必修5第一章01正弦定理

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人教A版必修5第1章《正弦定理和余弦定理》ppt导学课件

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根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正弦定理边化角结合两角和差公式化简求解；（2）利用三角形面积公式及余弦定理求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理，需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
人教（A）数学 · 必修5 对点助学PPT
【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理解三角形（知三求一）； 2、会利用正弦定理和余弦定理进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得＝，∴sin B＝， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，

版高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件新人教B版必修5.pptx

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跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
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类型二用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
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命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
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反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟踪训练 3 在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是答案解析

人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)

BC DC = sin ∠BDC sin ∠DBC
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上，在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线如例1中的AC 基线, AC，定的线段叫做基线,如例1中的AC，中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一例2中的CD.基线的选取不唯一，一般基线越长基线越长，一般基线越长，测量的精确度越高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。
测量问题：测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达，又不能相互看到。需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和后再在⊿ 计算出和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计中算出AB两点间的距离算出两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、四点在同一平面上，两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°

必修五1.1.1正弦定理

故, C=300 , A=900, a=2.
变式：在△ABC 中， c= 6，A=45，a=2 ，求 b、 B 和 C . a c 解：∵ = sin A sin C
c sin A 3 6 sin 450 ∴ sinC= = = a 2 2
∴C=600 或C=1200 ∴（1）当C=600时，B=750
1 1 1 S ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
【反馈检测】 1、在△ABC 中， 1:2:3 ；（1）若 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，则 a : b : c _____________ （2）若 A 60,sinB （3）若 A 30,sinB
=30， b=25，Aa =150 （1） aABC ；( )C =45 ，求 A、b、c . =10 ， B =60， 4、在△ 中，已知 3.
（2） a =14，b =7，B =30 ；
0 A=75 b 15 3 5 6 （3） a =10，b =9，B =60 ； (
（4） a=5 2，b=10，A=60 . ( )
1 0 30 ，则角 B 的大小为_________； 2
2 0 或1350 45 B ，则角的大小为_________. 2
2、已知△ABC 中， A 30, B 60，b A、 3 B、 1 C、 2
3 ，则 a （
D、
1 2
B）
3、分别根据下列条件，判断△ABC 解的情况：

(2) B 45 , C 60 , a 4 (3)a 2, b 2 3, A 30 (4) A 120 , c 5, a 7

【公开课教案】必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计

必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计一、教材分析正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。

提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。

在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（1）已知两角和一边，解三角形：（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。

二、学情分析本节授课对象是高二学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。

高二学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标1.知识与技能：(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题2.过程与方法：通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观：(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.四、教学重点、难点教学重点： 1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.五、学法与教法学法与教学用具学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。

