高数1-3
大一高数课件第一章 1-3-1 数列的极限
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数
xn f (n).
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的变化趋势.
播18-28放
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
n
所以,
n
lim xn C .
说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找N,但不必要求最小的N.
四、数列极限的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
1
1 使得当n N时, 有 xn a 成立, 2 1 1 即当n N时, xn (a , a ), 2 2
区间长度为1.
而xn无休止地反复取 1, 1 两个数,
不可能同时位Leabharlann 长度为1的区间内.事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
定理3
收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．
推论：如果一个数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么 这个数列发散。 例如
xn 1
n1
的子列 x2k 1,
x2k 1 1
xn 发散
发散的数列也可能有收敛的子列。
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质:
高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则
lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b
高数1-2-3无穷小量与无穷大量
( f ( x) M ) , 若在定义中将 ①式改为 ( lim f ( x) ) 则记作
x x0 ( x )
高 等 数 学
x x0
Higher mathematics
lim f ( x)
x
M 0, 0,当0 | x x0 | 时, X 0 | x | X 有 | f ( x) | M
3.无穷大量的运算性质
(1)有限个正无穷大量之和为正无穷大量； 有限穷大量之和或差不一定为无穷大量。
x x
如 x 0时， f ( x) 1 , g ( x) 1 均为无穷大量，但f ( x) g ( x) 0不是无穷大量。 (2)有限个无穷大量之积为无穷大量。 (3)非0常量C与无穷大量之积为无穷大量。
0
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当 0 x x0 2时, 恒有
M
.
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
而 lim
x 1
4( x 1) 2 0, x 1
所以 lim
x 1
4x2 4 8。 x 1
高 等 数 学
Higher mathematics
3. 无穷小的运算性质: 定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 设及是当x 时的两个无穷小 ,
0, X 1 0, X 2 0, 使得 当 x X 1时恒有 ; 当 x X 2时恒有 ; 2 2 取X max{X 1 , X 2 }, 当 x X时, 恒有 , 0 ( x ) 2 2 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
大学高数1-3
nN
N.
于是 | xnk
a
|
,即
lim
k
xnk
a.证毕.
注: 定理4的逆否命题知, 若数列{ xn }有两个子数
列收敛于不同的极限, 则数列{ xn }是发散的.
例如, 考察数列 1,1,1, ,(1)n1 ,
其子数列{ x2k1 }收敛于1, 而子数列{ x2k } 收敛于 -1, 因此数列 xn (1)n1(n 1,2, )是发散的.
|| xn | | A || ,
从而有
| A | | xn || A | ,
由此可见
,
只要取
|
A 2
|,
则当
n
N
时
,
恒有
|
xn
|
|
A 2
|
.
证毕 .
收敛数列的有界性
定义 对数列 xn ,若存在正数 M , 使对一切自然数n,
恒有| xn | M ,则称数列xn 有界, 否则,称为无界.
例如, 数列
证 任给 0, 若 q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若 0 | q | 1, 欲使| xn 0 || qn | , 必须
nln | q | ln ,
即
n
ln ln |
q
|,
故对任给
0,
若取
N
ln
ln | q
|
,
ห้องสมุดไป่ตู้
则当
n
N
时,
就有
| qn 0 | ,
从而证得
lim qn 0.
定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列
{ xn }收敛于 a,那么它的任一子数列也收敛,且极限 也是 a.
