§2.2.2对数函数及其性质
高中数学2.2.2第二课时对数函数图像及其性质的应用教学精品课件新人教A版必修
年.
(2)设从开始砍伐到至少保留到原面积的 25%
1 则 a(1-b) ≥ 4
y
a, ,
1 得 ylg(1-b)≥lg 4
1 lg 1 2 ≨y· ≥lg 4 T
解得 y≤2T.
,
T 3T 因此今后最多还能砍伐的年数为 2T- = 2 2
.
【例 2】 若-1<loga
a
3 4
<1,求 a 的取值范围. <logaa.
1 则 a(1-b) = 2
T T
a,
1 lg 1 2 ≨(1-b) = ,lg(1-b)= . 2 T
(1)设到今年为止,该森林已砍伐了 x 年,
≨a(1-b) =
x
2 2
a,
得 xlg(1-b)=lg
2 2
,
1 lg 2 2 于是 x· =lg 2 T
,
T 即 x= 2
需 y 年,
T ,即已砍伐了 2
5 5 5 5 5 5
>0,
(2)由于 log 1
3
2=
1 1 log 2 3
, log 1
5
2=
1 1 log 2 5
.
又因对数函数 y=log2x 在(0,+≦)上是增函数,
1 1 且 > , 3 5 1 1 ≨0>log >log , 5 3
2 2
∴
1
1 1 log 2 log 2 3 5 ∴ log 1 2 < log 1 2 .
利用对数函数单调性解不 等式
【例 2】(1)已知 loga
1 2
>1,求 a 的取值范围;
(2)已知 log0.72x<log0.7(x-1),求 x 的取值范围.
高中数学：2.2.2对数函数及其性质 (1)
2．2.2对数函数及其性质第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)比较对数值的大小[例1]比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)．[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，于是log a5.1＜log a5.9；当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，于是log a5.1＞log a5.9.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性．1．比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (2)log 0.56，log 0.54； (3)log 132与log 152;(4)log 23与log 54.解：(1)因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8. (2)因为函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log 0.56＜log 0.54. (3)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215. 又∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15，∴0＞log 2 13＞log 2 15，∴1log 213＜1log 215.∴log 132＜log 152. (4)取中间值1，∵log 23＞log 22＝1＝log 55＞log 54，∴log 23＞log 54.[例2] (1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .求解对数不等式①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解．②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．2．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围． 解：由题意知log a (3a －1)＞0＝log a 1. 当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＞1，3a －1＞0，解得a ＞23，∴a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜1，3a －1＞0，解得13＜a ＜23.∴13＜a ＜23. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).有关对数型函数的值域与最值问题[例3] 求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R. 因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2， 所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4. 因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12u ≥log 124＝－2，所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．3．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值． 解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵f (x )的定义域为[1,9]， ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13. ∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.[例4] 已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中(a ＞0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x )．求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由． [解] ∵f (x )＝log a (1＋x )的定义域为{x |x ＞－1}， g (x )＝log a (1－x )的定义域为{x |x ＜1}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x ＞－1}∩{x |x ＜1}＝{x |－1＜x ＜1}． ∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，∴h (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－h (x )， ∴h (x )为奇函数． [一题多变]1．[变条件]若f (x )变为log a 1＋x1－x (a ＞1)：求f (x )的定义域．解：因为f (x )＝log a 1＋x1－x，需有1＋x1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞0，1－x ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜0，1－x ＜0，所以－1＜x ＜1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．2．[变设问]在本例条件下，若f (3)＝2，求使h (x )＜0成立的x 的集合． 解：∵f (3)＝log a (1＋3)＝log a 4＝2，∴a ＝2. ∴h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， ∴h (x )＜0等价于log 2(1＋x )＜log 2(1－x )，对数函数性质的综合应用∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x ，1＋x ＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜0.故使h (x )＜0成立的x 的集合为{x |－1＜x ＜0}．层级一 学业水平达标1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，∴x 的取值范围是(2,7]，故选B.2．已知log 12m ＜log 12n ＜0，则( )A ．n ＜m ＜1B ．m ＜n ＜1C ．1＜m ＜nD ．1＜n ＜m解析：选D 因为0＜12＜1，log 12m ＜log 12n ＜0，所以m ＞n ＞1，故选D.3．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．4．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选D 由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a . 5．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A. 6．