全等三角形动点问题

WORD 完美格式全等三角形动点问题一）、知识回顾动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．热身练习：C1、如图，在等腰△ ACB中， AC＝ BC＝ 5，AB＝ 8，D 为E F底边 AB上一动点A D B （不与点 A，B 重合）， DE⊥ AC， DF⊥ BC，垂足分别为E， F，则 DE＋ DF＝．二）、例题辨析例1、如图，在等腰 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=CB，AC=8，F 是 AB边上的中点，点D、E 分别在 AC、BC边上运动，且始终保持 AD=CE，连接 DE、 DF、 EF.（1）、求证：△ ADF≌△ CEF.（2）、试证明△ DFE是等腰直角三角形 .（3）、在此运动变化的过程中，四边形 CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．（4）、求△ CDE面积的最大值．例 2 如图，△ ABC的边 BC在直线上，AC⊥ BC，且AC＝BC，△ EFP的边 FP 也在直线上，边EF与边AC重合，且EF＝FP。

（ 1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（ 2）将△ EFP沿直线向左平移到图 2 的位置时， EP交 AC 于点 Q，连结 AP、 BQ。

猜想并写出BQ与 AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。

练习： 1、如图，在等腰Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=8， F 是AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、 BC边上运动，且保持AD=CE．连接 DE、 DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△ DFE是等腰直角三角形；② DE长度的最小值为 4；③四边形 CDFE的面积保持不变；④△ CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③C．①③④D．②③④2、（ 2011 湖北随州， 18， 7 分）在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为 AC边上中点，过 D 点作 DE⊥DF，交 AB于 E，交BC于 F，若 AE=4， FC=3，求 EF 长．例 2：在ABC中，AB AC，CG BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图 1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F ，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点 B ．（ 1）在图 1 中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出 BF 与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（ 2）当三角尺沿AC方向平移到图 2 所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边在同一直线上，另一条直角边交 BC 边于点D，过点D 作 DE BA 于点 E ．此时请你通过观察、测量 DE 、DF 与CG的长度，猜想并写出 DE DF 与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（ 3）当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图 3 所示的位置 ( 点F在线段AC上，且点F与点C不重合 ) 时，⑵中的猜想是否仍然成立？ ( 不用说明理由 )GF G F AAEBB D CC图 2图 1GE AFB DC图3例 3、如图，在等边△ ABC中， AB=9cm，点 P 从点 C 出发沿CB边向点 B 点以 2cm/s 的速度移动，点 Q 点从 B 点出发沿 BA 边向 A 点以 5cm/s 速度移动． P、 Q 两点同时出发，它们移动的时间为 t 秒钟．（1）你能用 t 表示 BP和 BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△ PBQ为等边三角形？（3）若 P、 Q 两点分别从 C、 B 两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P 与点 Q 第一次在△ ABC的哪条边上相遇？三）、归纳总结动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。

