立体几何基础知识要点
高三立体几何知识点
高三立体几何知识点在高三的几何学习中，立体几何是一个重要的知识点。
通过学习立体几何，学生可以了解立体的性质、结构以及相关的计算方法。
本文将介绍高三立体几何的主要知识点，帮助学生更好地掌握这一部分内容。
一、立体的基本概念立体是指有长度、宽度和高度的物体。
常见的立体有立方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球体等。
1. 立方体：所有的边相等且相互垂直，拥有六个正方形的面。
2. 长方体：所有的面都是矩形，拥有六个矩形的面。
3. 棱柱：顶部和底部相等的平行多边形，侧面是平行四边形。
4. 棱锥：底部是一个多边形，顶部是一个点，侧面是一个锥形。
5. 圆柱：底部是一个圆，顶部也是一个圆，侧面是一个矩形。
6. 圆锥：底部是一个圆，顶部是一个点，侧面是一个锥形。
7. 球体：所有的点到球心的距离都相等，没有平面。
二、立体的性质与关系1. 体积与表面积体积是指立体内部的空间量，表面积是指立体外部各个面的总面积。
不同立体的体积和表面积计算公式不尽相同，通过学习可以熟练运用这些公式进行计算。
2. 三视图与投影在制图和工程设计中，三视图是指一个立体的俯视图、正视图和侧视图。
投影则是指立体物体在不同角度下的二维像。
3. 相交、平行与垂直当两个立体图形相交时，可以通过寻找交线和交点来确定其相交的关系。
平行指两个直线或平面在空间中始终保持相同的方向或距离。
垂直则是指两个直线或平面之间形成的90度角。
三、立体的计算方法1. 体积计算不同立体的体积计算公式不同。
例如，立方体的体积等于边长的立方，长方体的体积等于长乘以宽乘以高，圆柱体的体积等于底面积乘以高等等。
2. 表面积计算不同立体的表面积计算公式也不相同。
例如，立方体的表面积等于六个正方形的面积之和，长方体的表面积等于各个矩形的面积之和，圆柱体的表面积等于底面积加上侧面的面积等等。
3. 相似立体的体积比当两个立体形状相似时，它们的体积比等于对应边长的立方比。
这可以用来快速计算相似立体的体积。
数学立体几何知识点
数学立体几何知识点数学中的立体几何是研究三维空间中的图形特性和性质的分支学科。
本文将从立体几何的基本概念开始，逐步介绍几个重要的知识点和相关应用。
一、点、线、面和体在立体几何中，点、线、面和体是最基本的概念。
点是没有大小和形状的，它只有位置；线由无数个点组成，有长度但没有宽度；面由无数个线段组成，有长度和宽度但没有厚度；体由无数个面组成，有长度、宽度和厚度。
二、平行线和垂直线在平面几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
而垂直线是指两条线段相交时，彼此之间互相垂直的线。
立体几何中，平行线和垂直线的定义也是类似的，只不过考虑的是在三维空间中的情况。
三、立体图形的表面积和体积立体图形的表面积是指该图形所有表面的总面积。
对于常见的立体图形，如长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，可以使用相应的公式来计算其表面积。
而体积则是指该图形所占据的空间的大小，也可以使用相应的公式进行计算。
四、球、圆和圆柱体球是一种特殊的立体图形，它的表面是由无数个等距离于球心的点组成的。
圆是球的一个截面，是在平面上与球边界相交得到的图形。
圆柱体则是由一个圆和与圆平行的矩形面侧面围成的图形。
这三个图形在实际生活中有着广泛的应用。
五、平面与立体的交点在三维空间中，平面和立体可以相交。
当一个平面与一个立体相交时，会形成一条或多条交线。
这些交线可以帮助我们理解立体图形的形状和特征。
同时，通过计算交线的长度和角度等信息，也有助于解决一些实际问题。
六、欧拉定理欧拉定理是立体几何中一个非常重要的定理，它描述了一个立体图形的顶点数、边数和面数之间的关系。
对于简单的凸多面体来说，顶点数加上面数减去边数等于2。
这个定理在计算和分析立体图形时经常被使用。
七、立体几何的实际应用立体几何的知识在生活中有着广泛的应用。
例如，建筑师在设计建筑物时需要考虑空间的利用和结构的稳定性，这就需要运用立体几何的知识。
另外，工程师在设计汽车、飞机等交通工具时也需要考虑几何形状和流体力学等因素。
立体几何的基本知识点总结
立体几何的基本知识点总结立体几何是几何学的一个重要分支，研究物体的形状、大小、位置等特征。
在学习立体几何时，我们需要了解一些基本的知识点。
本文将对立体几何的基本概念、性质、公式等进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 点、线、面和体立体几何研究的对象主要有点、线、面和体。
点是没有大小和形状的，用来表示位置；线是由无限多个点连起来形成的，用来表示长度和方向；面是由无限多条线组成的，具有长度和宽度，用来表示平面；体则是由无限多个面组成的，具有长度、宽度和高度，用来表示立体物体。
2. 四面体、正方体和圆柱体四面体是由四个面组成的立体体，每个面都是一个三角形；正方体是由六个面组成的立体体，每个面都是一个正方形；圆柱体是由一个底面和一个平行于底面的曲面组成的立体体，底面为圆形。