比较大小： (1)log 22______log 23； (2)log 3π______log π3.解析：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3，所以log 22＞log 2 3. (2)因为函数y ＝log 3x 增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1. 同理1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3. -=-=答案=-=-：(1)＞ (2)＞7．不等式log 13(5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧5＋x >0，1－x >0，5＋x >1－x ，得－2<x <1.-=-=答案=-=-：{x |－2<x <1}8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增， ∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12＝2，a ＝4. -=-=答案=-=-：49．已知对数函数f (x )的图象过点(4,2)，试解不等式f (2x －3)＞f (x )． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， 因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)＞f (x )⇒log 2(2x －3)＞log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，x ＞0，2x －3＞x ⇒x ＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．10．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．解：要使y ＝log 12(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1,1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 12(1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 12(1－x 2)是增函数．故函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 12(1－02)＝0.层级二 应试能力达标1．若a ＞0，且log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C ∵log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，∴a 2＜a 3，即a 2(1－a )＜0，∴a ＞1，故选C.2．设a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：选D 由于b ＝log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c . 3．关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是增函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是减函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数 D ．.f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是减函数 解析：选C 由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．由1－2x ＞0，得x ＜12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为(－∞，12)．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数，故选C. 4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．5．若y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3＞1，解得a ＞2. -=-=答案=-=-：(2，＋∞)6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________________．解析：∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称．∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，做出函数图象如图所示．由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 18x )＞0⇒log 18x ＜－13或log 18x ＞13⇒x ＞2或0＜x ＜12， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． -=-=答案=-=-：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 7．求函数f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． 解：f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2 ＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤－12(log 2x －1) ＝－12[](log 2x )2＋log 2x －2. 设log 2x ＝t .∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]，则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]， 因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12， ∴它在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98. 当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2.∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98.8．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0＜a ＜1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0， 解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]， 因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。
河北省新乐市第一中学人教A版高中数学必修一：2.2.2 对数函数及其性质 说课课件 共24张 精品
2.在练习中检测学生对定义的理解及对数函数性质的简单 应用情况.
设计意图：通过以上教学评价，学生的学习激情更加高涨， 老师也可以根据学生的反映情况随时调控教学.
重点： 理解对数函数定义，掌握其图象 及性质．
难点： 对数函数的图象及性质的应 用．
教材分析
教学方法及手段
教学过程 板书设计 教学评价
1.教法
本节课以探究式的教学方法和讲解法为主， 以练习法为辅，引导学生自己观察、归纳、 分析，培养学生采用自主探究的方法进行学 习，并使学生从中体会学习的乐趣．
教材分析
之y 间 2存x 在着什么关系？
设计意图:把课本习题作为作业题,以巩固所学的新知识。分层布 置也是充分考虑学生之间的差异。同时设置思考题,使学生在学 习新知识的基础上,复习旧知识,目的是让学生学以致用,注重新 旧知识的联系与应用．
教材分析
教学方法及手段 教学过程 板书设计 教学评价
2.2.2对数函数及其性质 一 定义 二 图象和性质 例2 例1
上述两个问题中的函数解析式有什么共同特征，你 能归纳出这类函数的一般式吗？
设计意图：通过在指数函数一节做过的一道习题改编 入手，以旧代新逐层递进，不仅可以检测学生指数式 和对数式互化的学习情况，而且能通过问题激发学生 的好奇心，自然引出对数函数的概念，从而引入课题.
教材分析
教学方法及手段
教学过程 板书设计 教学评价
设计意图:目的在于让学生及时巩固新知识, 加深对对数函数的定义域的掌握.
教材分析
教学方法及手段 教学过程 板书设计 教学评价
例2 比较下列各组数中两个值的大小:
（1）log2 3.4 ,log28.5;
2.2.2对数函数及其性质1
(1) log23.4 , log28.5 ; (2) log0.51.8 , log0.52.7; (3) log3π , log20.8.