最新人教版高中数学必修5第一章《解三角形》

数学人教B 必修5第一章解三角形知识建构综合应用专题一判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a ＝2R ·sin A 将边化角，b 2＋c 2－a 2a 利用余弦定理的推论如cos A ＝把角的余弦化边，或利用sin A ＝把角的正弦化2bc 2R边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．常见结论有：设a ，b ，c 是△ABC 的角∠A ，∠B ，∠C 的对边，①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°；②若a 2＋b 2＞c 2，则∠C ＜90°；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠C ＞90°；π④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝.2应用1在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．应用2在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B ＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断．专题二恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．应用1在△ABC 中，求证：a 2＋b 2sin 2A ＋sin 2B (1)2＝；c sin 2C(2)a 2＋b 2＋c 2＝2(bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C )．提示：本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．应用2已知在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S .a 2＋b 2＋c 2求证：cot A ＋cot B ＋cot C ＝.4S提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形．专题三三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．常用三角形面积公式：111(1)S △ABC ＝ah a ＝bh b ＝ch c .222111(2)S △ABC ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ac sin B ．222a ＋b ＋c (3)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )(其中p ＝)．2应用在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．2提示：由已知可把角A 算出来，再求tan A ，并求出sin A ，直接代入面积公式即可求面积．专题四正、余弦定理的综合应用以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化解题的目的．cos C 2a －c 应用1在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且＝.cos B b(1)求cos B 的值；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．提示：(1)先利用正弦定理化简，再用三角变换整理即得．(2)利用余弦定理及面积公式，再注意整体求ac 的技巧．应用2在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．(1)确定角C 的大小；33(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为，求a ＋b 的值．2提示：(1)利用正弦定理将边转化为角即可；(2)利用余弦定理和面积公式列出关于a ，b 的方程求解，注意整体技巧．专题五正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，这一程序可用框图表示为：实际问题――→解三角形问题――→三角形问题的解――→实际问题的解概括演算应用1如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧抽象推理还原远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD ．提示：要测出高CD ，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可．根据已知条件，可以计算出BC 的长．应用2如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？提示：在求解三角形中，可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．真题放送1．(2011·天津高考)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()．A ．3366B ．C ．D ．36362．(2011·福建高考)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于__________．→→3．(2011·上海高考)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB ·AD＝______.4．(2011·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C ．(1)求角C 的大小；π(2)求3sin A －cos(B ＋)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．45．(2011·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b1＝2，cos C ＝.4(1)求△ABC 的周长；(2)求cos(A －C )的值．6．(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .b (1)求；a(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求∠B ．7．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C1＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝b 2.45(1)当p ＝，b ＝1时，求a ，c 的值；4(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．答案：综合应用专题一应用1：钝角∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，根据正弦定理，得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m (m ＞0),∵c ＞b ＞a ，∴∠C ＞∠B ＞∠A .a 2＋b 2－c 24m 2＋9m 2－16m 21∴cos C ＝＝＝－＜0.2ab 42×2m ×3m∴∠C 是钝角.∴△ABC 是钝角三角形．应用2：解：解法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C .∵∠B ＝60°，∴∠A ＋∠C ＝120°.∴∠A ＝120°－∠C ，代入上式，得2sin 60°＝sin (120°－C )＋sin C ，31展开，整理得sin C ＋cos C ＝1.22∴sin(C ＋30°)＝1.∴∠C ＋30°＝90°.∴∠C ＝60°.故∠A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .a ＋c ∵∠B ＝60°，b ＝，2a ＋c 2∴()＝a 2＋c 2－2ac cos 60°.2整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c .从而a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．专题二a b c 应用1：证明：(1)由正弦定理，设＝＝＝k ，sin A sin B sin Ck 2sin 2A ＋k 2sin 2B sin 2A ＋sin 2B 显然k ≠0，所以，左边＝＝＝右边，即原等式成立．