2022年高一新生入学考试数学试卷及答案
南雅中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题(答案)
南雅中学高一入学考试参考答案一、基础填空题（每小题5分，共计60分）1、下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是________．A ．B ．C ．D ．答案：D2()201222021π82cos 45tan 452⎛⎫--+-+︒+︒ ⎪⎝⎭=________．答案：1543、将抛物线22y x =向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为________．答案：()2241y x =+-（或221633y x x =++）4、若关于x 的一元二次方程()222340m x x m -++-=有一个根为0，则实数m =________．答案：2-5、在半径为40cm 的⊙O 中，弦AB ＝40cm ，点P 为圆上一动点，则P 到AB 的距离的最大值为cm ．答案：40203+6、如图，在ABC ∆中AC BC =，点D 和E 分别在线段AB 和线段AC 上，且AD AE =，连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若46C ∠=︒，则GAD ∠的度数为______________答案：56.5︒7、设()f n ＝－3n 2＋8n －1，其中n 为整数，则(n)f 的最大值是________．答案：48、设实数,a b 满足：223,4a b a b +=+=，则2222a b b a +=--________．答案：79、估计1e e ππ⋅+ 2.718e ≈）的值应在________．A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间答案：C 10、锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，则B ∠的大小范围是________．答案：3045B ︒<<︒11、若方程()2100x px p ++=>的两根之差为1，则p =________．答案：512、已知2x =-，则()()2311x x x x +-+-=________．答案：15-二、提升填空题（每小题3分，共计24分）13、写出一个满足方程116218821x x x x +-++-+的解，x =________．答案：714x ≤≤范围内任何一个数都行14、,x y 均为正整数，且x y <，则满足方程5x y xy ++=的有序实数对(),x y 有________个？答案：215、设152a -+=，则543221a a a a a +++-+=________．答案：152a =16、如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b 为实数)且f (1)＝2，则(3)(5)(2019)(2021)=(4)(6)(2020)(2022)f f f f f f f f ++++ ________．答案：50517、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A （-1,0）、B （-3,1）、C （-2,3）现将△ABC 绕点A 顺时针．．．旋转90°后得到△11AB C ，然后将△11AB C 绕点1B 逆时针．．．旋转90°后得到△112A B C ，然后将△112A B C 绕点2C 顺时针．．．旋转90°后得到△222A B C ，则此时点2A 的坐标为________．答案：()23-，第17题图第18题图18、图中由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成标号分别为1,2,3,4,5的五个封闭区域，如果区域1的面积等于上下两块区域2和3的面积之和，则这两圆的圆心距为________．答案：219、张阿姨家里有两个小孩，已知其中有一个女孩，那另一个也是女孩的概率是________．答案：1320、m 位九年级的同学一起参加围棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此比赛一场。
2022新高一入学分班考数学试卷12套(含答案)
D．不能确定
α
β
B
D
C
10．如图为由一些边长为 1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是
________ cm2。
正视图 A． 11 B．15
左视图 C．18
俯视图 D．22
第Ⅱ卷（答卷）
二. 填空题（本大题共 5 小题， 小题 4 分，共 20 分）
11．函数 y
形 S3 ，以此类推，则 S2006 为（
A．是矩形但不是菱形； C.既是菱形又是矩形；
） B. 是菱形但不是矩形； D.既非矩形又非菱形.
9．如图 ,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ,∠ABC= .若 10 ，则 的度数是 (
)
A
A．40
B． 50
C． 60
W＝
20 30
2x 1 x
8
1 x 82
82
12
14
8
1 8
x
82
2x
40
1 x 6 6 x 11 12 x 16
化简得
W＝
1 18
x2 x2
14 2x
1
26
x 6 6 x
11
………………10
分
8
1 8
x2
4x
48
12 x 16
①当 W＝ 1 x 2 14 时，∵ x ≥0，函数 y 随着 x 增大而增大，∵1≤ x ≤6 8
4
1
5
2
x
①
2 x 1 6 x
②
由①得：x>-1
由②得： x 4
所以原不等式组的解集为： 1 x 4
湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试卷含答案
所以 .
【小问2详解】
当 时，
当 时，
当 时， .
【小问3详解】
.
,
过点 作 于点 （如图），
因为 为等边三角形，
，
所以 ，
，
，
，
当 时， （舍去） .
当 时， （舍去），
当 时， （舍去），
综上所述，当 为 或 或 时，△MNC为等腰三角形.
19.随着我校选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整 统计图补充完整；
4. ________．
5 已知 ，则 ____________.
6.如图，在 中， ， ， ， ，则 ________.
7.已知 ，求 的值________．
8.如图，边长为20 正方形ABCD中，以BC为直径画一个半圆，直线DE与半圆相切，交AB于E点，则DE=________．
9.不等式 的解集是全体实数，求实数a的取值范围________．
（3）如图③，在△B1C1D1移动过程中，直线D1C1与线段AB交于点N，直线B1C1与线段BD交于点M．是否存在某一时刻t，使△MNC为等腰三角形，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.【答案】8.5
2.【答案】
3.【答案】3
4.【答案】
5.【答案】12
6.【答案】70°
21.如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
2022届秋季高一新生开学分班考试精选数学试卷(全国)05(解析版)
2022届秋季高一新生入学分班考试数学试卷（全国）05一、选择题1．6的相反数为()A．-6B．6C．16D．16【参考答案】A6的相反数为：﹣6．故选A.2．掷一枚质地均匀的硬币6次，下列说法正确的是( )A．必有3次正面朝上B．可能有3次正面朝上C．至少有1次正面朝上D．不可能有6次正面朝上【参考答案】B解：掷硬币问题，正、反面朝上的次数属于随机事件，不是确定事件，故A,C,D错误.故选：B．3．如图所示的几何体的从左面看到的图形为（）A．B．C．D．【参考答案】D从左面看是两个矩形，故选：D ．4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo 进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．【参考答案】A解：A.是中心对称图形，符合题意；B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；C. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； 故选A ．5．（﹣xy 3）2的计算结果是（ ） A ．xy 5 B ．x 2y 6C ．﹣x 2y 6D ．x 2y 5【参考答案】B根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可． 解：原式=x 2y 6． 故选B ．6．已知三点(),a m 、(),b n 和(),c t 都在反比例函数2021y x=的图像上，若0a b c <<<，则m 、n 和t 的大小关系是（ ） A ．t n m << B ．t m n <<C ．m t nD ．m n t <<【参考答案】C 反比例函数2021y x=图象分布在第一、三象限， 且在每个分支，y 随x 的增大而减小，0a b c <<<，∴m t n ． 故选：C ．7．小明用刻度不超过100°C的温度计来估计某食用油的沸点温度，将该食用油倒入锅中，均匀加热，每隔10 s测量一次锅中的油温，得到如下数据：当加热100s时，油沸腾了，则小明估计这种油的沸点温度是（）A．150°C B．170°C C．190°C D．210°C【参考答案】D解：由表中数据可知油温y随着时间t的增长而匀速增长，设y=kt+b，将（0，10），（10，30）代入，10 3010bk b=⎧⎨=+⎩，解得：210kb=⎧⎨=⎩，∴y=2t+10，当t=100时，代入，y=210，这种油的沸点温度是210°，故选D.8．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．12B．14C．16D．112【参考答案】C解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，∴两次都摸到白球的概率是：21 126=．故参考答案为C．9．如图，AB 为O 的直径，以OB 为斜边作等腰Rt OBD △，连接AD 交O 于点E ．若10AB =．则DE 的长为（ ）A ．3B ．C ．2D ．2【参考答案】D解：连接BE ，过D 作DM AB ⊥于M ，∵10AB =， ∴5OB OA ==，∵BDO ∆是等腰直角三角形（90BDO ∠=︒），⊥DM OB ，∴1522OM BM OB ===， ∴1522DM OB ==，由勾股定理得：222DB OB =， ∵5OB =，∴2DB =，在Rt AMD ∆中，由勾股定理得：AD ===， ∵AB 是O 的直径，∴90E ∠=︒，设DE x =，BE y =，在Rt BED ∆中，由勾股定理得：222DE BE BD +=，即222252x y +==⎝⎭①，在Rt BEA ∆中，由勾股定理得：222AE BE AB +=，即222101002x y ⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭②，②-①得：2510022150+=-，解得：x =，即DE =故选：D ．10．方程有无实数解，可以通过构造函数，利用函数图象有无交点来判断．一元三次方程3210x x ++=的实数解的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【参考答案】B一元三次方程3210x x ++=，可构造成321x x =--.再画出y=3x 与y=21x --的图像，得到函数图像交点由1个，即．一元三次方程3210x x ++=的实数解有1个.所以，参考答案选B.二、填空题11．若23x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______． 【参考答案】3x ≠ 解：23x -在实数范围内有意义， 故x -3≠0， 解得：x ≠3． 故参考答案为：x ≠3．12．若2a b +=，则222a ab b ++=______． 【参考答案】4 ∵2a b +=，∴222a ab b ++=（a +b ）2=22=4． 故参考答案为：413．如图所示，若用半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是______．【参考答案】2解：设圆锥的底面半径为r ， 由题意得，12062180r ππ⨯=，解得，r =2， 故参考答案为：2． 14．方程2142x x =+-的解为______． 【参考答案】8x =解：去分母得：2（x-2）＝x +4， 解得：x ＝8，经检验x ＝8是分式方程的解． 故参考答案为：x ＝815．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，1cos 2C =，10AB =，6AC =，则BC 的长为______．【参考答案】3+解：在Rt △ADC 中，CD ＝cos C ×AC 12=AC 162=⨯=3，∴AD ==在Rt △ADB 中，BD ==∴BC ＝CD +BD ＝3故参考答案为：316．如图，在平面直角坐标系中，直线l 为正比例函数y x =的图像，点1A 的坐标为(1，0)，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1D ，以11A D 为边作正方形1111D C B A ；过点1C 作直线l 的垂线，垂足为2A ，交x 轴于点2B ，以22A B 为边作正方形2222A B C D ；过点2C 作x 轴的垂线，垂足为3A ，交直线l 于点3D ，以33A D 为边作正方形3333A B C D ，…，按此规律操作下所得到的正方形2021202120212021A B C D 的面积是______．【参考答案】202092⎛⎫ ⎪⎝⎭解：∵直线l 为正比例函数y =x 的图象， ∴∠D 1OA 1=45°， ∴D 1A 1=OA 1=1，∴正方形A 1B 1C 1D 1的面积=1=（92）1-1，由勾股定理得，OD 1，D 1A 2=2，∴A 2B 2=A 2O =2，∴正方形A 2B 2C 2D 2的面积=92=（92）2-1， 同理，A 3D 3=OA 3=92， ∴正方形A 3B 3C 3D 3的面积=814=（92）3-1， …由规律可知，正方形A n B n C n D n 的面积=（92）n -1， ∴正方形2021202120212021A B C D 的面积是202092⎛⎫ ⎪⎝⎭．故参考答案为：202092⎛⎫ ⎪⎝⎭．三、解答题17．如图，已知 //AB CD ，AE 平分BAD ∠，DF 平分ADC ∠，EF 交 AD 于点 O ， 求证E F ∠∠＝．【参考答案】详见题目解析 证明：∵//AB CD ∴BAD ADC ∠∠＝∵AE 平分BAD ∠，DF 平分ADC ∠ ∴12EAD BAD ∠=∠，12FDA ADC ∠=∠ ∴EAD FDA ∠∠＝∴//AE FD ∴E F ∠∠＝． 18．解不等式组32215x x +>⎧⎨+≤⎩①②请结合解题过程，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_______________； （2）解不等式①，得_______________； （3）把不等式①和①的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为______________．