( 4)
log a 5.1, log a 5.9(a > 0, a ≠ 1)
求下列函数的定义域： 例1求下列函数的定义域：
y = log a x 2 （1）
对数函数： 一般地， 一般地，我们把函数 y = log +∞）． +∞）． 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， x 注意辨别． 注意辨别．如： ， y = 2 log 2 x y = log 5 5 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数函数对底数的限制： ②对数函数对底数的限制：a>0且a≠1 且 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（ 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，
1 0
2 1
4 2
… …
y=log2x
描 点
y 2 1
0
11 42
1 2 3
4
x
-1 -2
列 描 点 连 线
x
y = log
1 2
表 y = log 2 x
x
… … …
1/4
1/2
1
2
4
…
-2 2
-1 1
0 0
1 -1
2 … -2 …
y 2 1
0
11 42
1 2 3
4
x
-1 -2
这两个函 数的图象 有什么关 系呢？ 系呢？
在R上是
1
2019A新高中数学必修第一册：2.2.2 对数函数及其性质(第2课时)
(1) 根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式, 说明溶液酸
碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
(2) 已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升, 计算
纯净水的 pH.
解:
(1)
公式化为
pH
=
lg[H+]-1 =
lg
1 [H
, ]
此对数函数是 (0, ∞) 上的增函数,
当[H+]增大时,
当 I=10-12 W/m2 时,
LI =10lg(1100--1122 ) =10lg1 =0.
∴人听觉的声强级范围是 0 到 120 dB.
3. 声强级 LI (单位: dB) 由公式 LI =10lg(10I-12 )
给出, 其中 I 为声强 (单位: W/m2).
(1) 一般正常人听觉能忍受的最高声强为 1 W/m2, 能
y = logax (a>0, a≠1). 即 指数函数与对数函数互为反函数.
一般地, 求一个函数的反函数, 就是将函数中 的自变量 x 表示成 y 的函数, 其定义域是原函数的 值域.
由于习惯用 x 表示自变量, 所以将变换后函数 中的字母 x, y 相交换.
如: y=log3x,
用 y 表示 x: x=3y,
5. (1) 试着举几个满足 “对定义域内任意实数 a、 b, 都有 f(a·b)=f(a)f(b)” 的函数例子, 你能说出这些 函数具有哪些共同性质吗?
(2) 试着举几个满足 “对定义域内任意实数 a、b, 都有 f(ab)=f(a)·f(b)” 的函数例子, 你能说出这些函 数具有哪些共同性质吗?
函数中的字母 x, y 相交换得
y=g(x), 指数函数与对数函数互为反函数. 如果两函数互为反函数, 则它们的图象关 于直线 y=x 即称.
对数函数及其性质 -课件ppt
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问题：你能类比前面讨论指数函数性质的 思路，提出研究对数函数性质的内容和方 法吗？
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调 性、最大（小）值、奇偶性．
类比指数函数图象和性质的研究，研究对 数函数的性质并填写如下表格：
x
1 3
,
2 3
.
(2).y 2 log (x2 2x 3) 4
x R.
x 1 (3).y log
3 3x 1
x
x
x
1或x
13.
(1).y log (3x 1) 0.5
解：3loxg0.15 (3
0 x
1)
0
log 0.5
1
3x 3x
1 1
0 1
1 x 2 x {x | 1 x 2}
x 这两个函数
连
-1
线
-2
y=log1/2x
的图象有什 么关系呢？
关于x轴对称
2.思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a 的取值变化图象如何变化？有规律吗？
: 对数函数 y log 3 x和y log 1 x 的图象。
3
底y
大2 y=1 1
图
11 42
0 1 23 4
注:例2是利用对数函数的增减性比较两个对数 的大小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分 情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
例3 比较下列各组中两个值的大小: ⑴.log 67 , log 7 6 ; ⑵.log 3π , log 2 0.8 .
