湖北省沙市中学2017届高三上学期第一次考试数学(理)试题(附答案)

2016—2017学年上学期高三年级
第一次考试数学试卷（理科）
命题人： 审题人：

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．请将正确的答案填涂在答题卡上．）
1、已知集合{1,2,3,4},{|32},AByyxxA，则AB=（ ）
A．{1} B．{4} C．{1,3} D．
{1,4}

2、设集合A=1164),(22yxyx,B=xyyx3),(,则BA的子集的个数是（ ）
A．4 B． 3 C． 2 D． 1
3、已知命题P：∃x0∈R+，log2x0=1，则￢P是（ ）
A．∀x0∈R+，log2x0≠1 B．∀x0∉R+，log2x
0
≠1

C．∃x0∊R+，log2x0≠1 D．∃x0∉R+，log2x
0
≠1

4、设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2﹣1）}，N={x|0＜x＜2}，则N∩（∁UM）=（ ）
A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|x＜1}
5、当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（ ）
A．x3＜3x＜log3x B．3x＜x3＜log3x
C．log3x＜x3＜3x D．log3x＜3x＜x3

6、已知函数)0(,)1()0(,)(4xxxxxxf，则f[f（2）]=（ ）
A． B． C．2 D．4
7、 已知a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A={x|a1x+b1＞0}，B={x|a2x+b2＞0}，则“”
是“A=B”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8、已知)1(1)1(2)(xxxf，则不等式5)1(2xxfx的解集为（ ）
A．),1( B．),1()5,(
C．),0()5,( D．)1,5(
9、已知函数f（x）=e|x|+x2，（e为自然对数的底数），且f（3a﹣2）＞f（a﹣1），则实数a
的取值范围是（ ）
A． B．

C． D．
10、设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个
整数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（1，+∞）

11．已知f（x）=x3﹣3x+2m，在区间上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），
f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（ ）
A．m＞6 B．m＞9 C．m＞11 D．m＞12
12．已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，当0x时
)3|2||(|21)(aaxaxxf
，若Rx，)()1(xfxf，则正数a的取值范围

为（ ）
A．]361,0( B．]91,0( C．]61,0( D．]31,0(
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若幂函数f（x）=xa的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为 ．

14、函数f（x）=的定义域为 ．

15、已知命题“012,2axxxR”是真命题，则实数a的取值范围是 （ )
16、已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]=4，则f（log39）= ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（10分）设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．

18、（12分）已知命题p：直线0ayx与圆1222xyx相交； 命题q：曲线
axeyx
（e 为自然对数的底数）在任意一点处的切线斜率均大于1．若命题
）（qp

是真命题，求实数a的取值范围．

19、（12分）设xaxxfln6)(2，曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线与y轴相交 于
点（0,3）。
（1）确定实数a的值；（2）求)(xf的极值。
20、（12分）已知ABCD是正方形，直线AE⊥平面ABCD，且AB=AE=1，
（1）求异面直线AC，DE所成的角；
（2）求二面角A﹣CE﹣D的大小；
（3）设P为棱DE的中点，在△ABE的内部或边上是否存在一点H，使PH⊥平面ACE？
若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由．

21、（12分）已知抛物线E：22(0)ypxp的焦点为F，抛物线上存在一点P到其焦点的
距离为32，

且点P在圆2294xy上．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点T(m，0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B、C、D四点，且M、N
分别为线段AB、CD的中点，求△TMN的面积最小值．
22. （12分）已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集为（0，5）且f(x)在[-1,4]
上的最大

值为12，①求f(x)的解析式；②是否存在自然数m，使方程037)(xxf在区间（m，m+1）
内有且只有两个不等的实根？若不存在，说明理由；若存在，求m的值。
第一次考试数学参考答案
DAA BCA BBA BCC
13、 044yx
14、),2()21,0(
15、11aa或
16、10

17、解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，
当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．
当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．
当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．
综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．
（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，
只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．
18、若p为真，则-319、（1）3a；（2）极小值为3)1(f，无极大值；
20、（1）建立空间直角坐标系如图：
∵AB=AE=1，四边形ABCD为正方形，∴A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，1，0），E（0，0，1）．=（1，1，0），=（0，﹣1，1），
cos==﹣，
故异面直线AC，DE所成的角为；
（2）取DE的中点P，则P（0，，），连接AP，∵直线AE⊥平面ABCD，∴AE⊥CD，
又四边形ABCD为正方形，CD⊥AD，
∴AP⊥平面CDE，∴为平面CDE的法向量；
∵BD⊥AC，AE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴为平面ACE的法向量，
=（0，，），=（﹣1，1，0），

cos==．
故二面角A﹣CE﹣D为．
（3）假设在平面ABE内存在点H，设H（m，0，n），=（m，﹣，n﹣），
∵PH⊥平面ACE，AC⊂平面ACE，
∴PH⊥AC，PH⊥AE，∴ =m﹣=0⇒m=； =n﹣⇒n=，
即H（，0，），∵=，H为B、E的中点．
故存在点H，H为B、E的中点，满足条件．

21．(1)解：设P(x0，y0)，则0033222ppxx，∴20(3)ypp 2分

∵点P在圆2294xy上，∴2(3)4(3)9ppp，解得：p = 2
∴抛物线的方程为24yx． 4分
)解：根据题意，直线AB、CD斜率存在且不为零，设AB的斜率为k(不妨设k > 0)，则CD

的斜率为1k
直线AB的方程为()ykxm，直线CD的方程为1()yxmk
由2()4ykxmyx 得：222222(2)0kxkmxkm 6分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则21222(2)kmxxk
∴1212124()()()2yykxmkxmkxxmkk
∴222()Mmkk， 8分
同理，2(22)Nmkk，
∴24224421||kTMkkk，422||4421TNkkkk 10分
2
2

2

1211212()42TMNkSkkkkk
≥

当且仅当k = 1时，等号成立
∴△TMN面积最小值为4． 12分
22