高数III试题1(1-3章)答案
高等数学III 考试试题1答案一、填空题1．65. 2．2()()x x x f e f e e dx '. 3．1a q -. 4．3. 5． a =3-，b =2-. 二、选择题 1. B 2. D 3. A三、1．解: 20sin lim (1)x x x x x e →--=30sin lim x x x x →-……………(2分)201cos lim 3x x x →-=16=……(6分) 2．解: sin 20lim (cot )x x x +→=00lim sin 2ln cot lim 2ln cot x x x x x x e e ++→→=….(3分)2020tan csc 2lim 1ln cot 2lim1x x x x x x x e e +→+→== 02lim 1x xe +→==….(6分)3. 解：2221212n n n n n a n n n n+++=++++++ 2222221212111n n n n n n n n n a n n n n n n n n n +++++++++≤≤+++++++++ ……………(3分) 即：2211(31)(31)221n n n n na n n n ++≤≤++ ……………(4分) 而2211(31)(31)322lim lim 12n n n n n n n n n →∞→∞++==++， 由夹逼定理得3lim 2n n a →∞= ……(6分) 四、1. 解：x x e y x sin ln 21ln 21)1ln(41++-=-……………(2分) x x e x x x e e y x x xcot 2121)1(41sin 2cos 21)1(4++-=++-='--，……………(5分) π+-=π'π1)1(41)2(2e y ……………(7分) 2. 答：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-x x x x x xsin ln sin sin cos sin 2cos ……………(7分)解： 解法1 )(x f 是幂指型函数．由公式a b b ea ln =，可得 ())'sin ln (cos )('sin ln cos 'sin ln cos x x e e x f x x x x ⋅==⋅⋅()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=x x x x x x sin ln sin sin cos sin 2cos ．解法2 用对数求导法．函数两端取对数 x x y sin ln cos ln =，两端再对x 求导数，注意y 是x 的函数．则有x x xx y y sin ln sin sin cos '12⋅-=⋅， 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=x x x x x x x x x y y x s i n ln sin sin cos )(sin sin ln sin sin cos '2cos 23．解：222111111()11211x y x x x x ==+=+----+……………(3分) ()11(1)!11()2(1)(1)n n n n n y x x ++-=--+ ……………(7分) 五．解: 当1x =时，1y =……………(1分)ln ln x y y =……(3分)，1ln y y y x''=+……(5分) ， '(1)1y = …… …(6分)六． 解: tan dy t dx = …(3分) 223sec d t y dx t = …(6分) 221t d y dx ππ==-…(7分) 七．解: 0,1x x ==是间断点. ……………(2分)00lim (),lim ()x x f x e f x e +-→→==- 所以0x =是第一类(跳跃)间断点 …………(5分)1lim ()0x f x +→=,1lim ()x f x -→=∞ 所以1x =是第二类(无穷)间断点. ………………(8分)八．解: (1)当0x ≠时, 2()()()xf x f x g x x '-'= ……………(2分) 当0x =时, 0()(0)(0)lim x g x g g x →-'=0()(0)lim x f x f x x→'-= 0()(0)1lim (0)22x f x f f x →''-''== ……………(6分) (2) 0lim ()(0)x g x g →''=，所以连续 ……………(8分) 九．证明: (1) 由(0)(1)0f f >, 设(0)0f >,则必有(1)0f >.又由1(0)()02f f <, 有1()(1)02f f <. 在1[0,]2, 1[,1]2分别利用零点定理, 存在11(0,)2x ∈,使1()0f x =, 存在21(,1)2x ∈ 使2()0f x =.即方程()0f x =在(0,1)内至少有两个根.…………………….(4分)(2) 令()()kx x e f x ϕ-=,对()x ϕ在12[,]x x 上用罗尔定理可得.…………………….(8分)。
高数1-3