必修一同步2.2.2第1课时对数函数及其性质
5．函数y＝lnx的反函数是________． [答案] y＝ex
高效课堂
●互动探究
对数函数概念
下列函数表达式中，是对数函数的有(
y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)． A．1个 C．3个 B．2个 D．4个
)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤
1 －1 0 ，logaa＝___ 1 ，loga ＝____(a>0，且 a≠1)． 2．loga1＝___ a 指数 函 3．一般地，我们把函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)叫做______
(0，＋∞) ．把指数式 y＝ax 化 数，它的定义域为 R，值域为___________
为对数式为 x＝logay.
A．a>b>1>c>d
B．b>a>1>d>c C．1>c>a>b>c>d D．a>b>1>d>c
[解析]
解法一：观察在x轴上方的图象，从右至左依次为
②①④③，故b>a>d>c. 解法二：在上图中画出直线 y ＝ 1 ，发现分别与①，②，
③ ， ④ 交 于 A(a,1) ， B(b,1) ， C(c,1) ， D(d,1) 四 点 ， 由 图 可 知
(2) 左右比较，在 x 轴
上方，图象从左至右底 数依次增大．
如图所示， 曲线是对数函数 y＝logax 的图象， 已知 a 取 3、 4 3 1 3、5、10，则相应于 C1、C2、C3、C4 的 a 值依次为( 4 3 1 A. 3、3、5、10 4 1 3 B. 3、3、10、5 4 3 1 C.3、 3、5、10 4 1 3 D.3、 3、10、5 )
对数函数及其性质
1 (2) y log 2 x
1 (3) y log 7 ( ) 1 3x
【探究】在同一直角坐标系中用描点法画出函 数
y log 1 x y log 1 x y log2 x y log3 x
2
3
的图象。
2.对数函数y=logax (a>0且a≠1) 的图象和性质:
[问题提出] 1.什么是对数函数？其大致图象如何？ 函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做对数函数，
定义域为(0,＋∞) 例1 求下列函数的定义域:
(1) y log a x
2
{x|x≠0}
( 2) y log a (4 x ) {x|x<4}
变式练习 求下列函数的定义域： (1) y log (1 x)
0<x<1
y>0
y<0
2.对数函数y=logax (a>0且a≠1) 的图象和性质:
图象特征: 性质:
(1)都在y轴右方;
（2）图像不关于原点 和y轴不对称 (3)向y轴正负方向无限 延伸 (4)都过点(1,0) (5)当a>1时,从左向右看逐 渐上升;当0<a<1时,从左向 右看逐渐下降
(1)定义域:(0,+∞)
2.2.2 对数函数及其性质
(1)
P70
1.对数的定义P62 ：
一般地，如果a(a＞0, a≠1)的b次幂等于N， 就是ax＝N ，那么数x叫做以a为底N的对数， 记作：logaN＝x.