3. 长方体、棱柱和棱锥长方体是由六个矩形面组成的立体体，每个面都有四个直角；棱柱是由两个平行且相等的多边形组成的立体体，这两个多边形分别称为底面和顶面；棱锥是由一个多边形底面和一个顶点连直线并延伸至底面外部的部分组成的立体体。
4. 体积和表面积体积是用来衡量立体体所占空间的大小，常用单位有立方厘米、立方米等；表面积是用来衡量立体体外部所包围的面积，常用单位有平方厘米、平方米等。
不同形状的立体体计算体积和表面积的方法也不同，例如长方形的体积为长乘宽乘高，表面积为底面积的两倍加上侧面积。
5. 平行四边形的性质平行四边形是指有两对边分别平行的四边形，其性质包括：对边相等、对角线互相平分、对角线长度平方等于两条对边长度平方和、对角线互相垂直等。
6. 圆锥的性质圆锥是由一个底面和一个顶点连直线并延伸至底面外部的部分组成的立体体，其性质包括：底面与侧面接触于一条直线上、侧面都是直角三角形、顶点到底面的垂线与底面的切点连线垂直等。
7. 球的性质球是由无数个平行的点组成的立体体，其性质包括：球心到球面上任意一点的距离都相等、球面上任意两点之间的最短距离是球心到这两点连线的长度、球表面积等于4πr²（其中r为半径）、球体积等于4/3πr³等。
立体几何的全部知识点
立体几何的全部知识点立体几何是九年级数学中常见的概念，属于几何学知识，包括三维空间中各种形状和投影，以及它们之间的关系，有助于我们研究物体的结构和代数运算，为物体的准确表达提供帮助。
立体几何的知识点包括：一、定义和符号：（1）体积：体积V是在某一时刻，某一物体的容积所表示的实际大小。
（2）表面积：Surface Area S 是在某一时刻，某一物体的整个表面的面积总和。
（3）立体角：立体角也称为穹顶角，它由三条相交的边组成，表示物体上某一点到其他三面所角度的总和。
（4）体积和表面积的符号分别为V和S。
二、投影：（1）正投影：正投影是指沿着平面对物体进行投影，显示物体的各面的立体效果，物体被投影到平面上，形成新的三维形体。
（2）侧投影：侧投影是把物体投影到平面上，只显示物体上与投影面垂直的一部分，不会显示其上斜角或斜面。
三、变换：（1）平移：平移是把物体移动到新位置，沿着一个给定的方向进行移动。
（2）旋转：旋转是把物体局部或整体移动到新位置，沿着一定角度和指定的锥形旋转。
（1）水平投影：水平投影指通过把物体置于水平平面上来进行投影，表达投影物作为物体的一部分的立体视觉效果。
（3）正交投影：正交投影是将物体的正面以一个给定的垂线作为视轴，把物体投影到一个直角坐标系上，以呈现其真实模样。
(4) 仿射投影：仿射投影是把物体投射到平面上，同时保留物体形状和位置的相对关系，物体经过一个仿射变换，可以在平面上表示一种实体的完整的立体形状。
五、三角形几何：（1）三角形的周长：三角形的周长是指给定三角形的三条边之和。
（3）余弦定理：余弦定理是指在一个三角形中，要么是给定三条边，要么是两条边和夹角之间存在性质，充分表示相应之间关系。
（4）余切定理：余切定理是指在一个三角形中，无论如何，两条边的余切值都是一定的。
（5）三角函数：三角函数是以这三个角的正弦、余弦和正切为变量表示的函数，三角函数可以用来求解复杂的三角形。
高中数学知识点总结立体几何基础
高中数学知识点总结立体几何基础高中数学知识点总结：立体几何基础在高中数学中，立体几何是一个非常重要的内容，它研究的是空间中的物体、形状和位置关系。
掌握立体几何的基础知识对于解题和应用数学都有着重要的作用。
本文将对高中数学中的立体几何基础知识点进行总结。
一、点、线、面和空间1. 点：点是最基本的几何图形，它没有长度、宽度和高度，只有位置。
2. 线：线由无数个点连成，具有长度和方向。
3. 面：面由线围成，具有长度和宽度，两个面之间由边界线分隔。
4. 空间：空间就是由无限个点、线和面组成的。
二、立体的分类1. 多面体：多面体是由多个平面围成的空间图形，它有很多面、边和顶点。
常见的多面体有正方体、长方体、正六面体等。
2. 圆锥体：圆锥体是由一个圆和一个顶点连成的线段，再将这个线段旋转一周形成的。
3. 圆柱体：圆柱体是由两个平行的圆底面和连接两个底面的矩形侧面组成的。
4. 球体：球体由一个圆绕着直径旋转一周形成的。
三、体积和表面积1. 体积：体积用来表示立体图形的容量大小，它的单位是立方厘米（cm³）或立方米（m³）。
不同形状的立体图形计算体积的公式也不同，例如长方体的体积公式为长×宽×高。
2. 表面积：表面积是表示立体图形外部各个面积的总和，它的单位是平方厘米（cm²）或平方米（m²）。
各种立体图形的表面积计算公式不同，例如正方体的表面积公式为6×边长×边长。
四、立体图形的投影1. 正交投影：正交投影是指从不同的方向将物体的投影投射到一个平面上，保持形状和大小不变。
常见的正交投影有俯视图、正视图和侧视图。
2. 斜投影：斜投影是指将物体的投影投射到一个斜面上，通过变换物体的位置和大小来表示形状。
五、相似立体和全等立体1. 相似立体：相似立体是指两个立体图形的形状相似，但大小可以不同。
在相似立体中，对应的边长比例相等，对应的面积比例相等，对应的体积比例相等。
高中数学立体几何知识点总结