第一章函数、极限与连续性1.1初等函数回顾1.1.1函数的概念设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数xD，变量y按照确定的法则总有唯一的数值与其对应，则称y是x的函数，记作y=f（x）.f--定义在D上的函数; D--定义域;x--自变量; y--因变量;R={y／y=f（x），x }—值域常见的函数的定义域有如下规则：（1）对于分式函数，分母不能为零；（2）偶次根号下的变量不能小于零；（3）对于对数函数y=x，规定：底数，，真数；（4）对于余切函数y=cotx，规定：，k；（5）对于正切函数y=tanx，规定：x，k；（6）对于反正弦函数y=arcsinx和反余弦函数y=arcosx规定：-1.1.1.2函数的几种特性函数的特性包括有界性、单调性、奇偶性和周期性。
（1）有界性定义：若有正数M存在，使函数f（x）在区间D上恒有|f（x）|，则称f(x)在区间D上是有界函数，否则，是无界函（2）单调性定义:若对于区间D内任意两点及，当<时，有f（）<f(,则称f（x）在I上单调增加，区间D称为单调增区间；若当<时，有f（）>f(,则称f(x)在D上单调减少，区间D 称为单调减区间，单调增区间或单调减区间统称为单调区间。
（3）奇偶性定义：设D是关于原点对称的区间，若对于任意x属于D，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。
（4）周期性若对于不为零的数T，使得对于任意x属于D，有x+T属于D，且f（x+T）=f（x）,则称f(x)为周期函数。
通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。
周期函数在每个定义域内都是相同形状1.1.3初等函数1.基本初等函数（理解和应用）我们把幂函数y=(aR),指函数y=(a>0,a),对数函数y=x(a>0,a),三角函数y=sinx,y=cosx,y=secx,y=cscx和反三角函数y=arcsinx,y=arccosx.y=arctanx,y=arccotx统称为基本初等函数。
专升本高数一、二、三有什么区别2024
引言：专升本高数是许多考生在职业发展中选择的一种途径。
在专升本高数中，高数一、二、三是必修课程，这三门课程有着一定的区别。
本文将从课程设置、知识点难度、应用方向、教学方法、考试形式等方面进行阐述，以帮助考生更好地理解三门课程的区别并为自己的学习做出合理的安排。
概述：专升本高数一、二、三分别是专升本阶段的数学基础课程，这三门课程在课程设置、知识点难度、应用方向、教学方法、考试形式等方面都存在一定的差异。
深入了解这些差异对于考生们合理安排学习、提高学习效果非常重要。
正文内容：1. 课程设置1.1 高数一：高数一是专升本高数的第一门课程，主要包括数列与极限、函数与连续、导数与微分等内容。
1.2 高数二：高数二是专升本高数的第二门课程，主要包括定积分及其应用、不定积分及其应用、微分方程等内容。
1.3 高数三：高数三是专升本高数的第三门课程，主要包括级数与幂级数、多元函数微分学、重积分及其应用等内容。
2. 知识点难度2.1 高数一：高数一的知识点难度相对较低，主要是基础概念与基本运算的学习与掌握。
2.2 高数二：高数二的知识点难度比高数一有所提高，需要对定积分、不定积分等概念进行深入理解与应用。
2.3 高数三：高数三的知识点难度相对较高，涉及到多元函数、重积分等概念的理解与应用。
3. 应用方向3.1 高数一：高数一主要是作为后续课程的基础，为进一步学习数学专业课程打下坚实基础。
3.2 高数二：高数二的应用方向主要是与实际问题的建模及求解相关，如物理、经济等领域。
3.3 高数三：高数三主要是为一些应用数学课程，如数学物理方法、概率论与数理统计等提供支持。
4. 教学方法4.1 高数一：高数一注重基础概念与基本运算的讲解与掌握，常采用理论与实践相结合的教学方法。
4.2 高数二：高数二在教学中注重实际问题的演示与解决，常采用案例分析与讨论的教学方法。
4.3 高数三：高数三在教学中注重知识与应用的结合，常运用实例讲解与练习的教学方法。
山东专升本高数二与高数三所学范围的区别
山东专升本高数二与高数三所学范围的区别摘要：1.引言2.高数二与高数三的学习范围概述3.高数二的学习范围详解4.高数三的学习范围详解5.两者之间的区别与联系6.结论正文：众所周知，山东专升本高数二和高数三都是数学学科的重要组成部分。
它们在专升本考试中占据着举足轻重的地位，因此了解它们的学习范围区别对于备考至关重要。
本文将详细阐述高数二与高数三的学习范围，并分析两者之间的异同，以帮助广大考生更好地把握复习方向。
首先，我们来了解一下高数二与高数三的学习范围概述。
高数二主要涉及高等数学的基本概念、方法和应用，包括一元函数微积分、多元函数微积分、微分方程、数值计算等内容。
而高数三的学习范围则相对较广，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个领域。
接下来，我们分别详细阐述高数二和高数三的学习范围。
高数二的学习范围包括：1.一元函数微积分：极限、连续、导数、积分、微分方程等内容。
2.多元函数微积分：偏导数、全微分、链式法则、隐函数微分法、多元函数的泰勒公式等。
3.微分方程：常微分方程、偏微分方程、线性微分方程组、常微分方程的解法等。
4.数值计算：数值积分、数值求解微分方程、插值与拟合、数值微分等。
高数三的学习范围包括：1.高等数学：一元函数微积分、多元函数微积分、微分方程等内容与高数二类似，但要求更高。
2.线性代数：矩阵、行列式、线性方程组、特征值与特征向量、线性变换等。
3.概率论与数理统计：概率论的基本概念、随机变量、概率分布、数学期望、方差、协方差、相关系数、数理统计的基本概念、抽样分布、参数估计、假设检验等。