【参考答案】（1）1x >-；（2）2x ≤；（3）见题目解析；（4）12x -<≤ 解：（1）解不等式①，得1x >-； （2）解不等式②，得2x ≤； （3）数轴上表示如下：（4）原不等式组的解集为12x -<．19．某学校为了解九年级男同学1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，绘制了不完整的成绩等级频数表和扇形统计图．（1）表中a＝，b＝；（2）扇形图中C的圆心角度数是；（3）若该校共有九年级男生600人，请估计没有获得A等级的学生人数．【参考答案】（1）40，4；（2）36°；（3）没有获得A等级的学生人数是240人．（1）抽取的学生数是：10÷25%＝40（人），即a＝40；则b＝40﹣24﹣10﹣2＝4（人）；故参考答案为：40，4；（2）扇形图中C的圆心角度数是：360°×440＝36°；故参考答案为：36°；（3）根据题意得：600×402440-＝240（人），答：没有获得A等级的学生人数是240人．20．在下列正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．并回答下列问题：（1）直接写出ABC的形状；（2）如图，在AB上求作点D，使CD平分ACB∠；（3）如图，在AB上求作点P，使:4:3AP BP=；再作点P关于AC的对称点Q．【参考答案】（1）直角三角形；（2）见题目解析；（3）见题目解析解：（1）∵AB =，221310BC ，AC ==，∴222AB AC BC =+， ∴90ACB ∠=︒， ∴ACB ∆是直角三角形．（2）如图1中，射线CD 即为所求作．（3）如图2中，点P ，点Q 即为所求作．．21．某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：方案A ：若单独投资燃油汽车时，则所获利润1w （千万元）与投资金额x （千万元）之间存在正比例函数关系例1w kx =，并且当投资2千万元时，可获利润0.8千万元；方案B ：若单独投资新能源汽车时，则所获利润2w （千万元）与投资金额x （千万元）之间存在二次函数关系：22w ax bx =+，并且当投资1千万元时，可获利润1.4千万元；当投资3千万元时，可获利润3千万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5千万元，求此时该公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？（3）如果公司对燃油汽车投资x 千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4千万元，直接写出x 的取值范围．【参考答案】（1）10.4w x =，220.2 1.6w x x =-+；（2）该公司对这两种汽车的投资金额均为5千万元；（3）2 2.25x ≤≤解：（1）由题意可得，当2x =时，10.8w =，代入1w kx =得，0.82k =，解得0.4k =，∴正比例函数的表达式为10.4w x =．当1x =时，2 1.4w =；当3x =时，23w =，代入22w ax bx =+，得： 1.4933a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴0.21.6a b =-⎧⎨=⎩，∴二次函数表达式为220.2 1.6w x x =-+； （2）根据题意得：125w w +=， ∴()20.40.2 1.65x x x +-+=， ∴20.2250x x -+-=， 解得：125x x ==．∴该公司对这两种汽车的投资金额均为5千万元；（3）设该公司对燃油汽车投资x 千万元，对新能源汽车投资2x 千万元， 则()2220.22 1.620.8 3.2w x x x x =-+⨯=-+，根据题意得：12360%w w x +⨯≥， ∴()20.40.8 3.2360%x x x x +-+⨯≥， ∴20.8 3.6 1.8x x x -+≥， ∴0 2.25x ≤≤；∵获得总利润为不低于4千万元， ∴20.8 3.640x x -+-≥， ∴2 2.5x ≤≤．综上所述，x 的取值范围是2 2.25x ≤≤． 22．已知，AB 为O 的直径，PA ，PC 是O 的的切线，切点分别为A ，C ，过点C 作//CD AB 交O 于D ．（1）如图，当P ，D ，O 共线时，若半径为r ，求证CD r =；（2）如图，当P ，D ，O 不共线时，若2DE =，8CE =，求tan POA ∠．【参考答案】（1）见题目解析；（2（1）证明：连接OC ，∵PA ，PC 是O 的切线，切点分别为A ，C ，∴PA PC =，90PAO PCO ∠=∠=︒， 在Rt PAO ∆和Rt PCO ∆中，PA PCPO PO=⎧⎨=⎩， ∴()Rt PAO Rt PCO HL ∆∆≌， ∴POA POC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴CDO DOA ∠=∠， ∴CDO COD ∠=∠， ∴CD OC r ==；（2）解：设OP 交CD 于E ，连接OC ，过O 作OH CD ⊥于点H ， 由（1）可知，Rt PAO Rt PCO ∆∆≌， ∴POA POC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴CEO EOA ∠=∠， ∴CEO COE ∠=∠， ∴8CE CO ==，∴10CD CE ED =+=， ∵OH CD ⊥ ∴5CH DH ==， ∴3EH DH DE =-=， 在Rt CHO 中，∴OH == 在Rt OHE 中，∴tan tan OH POA HEO EH ∠=∠==∴tan POA ∠=． 23．已知，在ABC 中点，E 在AB 上，点D 在AC 上，CE 与BD 交于点F ，180BEC BDC ∠+∠=︒．（1）如图，若AB AC =，52A ∠=︒，BE CD =，则FBC ∠=____________①；（直接写出参考答案）（2）如图，若BF AC =，求证：BE EC =；（3）如图，若60A ∠=︒，BC =E 为AB 的中点，则CE 的最小值为_______________．（直接写出参考答案）【参考答案】（1）26；（2）见题目解析；（3）3 解：（1）∵AB AC =，则1218064ABC ACBA ，在CBE ∆和BCD ∆中，ABC ACB BE CDCB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()CBE BCD SAS ∆∆≌， ∴BEC BDC ∠=∠， 而180BEC BDC ∠+∠=︒， ∴90BEC BDC ADB ∠=∠=︒=∠， 则90906426FBCACB ，故参考答案为：26；（2）在AB 上取点G 使CG CA =，则A AGC ∠=∠，∵BEC A ACE ∠=∠+∠，180BDC EAC DFC BDC EAC EFB ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒， ∴180BDC BEC EFB FCD A AEC ∠+∠+∠+∠=︒+∠+∠， ∵180BEC BDC ∠+∠=︒， ∴A EFB GFC ∠=∠=∠， ∵CG CA =，BF AC =， ∴CG BF =，在CEG ∆和BEF ∆中，CG BF BEC GEC EFB GFC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴()CEG BEF AAS ∆∆≌， ∴CE BE =；高考复习试卷资料（3）作ABC ∆为外接圆O ，过点O 作OH BC ⊥于点H ，连接OB 、OC ，则2260AOC BAC ∠=∠=⨯︒，则60BOH ∠=︒，则12BH BC ==在Rt BOH ∆中，60BOH ∠=︒，BH =6BO =，3OH =， 取BO 的中点F 作圆F ，交AB 于点E ，设圆F 的半径为r ，则3r =， ∵90OHB ∠=︒，故点H 在圆F 上，当点C 、'E 、F 三点共线时，()'CE CE 的长度最小， 过点F 作FD BC ⊥于点D ，则1122DH BH CH ==， 则1322DF OH ==，∴3324CD DH CH CH BC =+===，∴CF ===则CE 的最小值为'3CE CF r =-=．故参考答案为：3． 24．抛物线213222y x x =+-与x 轴交于点A ，B （A 在B 左边），与y 轴交于点C ． （1）直接写出A ，B ，C 点的坐标；（2）如图，在第三象限的抛物线上求点P ，使CAP CAO ∠=∠；高考复习试卷资料（3）如图，点M 为第一象限的抛物线上的一点，过点B 作//BN AM 交抛物线于另一点N ，MN 交x 轴于点E ，且满足:9:4AME BNE S S =△△，求MN 的题目解析式．【参考答案】（1）点A 、B 、C 的坐标分别为()4,0-、()1,0、()0,2-；（2）点P 的坐标为528,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）1y x =+ 解：（1）对于213222y x x =+-，令2132022y x x =+-=，解得4x =-或1，令0x =，则2y =-， 故点A 、B 、C 的坐标分别为()4,0-、()1,0、()0,2-； （2）延长AP 交y 轴于点H ，过点C 作//CN AP 交x 轴于点N ，∵//CN AP ， ∴NCA CAP ∠=∠，高考复习试卷资料∵CAP CAO ∠=∠， ∴CAO NCA ∠=∠，∴AN CN =，设ON x =，则4AN CN x ==-， 在Rt ONC ∆中，2OC =，ON x =，4CN x =-， 由勾股定理得：()22242x x -=+，解得 1.5x =； ∴24tan 1.53OC ONC ON ∠===， ∵//CN AP ，故设直线AP 的表达式为43y x t =-+， 将点A 的坐标代入上式得：()443y x =-+， 联立()244313222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得 ：53289x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（不合题意的值已舍去），故点P 的坐标为528,39⎛⎫--⎪⎝⎭； （3）过点M 、N 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、T ，∵//AM BN ， ∴NEB MEA ∆∆∽， ∵:9:4AME BNE S S ∆∆=，∴NEB ∆和MEA ∆相似比为2：3， 即32ME EN AE BE ==:::， ∵5AB =， ∴3AE =，即：()1,0E-，高考复习试卷资料∵//MS TN ， ∴MES NET ∆∆∽，∴:3:2ES ET ME EN ==:，∴()()3::2M E E N x x x x --=，即()()1:13:2M N x x +--=， 由点A 、M 的坐标得，直线AM 的表达式为()4y k x =+，联立()2413222y k x y x x ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩可得：()232480x k x k +---=，故23A M x x k +=-， 同理可得，直线BN 的表达式为()1y k x =-， 同理可得，23B N x x k +=-， ∵A x =-4，B x =1， ∴5M N x x -=，又∵()()1:13:2M N x x +--=，解得2M x =，3N x =-， ∴点M 、N 的坐标分别为()2,3、()3,2--，由M 、N 的坐标得，直线MN 的表达式为：1y x =+．。
2022年高一入学分班考试数学试卷附答案和解析
2022年高一入学分班考试数学试卷1. 命题“∀x ∈R ，x 2−x +5≥0”的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2−x +5<0B. ∃x ∈R ，x 2−x +5≥0C. ∀x ∈R ，x 2−x +5>0D. ∃x ∈R ，x 2−x +5<0 2. sin15∘sin105∘的值是( )A. −14B. 14C. √34D. −√34 3. 若{x|2<x <3}为x 2+ax +b <0的解集，则bx 2+ax +1>0的解集为( ) A. {x|x <2或x >3}B. {x|2<x <3}C. {x|13<x <12}D. {x|x <13或x >12} 4. 已知a =log 52，b =log 0.50.2，c =0.50.2，则a,b,c 的大小关系为.( ) A. a <c <b B. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b 5. 已如a >0且a ≠1，则“log a 34<1”是“a >1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数f(x)=cos 2(x −π12)+sin 2(x +π12)−1，则f(x)是( ) A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数 7. 已知函数f(x)=2x +x +2，g(x)=log 2x +x +2，ℎ(x)=x 3+x +2的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为( ) A. b >c >aB. c >a >bC. b >a >cD. a >b >c 8. 已知角α,β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点(2,1)，cos (α+β)=45，且β∈(0,π2)，则sin β=( )A. √525B. √55C. 2√525D. 2√559. 下列函数是奇函数的是( )A. y =xsinxB. y =−cos2xC. y =2x −12xD. y =lg(√x 2+1+x) 10. 已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是( ) A. tan(π6−α)=tan(5π6+α)B. sin(π3+α)=cos(α−π6)C. tan 2αsin 2α=tan 2α−sin 2αD. sin 4α−cos 4α=2sin 2α−111. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则( )A. ω=2B. φ=−π3C. f(x)的单调递减区间为[−π12+2kπ,5π12+2kπ](k ∈Z)D. f(x)图象的对称轴方程为x =−π12+kπ2(k ∈Z) 12. 已知函数f(x)=12(cos x +|cos x|)，则下列说法正确的是( )A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)为偶函数C. f(x)的值域为[12,1]D. f[f(x)]>12恒成立 13. 函数y =(12)x2−2x+2的值域是__________. 14. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=__________.15. 已知a >0,b >0,lga +lgb =lg(a +2b)，则2a +b 的最小值为__________.16. 已知函数f(x)=2x 2x−1+3sin (x −12)+12，则f(12021)+f(22021)+⋯+f(20202021)的值为__________，函数f(x)图象关于__________对称．17. 设函数f(x)=e x −1e x +1，g(x)=ln 1+x 1−x .(1)求f(x)的单调性与值域；(2)证明：f(g(x))=g(f(x))=x.18. 设函数f(x)=cos x ⋅cos (x −π6)+√3sin 2x −3√34. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[π12,π2]时，求函数f(x)的最大值和最小值．19.中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本x2+40x(万元)；当年产量不少于80台时c(x)= c(x)(万元)，当年产量不足80台时c(x)=12−2180(万元).若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子101x+8100x设备能全部售完．(I)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；(II)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中获利最大？20.已知函数f(x)=sin2x+cosx−a.(1)求f(x)在[π,π]上的值域；2,π]，使得g(x1)=f(x2)，(2)当a>0时，已知g(x)=alog2(x+3)−2，若∀x1∈[1,5],∃x2∈[π2求a的取值范围.21.游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心O距离地面40.5m，半径40m(示意图如下)，游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后30分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，(1)求出其与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；(2)若距离地面高度超过20.5m时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？22.设函数f(x)=k⋅2x−2−x是定义在R上的奇函数．(1)求k的值；(2)若不等式f(x)>a⋅2x−1有解，求实数a的取值范围；(3)设g(x)=4x+4−x−4f(x)，求g(x)在[1,+∞)上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题.命题是全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题来解决．【解答】解：命题“∀x∈R，x2−x+5≥0”的否定是∃x∈R，x2−x+5<0.故选：D.2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数的二倍角公式和诱导公式，属于基础题.先通过诱导公式化简，再由正弦函数的二倍角公式可得答案.【解答】解：由二倍角公式和诱导公式得，sin15∘sin105∘=sin15∘cos15∘=12sin30∘=1 4.故选：B.3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，根据条件求出a，b的值是解决本题的关键，属于基础题．根据不等式的解集得到2，3是对应方程的两个根，利用韦达定理求出a，b的值，即可解所求不等式的解．【解答】解：∵x 2+ax +b <0的解集为{x|2<x <3}，∴2，3是对应方程x 2+ax +b =0的两个根，∴{2+3=−a 2×3=b， 解得a =−5，b =6，则bx 2+ax +1>0等价为6x 2−5x +1>0，即(2x −1)(3x −1)>0，解得x <13或x >12，即不等式的解集为{x|x <13或x >12}.故选：D.4.【答案】A【解析】【分析】本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题．关键是理解指数函数，与对数函数的性质，以及12=0.51<0.50.2<0.50=1，即可得解.【解答】解：a =log 52<log 5√5=12，b =log 0.50.2>log 0.50.25=2，12=0.51<0.50.2<0.50=1. 故12<c <1，所以a <c <b.故选：A.5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合对数函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题．根据对数函数的单调性，讨论a 的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a >1时，y =log a x 在定义域内单调递增，若log a 34<1可得a >1当0<a <1时，y =log a x 在定义域内单调递减，log a34<1，可得0<a<34，综上可得必要性成立，充分性不成立，即a>0且a≠1，则“log a34<1”是“a>1”的必要不充分条件.故选：B.6.【答案】A【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦公式、两角和与差的余弦公式、以及三角函数的周期性和奇偶性，属于中档题.首先化简得y=12sin2x，故周期为T=2π2=π且函数可判断出为奇函数，题目得解.【解答】解：y=cos2(x−π12)+sin2(x+π12)−1=1+cos(2x−π6)2+1−cos(2x+π6)2−1=12cos(2x−π6)−12cos(2x+π6)=12[(cos2xcosπ6+sin2xsinπ6)−(cos2xcosπ6−sin2xsinπ6)]=12sin2x，周期为T=2π2=π；令y=f(x)，则f(x)=12sin2x，函数定义域为R，显然关于原点对称，又f(−x)=−12sin2x=−f(x)，故函数为奇函数.综上函数为周期为π的奇函数.故选：A.7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数零点的求解和判断，属于中档题．利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f(x)=2x +x +2=0得2x =−x −2，g(x)=log 2x +x +2=0得log 2x =−x −2，ℎ(x)=x 3+x +2=0得x 3=−x −2，分别作出函数y =2x ，y =log 2x ，y =x 3和y =−x −2的图象如图，由图象知a <c <b ，故选：A.8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义以及两角和与差的三角函数公式，属于中档题. 利用三角函数的定义求出sin α和cos α的值，再结合cos (α+β)=45可得α+β为第一象限角，sin (α+β)=35，sin β=sin [(α+β)−α]利用两角差的正弦公式展开即可求解.【解答】解：因为角α的终边过点(2,1)，所以α是第一象限角，所以sin α=√2+1=√55， cos α=√2+1=2√55，因为β∈(0,π2)，cos (α+β)=45，所以α+β为第一象限角，所以sin (α+β)=√1−(45)2=35，所以sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=35×2√55−45×√55=2√525，故选：C.9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.在定义域关于原点对称的前提下，判断f(−x)与f(x)的关系，相反就是奇函数．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R ，对于A ，−xsin (−x )=xsinx ，所以为偶函数；对于B ，−cos (−2x )=−cos2x ，是偶函数；对于C ，2−x −12−x =−(2x −12x)，是奇函数； 对于D ，lg (√(−x )2+1−x)=√x 2+1+x=−lg(√x 2+1+x)，是奇函数.故选：CD.10.【答案】BD【解析】解：对于A ，α=π3时，左侧<0，右侧>0，所以A 不正确；对于B ，sin(π3+α)=cos(π3+α−π2)=cos(α−π6)，所以B 正确； 对于C ，α=π3时，左侧=94，右侧=32，所以C 不正确；对于D ，sin 4α−cos 4α=(sin 2α−cos 2α)(sin 2α+cos 2α)=−cos2α=2sin 2α−1，所以D 正确； 故选：BD.特例判断A 、C 的正误；利用诱导公式判断B 的正误；二倍角公式判断D 的正误即可． 本题考查三角恒等式的判断，二倍角公式以及诱导公式的应用，是基础题．11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题. 利用已知图象和正弦型函数的性质逐个判断即可.【解答】解：由图可得：A =2且34T =11π12−π6=3π4， ∴T =π，则ω=2πT =2，A 正确. 由f(11π12)=2sin(11π6+φ)=2，则11π6+φ=5π2+2kπ(k ∈Z)，得φ=2π3+2kπ(k ∈Z)，又|φ|<π，则φ=2π3，B 错误. 综上，有f(x)=2sin(2x +2π3)， 由π2+2kπ≤2x +2π3≤3π2+2kπ，(k ∈Z)， 得−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ(k ∈Z)，C 错误. 由2x +2π3=π2+kπ(k ∈Z)，得x =−π12+kπ2(k ∈Z)，D 正确. 故选：AD.12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象的性质的应用，属于中档题． 去绝对值，化为分段函数，画出函数的图象，即可判断．【解答】解：f(x)=12(cosx +|cosx|) ={12(cosx +cosx ),cosx ≥012(cosx −cosx ),cosx <0 ={cosx,cosx ≥00,cosx <0作出函数f(x)的大致图象如下所示，由图知，最小正周期T =2π，即A 正确; f(x)是偶函数，即B 正确; f(x)的值域为[0,1]，即C 错误; 令t =f(x)，则0≤t ≤1<π3，所以函数f[f(x)]=f(t)=cost 在[0,1]上单调递减，所以f(t)≥f(t)min =f(1)>f(π3)=cos π3=12， 即D 正确. 故选：ABD.13.【答案】(0,12]【解析】 【分析】本题考查与指数函数有关的复合函数的值域的求法，属于基础题． 利用配方法求出指数的范围，再由指数函数的单调性求得答案. 【解答】解：∵x 2−2x +2=(x −1)2+1≥1， ∴0<(12)x 2−2x+2≤12，∴函数y =(12)x 2−2x+2的值域是(0,12]. 故答案为(0,12].14.【答案】−725【解析】 【分析】本题主要考查二倍角公式和正余弦函数的诱导公式，是基础题. 根据cos (π2−2α)=cos[2×(π4−α)]可以得出答案. 【解答】解：因为cos(π4−α)=35，所以cos(π2−2α)=cos[2×(π4−α)]=2cos2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725，所以sin2α=cos(π2−2α)=−725.故答案为−725.15.【答案】9【解析】【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题. 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a>0，b>0，lga+lgb=lgab=lg(a+2b)，∴ab=a+2b即1b +2a=1，则2a+b=(2a+b)(1b +2a)=5+2ab +2ba≥5+4=9，当且仅当2ab =2ba且1b+2a=1，即a=b=3时取等号，此时最小值为9.故答案为：916.【答案】3030(1 2, 3 2)【解析】【分析】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查倒序相加法求和，属于中档题．推导出f(x)+f(1−x)=3，由此能求出f(12021)+f(22021)+f(32021)+⋯+f(20202021)的值．【解答】解：∵函数f(x)=2x2x−1+3sin (x −12)+12，∴f(x)+f(1−x)=2x 2x −1+3sin(x −12)+12+2−2x 1−2x +3sin(12−x)+12 =2x 2x −1+2−2x 1−2x +1 =2x 2x −1+2x −22x −1+1 =4x −22x −1+1 =3， 则f(12021)+f(22021)+f(32021)+⋯+f(20202021) =12×2020×3=3030；由f(x)+f(1−x)=3可知函数图象关于(12,32)对称． 故答案为3030；(12,32).17.【答案】解：(1)易得f(x)=e x −1e x +1=1+−2e x +1. 因为函数y =e x +1在R 上单调递增且值域为(1,+∞)， 函数y =−2x 在(1,+∞)上单调递增且值域为(−2,0)， 故f(x)在R 上单调递增，且值域为(−1,1)； (2)证明：f(g(x))=eln 1+x1−x−1e ln 1+x 1−x+1=1+x1−x −11+x 1−x +1=x. g(f(x))=ln1+e x −1e x +11−e x −1e x +1=ln 2e x 2=lne x =x ，∴f(g(x))=g(f(x))=x 成立.【解析】本题主要考查函数的单调性和值域问题，属于中档题.(1)由f(x)=e x −1e x +1可得f(x)=1+−2e x +1，即可得出函数的单调性和值域； (2)直接代入计算即可求解此题.18.【答案】解：(1)f(x)=cosx ⋅cos(x −π6)+√3sin 2x −3√34=cosx(√32cosx +12sinx)+√3(1−cos 2x)−3√34=12sinxcosx −√32cos 2x +√34 =14sin2x −√34cos2x =12sin(2x −π3)，所以f(x)的最小正周期是T =2π2=π，由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ， 解得−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间为 [−π12+kπ,5π12+kπ]，k ∈Z. (2)当x ∈[π12,π2]时，2x −π3∈[−π6,2π3]， 此时sin(2x −π3)∈[−12,1]， 可得f(x)∈[−14,12]，综上，f(x)最大值为12，最小值为−14.