k 2sin 2C sin 2Cb 2＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2＋b 2－c 2(2)根据余弦定理，右边＝2(bc ·＋ca ·＋ab ·)＝(b 2＋c 2－a 2)2bc 2ca 2ab222222222＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )＝a ＋b ＋c ＝左边，即原等式成立．222b 2＋c 2－a 2cos A b ＋c －a 应用2：证明：由余弦定理，得cos A ＝，所以cot A ＝＝＝2bc sin A 2bc sin Ab 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2，同理可得cot B ＝，cot C ＝，所以cot A ＋cot B ＋cot C ＝4S 4S 4Sb 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2＋c 2＋＋＝.4S 4S 4S 4S专题三2应用：解：∵sin A ＋cos A ＝2cos (A －45°)＝，21∴cos (A －45°)＝.2又∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝105°.tan 45°＋tan 60°∴tan A ＝tan (45°＋60°)＝＝－2－3，1－tan 45°tan 60°2＋6sin A ＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝.4又∵AC ＝2，AB ＝3，2＋6311∴S △ABC ＝AC ·AB ·sin A ＝×2×3×＝(2＋6)．2244专题四cos C 2a －c 2sin A －sin C 应用1：解：(1)由＝＝，得cos B b sin Bcos C ·sin B ＝2sin A ·cos B －cos B ·sin C .∴2sin A ·cos B ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C＝sin (B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A .1∵sin A ≠0，∴cos B ＝.2(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝7，又a ＋c ＝4，∴(a ＋c )2－3ac ＝7.∴ac ＝3.11333∴S △ABC ＝ac sin B ＝×3×＝.2224应用2：解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a 2sin A sin A ＝＝.c sin C 33∵sin A ≠0，∴sin C ＝.2∵△ABC 是锐角三角形，π∴∠C ＝.3π(2)∵c ＝7，∠C ＝.由面积公式，得31π33ab sin ＝，∴ab ＝6.①232π由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②3由①②，得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.专题五应用1：解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠ACB ＝25°－15°＝10°.根据正弦定理，AB sin ∠BAC 5sin 15°得BC ＝＝≈7.452 4(km)，sin 10°sin ∠ACBCD ＝BC tan ∠DBC ＝BC ×tan 8°≈1.047 (km)．答：山的高度约为1.047 km.应用2：解：设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，222∴(14x )＝9＋(10x )－2×9×10x cos 120°，2化简，得32x －30x －27＝0.39解得x ＝或x ＝－(舍去)．216∴BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21.BC sin 120°15353又∵sin ∠BAC ＝＝×＝，AB 21214∴∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)．∴38°13′＋45°＝83°13′.答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才能追赶上该走私船．真题放送31．D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝a .2在△ABD 中，由余弦定理，得33(a )2＋(a )2－a 222222AB ＋AD －BD 1cos A ＝＝＝.2AB ·AD 3332×a ·a 2222又∵∠A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝.3BC AB 在△ABC 中，由正弦定理，得＝.sin A sin C3a 222AB 6∴sin C ＝·sin A ＝·＝.BC 2a 361132．2在△ABC 中，由面积公式得S ＝BC ·CA ·sin C ＝×2·AC ·sin60°＝AC ＝3，∴AC 2221＝2.再由余弦定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2－2·AC ·BC ·cos C ＝22＋22－2×2×2×＝4.∴AB ＝2.23．15如图，在△ABD 中，由余弦定理得2AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝9＋1－2×3×cos 60°＝7，∴AD ＝7，AB 2＋AD 2－BD 29＋7－15∴cos ∠BAD ＝＝＝.2AB ·AD 2×3×727515于是，AB ·AD ＝|AB ||AD |cos ∠BAD ＝3×7×＝.2724．解：(1)因为c sin A ＝a cos C ，由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0.从而sin C ＝cos C .π又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则∠C ＝.43π(2)由(1)知，B ＝－A .于是4π3sin A －cos(B ＋)4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos Aπ＝2sin(A ＋)．63πππ11π因为0＜A ＜，所以＜A ＋＜.46612ππππ从而当A ＋＝，即A ＝时，2sin(A ＋)取最大值2.6236ππ5π综上所述，3sin A －cos(B ＋)的最大值为2，此时∠A ＝，∠B ＝.431215．解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×＝4，4∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.1(2)∵cos C ＝，4115∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－()2＝.44154a sin C 15∴sin A ＝＝＝.c 28∵a ＜c ，∴∠A ＜∠C .故∠A 为锐角．1527)＝.88∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C71151511＝×＋×＝.8484166．解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .b 故sin B ＝2sin A ，所以＝ 2.a(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，(1＋3)a 得cos B ＝.2c由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.12可得cos 2B ＝，又cos B ＞0，故cos B ＝，22所以∠B ＝45°.5a ＋c ＝，47．解：(1)由题设和正弦定理，得1ac ＝，4∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－(⎧⎨⎩1a ＝1，⎧⎧⎪⎪a ＝4，解得⎨1或⎨c ＝，⎪⎪⎩4⎩c ＝1.11(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－b 2－b 2cos B ，2231即p2＝＋cos B，223因为0＜cos B＜1，得p2∈(，2)．2由题设知p＞0，所以6＜p＜ 2. 2。