通过对比高数二与高数三的学习范围，我们可以发现两者之间的主要区别在于：1.高数三的涵盖范围更广，涉及到高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个领域，而高数二主要集中在高等数学部分。
2.高数三对数学知识的要求更高，例如线性代数中的矩阵运算、概率论中的概率分布和数理统计中的抽样分布等。
总之，山东专升本高数二与高数三在学习范围上存在一定区别。
高数3知识点总结大一
高数3知识点总结大一在大一的学习过程中，高等数学3（简称高数3）是一个非常重要的课程。
高数3主要包括微积分方面的内容，对于理工科学生来说，掌握高数3的知识点对于未来的学习和研究是至关重要的。
下面将对高数3的知识点进行总结，希望能帮助大家更好地掌握这门课程。
一、导数与微分1. 导数的定义和性质在高数3中，我们首先学习了导数的定义，即函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)等于函数f(x)在点x=a处的切线斜率。
导数具有一些重要的性质，如导数的线性性、乘积法则、商积法则等，这些性质对于求导数的过程非常有帮助。
2. 微分的概念微分是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点附近的变化情况。
微分的计算方法包括差值法、中值定理和一阶导数的近似计算等。
3. 高阶导数和导数的应用除了一阶导数，我们还学习了高阶导数的概念。
高阶导数描述了函数的变化速度的变化情况。
导数在实际问题中有着广泛的应用，比如求函数的最值、判断函数的单调性等。
二、积分与定积分1. 不定积分的概念与性质在高数3中，我们学习了不定积分的概念与性质。
不定积分是求解函数的原函数的过程，它与导数是互逆的关系。
不定积分的计算方法主要包括换元法、分部积分法和有理函数的积分等。
2. 定积分的概念与性质定积分是对函数在某一区间上的积分，它表示了函数在该区间上的累积。
定积分的计算方法包括定积分的性质、换元法和分部积分法等。
3. 牛顿-莱布尼茨公式和定积分的应用牛顿-莱布尼茨公式描述了定积分与不定积分之间的关系，它是微积分的基本定理之一。
定积分在实际问题中具有广泛的应用，比如求曲线与坐标轴所围成的面积、物体的质心和弧长等。
三、微分方程1. 微分方程的概念和基本形式微分方程是描述变化率和未知函数之间关系的方程，它包含导数和未知函数。
微分方程的基本形式包括一阶微分方程和高阶微分方程。
2. 一阶微分方程的求解方法对于一阶微分方程，我们学习了几种基本的求解方法，如可分离变量法、齐次微分方程的解法和一阶线性微分方程的解法等。
高数1-2A答案
《高等数学1-2》测试卷一参考答案一、填空题 1. ⎪⎭⎫⎝⎛++dy z dx x z y z112； 2. 0323=+-+z y x ； 3. 32； 4.⎰⎰--yyi dxy x f dy 1 1),(； 5. 210； 6. [)2 ,2-； 7. 1-；二、选择题1. （D ）2. （D ）3. （C ）4. （B ） 三、解答题 1. 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++==++=0102y x f y x x f yx ，求得驻点()()2 ,1 , 0 ,1--1 , 1 , 12==+=yy xy xx f f x f在点() 0 ,1-处，022<-=-B AC ，()0,1-f 非极值 在点()2 ,1 -处，022>=-B AC 又0>A ，所以()652,1=-f 为函数的极小值.2. 解：22121][f y f y y f f y x z '+'=⋅'+⋅'=∂∂，()2212f yf y yyx z '+'∂∂=∂∂∂])2([2])2([22212212111x f f y f y x f f y f ⋅''+-⋅''+'⋅+⋅''+-⋅''⋅+'= 2221221121)2(22f xy f y xy f y f y f ''+''-+''-'++'= 3. 解：⎰⎰⎰⎰-=22 02xx Dydy xdxd xy σ =()⎰-232221dx xx324322120 43=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x4. 解：令x y y x Q x y xy x P sin 23 , cos 22223-=-+=yP x y xy xQ ∂∂=-=∂∂cos 262， ∴ 该积分与路径无关如图()()⎰-+-+Ldy x y y x dx x y xyx 2223sin 23cos 2＝⎰1AB +()()⎰-+-+BOdy x y y x dx x y xyx sin 23cos 22223＝ ⎰⎰+⎪⎭⎫⎝⎛-021 22243ππxdx dy y y 8312π-=5．解：∵ ∑：y x z --=1 ∴ 1-==y x z z 由此可得 ()()d x d yd x d y ds 311122=-+-+= 设xy D 为∑在xoy 面的投影 则有()⎰⎰⎰⎰--=∑xyD dxdyy x zds31⎰⎰--=-xdy y x dx 1 01 0)1(3⎰-=12)1(23dx x 63=6．