【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=12sin(2x −π3)，利用正弦函数的周期公式可求f(x)的最小正周期，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间； (2)由已知可求2x −π3∈[−π6,2π3]，利用正弦函数的性质即可求解．19.【答案】解：(Ⅰ)当0<x <80时，y =100x −(12x 2+40x)−500=−12x 2+60x −500， 当x ≥80时，y =100x −(101x +8100x−2180)−500 =1680−(x +8100x )，于是y ={−12x 2+60x −500,0<x <801680−(x +8100x ),x ≥80x ∈N. (Ⅰ)由(Ⅰ)可知当0<x <80时，y =−12(x −60)2+1300，此时当x =60时y 取得最大值为1300(万元)， 当x ≥80时，y =1680−(x +8100x) ≤1680−2√x ⋅8100x =1500，当且仅当x =8100x 即x =90时y 取最大值为1500(万元)，综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【解析】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题． (Ⅰ)通过利润=销售收入-成本，分0<x <80、x ≥80两种情况讨论即可；(Ⅰ)通过(Ⅰ)配方可知当0<x <80时，当x =60时y 取得最大值为1300(万元)，利用基本不等式可知当x ≥80时，当x =90时y 取最大值为1500(万元)，比较即得结论．20.【答案】解：(1)当f(x)=1−cos 2x +cosx −a =−cos 2x +cosx +1−a,x ∈[π2,π]， 令t =cosx ，t ∈[−1,0]，则，f(t)=−t 2+t +1−a =−(t −12)2+54−a, 由于函数y =−(t −12)2+54−a 在[−1,0]上单调递增，故当t =−1时，y 取得最小值−1−a ； 当t =0时，y 取得最大值1−a, ∴f(x)的值域为[−1−a,1−a ]；(2)设f (x )的值域为集合A,g(x)的值域为集合B ， 则依题意有B ⊆A ，f(x)=−cos 2x +cos x +1−a,x ∈[π2,π]， 由(1)知：A =[−1−a,1−a], g(x)=alog 2(x +3)−2，又a >0，所以g (x )在[1,5]上单调递增， 当x =1时，g(x)min =2a −2； 当x =5时，g(x)max =3a −2; ∴B =[2a −2,3a −2]，由B ⊆A 得：{2a −2≥−1−a3a −2≤1−a a >0⇒13≤a ≤34,∴a 的取值范围是[13,34].【解析】本题考查函数的值域以及全称量词命题和存在量词命题，考查等价转换思想，属于难题. (1)将f (x )化为关于cosx 的类二次函数，结合换元法和二次函数性质可求f (x )在[π2,π]上的值域； (2)设f (x )的值域为集合A,g (x )的值域为集合B ，可等价转化为B ⊆A ，求得对应值域，由B ⊆A 建立不等式可求a 的取值范围.21.【答案】解：(1)设ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+b(A >0,ω>0)， 则A =40，b =40.5，所以ℎ(t)=40sin(ωt +φ)+40.5(ω>0)， 第一次到最高点旋转了半周期， 所以T =60min ⇒ω=2πT=π30(rad/min)， 游客从最低点登上，所以φ=−π2，故ℎ(t)=40sin(π30t −π2)+40.5(t ≥0)， (或ℎ(t)=−40cos π30t +40.5(t ≥0)).(2)令ℎ(t)>20.5，则40sin(π30t −π2)+40.5>20.5 ⇒sin(π30t −π2)>−12(或cosπt 30<12)，所以−π6+2kπ<π30t −π2<7π6+2kπ ⇒π3+2kπ<π30t <5π3+2kπ(k ∈Z)，⇒10+60k <t <50+60k ，k ∈Z ， 所以(50+60k)−(10+60k)=40min ， 因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中， 该游客大约有40min 最佳观景时间.【解析】本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题.(1)设ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+b(A >0,ω>0)，根据已知条件求出A 、ω、φ的值，可得出函数ℎ(t)的解析式;(2)解不等式ℎ(t)>20.5，即可得解.22.【答案】解：(1)因为f(x)=k ⋅2x −2−x 是定义域为R 上的奇函数， 所以f(0)=0，所以k −1=0，解得k =1， f(x)=2x −2−x ，当k =1时，f(−x)=2−x −2x =−f(x)， 所以f(x)为奇函数， 故k =1；(2)f(x)>a ⋅2x −1有解， 所以a <−(12x )2+(12x )+1有解， 所以a <[−(12x )2+(12x )+1]max ， 因为−(12x )2+(12x )+1 =−(12x −12)2+54≤54，(x =1时，等号成立)，所以a <54；(3)g(x)=4x +4−x −4f(x)， 即g(x)=4x +4−x −4(2x −2−x )，可令t =2x −2−x ，可得函数t 在[1,+∞)递增，即t >32， t 2=4x +4−x −2，可得函数ℎ(t)=t 2−4t +2，t >32， 由g(t)的对称轴为t =2>32， 可得t =2时，g(t)取得最小值−2， 此时2=2x −2−x ，解得x =log 2(1+√2)， 则g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2， 此时x =log 2(1+√2).【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查参数分离和换元法，以及转化思想和运算能力，属于难题．(1)由f(x)为R 上的奇函数，可得f(0)=0，可得k ；(2)由题意可得a <−(12x )2+(12x )+1有解，即a <[−(12x )2+(12x )+1]max ，运用配方和指数函数的单调性可得最大值，即可得到所求a 的范围；(3)可令t =2x −2−x ，求得t >32，即有t 2=4x +4−x −2，可得函数ℎ(t)=t 2−4t +2，t >32，有二次函数的最值求法，可得所求．。
2022届秋季高一新生开学分班考试精选数学试卷(全国)03(解析版)
2022届秋季高一新生入学分班考试数学试卷（全国）03一、选择题1．与-3互为相反数的是（ ） A ．-3B ．3C ．-13D ．13【参考答案】B -3的相反数是3． 故选B ．2．国家统计局12月18日发布公告，经初步统计，2020年全国棉花播种面积约为3170000公顷．将3170000用科学记数法表示为（ ） A ．53.1710⨯ B ．63.1710⨯ C ．70.31710⨯ D ．631.710⨯【参考答案】B解：3170000用科学记数法表示为63.1710⨯， 故选：B ．3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．正五边形【参考答案】CA 选项：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B 选项：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不合题意；C 选项：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；D 选项：正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选C ．4．下列计算正确的是（ ） A ．224a a a += B ．()222a b a b -=- C ．236a a a -=D ．()224a a =【参考答案】D解：A 、2222a a a +=，故A 错误； B 、()2222a b a ab b -=-+，故B 错误； C 、23a a -不能合并，故C 错误；D 、()224a a =，故D 正确；故选：D ．5．将二次函数()213y x =+-的图像向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ） A ．()233y x =+- B ．()213y x =-- C ．()215y x =+- D ．()211y x =+-【参考答案】D解：抛物线()213y x =+-的顶点坐标为（-1，-3），把点（-1，-3）向上平移2个单位得到对应点的坐标为（-1，-1），所以平移后的抛物线题目解析式为y =（x +1）2-1， 故选：D ．6．如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）A ．中位数是9B ．众数是9C ．平均数是10D ．方差是3【参考答案】A解：由题目中折线统计图可知，每天跑步圈数数据分别为7、10、9、9、10、8、10， A 、将数据按照从小到大排列，依次为7、8、9、9、10、10、10，中位数应为9，故A 正确； B 、该组数据中10出现的次数最多，为3次，所以众数为10，故B 错误； C 、平均数应为710991081097++++++=，故C 错误；D 、由C 可知平均数为9，方差应为222222218(79)(109)(99)(99)(109)(89)(109)77⎡⎤-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 错误， 故选：A ．7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，20CDB ∠=︒，则ABC ∠的度数为（ ）A．60°B．65°C．70°D．75°【参考答案】C解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=20°，∴∠ABC=90°-20°=70°，故选：C．8．不等式组32122xxx+≥⎧⎪⎨-->⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【参考答案】D解：32122xxx+≥⎧⎪⎨-->⎪⎩①②不等式①的解集为1x ≥-； 不等式②的解集为x <-5． 在数轴上表示为：∴原不等式组无解． 故选：D9．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点()0,0O ，()0,4A ，()3,0B 为顶点的Rt AOB ，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点Р，且点Р恰好在反比例函数ky x=的图像上，则k 的值为（ ）A ．25B ．36C ．49D ．64【参考答案】B解：过P 分别作AB 、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E ，如图，∵A （0，4），B （3，0）， ∴OA =4，OB =3，∴AB 5=，∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴PE=PC，PD=PC，∴PE=PC=PD，设P（t，t），则PC=t，∵S△P AE+S△P AB+S△PBD+S△OAB=S矩形PEOD，∴1111(4)5(3)342222t t t t t t t ⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯=⨯，解得：t=6，∴P（6，6），把P（6，6）代入kyx =，得k=6×6=36．故选：B．10．如图，在矩形ABCD中，1BC=，60ADB∠=︒，动点P沿折线AD DB→运动到点B，同时动点Q 沿折线DB BC→运动到点C，点,P Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，PBQ△的面积为S，则下列图象能大致反映S 与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【参考答案】D高考复习试卷资料解：当点P 在AD 上，点Q 在BD 上时，AP t =，2DQ t =， 则1PD t =-， 过点P 作PE BD ⊥， ∵60ADB ∠=︒，∴sin 60PE PD =︒=1cos602AD BD =︒=，∴)1PE t =-，2BD =， ，∴22BQ t =-，∴PBQ △的面积)21012S BQ PE t =⋅=+<<，为开口向上的二次函数； 当1t =时，点P 与点D 重合，点Q 与点B 重合，此时PBQ △的面积0S =； 当点P 在BD 上，点Q 在BC 上时，()22142BP t t =--=-，1BQ t =-， 过点P 作PF BC ⊥，则sin 60PF PB =︒=PF ==，∴PBQ △的面积)21322S BQ PF t t =⋅=-+-，为开口向下的二次函数； 故选：D ．二、填空题11_______.【参考答案】33-=3，故参考答案为3.12．某校八年级同学2020年4月平均每天自主学习时间统计如图所示，则这组数据的众数是___．【参考答案】6解：由条形图知，数据6出现次数最多，有52次，∴这组数据的众数为6，故参考答案为：6． 13．方程21111xx x +=--的解为_________． 【参考答案】2x =-． 解：21111xx x +=-- 去分母得：2211x x x ++=-， 解得：2x =-，经检验2x =-是分式方程的解． 故填：2x =-．14．某数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ．从C 处测得树梢A 的仰角为45︒，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得树梢A 的仰角为30，则树高为_________米．（结果精确到0.11.414≈ 1.732≈）【参考答案】13.7 解：根据题意可知：90ABC ∠=︒，10CD =，在Rt ABC ∆中，45ACB ∠=︒， ∴AB CB =，在Rt ABD ∆中，30ADB ∠=︒，10BD CD BC AB =+=+， ∴tan 30AB BD︒=，即310ABAB=+， 解得13.7AB ≈（米）． 答：树高约为13.7米． 故参考答案为：13.715．把边长为2的正方形纸片ABCD 分割成如图的四块，其中点O 为正方形的中心，点,E F 分别是AB ，AD 的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ （要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ 的周长是______.【参考答案】10或6+或8+如图所示：图1的周长为 图2的周长为1+4+1+4=10；图3的周长为．故四边形MNPQ 的周长是或10或．故参考答案为或10或．16．