高中数学立体几何知识点总结一、引言本文档旨在总结高中数学中立体几何的核心知识点，为学生提供一个复习和学习的参考框架。
立体几何是研究空间物体的形状、大小、位置和相互关系的数学分支，对于培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力具有重要意义。
二、立体几何基础知识1. 点、线、面的基本性质- 点的位置关系：共面、异面- 线的位置关系：平行、相交、异面直线- 面的位置关系：平行、相交2. 平面的基本性质- 平面的基本性质定理- 平面的法向量- 点到平面的距离3. 空间直线的基本性质- 直线的方向向量- 直线的参数方程- 直线与平面的交点三、立体图形的分类与性质1. 多面体- 多面体的定义与分类- 凸多面体的性质- 欧拉公式2. 圆柱、圆锥和球- 圆柱的性质与体积计算- 圆锥的性质与体积计算- 球的性质与体积计算3. 棱柱、棱锥- 棱柱的结构特点与体积计算 - 棱锥的结构特点与体积计算四、空间几何的计算1. 距离与角度的计算- 点间距离公式- 线段间距离公式- 异面直线夹角的计算2. 面积与体积的计算- 三角形面积的计算- 多边形面积的计算- 空间图形的体积计算3. 坐标系中的空间几何- 直角坐标系中点的坐标表示 - 空间直线的对称方程- 空间平面的一般方程五、立体图形的变换1. 对称与投影- 轴对称- 中心对称- 投影与视图2. 几何变换- 平移变换- 旋转变换- 仿射变换六、立体几何的应用1. 实际问题的建模- 空间几何在建筑设计中的应用- 空间几何在工程制图中的作用2. 解决实际问题- 利用立体几何解决包装问题- 利用立体几何优化存储空间七、结论立体几何作为高中数学的重要组成部分，不仅为学生提供了解决实际问题的工具，而且培养了学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
掌握立体几何的基础知识和计算方法对于学生未来的学术和职业生涯都有着重要的意义。
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高中数学立体几何知识点总结
高中数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，研究对象是三维空间中的几何体，包括点、线、面以及体。
在高中数学中，学生需要学习和掌握一系列的立体几何知识点，本文将对这些知识点进行总结。
一、点、线、面的基本概念1. 点：在三维空间中没有长度、宽度和高度，只有位置，用坐标表示。
2. 线：由无数相邻的点组成，没有宽度和高度。
3. 面：由无数相邻的线组成，有长度和宽度，无高度。
二、几何体的分类及特征1. 定义：立体几何中的几何体是由点、线、面组成的，有一定形状和大小的实体。
2. 分类：a. 二面体：只有两个面，如圆柱体、圆锥体等。
b. 三面体：有三个面，如正方体、四面体等。
c. 多面体：有多个面，如五面体、六面体等。
3. 特征：a. 顶点：几何体的尖角，由多个线相交而成。
b. 棱：几何体的边界线段，由多个点相连而成。
c. 面：几何体的表面，由多个线组成。
三、常见几何体的特征与性质在学习几何体的过程中，我们需要掌握一些常见几何体的特征与性质，以下是其中几个重要的例子。
1. 立方体：a. 特征：六个面都是正方形，相邻面之间的角为直角。
b. 性质：对称性强，体积为边长的立方，表面积为6倍的边长的平方。
2. 正方体：a. 特征：六个面都是正方形。
b. 性质：对称性强，体积为边长的立方，表面积为6倍的边长的平方。
3. 圆柱体：a. 特征：两个底面是圆形，侧面是矩形。
b. 性质：体积等于底面积乘以高，表面积等于两个底面积加上侧面矩形的面积。
4. 圆锥体：a. 特征：一个底面是圆形，侧面是三角形。
b. 性质：体积等于底面积乘以高再除以3，表面积等于底面积加上底面到顶点的直线与侧面三角形的面积之和。
四、立体几何的计算方法学习立体几何还需要掌握一些计算方法，包括体积、表面积等的计算。
1. 体积计算：a. 立方体的体积等于边长的立方。
b. 柱体的体积等于底面积乘以高。
c. 圆锥体的体积等于底面积乘以高再除以3。
2. 表面积计算：a. 立方体的表面积等于6倍的边长的平方。
立体几何知识点总结高中
立体几何知识点总结高中
基础概念与公理：
点、线、面的位置关系，如点在线面内、线在面内等。
空间中的两条线可以是平行的、相交的或异面的。
了解并理解立体几何的四个基础公理。
柱、锥、台、球的结构特征：
棱柱：有两个面互相平行，其余各面是四边形，相邻四边形的公共边平行。
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。
了解这些几何体的分类、表示方法以及几何特征。
性质定理：
平行线的性质：线线平行同方向，等角定理进空间。
面面平行的判定与性质：要证面和面平行，面中找出两交线，线面平行若成立，面面平行不用看。
了解并理解垂直线的性质，如两线垂直同一面则相互平行。
空间向量：
向量的加法、减法运算规则。
数乘向量的定义与性质，包括方向的变化。
向量的数量积概念与运算。
空间几何体的表面积与体积：掌握计算柱、锥、台、球等几何体的表面积和体积的公式。