2.几个常用的结论（P63） ：
（1）负数与零没有对数 （2） loga 1 0 （3） loga a 1 loga N （4）对数恒等式：a
用描点法画函数
高中数学：2.2.2对数函数及其性质 (27)
第二章 2.2 2.2.2第一课时A级基础巩固一、选择题1．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(C)A．{x|x＞－1}B．{x|x＜1}C．{x|－1＜x＜1} D．∅[解析]由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞－1}，则M∩N＝{x|－1＜x＜1}，故选C．2．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是(D)A．R B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．[0,1][解析]∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故选D．3．(2019·山东金乡县高一期中测试)如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是(D)A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b[解析]由图可知a＞1，而0＜b＜1,0＜c＜1，取y＝1，则可知c＞b.∴a＞c＞b，故选D．4．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是(B)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[解析]∵3x＋3－x＞0恒成立，∴f(x)的定义域为R.又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故选B．5．(2019·山东潍坊市高一期末测试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(－x )12 (x ≤0)log 2x (x >0)，则f [f (116)]的值为( C )A ．1B ． 2C ．2D ．4[解析] ∵x >0时，f (x )＝log 2x ，∴f (116)＝log 2116＝log 22－4＝－4，又x ≤0时，f (x )＝(－x ) 12， ∴f (－4)＝412＝2. ∴f [f (116)]＝f (－4)＝2.6．(2019·浙江，6)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a (x ＋12)，(a >0且a ≠0)的图象可能是( D )[解析] 令x ＋12＝1，得x ＝12，∴函数y ＝log a (x ＋12)的图象过点(12，0)，排除A 、C ；又函数y ＝1a x 与y ＝log a (x ＋12)的单调性相反，排除B ，故选D ．二、填空题7．已知f (x )＝log 9x ，则f (3)＝__12__.[解析] f (3)＝log 93＝log 9912＝12.8．函数y ＝log 12x －1的定义域为__(0，12]__. [解析] 要使函数有意义，须log 12x －1≥0，∴log 12x ≥1，∴0<x ≤12.∴定义域为(0，12]．三、解答题9．已知f (x )＝lg 1＋x 1－x .x ∈(－1,1)若f (a )＝12，求f (－a )．[解析] 解法一：∵f (－x )＝lg 1－x1＋x＝lg(1＋x 1－x )－1＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－12.解法二：f (a )＝lg 1＋a1－a ，f (－a )＝lg 1－a1＋a＝lg(1＋a 1－a )－1＝－lg 1＋a 1－a＝－12.B 级 素养提升一、选择题1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )等于( A )A ．log 12xB ．log 2xC ．12xD ．x 2[解析] 由题意知f (x )＝log a x ，又f (a )＝a ，∴log a a ＝a ，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x ，故选A ．2．(2019·山东莒县一中高一期末测试)已知函数y ＝log a (x ＋1)＋3＋x (a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，则b ＝( C )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 令x ＋1＝1，则x ＝0， y ＝3，∴A (0,3)． ∴3＝20＋b ，∴b ＝2.3．(2017·全国卷Ⅱ文，8)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( D ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) [解析] 由x 2－2x －8>0，得x <－2或x >4.令g (x )＝x 2－2x －8，函数g (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a (x ≤1)log ax (x ＞1)是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( C )A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜00＜a ＜1(3a －1)＋4a ≥0，∴17≤a ＜13.二、填空题5．(2019·天津市南开区高一期末测试)函数y ＝x －1＋1lg (3－x )的定义域为__[1,2)∪(2,3)__.[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥03－x >03－x ≠1，∴1≤x <3且x ≠2.∴所求函数的定义域为[1,2)∪(2,3)．6．(2019·江苏苏州市高一期中测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x (x ≥3)f (x ＋1)(x <3)，则f (log 23)的值为__112__. [解析] ∵log 23<3， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)， 又log 23＋1<3，∴f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)， 又log 23＋2>3，∴f (log 23＋2)＝(12)log 23＋2＝(12)log 23·(12)2 ＝2－log23×14＝14×2 log 23＝14×3＝112.即f (log 23)＝112.三、解答题7．已知函数f (x )＝lg|x |. (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)画出函数f (x )的图象．[解析] (1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，将函数y ＝lg x (x >0)的图象对称到y 轴的左侧与函数y ＝lg x (x >0)的图象合起来得函数f (x )的图象，如图所示．8．求下列函数的反函数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝(45)x ；(3)y ＝log 13x ；(4)y ＝log 7x .[解析] (1)指数函数y ＝10x ，它的底数是10，它的反函数是对数函数y ＝lg x (x >0)． (2)指数函数y ＝(45)x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝log 45x (x >0)．(3)对函数y ＝log 13x ，它底数是13，它的反函数是指数函数y ＝(13)x .(4)对函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x . 9．已知函数f (x )＝lg(x －1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域； (2)证明：f (x )在定义域上是增函数．[解析] (1)要使函数有意义，则x －1>0，解得x >1， 即函数f (x )的定义域是(1，＋∞)．函数f (x )的定义域是(1，＋∞)，则u ＝x －1的值域是(0，＋∞)，函数f (x )的值域是R . (2)证明：设x 1，x 2为(1，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝lg(x 1－1)－lg(x 2－1)＝lg x 1－1x 2－1.∵1<x 1<x 2，∴0<x 1－1<x 2－1.∴0<x 1－1x 2－1<1.又当0<x <1时，y ＝lg x <0，∴lg x 1－1x 2－1<0.∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在定义域上是增函数．。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质教材梳理素材新人教A版必修1(new)
2。
2。
2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。
因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。
只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0)的函数才叫对数函数。
像y=log a (x+1）,y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。
对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象列出x ，y 的对应值表，用描点法画出图象：描点即可完成y=log 2x,y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x—1—2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现:我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0。
5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0。
5x=-log 2x ，点（x,y)与点(x,-y ）关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x ，y ）关于x 轴对称点(x ，-y ）在y=log 0。
5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a 1,-1),（1，0)，(a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。
"②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称。
（2）对数函数y=log a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示: a ＞1 0＜a ＜1图 象定义域（0，+∞） 值 域R 性 质 （1)过点（1,0），即x=1时，y=0要点提示（1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2)对数函数的单调性取决于它的底数。
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1
§2.2.2对数函数及其性质
一．教学目标
1．知识技能
①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.
