数列的定义和通项
知识体系梳理
问题1:(1)第二项起同一个常数公差(2)等差中项
问题2:a1+(n-1)d (1)(n-1)d a1+(n-1)d a1+(m-1)d (n-m)d a m+(n-m)d (2)d d d 2d d 3d a1+(n-1)d
问题3:(1)(n-m)d (3)a p+a q=a r+a s(4)等差
等差
问题4:递增递减常
基础学习交流
1.C由a n=a1+(n-1)d得a n=(a1-d)+nd,可知d=-2,故选C.
2.C∵{a n}、{b n}为等差数列,∴{a n+b n}也为等差数列.又公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-100=0,故数列{a n+b n}为常数列,∴a n+b n=100.
3.42设等差数列{a n}的公差为d,由a2+a3=13,得2a1+3d=13,解得d=3,∴a4+a5+a6=3a1+12d=3×2+12×3=42.
4.解:设等差数列{a n}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,
所以有解得a1=3,d=2,
所以a n=3+2(n-1)=2n+1.
重点难点探究
探究一:【解析】当n≥2时,取数列{a n}中的任意相邻两项a n-1与a n(n≥2),则a n-a n-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p(p为常数),∴{a n}是等差数列,首项a1=p+q,公差为p.
【小结】本题主要考查了如何判断一个数列是否为等差数列.到目前为止,我们掌握判断等差数列的方法有两种:一是利用定义,即证明a n-a n-1(n≥2)是一个与n无关的常数;二是可以使用本题的结论,即数列{a n}的通项公式为a n=pn+q,则数列{a n}是首项为a1=p+q,公差为p 的等差数列.
探究二:【解析】根据条件可设三个数依次为a-d,a,a+d,

解得a=5,d=4或-14.
故这三个数依次为1,5,9或19,5,-9.
【小结】三个数成等差数列,使用“巧”设对称项的方法,这样解起来比较方便,要合理运用方程(组)的数学思想.
探究三:【解析】第一个数列{a n}的通项公式为:a n=3n+2;第二个数列{b n}的通项公式为:b n=4n-1.令:a n=b n,则3n+2=4n-1,∴n=3,即只有一项a3=b3=11同时在两个数列中出现.
[问题]结论正确吗?
[结论]不正确.原因是设a n=b n不妥当,因为一个数同时在两个数列中出现时,该数在两个数列中的位置未必相同.
正确解法如下:
对于a n=3n+2(1≤n≤100),b k=4k-1(1≤k≤100),
令a n=b k,∴3n+2=4k-1,∴k=,
设n+1=4t(t∈N+),∴n=4t-1,k=3t.
又由1≤n,k≤100,∴1≤t≤25,即有25个数同时在两个数列中出现.
【小结】要注意a m=b n中的m,n可以不同.
思维拓展应用
应用一:(1)欲使数列{a n}是等差数列,
则a n+1-a n=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数,
所以只有2p=0,即p=0时,数列{a n}是等差数列.
(2)因为a n+1-a n=2pn+p+q,
所以a n+2-a n+1=2p(n+1)+p+q,
所以(a n+2-a n+1)-(a n+1-a n)=2p,为一个常数,
所以数列{a n+1-a n}是等差数列.
应用二:设前三项分别为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=12且a(a-d)(a+d)=48,解得a=4且d=±2.
又{a n}是递增数列,∴d>0,即d=2,∴a1=2.
∴这三个数依次为2,4,6.
应用三:(1)设{a n}的公差为d,由已知条件,
解得
所以a n=a1+(n-1)d=-2n+5.
(2)因为a n=-2n+5,所以c n===n,所以b n==2n,所以
T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n=log22+log222+log223+…+log22n=1+2+3+…+n=.
基础智能检测
1.B依题意得A+C=2B,又A+B+C=180°,∴B=60°.
2.C∴a=,b=x,∴=.
3.(0,5)由已知设三条边从小到大依次为5,5+d,5+2d,∴d>0,由两边之和大于第三边,得5+5+d>5+2d,解之得d<5,∴0<d<5.
4.解:由题意知a n=2n-7,由2n-7=52,得n=29.5∉N+,∴52不是该数列中的项.
又由2n-7=2k+7解得n=k+7∈N+,∴2k+7是数列{a n}中的第k+7项.
全新视角拓展
D由等差数列的性质易判断命题p1,p4正确.令数列a n=2n-16,则易判断命题p2,p3为假命题.
思维导图构建
通项公式法等差中项法。

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