空间几何体的三视图：
了解并能绘制空间几何体的正视图、侧视图和俯视图。
空间角与距离：
掌握计算异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角的方法。
了解并理解计算点到平面、直线到平面等空间距离的方法。
此外，解题过程中的思维方法也是立体几何学习的关键，如发散思维、层层剖析题目提示等技巧在解决立体几何问题时非常重要。
请注意，以上仅为高中立体几何部分知识点的简要总结，具体学习时应结合教材和习题进行深入理解和应用。
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立体几何基础知识要点一、平面.1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
2 .证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
3 .证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
4 .证共面问题一般用落入法或重合法。
5. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.二、空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面α，b与α的关系是相交、平行、在平面α内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a,是夹在两平行平面间的线段，若ba=，则b a,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.12方向相同12方向不相同（二面角的取值范围[)180,0∈θ） （直线与直线所成角(]90,0∈θ） （斜线与平面成角()90,0∈θ） （直线与平面所成角[]90,0∈θ） （向量与向量所成角])180,0[∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. 21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内.（1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面） 三、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.PO Aa●若PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），得不出α⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA.●三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上一、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ， 因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ） 7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图） ⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1图1θθ1θ2图2P αβθM A B O条或者没有.五、棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：ChS=（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l CS1=（1C是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}.{直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.正四棱柱侧面与底面边长相等⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩．．．．形．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分.[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S=（侧面与底l ab c面成的二面角为α）附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.简证：AB⊥CD，AC⊥BD⇒BC⊥AD. 令bACcADaAB===,,得-=⋅⇒=-=-=,，已知()()0,0=-⋅=-⋅cabbca=-⇒c bc a则0=⋅ADBC. B CDiii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'F G H BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=.