②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.
2．过程与方法
让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.
3．情感、态度与价值观
①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；
②培养学生严谨的科学态度.
二．学法与教学用具
1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；
2．教学手段：多媒体计算机辅助教学．
三．教学重点、难点
1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.
2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.
四．教学过程
1．设置情境
用清水漂洗含1个单位质量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗
次数y与残留污垢x的关系式
2．探索新知
一般地，我们把函数logayx（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，
函数的定义域是（0，+∞）．
下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：
先由学生完成P70表2－3，并根据此表用描点法画出函数2logxy的图象, 再利用
电脑软件画出0.5log.xy的图象
x
1
2
1 2 4 6 8 12 16
y
－1 0 1 2 2.58 3 3.58 4
2
y
0.5
logyx
０ x
2
logyx
注意到：122loglogyxx，若点2(,)logxyyx在的图象上，则点
1
2
(,)logxyyx在
的图象上. 由于（,xy）与（,xy）关于x轴对称，因此，
1
2
logyx
的图象与2logyx的图象关于x轴对称 . 所以，由此我们可以画出12logyx的图象 .
探究：选取底数(aa＞0，且a≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应
的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？
.作法：用多媒体再画出2logyx，3logyx，13logyx和12logyx
4
2
-2
-4
-55
提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，
性质又如何？
对数函数的性质如下
3
logyx
2
logyx
1
3
logyx
1
2
logyx
0
3
a＞1 0＜a
＜1
图
象
性
质
（1）定义域（0，+∞）；
（2）值域R；
（3）过点（1，0），即当x=1，y=0；
（4）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）是上减函数
例7：求下列函数的定义域
（1）2logayx （2）log(4)ayx （a＞0且a≠1）
(3) 2log(9)ayx (4) 1log(2)xyx
练习1 、求下列函数的定义域：
(1) 2log(1)yx (2) 7logy (3) 3logyx
例8 比较下列各组数中两个值的大小
(
1) log23.4 , log28.5 (2) log0.31.8 , log0.32.7
(3) loga5.1 , loga5.9 (a＞0且a≠1)
比较两对数的大小的步骤：
1.确定所要考察的对数函数；
2.根据对数函数的底数判断该对数函数的单调性；
3.比较真数的大小，然后根据对数函数的单调性比较两对数的大小。
P73练习2 、比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log 10 6 ， log 10 8 (3) 23log6y ，23log4y
(2) log 0.5 6 ， log 0.5 4 (4) log 1.5 1.6 log 1.5 1.4
例题9溶液酸碱度的测量
溶液酸碱度是通过PH来刻画的。PH的计算公式为PH=-lg[H+] 表示溶液中氢离子的浓度，
单位是摩尔 /升.
4
(1)根据对数函数性质及上述PH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间
的关系;
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+] =10-7 摩尔/升，计算纯净水的PH.