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5

∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的最大边长．答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的三边分别为 2,3,4 ，则此三角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23，所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b，则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解利用边的关系判断，由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb，又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c，综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(2)课件新人教a必修5

梳理
一个了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.
思考2
什么时候适合用正弦定理进行边角互化？答案
尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径.故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径.
由正弦定理，得sin2
A＝sin
660°，∴sin
A＝
2 2.
∵BC＝2< 6＝AC，∴A 为锐角，
∴A＝45°，∴C＝75°.
123
2.在△ABC中，若
a cos
A＝cobs
B＝cocs
C，则△ABC是
答案
解析
A.直角三角形
B.等边三√角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
由正弦定理，知csoins AA＝csoins BB＝csoins CC， ∴tan A＝tan B＝tan C，又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
故三角形为等边三角形.
知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用
思考1
在△ABC中，已知acos B＝bcos A.你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)? 答案
可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.
1.sin A∶sin B∶sin C＝ a∶；b∶c
a 2.sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝
2R

正弦定理课件(人教A版必修5)

a sinA
＝sibnB＝sincC＝ 2R
.
(2)正弦定理可变形为a＝ 2RsinA，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC，也可变形为a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC .
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第一章解三角形
2．(1)由已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(2)由正弦定理，已知三角形中的两角和一边，可求其余两边和一角；已知三角形中的两边和其中一边的对角，可求其余两角和一边．
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝π2. ∴该三角形为等腰三角形或直角三角形．答案：(1)直角三角形 (2)等腰三角形或直角三角形
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第一章解三角形
[例4] 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝10，又知ccoossAB＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆的半径．
∵0<2A,2B<2π，2A＋2B<2π；∴2A＝2B或2A＝π－2B.即 A＝B或A＋B＝π2.所以，三角形是等腰三角形或直角三角形．
在得到sin2A＝sin2B后，也可以化为sin2A－sin2B＝0， ∴2cos(A＋B)sin(A－B)＝0，∴cos(A＋B)＝0或sin(A－B)＝ 0.∵0<A＋B<π，且－π<A－B<π，∴A＋B＝π2或A－B＝0，即A＋ B＝π2或A＝B.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
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第一章解三角形
[解] 由ccoossAB＝ba，ssiinnBA＝ba，可得ccoossAB＝ssiinnBA. 变形为sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B. 又∵a≠b，

高一数学必修5 正弦定理余弦定理

必修5第一章，三角函数第一节正弦定理1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有．2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B = ，；③::__________________a b c =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

）3、对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

（一解、两解、无解三种情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。

具体的做法是：数形结合思想第一类A 为锐角（1）.算出CD=bsinA,看a 的情况：（2）当a<bsinA ，则B 无解，三角形不存在（3）当bsinA<a<b,则B 有两解，有两个三角形（4）当a=bsinA 或a ≥b 时，B 有一解，有一个三角形第二类 A 为钝角或是直角（1） b<a 则B 有一个解，有一个三角形（2） b ≥a 则B 无解，不存在三角形 4、三角形面积公式：11sin sin _________22C S bc ab C ∆AB =A ==．题型1、已知两角和一边，求其余的量1.在△ABC 中，已知a=8,6075B C ==，,则求三角形其他的要素D bsinAAbaC题型2.已知两边和其中一边所对的角，求其余的量1.△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°求三角形的其他要素2.△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝45°求B,C和c,‘3.△ABC中，已知a＝2，b＝2，B＝135°求A,C和c,题型3.不求解判断三角形一解、两解、无解三种情况a , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) 1．在△ABC中，∠A=60°23(A) 有一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定题型4.求三角形的面积题型5.边角互换，判断三角形的形状2、在△ABC中，已知a cosA=b cosB，则△ABC的形状是．3．在△ABC 中，=，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形第二节余弦定理1、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2_________________b =，2222cos c a b ab C =+-．2、余弦定理的推论：cos ____________A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。