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图形经过点()1,2，且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中110x -<<，212x <<，下列结论：⊙0abc <；⊙2a b a <<-；⊙284b a ac +<；⊙10a -<<．其中正确结论的序号是________．【参考答案】①②∵抛物线的开口向下，∴a ＜0， ∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0， ∵对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号，∴b ＞0， ∴①abc ＜0，正确； ∵-2ba＜1， ∴b ＜-2a ，∴②a ＜b ＜-2a 正确；由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：244ac b a-＞2，由于a ＜0，所以4ac-b 2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故③错误， 由题意知，a+b+c=2，（1） a-b+c ＜0，（2） 4a+2b+c ＜0，（3）把（1）代入（3）得到：4a+b+2-a ＜0， 则a ＜23b --． 由（1）代入（2）得到：b ＞1． 则a ＜-1．故④错误．综上所述，正确的结论是①②． 故参考答案为①②．三、解答题17．计算：（1）101320212-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭； （2）2442124a a a a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭． 【参考答案】（1）6；（2）2a解：（1）101320212-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭321=++ 6=；（2）2442124a a a a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭()()22222a a a a--÷-=()()22222a a a a -⋅--=2a =． 18．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ⊥，分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接AF 、CE ．（1）若2OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由． 【参考答案】（1）4；（2）菱形，理由见题目解析 （1）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴//AB CD ，OD OB =， ∵//AB CD ，∴DFO BEO ∠=∠，FDO EBO ∠=∠． ∴DOF BOE ≌△△， ∴OE OF =， ∵2OE =， ∴4EF =；（2）四边形AECF 是菱形，理由如下： ∵ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ， ∴OA OC =， 又∵OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵EF AC ⊥∴平行四边形AECF 是菱形．19．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为7元/辆．现在停车场内停有28辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费246元，求中小型汽车各有多少辆？ 【参考答案】中型汽车有10辆，小型汽车有18辆 设：中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆． 根据题意得：28,127246.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：10,18. xy=⎧⎨=⎩答：中型汽车有10辆，小型汽车有18辆．20．如图，⊙O为锐角⊙ABC的外接圆，半径为5.（1）用尺规作图作出⊙BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.【参考答案】（1）画图见题目解析；（2）【题目详细解读】（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，∵AE平分∠BAC，∴BE CE=，∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2，在Rt△OFC中，由勾股定理可得在Rt△EFC中，由勾股定理可得21．某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）该超巿要想获得1280元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （3）当每千克樱桃的售价定为______元时，日销售利润最大，最大利润是______元． 【参考答案】（1）2152y x =-+；（2）36元；（3）40，1440 解：（1）设y ＝kx +b ，将（25，102）、（30，92）代入，由题意得：25102,3092.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得： 2,152.k b =-⎧⎨=⎩所以y 与x 之间的函数表达式为2152y x =-+． （2）根据题意得：()()2021521280x x --+= 解得：160x =，236x = ∵2040x ≤≤∴160x =（不合题意，应舍去） ∴36x =答：每千克樱桃的售价应定为36元． （3）设超市日销售利润为w 元， w ＝（x ﹣20）（﹣2x +152）， ＝﹣2x 2+192x ﹣3040， ＝﹣2（x ﹣48）2+1568， ∵﹣2＜0，∴当20≤x ≤40时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝40时，w 取得最大值为：w ＝﹣2（40﹣48）2+1568＝1440，故参考答案为：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1440元．22．在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B 处安置测倾器，于点A 处测得路灯MN 顶端的仰角为10︒，再沿BN 方向前进10米，到达点D 处，于点C 处测得路灯PQ 顶端的仰角为27︒．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈，sin 270.45︒=，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）【参考答案】路灯的高度为13.4m ． 延长AC 交PQ 于点E ，交MN 于点F ，由题意可得，AB=CD=EQ=FN =1.2，∠PEC =∠MF A =90°，∠MAF =10°，∠PCE =27°，AC =10，AE=BQ=EF =QN ，设路灯的高度为x m ，则MN=PQ= x m ，MF=PE =x -1.2， 在Rt △AFM 中，∠MAF =10°，MF= x -1.2，tan MFMAF FA∠=， ∴ 1.2tan10x FA -︒=， ∴ 1.2tan10x FA -=︒，∴11 1.2 1.222tan102tan10x x AE AF --==⋅=︒︒；∴CE =AE -AC =1.22tan10x -︒-10， 在Rt △CEP 中，∠PCE =27°，CE = 1.22tan10x -︒-10，tan PEPCE CE∠=，∴ 1.2tan 27 1.22tan1001x x -︒=--︒，解得x≈13.4，∴路灯的高度为13.4m ．答：路灯的高度为13.4m ．23．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 是边BC 上一动点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点为点B '．（1）如图，设BE x =，BC =，在点E 从B 点运动到C 点的过程中．⊙AB CB ''+最小值是______，此时x =______； ⊙点B '的运动路径长为______． （2）如图，设35BE a =，当点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上时，求a 的值．【参考答案】（1）①223π；（2）53a =或a =解：（1）①连接B C '，如图1， ,由折叠的性质得：1AB AB '==，AB E B '∠=∠， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90AB E B '∠=∠=︒， ∴B E AB ''⊥；当点B '恰好在直线AC 上时，AB CB ''+有最小值，∵2AB B C AC ''+====，∴12AB AC =，1B C '=， ∴30ACB ∠=︒，AB B C ''=，∴903060BAC ∠=︒-︒=︒，AE CE =， ∴30EAC ACB ∠=∠=︒，高考复习试卷资料∴30BAE ∠=︒，∴BE AB ==；故参考答案为：2 ②当点E 从B 到点C 的过程中，1AB '=， ∴点B '在以A 为圆心，1为半径的圆上， 由①知，60BAC ∠=︒， ∴2120BAB BAC '∠=∠=︒， ∴点B '的运动路径长为：120121803； 故参考答案为：23π； （2）当点B '落在AD 边上时（如图），四边形ABEB '为正方形，∴1BE AB ==， ∴315a =， 解得53a =； 当点B '落在CD 边上时（如图），由折叠得'B E BE a ==，1AB AB '==∴25CE a =，BD ' 由CEB DB A ''△△得，∴CE DB B E AB '=''，25315aa =，解得a =， ∵0a >，∴3a =∴53a =或a = 24．如图，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于()1,0A -、()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线对称轴上一动点，当BCD △是直角三角形时，请直接写出点D 的坐标； （3）若点(),E m n 为抛物线上的一个动点，将点E 绕原点O 旋转180°得到点F ． ⊙当点F 落在该抛物线上时，求m 的值；⊙当点F 落在第二象限内且AF 取得最小值时，求m 的值． 【参考答案】（1）223y x x =--；（2）()11,2D ，()21,4D -，3D ⎛ ⎝ ⎭或3D ⎛ ⎝ ⎭；（3）①m =（1）根据题意，把()1,0A -、()3,0B 代入二次函数2y x bx c =++，得：10,930.b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得： 23b c =-⎧⎨=-⎩所以二次函数表达式为223y x x =--； （2）如右下图，()11,2D ，()21,4D -，331,2D ⎛ ⎝+ -⎭或331,2D ⎛ ⎝- -⎭，理由如下： 二次函数表达式为223y x x =--的对称轴为2122b x a -=-=-=， 设点()1,D d ，令0x =，得2233y x x =--=-(0,3)C ∴-()3,0BBC ∴==DC ==DB == 218BC ∴=，22610DC d d =++，224DB d =+，当90DCB ∠=︒时，222CD CB DB += 2610d d +++2184d =+4∴=-d (1,4)D ∴-当90DBC ∠=︒时222DB CB CD += 2184+d +=2610d d ++4∴=-d (1,2)D ∴当90CDB ∠=︒时高考复习试卷资料222DB CD CB += 24d +2610+d d ++18= 2320d d ∴+-=d ∴==d ∴=或d =31,2D ⎛ ∴⎝ -⎭或31,2D ⎛ ⎝ -⎭， 综上所述，()11,2D ，()21,4D -，331,2D ⎛ ⎝+ -⎭或331,2D ⎛⎫ ⎝ -⎪⎪⎭； （3）①由(),E m n 在抛物线上可得223n m m =--， ∵点E 与F 关于原点对称， ∴,()F m n --，由,()F m n --在抛物线上可得，223n m m -=+-∴222323m m m m --=--+解得m =②由题意可知,()F m n --在第二象限， ∴0m -<，0n ->，即0m >，0n <， ∵抛物线的顶点坐标为()1,4-， ∴40n -≤<，高考复习试卷资料∵E 在抛物线上， ∴223n m m =--， ∴223m m n -=+， ∵()1,0A -，,()F m n --， ∴()()2221AF m n =-++-2221m m n =-++ 231n n =+++ 24n n =++211524n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴当12n =时，2AF 有最小值，即AF 取得最小值，∴21232m m --=，解得22m -=或m =， ∵0m >，∴22m =（不合题意，应舍去），∴m 的值为22+．。