解：令1∑为0=z 的下侧设曲面1∑+∑所围成的空间区域为Ω，由高斯公式得：()⎰⎰∑+∑-+-1214dxdy zzydzdx zxdydz =()⎰⎰⎰Ω--dVz z z 24⎰⎰⎰⋅=adr r d d 0320 2 0sin cos ππϕϕϕθπ44a=原积分⎰⎰∑-+--=1)1(4424dxdyz zydzdx zxdydz aπ24444a adxdyaxyD πππ+=+=⎰⎰7． 解：()())2ln(1ln +++=x x x f )211ln(2ln )1ln(-++=+x x ()()()∑∞=++-+-+=01111212lnn n n nx n 31 ≤<-x )311ln(3ln )2ln(-++=+x x ()()()∑∞=++-+-+=01111313lnn n n nx n 42 ≤<-x()()()()∑∞=+++-++-+==01111)3121(116lnn n n n n x n x f 31 ≤<-x8．解：原方程可化为y yx dydx =-该方程的通解为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰---C dy ye e x dy y dyy11()C y y +=由初始条件12==x y 可得1=C ，故所求特解为()1+=y y x9. 解：（1）先求对应的齐次方程0='-''y y 的通解Y ； 它的特征方程为 02=-r r ，特征根为 1 ,021==r r ， 故 x e c c Y 21+=； （2）再求原方程x e y y 2='-''的一个特解*y由于1=λ是特征方程的单特根，所以应设特解 x A x e y =*， 则 x e x A y )1()(*+='，x e x A y )2()(*+='' 将)(,)(,***'''y y y 代入原方程，并化简得()2112=-⨯A 即2=A ，因此原方程的一个特解为 x xe y 2=*， 从而所求通解为 x x xe e c c y 221++=．10. 解：∵⎰⎰⎰⎰-+=-+=xx xxduu u dt t x xdu u u x xdt t 022)()(2)()(2)(ϕϕϕϕ两边对x 求导，得 ()⎰+=xdt t x x 0)(ϕϕ，及 0)0(=ϕ上式两边再对x 求导，得 )(1)(x x ϕϕ+='即 1)()(=-'x x ϕϕ则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e e x dx dx )(ϕ()C e e x x +-=-)0(=ϕ，1 =∴C ，故1)(-=x e x ϕ。
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不难证明：
f ( x ) lim f ( x ) A lim f ( x ) A xlim x x x
x x0
0
0
注意：
1. 函数极限与f ( x )在点x0是否有定义无关;
2. 与任意给定的正数有关.
3. 0 | x x0 | x U ( x0 , )
x3
x 1 2x - 1
x 3; x 3.
判断 lim f ( x ) 是否存在。
解： f (3 - 0) lim f ( x ) lim ( x 1 ) 4
x 30 x 30
f (3 0) lim f ( x ) lim (2 x 1 ) 5
对任给定的 0 , 可取 ( ) .
x2 1 lim 2 x 1 x 1
当 0 | x - 1 | 时, 恒有 x2 1 | f ( x) - 2 | | - 2 | | x - 1 | 成立 , x 1
x2 1 lim 2. x 1 x 1
0, 0, 使当0 x x0 时, 恒有 f ( x ) A .
几何解释:
A A A
y
y f ( x)
o
x0
x0
x0
x
定义
设f(x)在x0的某个右去心邻域有定义，
f ( x0 0) lim f ( x ) A
证
y
x x lim lim x 0 x x 0 x
1
o
x
lim ( 1) 1
x 0
1
x x lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x x0 x
f ( x ) 不存在. 左右极限存在但不相等, lim x 0
例8 设
f ( x) {
体现x接近x 0 程度.
定义
0
设f(x)在x0的某个去心邻域有定义，
lim f ( x) ＝A 对任给定的 0，都存在 = x x
()>0，使得当0< |x-x0|< 时，恒有 |
f(x)-A|< 成立。
" "定义
lim f ( x ) A
x x0
此性质等价于： 若对自变量 t 的某一变化过程，f(t)、 g(t) 有极限，并且在此变化过程中的某一时刻之 后，恒有 f(t) g(t) ，则对此变化过程有 lim f(t) lim g(t) 。
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作 业
习题1-1
一、2，3，4，9，10 二、11
" X"
定义
x
lim f ( x ) A
0, X 0, 使x X , 恒有 f ( x ) A .
几何解释
y
A+
y=f(x)
A
A-
O
即
X
x
x
lim f ( x ) ＝A x + 时， 曲线
y = f (x) 有水平渐近线 y =A .
x x0 0
对任给定的 0，都存在 = ()>0,使得当 0< x-x0<
( 即x0< x < x0+ ) 时，恒有 | f(x)-A|< 成立。
" " 定义
f ( x0 0) lim f ( x ) A
x x0
0, 0, 使当x0 x x0 时, 恒有 f ( x ) A .