补充练习
1．已知函数(2)xyf的定义域为[-1，1]，则函数2(log)yfx的定义域为
2．求函数22log(1)yxx的值域.
3．已知log7m＜log7n＜0，按大小顺序排列m, n, 0, 1
五、归纳小结：
1、对数函数的概念
2、对数函数的性质，列表展现.
六、作业
P74 习题2.2 A组： 7，
B组：1,2
七.教学反思
我这节课讲的是“对数函数及其性质”，有人说“课堂教学是学术研究的实践活动，既像科学家进入科学
实验室，有像艺术家登上艺术表演的舞台，教学是一种创造的艺术，一种遗憾的艺术。”回顾这节课有成
功之处，也有遗憾之处。
通过这节课我有以下三点收获；
1.运用对媒体画出函数图像，让学生更直观的观察出对数函数的图像。对突破本节课的重、难点起了很大
的帮助。
2.通过选取不同的底数a的对数图像，让学生类比研究指数函数图像及其性质分组探究对数函数的图像和
性质。这个环节让学生合作学习，合作学习让学生感受到学习过程中的互助。还能让学生自己建构知识
体系，没有传授也没有灌输。分类的思想学生在小学和初中就已经接触了很多，应该不陌生，但是要将
其变成自己的学习方法、甚至能灵活运用，却不太容易。旧知要经常温习，已有的思想方法也要经常回
顾。不同数学内容之间的联系和类比，有助于学生了解与中学数学知识有关的扩展知识及内在的数学思
想，促使学生认真思考其中的一些问题，加深对其理解。
3.课件上重点内容的“强调”与“闪烁”。使用多媒体课件后，课堂教学的容量会大大增加，概念的呈现、
过程的演示、例题的讲解将会变得得心应手。但千万别忘记对于重要的知识点、关键的词语要用特殊的
字体、特别的颜色或制作特效加以强化。不过，“强调”与“闪烁”应该少而精，如果对呈现的内容都辅
以特效，那么重点的内容就会在特效中淹没，所以特效的使用不宜太多。
通过这节课我也有以下几点遗憾;
1.我明知课件的设计要注意整体性，即整个课件要保留“重要的板书”。无论课件的进程如何，都应能较
好地体现教者的教学思路，同时让学生时刻能够看到重要的教学内容，让学生有“板书”可记。只有这
5
样，我们的课件才起到既能代替传统意义的黑板，又能增加大量教学信息的作用。而自己制作课件的能
力太差，课件都是拼凑起来的。
2.几何画板还不会用，函数的一些图像只能下载后再编辑。例如指数函数与对数函数图像的关系，达不到
自己思路的效果。
3.多媒体操作不熟练。例如最后小结时，我本想由“记住对数函数的图像和性质”这句话链接到具体内容，
但是操作过快而结束了。再播放时又从头开始了。
经过思考我觉得《对数函数的图像和性质》这节课按以下思路来讲：
一、导课。导入新课用复习指数函数的图像和性质，采用老师问学生答的方式。
二、画图像。讲授新课时先让学生画出对数函数的图像，学生肯定是用描点法，老师再用图像变换法（几
何画板）给学生演示。
三、研究性质。得到函数图像以后，老师给出学生问题（定义域，值域，定点，单调性，对称性），要求
学生按问题去研究性质。然后让学生逐个回答问题，老师最后总结性质。
四、应用。老师出示例题，检查学生对性质是否掌握。例题1求对数型复合函数的定义域。例题2比较
同底数的两个对数的大小。例题3比较两个不同底数也不同真数的对数的大小。然后学生做同一类型练
习题。
五、小结。让学生自己小结本节课的内容，老师补充。最后老师点出本节课所用的数学思想，让学生体
验感受。
总之，在大力提倡信息技术与课程整合的大背景下，多媒体课件必将逐步走进我们的课堂。如何利用多
媒体，如何用好多媒体，如何让多媒体更好地服务教学，将是我们经常思考的话题，同时，它将在我们
不断探索和实践中找到更完美的方案。