2022-2023学年上海市实验学校高一上学期开学考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市实验学校高一上学期开学考数学试题一、单选题1．若α是锐角，()2sin 152α+=那么锐角α等于（ ） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60【答案】B【分析】由题可得1545α+=，即得. 【详解】因为()2sin 152α+=α是锐角， 所以()1515,105α+∈，1545α+=， 所以30α=. 故选：B .2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：()3333211,2631=--=-.2和26均为“和谐数”.那么､不超过2016的正整数中，所有们“和谐数”之和为（ ） A ．6858 B ．6860 C ．9260 D ．9262【答案】B【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：()()()32321212121k k k ==+-+-，（其中k 为非负整数)，然后再分析计算即可.【详解】()()()()()()()()33222121212121212121k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦⎣⎦()22121k =+（其中k 为非负整数)，由()221212016k +≤得k ≤所以0,1,,9k =，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为：()()()()()33333333333113153171519171916860⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦.故选：B.3．100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元.那么一个人最多有（ ）元. A ．216 B ．218C ．238D ．236【答案】B【分析】由题可得存在9人的钱数的和不少于162元，结合条件进而即得.【详解】因为任意10个人的钱数的和不超过380元， 所以任意90个人的钱数的和不少于1620元， 所以存在9人的钱数的和不少于162元， 所以一个人最多能有380162218-=元. 故选：B.4．函数||y a x =与y x a =+的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．11a -<< C ．1a ≥或1a ≤- D ．1a >或1a <-【答案】D【分析】||y a x =的图象为过原点的折线，关于y 轴对称，y x a =+的图象是直线，斜率为1，按a 的正负分类作出图象后，分析可得．【详解】||y a x =的图象为过原点的折线，关于y 轴对称，分两种情况讨论，①当a>0时，y a x =的图象过第一､二象限，直线y x a =+斜率为1， 当a>0时，直线y x a =+过第一､二､三象限，若使其图象恰有两个公共点，如图1，必有a>1；②当a <0时，||y a x =过第三､四象限；而y =x +a 过第二､三､四象限，若使共图象恰有两个公共点，如图2，必有1a <-, 故选：D.图1图2二、填空题5．计算：()1cot3012sin60cos60tan30--++=___________. 3【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【详解】原式331213131333=-. 3 6．若a b b c a ck c a b+++===，则k =___________. 【答案】2或1-【分析】依题意可得()()2a b c a b c k ++=++，再分0a b c ++≠和0a b c ++=两种情况讨论，即可得解. 【详解】解：因为a b b c a ck c a b+++===， 所以a b ck +=①，b c ak +=②，a c bk +=③， ①+②+③得()()2a b c a b c k ++=++， 当0a b c ++≠时，2k =；当0a b c ++=时，a b c +=-，代入①得c ck -=，解得1k =-， 综上所述，2k =或1-. 故答案为：2或1-7．若抛物线2241y x px p =-++中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为___________. 【答案】()4,33【分析】若抛物线2241y x px p =-++中不管p 取何值时都通过定点，则含p 的项的系数为0，由此求出x 的值，再求y 的值，得出定点坐标.【详解】2241y x px p =-++可化为()2241y x p x =--+，当4x =时，33y =，且与p 的取值无关， 所以不管p 取何值时都通过定点()4,33. 故答案为：()4,338．已知抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线1x =；②当13x 时，0y <；③方程250ax bx c +++=无实数根．其中正确的说法是___________.（只填写序号）.【答案】①②③【分析】根据图像确定二次函数图像的对称轴，与x 轴交点的横坐标，函数的最小值然后判断．【详解】①由图像知对称轴是直线1x =，正确；②由对称性得3x =是方程20ax bx c ++=的另一根，因此当13x 时，函数图像对应的点在x 轴下方，因而0y <，正确；③函数的最小值是，因而函数值必须不小于4-， 因而方程250ax bx c +++=无实数根，正确. 故答案为：①②③．9．如图.在ABC 中，90,ACB AC BC ∠==，P 为三角形内部一点，其3PC =，5,7PA PB ==.则APB △的面积为___________.【答案】14【分析】过P 作AC 与BC 的垂线，得到矩形CDPE ，设矩形CDPE 的长与宽，以及等腰Rt ABC △的直角边，根据3PC =，5,7PA PB ==，利用勾股定理构造方程，整理化简，然后利用面积差，整体代入求解APB △的面积. 【详解】过P 作PD AC ⊥于,D PE BC ⊥于E ，则四边形CDPE 是矩形，设,,PD x PE y AC BC a ====， 所以,CD PE y CE PD x ====，因为3PC =，5,7PA PB ==根据勾股定理可得，()()22222292549x y x a y y a x ⎧+=⎪⎪+-=⎨⎪+-=⎪⎩，所以22216240a ay a ax ⎧-=⎨-=⎩，所以228a ay ax --=， 所以221111()142222APB ABC APC BCP S S S S a ax ay a ax ay =--=--=--=△△△△.故答案为：14.10．把三张大小相同的正方形卡片A ､B ､C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.若按图1摆放时，阴影部分的面积为1S ；若按图2摆放时，阴影部分的面积为2S ，则1S ___________2S ，（填“>”“<”或“=”）【答案】=【分析】根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后比较1S 和2S 的大小.【详解】设底面的正方形的边长为a ，正方形卡片A ､B ､C 的边长为b ， 由图1得()()()21S a b a b a b =--=-， 由图2得()()()22S a b a b a b =--=-， 所以12S S . 故答案为：=11．若一元二次方程()2220x a x a -++=的两个实数根分別是3､b ，则a b +=___________.【答案】5【分析】把3x =代入方程求得a ，再由韦达定理求得另一根即得结论．【详解】把3x =代入一元二次方程()2220x a x a -++=，得93(2)20a a -++=，解得3a =，由根与系数的关系得()2351a b -++=-=，解得2b =，所以325a b +=+=.故答案为：5．12．有一个六位数1abcde ，它乘以3后得六位数1abcde ，则此六位数为___________. 【答案】142857【分析】设1后面的五位数为x ，列出方程，求出x ，写出此六位数.【详解】设1后面的五位数为x .则()11000003101x x ⨯+⨯=+，解得42857x =， 所以这个六位数为110000042857142857⨯+=. 故答案为：14285713．若质数p q ､满足：340,111q p p q --=+<，则pq 的最大值为___________. 【答案】1007【分析】由340q p --=得34p q =-，43p q +=，代入不等式111p q +<求得,p q 的范围，pq 要最大，则q 也最大，由质数分析可得结论．【详解】因为340q p --=，所以34p q =-，因为111p q +<，所以34111q q +-<， 解得28.75q <，因为340q p --=，所以34q p =+，则43p q +=， 因为111p q +<，所以41113p p ++<，解得82.25p <， 由于43p q +=，因此pq 最大时，q 也最大， 所以当q 取最大质数23时，65p =不合题意舍去，则19q =时，53p =，此时符命题意，故pq 的最大值为19531007⨯=.故答案为：1007．14．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()()111222,,,P x y P x y 的“破晓距离”，给出如下定义：若1212x x y y -≥-，则点1P 与点2P 的“破晓距离”为12x x -；若1212x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“破晓距离”为12y y -．例如：点1(1,2)P ，点2(3,5)P ，因为1325-<-，所以点1P 与点2P 的“破晓距离”为|25|3-=，也就是线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）.已知(,)C x y 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，则当点C 与点D 的“破晓距离”取最小值时相应的点C 的坐标为___________. 【答案】815,77⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】过点C 作x 轴的垂线，过点D 作y 的垂线，两条垂线交于点M ，连接CD ．当点C 在直线DM 上方且使CMD △为等腰直角三角形时，点C 与点D 的“破晓距离”最小，根据新定义证此结论成立，然后求出0x 即得．【详解】过点C 作x 轴的垂线，过点D 作y 的垂线，两条垂线交于点M ，连接CD . 当点C 在点D 的后上方且使CMD △为等腰直角三角形时， 点C 与点D 的“破晓距离”最小.理由如下： 记此时C 所在位置的坐标为003,34x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.当点C 的横坐标大于0x 时，线段CM 的长度变大，由于点C 与点D 的“破晓距离”是线段CM 与线段MD 长度的较大值， 所以点C 与点D 的“破晓距离”变大：当点C 的横坐标小于0x 时，线段MD 的长度变大， 点C 与点D 的“破晓距离”变大.所以当点C 的横坐标等于0x 时，点C 与点D 的“破晓距离”最小.因为00331,,4CM x MD x CM DM =+-=-=，所以003314x x +-=-，解得087x ，所以点C 的坐标是815,77⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：815,77⎛⎫- ⎪⎝⎭．三、解答题15．如图，已知平行四边形ABCD ，对角AC 与BD 交于点O ，以AD ､AB 边分别为边长作正方形ADEF 和正方形ABHG ，连接FG .(1)求证：2FG AO =：(2)若6,4,60AB AD BAD ∠===，请求出AGF 的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)63【分析】（1）通过条件证明AFG DAC ≅即可； （2）根据条件求出ABCDS，然后得到DAC S △即可.【详解】(1)因为四边形ADEF 和四边形ABHG 都是正方形， 所以,,90AD AF AB AG BAG DAF ∠∠====， 所以180GAF BAD ∠∠+=，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以,AB CD AB CD =∥ 所以180BAD ADC ∠+∠=，所以GAF ADC ∠∠=， 在AFG 和DAC △中，,AG CDADC GAF AF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以(),AFG DAC SAS ≅所以GF AC =，在平行四边形ABCD 中，2AC AO =，所以2GF AO =； (2)过点D 作DM AB ⊥交AB 于点M ，因为4,60,90AD BAD AMD ∠∠===， 所以34sin604232DM =⨯=⨯=， 所以623123ABCDS AB DM =⋅=⨯=所以16231232A DA BCDCSS AB DM ==⋅=⨯=因为AFG DAC ≅，所以63DACAGFSS==，即AGF 的面积为63.16．一块三角形材料如图所示，30,90,12A C AB ∠=∠==用这块材料剪出一个矩形CDEF ，其中，点D ､E ､F 分别在,,BC AB AC .设AE 的长为x ，矩形CDEF 的面积为S .(1)写出S 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； (2)当矩形CDEF 的面积为83AE 的长：(3)当AE 的长为多少时，矩形CDEF 的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)2333(012)S x x x =+<<； (2)4或8；(3)6AE =时，最大面积是93【分析】（1）易得012x <<，由直角三角形由AE 表示出,EF CF ，可得矩形面积； （2）解方程3=S AE 的长； （3）由二次函数的性质可得最大值．【详解】(1)因为AB =12，AE =x ，点E 与点A ､点B 均不重合， 所以012x <<，因为四边形CDEF 是矩形，所以90AFE ∠=︒，因为30A ∠=︒，所以12EF AE =，AF =， 在Rt ABC 中，90,30,12C A AB ∠=︒∠=︒=，所以162BC AB ==，由勾股定理得AC =CF AC AF =-=，所以21(012)2S CF EF x x x x ⎛⎫=⋅==+<< ⎪ ⎪⎝⎭； (2)由题意得26)x -+=解得124,8x x ==， 所以AE 的长为4或8； (3)因为S=)26x -+ 所以当6x =时，矩形CDEF 的面积最大，即当点E 为AB 的中点时，矩形CDEF的面积最大，最大面积是17．已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由； (2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值. 【答案】(1)不存在，理由见解析； (2)235k =---，，【分析】（1）利用反证法先假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，根据一元二次方程有两个实数根可得95k =，因此原假设不成立，故不存在； （2）根据题意()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++，可得1k +能被4整除，即可求出k 的值.【详解】(1)假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，()2400Δ(4)441160k k k k k k ≠⎧∴⇒<⎨=--⋅+=-⎩，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，()()()()2221212121212129322252942k x x x x x x x x x x x x k +∴--=+-=+-=-=-， 95k ⇒=但0k <，∴不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立.(2)()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++， ∴要使其值是整数，只需要1k +能被4整除，故1124k +=±±±，，，即021335k =---，，，，，， 0k <，235k ∴=---，，.18．阅读理解：对于任意正实数a b ､，因为2(()0a b -，所以20a ab b -+，所以2a b ab +，只有当a b =时，等号成立.结论：在2a b ab +（a b ､均为正实数）中，若ab 为定值p ，则2a b p +，只有当a b =时，a b +有最小值2p .