又 x x 2 ,
当
可取 ( ) 2 .
0 x x0 , 有 | x -
x0 |
x .
x x0 0
lim
x
x0
证毕.
二、极限的性质
1. 唯一性： 若对自变量 t 的某一变化过
程，f(t) 收敛，则在此变化过程中f(t)的
极限唯一。
f ( x0 0) lim f ( x ) A
x x0
0, 0, 使当x0 x x0时, 恒有 f ( x ) A .
" " 定义
lim f ( x ) A
x x0
0, 0, 使当0 x x0 时, 恒有 f ( x ) A .
x-2 1 | x -2| 欲使 | 2 | ，只要 , x 4 4 12
即 | x 2 | 12 , 故取 min{1, 12 },
x-2 1 当0 | x 2 | , 有 | 2 | . x 4 4
证毕.
x 例7 验证 lim 不存在. x 0 x
定义
f(x)在（-∞，a]有定义， lim f ( x ) ＝A 对
x
任给定的 0，都存在 X=X()>0，使得当 x<- X 时，
恒有 | f(x)-A|< 成立。
" X"
定义
x
lim f ( x ) A
0, X 0, 使x X , 恒有 f ( x ) A .
函数 y f ( x ) 在 x x 0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
0 x x 0 表示x x 0的过程.
x0
点x 0的去心邻域,
x0
x0
x
几何解释
y
A
-M Ox - 时，曲线 y = f (x) x
有水平渐近线 y =A。
定义
设f(x)在U(∞)有定义，
lim f ( x ) ＝A 对
x
任给定的 0，都存在 X=X()>0，使得当 |x|>X 时，
恒有
| f(x)-A|< 成立。
x - x0 x0
( 当 x x0 时 )
x0
x x0 ) x0
x - x0 x x0
x - x0 x0
x0 ;
又
x - x0
可取 ( )
当
0 | x x0 | , 有| x x0 | .
证毕.
2) 当 x0 0 时, 对 x x0 0 , 有 | x - x0 | x .
定义
设f(x)在x0的某个左去心邻域有定义，
f ( x0 0) lim f ( x ) A
x x0 0
对任给定的 0，都存在 = ()>0,使得当 - < x-x0<0 ( 即x0 - < x < x0) 时，恒有 | f(x)-A|< 成立。
" " 定义
有水平渐近线 y =A .
" X" 定义
x
lim f ( x ) A
0, M 0, 使当x M时, 恒有 f ( x ) A .
x
lim f ( x ) A
0, M 0, 使当x M时, 恒有 f ( x ) A .
" X"
定义
lim f ( x ) A
x
0, X 0, 使 | x | X, 恒有 f ( x ) A .
几何解释:
y
A
X
A X O
即
x
A
y f ( x)
x
lim f ( x ) ＝A x 时， 曲线 y = f (x)
2. 有界性： 若对自变量 t 的某一变化过 程，f(t) 收敛，则在此变化过程中的某 一时刻之后 f(t) 有界。
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3. 保号性： 若对自变量 t 的某一变化过程，
有 (或 < 0 lim f(t) > 0 (或 < 0 ) 。 )，则在此
变化过程中的某一时刻之后，恒 有 f(t) > 0
对任给定的 0，都存在自然数 N=N () ，使得
当 n>N 时，恒有 定义 |xn-a|=|f(x)-a|< 成立。
f ( x ) =A 对 设f(x)在[a,+∞)有定义， xlim
任给定的 0，都存在 X=X() a，使得当 x > X 时， 恒有 | f(x)-A|< 成立。
x x0
lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
0, 0, 使当x0 x x0 时, 恒有 f ( x ) A .
x x0
0, 0, 使当x0 x x0时, 恒有 f ( x ) A .
第三节 函数的极限
1. 各自变量的变化过程中的极限 2. 极限的性质
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一、各自变量的变化过程中的极限
由
n
xn=f(n)
n
nN，有
x , x N
lim xn lim f ( n)
x , x Z
lim
f ( x)
lim
f ( x)
极限问题中的２个要素：
1) 自变量的变化过程， 2) 函数。
x 3 0 x 3 0
有 f (3 - 0) f (3 0)
lim f ( x ) 不存在。
x3
例3 设 x0 0，试证：
1) 当 x0>0 时，
证 ：对任给定的 >0，