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《自主学习资源》高中数学必修5第一章－1 必修5第一章 01正弦定理班级________________学号__________姓名_______________________ 【单点理解】 1.在ABC中，一定成立的是（）（A）BbAasinsin （B）BbAacoscos （C）AbBasinsin （D）AbBacoscos 2．在ABC中,60A,24,34ba，则B等于（）（Ａ）45或135 （Ｂ）135 （Ｃ）45 （Ｄ）以上都不对 3．在ABC中,30A,3a，则ABC的外接圆半径为（）（A）23 （B）3 （C）33 （D）6

4．在ABC中，若a＞b，则Asin Bsin． 5．在ABC中，已知a＝10，A＝45°，C＝75°，则b= . 【组合掌握】 6．已知ABC中，131sin,1312cosCA，求ca:的值．

7. 在ABC中,已知38,8,30baA,求B.

8．在ABC中，已知45,2,3Bba，且CA，求CA,和c．《自主学习资源》高中数学必修5第一章－2

9．在ABC中，已知60,3Aa，求CBcbsinsin的值. 【综合运用】 10．在ABC中，若AaCcBbsinsinsin，试判断三角形的形状．

11．在ABC中，20b，60A，问当边a分别取320、310、15时，满足条件的三角形分别有几个？

12．已知方程0cos)cos(2BaxAbx的两根之积等于两根之和，且ba,为ABC的两边，BA,

为两内角,试判定三角形的形状. 《自主学习资源》高中数学必修5第一章－3

必修5第一章 02余弦定理班级________________学号__________姓名_______________________ 【单点理解】 1．在ABC中，一定成立的是（）（A）Bacacbcos2222 （B）Aacbcacos2222 （C）Baccabcos2222 （D）Cabcbacos2222 2．在ABC中，如果2,2,13cba，那么C等于（）（Ａ）15 （Ｂ）30 （Ｃ）45 （Ｄ）60 3．边长为５，７，9的三角形形状是（）（Ａ）锐角三角形（Ｂ）直角三角形（Ｃ）钝角三角形（Ｄ）无法判断 4．在ABC中，已知30,36,6Cba，则c的值为． 5．在ABC中，bccba222，则A等于．【组合掌握】６．在ABC中，2:3:1::cba，求CBA::

７．已知在ABC中，10,3ABBC，AB边上的中线为７，求AC的长．８．在ABC中，若60C，求cabcba的值《自主学习资源》高中数学必修5第一章－4

９．已知锐角三角形的三边分别是：x,3,2，求x的取值范围．【综合运用】 10．在ABC中，bACaBC,，且a、b是方程02322xx的两根，且1cos2BA，求AB的长．

11．在平行四边形ABCD中，已知AB＝３，AD＝５，AC＝７，求DAB． 12．已知在ABC中，1:2sin:sinBA，bcbc222，求三内角的大小．《自主学习资源》高中数学必修5第一章－5

必修5第一章 03解三角形班级________________学号__________姓名_______________________ 【单点理解】． 1．在中ABC，BaAbcoscos，则三角形的形状为（）（Ａ）直角三角形（Ｂ）锐角三角形（Ｃ）等腰三角形（Ｄ）等边三角形 2．钝角ABC 的三边长为连续自然数，则这三边长为（）（Ａ）1、2、3、（Ｂ）2、3、4 （Ｃ）3、4、5 （Ｄ）4、5、6 3．在ABC 中，已知角2,22,45bcB，则角C的值有（）（Ａ）0个（Ｂ）1个（Ｃ）2个（Ｄ）无数个 4．在ABC 中，已知,30,36,6Aba则B= _______ ． 5．在ABC 中，若BACBAsinsinsinsinsin222，则C ．【组合掌握】 6．在ABC 中，已知,45,2,3Bba解三角形．