根据上述内容，回答下列问题：(1)若0m >，只有当m =___________时，1m m+有最小值___________； (2)思考验证：如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意一点（与点A B ､不重合），过点C 作CD AB ⊥，垂足为,,D AD a DB b ==.试根据图形验证2a b ab +，并指出等号成立时的条件.(3)探索应用：如图2，已知()()3,0,0,4,A B P --为双曲线12(0)y x x=>上的任意一点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为,C PD y ⊥轴，垂足为D .求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状.【答案】(1)1，2(2)验证答案见解析，CD 等于半径时取等号 (3)最小值24，四边形ABCD 是菱形 【分析】（1）根据阅读材料，1=m m 时，1m m+取得最小值，由此计算可得； （2）利用直角三角形相似得CD ab =，由OC CD ≥（,D O 重合时取等号）可得不等式成立；（3）设12,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，求出,C D 坐标，求出,AC BD 后可计算出四边形的面积，然后由阅读材料的结论得出最小值及四边形形状． 【详解】(1)由题意1=m m ，又0m >，因此1m =时，1m m+的最小值为2； (2)因为AB 是O 的直径.所以AC BC ⊥.又CD AB ⊥，所以90CAD BCD B ∠∠∠==-， 所以Rt CAD ~Rt BCD △，所以CD ADBD CD=，即2CD AD DB =⋅，所以CD ab =， 若点D 与O 不重合，连接OC ，在Rt OCD 中，有OC CD >，所以2a bab +> 若点D 与O 重合时，OC CD =.所以2a bab +=综上所述，2a bab +≥2a b ab +≥，当CD 等于半径时取等号； (3)设12,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1212,0,0,,3,4C x D CA x DB x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，1112(3)422ABCD S CA DB x x ⎛⎫=⨯=+⨯+ ⎪⎝⎭化简得9212ABCD S x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为90,0x x >>，所以9926x x x x+≥⋅=，当且仅当9x x=，即3x =时取等号，所以261224S ≥⨯+=.ABCD S 由最小值24.此时()()()3,4,3,0,0,4,5P C D AB BC CD DA ====， 所以四边形ABCD 是菱形.19．已知正实数x ，y ，z 满足：1xy yz zx ++≠，且()()()()()()2222221111114xy y z z x xyyzzx------++=.(1)求111xy yz zx++的值. (2)证明：9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【答案】(1)1 (2)证明见解析【分析】（1）已知等式化简得xyz x y z =++，求值式通分后可得结论； （2）作差后，凑配成非负数的和，即证．【详解】(1)由等式()()()()()()2222221111114x y y z z x xyyzzx------++=，去分母得()()()()()()2222221111114z x y x y z y z x xyz --+--+--=，()()()2222222222223()0x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦，()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[]()(1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，∵1xy yz zx ++≠，∴10xy yz zx ++-≠， ∴()0xyz x y z -++=，∴xyz x y z =++， ∴原式1x y zxyz++==. (2)由（1）知xyz x y z =++，又x ，y ，z 为正实数， 222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++()()()2222222x y z y z x z x y xyz =++++++，222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++()()()2222223x y z y z x z x y xyz =++++++∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++()()()2222226x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0x y z y z x z x y =-+-+-≥.所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.20．如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线12x =-的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A B 、两点，其中点A 的坐标为(4,0)-，与y 轴交于点()045C -,，作直线AC .（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点D 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，连结DA DC 、.当DAC ∆面积最大时，求点D 的坐标；（3）如图，在（2）的条件下，过点D 作于DE AC ⊥点E ，交y 轴于点,F 将CEF ∆绕点E 旋转得到,C EF ''∆在旋转过程中，当点C '或点F '落在y 轴上(不与点C 、F 重合)时，将,C EF ''∆沿射线DE 平移得到C E F '''''∆，在平移过程中，平面内是否存在点,G 使得四边形OF GC ''''是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点G 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2333y x =-23343y =+-(3) 所有符合条件的点G 坐标为(3,33-或(5,53-【分析】(1)分别根据对称轴方程,再代入点的坐标进行求解即可.(2) 过D 作//DH y 轴交AC 于H ,进而根据DAC DAH DCH S S S ∆∆∆=+表达出DAC S ∆关于D 的横坐标的表达式,再根据二次函数的最值求解即可.(3)分两种情况,设平移的距离为2t ,再根据菱形满足''''OC OF =即可求得t ,进而根据菱形的性质可求得G【详解】()1抛物线对称轴为12x =-.且点A 的坐标为(40)-，.点C 的坐标为(043,,-122164043b a a b c c ⎧-=-⎪⎪∴-+=⎨⎪=-⎪⎩.解得333343a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为2334333y x x =+- (2)过D 作//DH y 轴交AC 于H .设23343,33m m m D +-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 设AC 的解析式为y kx b =+,则4043k b b -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得343k b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩.故AC 的解析式为343y x =--.则()33,4H m m -- 则()2123423DAC DAH DCH A C S S S x x DH m m ∆∆∆=+=-⋅=-⋅+ ()22383233m =-⋅++. 故当2m =-时,DAC S ∆取最大值833.此时1032,3D ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭(3) 存在,所有符合条件的G 坐标为(3,33-,(5,53-. 提示：8333430,,2,F EC EF FC ⎛=== ⎝⎭①当'C 落在y 轴上时,如图,点('0,23C -,83'2,F ⎛- ⎝⎭,设平移距离是2t ,则()''3,23C t t -+,83''23,3F t t ⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭. 由''''OC OF =得()()222283323233t tt t ⎛⎫+-+=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭,解得536t =. 此时573'',26C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,1113'',26M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以()3,33G -.②当'F 落在y 轴上时,如图,点103'0,F ⎛⎝⎭,('2,43C --, 设平移距离是2t ,则103''3,F t t ⎫⎪⎪⎭,()''23,43C t t --. 由''''OC OF =得()()222210332343t t tt ⎛⎫+=-++- ⎪ ⎪⎝⎭,解得73t =. 此时7133'',2F ⎛ ⎝⎭,3173'',2C ⎛ ⎝⎭,所以(5,53G -.综上所述,所有符合条件的点G 坐标为(3,33-或(5,53-【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解,同时也考查了抛物线上的点构成的三角形的面积最值问题.也考查了三角形旋转以及是否存在点满足条件的问题.需要根据题意,利用二次函数与菱形的性质建立适当的等式进行求解.属于难题.。
2022-2023学年上海市复旦大学附属中学高一上学期开学考试数学试卷含答案
2022—2023年复旦附中高一上开学考一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分．满分54分）1.3x -成立的x 的取值范围是________.2.若{}223,5,,3x x x -∈+，则实数x =______．3.设集合{}12A x x =≤≤，{}B x x a =≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围__________．4.若对任意的x ，均有22(7)499x a x bx -=-+（a 、b 为常数），则a b +=________.5.一组数据3，6，8，x 的中位数是x ，且x 是满足不等式组3050x x -≥⎧⎨-<⎩的整数，则这组数据的平均数是______．6.已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x =上，点N 在直线3y x =+上，设点M 的对称点坐标为(),a b ，则二次函数()2y abx a b x =-++的最小值为______．7.设2121x a a x x ⎛⎫=≠ ⎪++⎝⎭，则用含a 的最简分式形式表示代数式2421x x x ++的值为______．8.小明想测量一棵树的高度，他发现谁的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图1），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米（如图2），则树的高度为________.9.如图，四边形ABCD 是菱形，60A ∠=︒，2AB =，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60︒，则图中阴影部分的面积是________.10.如图，矩形纸片ABCD ，长9cm AD =，宽3cm AB =，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长为______．11.一个三角形的边长分別为a 、a 、b ，另一个三角形的边长分別为b 、b 、a ，其中a b >，若两个三角形的最小内角相等，ab 的值等于______．12.从1、2、3、L 、22这22个正整数中取出n 个正整数，要求满足：任何两个正整数的差的绝对值都不等于4或7，那么n 的最大值为______．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13.已知集合{}N 15A x x =∈-<<，{}0,1,2,3,4,5B =，则A 、B 间的关系为（）A.A B = B.B A ⊆ C.A B ∈ D.A B⊆14.已知R x ∈，使代数式22111x x x x ++++的值为有理数的x 的集合是（）A.R B.Q C.21Q x +的集合 D.使21Q x x ++的集合15.设a 、b 、c 是实数，2π23x a b =-+，2π26y b c =-+，2π22z c a =-+，则x 、y 、z 中至少有一个值（）A.大于0B.等于0C.不大于0D.小于016.如图，扇形OAB 的半径6OA =，圆心角AOB 90∠= ，C 是弧AB 上不同于A 、B 的动点，过点C 作CD OA ⊥于点D ，作CE OB ⊥于点E ，连接DE ，点N 在线段DE 上，且23EN DE =，设EC 的长为x ，CEN 的面积为y ，下面表示y 与x 的函数关系式的图象可能是（）A.B.C.D.三、解答题（本大题共有5题、满分76分）17.解方程：125x x -=-．18.已知{}2,,2,4,59∈=-+a x R A x x ，{}23,B x ax a =++，{}2(1)3,1C x a x =++-.求：（1）使2B ∈，B A 的,a x 的值；（2）使B C =的,a x 的值.19.已知方程组2102(21)kx x y y k x ⎧--+=⎪⎨⎪=-⎩（x ，y 为未知数）有两组不同的实数解11x x y y =⎧⎨=⎩，22x x y y =⎧⎨=⎩，（1）求实数k 的取值范围；（2）如果1212113y y x x ++=，求实数k 的值.20.已知集合22{31,,}S m m n m n Z =+-=∈.（1）证明：若a S ∈，则1S a ∈S ；（2）证明：若1p q <≤，则112p q p q <+≤+，并由此证明S 中的元素b若满足12b <≤+2b =+；（3）设c S ∈，试求满足22(2c <≤+的所有c 的可能值.21.若集合A 具有以下性质，则称集合A 是“好集”：①0A ∈，l A ∈；②若x 、y A Î，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈．（1）分別判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；（2）设集合A 是“好集”，求证：若x 、y A Î，则x y A +∈；（3）对任意的一个“好集”A ，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若x 、y A Î，则必有xy A ∈．2022—2023年复旦附中高一上开学考一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分．满分54分）【1题答案】(],3-∞【2题答案】1-【3题答案】{}1a a ≤【4题答案】45±【5题答案】5.75【6题答案】 3.5-【7题答案】212a a -【8题答案】(6+米【9题答案】23π【10题答案】5cm 【11题答案】512+【12题答案】10二、选择题（本大题共4题，满分20分）【13题答案】D 【14题答案】B 【15题答案】A 【16题答案】A三、解答题（本大题共有5题、满分76分）【17题答案】2920116x =【18题答案】（1）2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）1x =-，6=-a 或=3x ，2a =-【19题答案】（1）12k >-且0k ≠；（2）1k =.【20题答案】（（3）c ＝。