②球的体积公式：334R V π=.⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高）FEH GB CDAO'Or②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高）③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V底底侧ACDB ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 六、空间向量.1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：①若与共线，与共线，则与共线.（×） [当=时，不成立]②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面] ③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使b a λ=.（×）[与0=b 不成立] ④若a 为非零向量，则00=⋅a .（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(≠a ， ∥的OR充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使λ=.（3）共面向量：若向量使之平行于平面α或在α内，则与α的关系是平行，记作a∥α.（4）①共面向量定理：如果两个向量b a,不共线，则向量P与向量,共面的充要条件是存在实数对x、y使b ya xP+=.②空间任一点．．．O．和不共线三点．．．．．．A．、．B．、．C．，则)1(=++++=zyxOCzOByOAxOP是PABC四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=zyzyzy)1(P、A、B、C四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a,,不共面．．．，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使c zb ya xp++=.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使OC zOByOAxOP++=(这里隐含x+y+z≠1).DOABCD注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,===其 中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用+=即证.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足O P x O A y O B z O C =++，则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b bb b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(用到常用的向量模与向量之间的转化：a a =⇒⋅=)空间两个向量的夹角公式232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n ②.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). ③.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. ④直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量). ⑤利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，则为补角，21,n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos ||||m narc m n θ⋅=或cos ||||m n arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.(4)证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB与平面相交）.A B七．思想方法：1．计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90°方法：①平移法；②补形法.直线与平面所成的角范围：0°≤θ≤90°方法：关键是作垂线，找射影.二面角方法：①定义法,一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. ④射影面积法:S′=S cosθ来计算，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。