7．在ABC 中，已知193,32,120acbA，求b，c． 8．在ABC 中，已知5:4:6)(:)(:)(accbba，求Acos．《自主学习资源》高中数学必修5第一章－6

9．圆内接四边形ABCD中，45,7,5,3BDCBDADAB，求：（1）A的大小；（2）BC的长．

【综合运用】 10．在ABC中，a比b大２，b比c大２，且最大角的正弦值是23，求c．

11．在ABC中，若22tantanbaBA，试判定ABC的形状． 12．已知一个三角形的三边长是三个连续的正整数，且最大角是最小角的两倍，求最小角的余弦．《自主学习资源》高中数学必修5第一章－7

A B C 图2

 

 a b

B C

A D 图1

必修5第一章 04测量距离班级________________学号__________姓名_______________________ 【单点理解】 1．如图1，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，取mBC6，在C处看桥两端AB，交角60BCA ，则桥AB的长为（）

（A）m12 （B）m6 （C）m36 （Ｄ）m26 2．如图2，A与B之间有一座山，为了测量隧道口AB的长度，测量时应当选择测量（）（A）ba,, （B）a,,

（C）,,ba （D）b,, 3．已知O、A、B在同一水平面上，A在O的北偏东20， B在O的北偏西30，则AOB_____________．

4．在ABC中，AC=5，BC=5，且1019sinA，则Bsin= ． 5．在ABC中，5,8,60cbA，则a= ．【组合掌握】 6．在ABC中，已知30,6,32Aba，求角B、边c．

7．已知两个乡镇A、B到汽车站C的距离都等于km5，其中A在C的北偏东20，B在C的南偏东40，求这两个乡镇A与B的距离．

图3 N

B E C

A 《自主学习资源》高中数学必修5第一章－8

A B C P 图6

B D C 图7

图5 B C D A

8．某海防哨所O发现在它的北偏西30，距离为100米的A处有一艘船，该船向正东方向航行，3分钟后到达哨所东北方向的B处，求这艘船的航速是每小时多少千米？

9．为了测量河宽，现在岸边选取A、B两点，望对岸的目标C，测得45CAB，75CBA，120AB米，求河宽CD的长度．

【综合运用】 10．某工厂在基建中要测定被障碍物隔开的A和P之间的距离，为此在障碍物的两侧选取两点B，C，测得135,120,60,50ACPABPBACmACAB．求A和P之间的距离．

11．隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，同时测得75ACB，45BCD，30ADC，45ADB（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离．

12．某海轮以hkm/30的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B，测得油井P在南偏东30，海轮改为东偏北60的方向再航行80分钟到达C点，求PC间的距离．

B A O 图4

E 《自主学习资源》高中数学必修5第一章－9 必修5第一章 05测量高度

班级________________学号__________姓名_______________________ 【单点理解】 1．如图，斜坡上有一铁塔AB，在塔底B处测得坡底C的俯角为30，已知铁塔高6AB米，斜坡长10BC米，则A与C的距离为（）（A）10米（B）15米（C）12米（D）14米 2．在A处望B的仰角为，从B处望A处的俯角为，则,的关系为（）

（A） （B） （C）90 （D）180 3．有一斜坡长m40，坡顶离地面的高度为m20，则此斜坡的倾斜角． 4．小明由山底沿坡度为45的山坡爬了300米，再爬30的山坡100米到达山顶，则山高为． 4．小明由山底爬到山顶需先爬45的山坡m300，再爬30的山坡m100，则山高为． 5．某大厦离小俊家m60，小俊从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角为45，大厦底部的俯角为30，则该大厦的高度为．【组合掌握】 6．在200米高的山顶A测得山下一塔顶C与塔底B的俯角分别为30，60，求塔高．

7．河对岸有水塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30，向塔前进12米到达D，在D处测得A的仰角为45，求塔高．

A 图2 B C

C 图3 D

C 图1

B A