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y x(1,1) y x0 y xyxy=2x 1 y=x 2-13y x=3xA BC D级高一新生入学考试数学试卷(总分:120分,时间:120分钟)一、选取题 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分)1．新华社3月5日报道,中华人民共和国筹划将国防预算提高12%,达到约8082亿元人民币,将8082亿用科学计数法表达应为( )A 、80.82×1010B 、8.082×103C 、8.082×1011D 、0.8082×10122.下列计算中,对的是( )A ．3a-2a=1B ．(x+3y)2=x 2+9y 2C ．(x 5 )2=x 7D ．(-3)-2=913．如图,已知PA 、PB 是⊙O 切线,A 、B 为切点,AC 是⊙O 直径,∠P ＝40°,则∠BAC 大小是( ) A ． 70° B ． 40° C ． 50° D ． 20°4．若不等式组 解集为空集,则a 取值范畴是( )A ． a>3B ． a ≥3C ． a < 3D ． a ≤ 35．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一种解,则化简b a b c c a ---+-成果是 ( )A 、2aB 、2bC 、2cD 、06.某班提成甲、乙两组去距离学校4km 烈士陵园扫墓．甲组步行,乙组骑自行车,她们同步从学校出发,成果乙组比甲组早20min 到达目地．已知骑自行车速度是步行速度2倍,设步行速度为x km /h ,则x 满足方程为( )A ．x 4－x 24=20 B ．x 24－x 4=20 C ．x 4－x 24=31 D ．x 24－x 4=317． 下列图中阴影某些面积与算式122)21(|43|-++-成果相似是 ( )8．∵1sin 302=,1sin 2102=-,∴sin 210sin(18030)sin 30=+=-;∵2sin 452=,2sin 2252=-,∴sin 225sin(18045)sin 45=+=-,由此猜想、推理知:普通⎪⎩⎪⎨⎧>->+-a x x x 54252ABCD地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-,由此可知:sin 240=( )A ．12-B ．22-C ．32-D ．3-9.如图。
在四边形纸片ABCD 中,∠A=130°,∠C=40°,现将其右下角向内折出⊿FGE,折痕为EF,恰使GF ∥AD,GE ∥CD,则∠B 度数为( )A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°10.如图,在⊿ABC 中,∠ABC 和∠ACB 平分线相交于点O,过点O 作EF ∥BC 交AB 于E,交AC 于F,过点O 作OD ⊥AC 于D 。
下列四个结论:①以E 为圆心、BE 为半径圆与以F 为圆心、CF 为半径圆外切;②∠BOC=90°+21∠A; ③EF 不能成为⊿ABC 中位线;④设OD=m,AE+AF=n,则S ⊿AEF =mn. 其中对的结论是:A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二. 填空题(本题有6个小题, 每小题4分, 共24分) 11．某社区20户家庭日用水量(单位:吨)记录如下:则这20户家庭日用水量众数、中位数分别是 ．12. 如图,△ABC 中,BD 平分∠ABC, AD ⊥BD 于D, F 为AC 中点,AB = 5, BC = 7, 则DF = 13. 在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,CD AB D ⊥于,AC ＝10, CD ＝6,则sinB 值为_____。
14．如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,90C ∠=,AB=AD=6,BC=9,觉得A 圆心在梯形内画出一种最大扇形(图中阴影某些)面积是 。
日用水量(单位:吨) 4 5 6 7 8 9户数 1 3 6 5 4 1GF EDCB A O F E DC B A (第10题)ABCF D第14题(第9题)(第12题)(第13题)15. 对于正数x,规定f (x)= x 1x +,例如f (3)=33134=+,f (13)=1131413=+,计算f (12014)+ f (12013)+ f (12012)+ …f (13)+ f (12)+ f (1)+ f (1)+ f (2)+ f (3)+ … + f ()+f ()+ f ()= .16．已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象如图所示,有下列5个结论:①abc ＞0;②b ＜a+c;③4a+2b+c ＞0;④2c ＜3b;⑤a+b ＞m(am+b)(m≠1实数)．其中对的结论有 (填序号)三、简答题 (本题有7个小题, 共66分) 17. (本小题满分6分)请你先化简代数式a a a a a a a ÷--+++-22121222,再从0,3,-1中选取一种适当a 值代入求值。
18、(本小题满分8分)设a,b 是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a ≤x ≤b 实数x 所有取值全体叫做闭区间,表达为{a,b},对于一种函数,如果它自变量x 与函数值y 满足:当m ≤x ≤n 时,有m ≤y ≤n,我们就称此函数是闭区间{m,n}上“闭函数”. (1)反比列函数2013y x=是闭区间{1,}上“闭函数”吗?请判断并阐明理由; (2)若一次函数y=kx+b(k ≠0)是闭区间{m,n}上“闭函数”,求此函数解析式: (第16题)如图1,某超市从底楼到二楼有一自动扶梯,图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB坡度为1:2.4,AB 长度是13米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点仰角为42°,求二楼层高BC(精准到0.1米)．(参照数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)某厂将A,B,C,D四种型号空调销售状况绘制成了图1和图2两幅尚不完整记录图．(1)请补全图2条形记录图;(2)为了应对激烈市场竞争,该厂决定降价促销,A,B,C,D四种型号空调分别降价30%,10%,10%,30%,因而该厂宣称其产品平均降价20%,你以为该厂说法对的吗?请通过计算阐明理由．(3)为进一步促销,该厂决定从这四种型号空调中任意选用两种型号空调降价销售,请用树状图或列表法求出降价空调中含D种型号空调概率．21. (本小题满分10分)【问题】如图1、2是底面为1cm,母线长为2cm圆柱体和圆锥体模型．现要用长为2πcm,宽为4cm 长方形彩纸(如图3)装饰圆柱、圆锥模型表面．已知一种圆柱和一种圆锥模型为一套,长方形彩纸共有122张,用这些纸最多能装饰多少套模型呢?【对话】教师:“长方形纸可以怎么裁剪呢?”学生甲:“可按图4方式裁剪出2张长方形．”学生乙:“可按图5方式裁剪出6个小圆．”学生丙:“可按图6方式裁剪出1个大圆和2个小圆．”教师:尽管尚有其她裁剪办法,但为裁剪以便,我们就仅用这三位同窗裁剪办法!【解决】(1)计算:圆柱侧面积是 cm2,圆锥侧面积是 cm2．(2)1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰个圆锥模型;5张长方形彩纸剪拼后最多能装饰个圆柱体模型．(3)求用122张彩纸最多能装饰圆锥、圆柱模型套数．题22图 1N M O DCB A E DCABO MN 题22图2 NOM题22图3题22图422、(本小题12分)类比、转化、分类讨论等思想办法和数学基本图形在数学学习和解题中经惯用到,如下是一种案例,请补充完整。
⑴原题:如图1,在⊙O 中,MN 是直径,AB ⊥MN 于点B,CD ⊥MN 于点D,∠AOC =90°,AB =3,CD =4,则BD = 。
(试写出解答过程)⑵尝试探究:如图2,在⊙O 中,M N 是直径,AB ⊥MN 于点B ,CD ⊥MN 于点D ,点E 在MN 上,∠AEC =90°,AB =3,BD =8,BE :DE =1:3,则CD = (试写出解答过程)。
⑶类比延伸:运用图3,再探究,当A 、C 两点分别在直径MN 两侧,且AB ≠CD ,AB ⊥MN 于点B ,CD ⊥MN 于点D ,∠AOC =90°时,则线段AB 、CD 、BD 满足数量关系为 。
(4)拓展迁移:如图4,在平面直角坐标系中,抛物线通过A (m ,6),B (n ,1)两点(其中0＜m ＜3),且以y 轴为对称轴,且∠AOB =90°,①求mn 值;②当S △AOB =10时,求抛物线解析式。
23.(本小题满分14分)已知抛物线2213188y x mx m m =++-与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,与y 轴交于点C(0,b),O 为原点. (1)求m 取值范畴; (2)若118m >且OA+OB=3OC,求抛物线解析式及A 、B 、C 坐标. (3)在(2)情形下,点P 、Q 分别从A 、O 两点同步出发以相似速度沿AB 、OC 向B 、C 运动,联结PQ 与BC 交于M,设AP=k,问与否存在k,使以P 、B 、M 为顶点三角形与⊿ABC 相似.若存在,求所有k 值,若不存在阐明理由.级高一新生入学考试数学试题参照答案11、6吨,6.5吨 12、1 13、4514、9π 15、 16、③④⑤三、解答题(本大题共7小题,共66分)17．(本题6分) 解:原式=()()()()a a a a a a a ÷--++-+221112…………2分=111-+-a a …………3分 =12+-a …………4分把a=3代入,原式=21132-=+- …………6分18、(本题8分) (1)是,2013y x=在1≤x ≤范畴内y 随x 增大而减小, ∴当x ＝1时,y 最大＝;当x ＝时,y 最小＝1; ∴1≤y ≤ 即2013y x=是闭区间{1,}上闭函数………………………………3分 (2)当m ≤x ≤n,知y=kx+b(k ≠0).ⅰ)当k>0, y 随x 增大而增大,有mk+b ≤y ≤nk+b∴10m mk b k n nk b b =+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩y=x 满足条件。
……………………………………………………………………5分 ⅱ)当k<0,y 随x 增大而减小,有nk+b ≤y ≤mk+b ∴1m nk b k n mk b b m n =+=-⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩y=-x+m+n 满足条件. …………………………………………………………7分 综上所述:所求函数解析式为:y=x 或y=-x+m+n ………………………………8分 19. (本题8分)解:延长CB 交PQ 于点D ．∵MN ∥PQ,BC ⊥MN,∴BC ⊥PQ ． ……………… (2分) ∵自动扶梯AB 坡度为1:2.4,∴1254.21==AC BC ． ……………………………… (4分) 设BD=5k 米,AD=12k 米,则AB=13k 米．∵AB=13米,∴k=1,∴BD=5米,AD=12米． ………………………………………(6分) 在Rt △CHO 中,∠CHO=90°,∠CAD=42°, ∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米, ∴BC≈5.8米．答:二楼层高BC 约为5.8米． ……………………………………… (8分)20. (本题8分) 解(1)………………………………2分…………4分…………8分21. (本题10分)解:(1)计算:圆柱侧面积是 4π cm 2,圆锥侧面积是 2π cm 2．(2分) (2)1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 2 个圆锥模型;5张长方形彩纸剪拼后最多能装 6 个圆柱体模型． ………………(4分) (3)设做x 套模型,则每套模型中做圆锥需要2x 张纸,作圆柱需要65x 张纸, ∴1226x52≤+x ……………………………………………………(6分) 解得:2183≤x , ………………………………………………………(8分)∵x 是6倍数,取x=90,做90套模型后剩余长方形纸片张数是122-(45+75)=2张,2张纸不够坐一套模型．∴最多能做90套模型． ………………………………………………(10分)22、(本小题满分12分)解:⑴原题:∵AB ⊥MN,CD ⊥MN,∴∠ABO=∠ODC=90° ∠BAO+∠AOB=90°∵∠AOC=90° ∴∠DOC+∠AOB=90°∴∠BAO=∠DOC 又∵OA=OC ∴△AOB ≌△ODC(AAS)∴OD=AB=3,OB=CD=4,∴BD=OB+OD=7 ……………………………3分⑵尝试探究:∵AB ⊥MN,CD ⊥MN,∴∠ABE=∠CDE=90°∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEC=90°∴∠DEC+∠AEB=90°∴∠BAE=∠DEC ∴△ABE ∽△EDC ∴CDDEBE AB = ∵AB=3,BD=8,BE:DE=1:3,∴BE=2,DE=6 ∴CD623= ∴CD=4 …………………………………6分⑶类比延伸:如图3(a)CD=AB+BD; 如图3(b)AB=CD+BD ………8分阐明:只要答出一种取可!⑷拓展迁移:①作BC x ⊥轴于C 点,AD x ⊥轴于D 点,A B ，点坐标分别为(6)(1)m n ，，，,∴16BC OC n OD m AD ==-==，，，,又∵∠AOB=90°∴∠BCO=∠ODA=90°,∠OBC=∠AOD∴CBO DOA △∽△, ∴166CB COBOnmn DO DA OA m -==∴=∴=-，，。