动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。

四）、拓展延伸例1、在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D 为AB边的中点，∠ EDF=90°，∠ EDF绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于E、F.1、当∠ EDF 绕 D 点旋转到DE⊥ AC 于 E 时（如图1），易证S△DEF S△CEF 1 S△ABC．22、当∠ EDF绕 D 点旋转到 DE和 AC不垂直时，在图 2 和图 3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．例 2、（ 2014? 德州，第23 题 10 分）问题背景：如图 1：在四边形ABC中， AB=AD，∠ BAD=120°，∠B=∠ ADC=90°．E，F分别是 BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段 BE， EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长 FD到点 G．使 DG=BE．连结AG，先证明△ ABE≌△ ADG，再证明△ AEF≌△ AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF ；探索延伸：如图 2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F 分别是 BC， CD上的点，且∠ EAF=∠ BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里 / 小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 海里 / 小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E， F 处，且两舰艇之间的夹角为 70°，试求此时两舰艇之间的距离．例 3、如图 1，一等腰直角三角尺GEF（∠ EGF=90° , ∠ GEF=∠GFE=45° ,GE=GF）的两条直角边与正方形 ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形 ABCD保持不动，将三角尺 GEF绕斜边 EF 的中点 O（点 O也是 BD中点）按顺时针方向旋转．（ 1）如图 2，当 EF 与 AB相交于点 M， GF与 BD相交于点N 时，通过观察或测量 BM，FN的长度，猜想 FN，BM相等吗？并说明理由；（ 2）若三角尺 GEF旋转到如图 3 所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB的延长线相交于点 M，线段 BD的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时，（ 1）中的猜想还成立吗？请说明理由．例 4、在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．活动一：如图 1，在 Rt △ ABC中， D 为斜边 AB 上的一点， AD=2， BD=1，且四边形 DECF 是正方形，求阴影部分的面积．小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点 D 逆时针旋转90°，得到△ DGE（如图 2 所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：______________ ．活动二：如图 3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ BAD=∠C=90°，BC=5， CD=3，过点 A 作 AE⊥ BC，垂足为点E，求 AE的长．小明仍运用图形旋转的方法，将△ ABE绕点 A 逆时针旋转90°，得到△ ADG（如图 4 所示），则①四边形 AECG是怎样的特殊四边形？答：__________ ．②AE的长是_________ ．活动三：如图 5，在四边形 ABCD中， AB⊥ AD， CD⊥ AD，将 BC按逆时针方向绕点 B 旋转 90°得到线段BE，连接 AE．若AB=2， DC=4，求△ ABE的面积．例 5、已知，在ABC 中，ACB 为锐角， D 是射线BC 上一动点( D与C不重合 ) ，以AD为一边向右侧作等边ADE (C与 E 不重合) ，连接CE．⑴若 ABC 为等边三角形，当点D在线段 BC 上时(如图1所示 ) ，则直线BD与直线CE所夹锐角为度；⑵若ABC为等边三角形，当点 D 在线段BC的延长线上时 ( 如图 2 所示 ) ，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；⑶若 ABC 不是等边三角形，且 BC AC (如图3所示)．试探究当点 D 在线段BC上时，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当 ACB 满足什么条件时，能使⑴中的结论成立，并说明理由．AEAA EB DC F B CD FB C F图1图 2图 3问题（ 1）中结论不成立，当∠ ACB=60°时，能使直线 BD与直线 CE所夹锐角为 60°，证明：①当CD＜ AC时，在 CB 上截取一点G，使得 CG=CA，连接 AG（如图所示），∵∠ ACB=60°，∴△ GAC是等边三角形，∴AC=AG，∠ AGC=∠ GAC=60°，∵△ ADE是等边三角形，∴AE=AD，∠ DAE=60°，∴∠ DAE- ∠ CAD=∠ GAC- ∠ CAD，从而∠ CAE=∠ GAD，∴△ ACE≌△ AGD（SAS），∴∠ ACE=∠ AGD=60°，∴∠ ECF=180° - （∠ ACB+∠ACE） =60°，此时直线BC与直线 CE所夹锐角为60°，②当 CD=AC时，点 C 与点 E 重合，不符合题意．③当 CD＞ AC时，延长 EC到 H，在 CB上截取一点G，使得 CG=CA，连接 AG（如图所示）．同（ 1）可证△ ACE≌△ AGD．∴∠ ACE=∠ AGD=180° - ∠ AGC=120°，∴∠ HCF=∠ DCE=120° - ∠ ACB=60°，此时直线BC与直线 CE所夹锐角为60°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论当CD＜AC时，当 CD=AC时，当 CD＞AC时得出答案是解题关键．例 6、在等边ABC 的两边AB ，AC所在直线上分别有两点M ，N ，D为ABC 外一点，且MDN60，BDC120，BD CD ，探究：当点M ，N 分别爱直线 AB ，AC 上移动时， BM ，BN ，MN 之间的数量关系及 AMN 的周长Q与等边 ABC 的周长L的关系．NA A AM NNMBB C BC CMD D D图①图②图③⑴如图①，当点 M ，N 在边 AB ，AC 上，且DM DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式_________；此时Q L__________⑵如图②，当点M ，N 在边 AB ，AC 上，且DM DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点 M ，N 分别在边 AB ，CA 的延长线上时，若AN x ，则Q_________( 用x，L表示 )五）、课后作业1、如图，在等边ABC 的顶点A、 C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟 1 各单位的速度油 A 向 B和由 C 向 A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处，请问（ 1）在爬行过程中， CD和 BE始终相等吗？专业知识编辑整理（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（ 2）所示，蜗牛爬行过程中CQE的大小条件不变，求证：CQE 60（3）如果将原题中“由 C 向 A 爬行”改为“沿着 BC的延长线爬行，连接 DE交 AC于 F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于 EF 是否正确2、如图（ 1）△ ABC为等边三角形，动点 D 在边 CA上，动点P 边 BC上，若这两点分别从C、 B 点同时出发，以相同的速度由 C 向 A 和由 B 向 C 运动，连接 AP，BD交于点 Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；（2）如果把原题中“动点 D 在边 CA上，动点 P 边 BC上，”改为“动点 D， P 在射线 CA 和射线 BC上运动”，其他条件不变，如图（ 2）所示，两点运动过程中∠ BQP 的大小保持不变．请你利用图（ 2）的情形，求证：∠ BQP=60°；（3）如果把原题中“动点 P 在边 BC上”改为“动点 P 在 AB 的延长线上运动，连接PD交 BC于 E”，其他条件不变，如图（ 3），则动点 D，P 在运动过程中，D E始终等于 PE吗？写出证明过程．（图 1）（图2）（图3）3．如图①，点 A，E，F，C 在一条直线上， AE＝ CF．过点 E，F 分别作 DE⊥ AC，BF⊥ AC，连接 B， D 交 AC于点 G，若 AB ＝CD．（1）试说明 BD平分 EF．（2）若将△ DEC的边 EC沿 AC方向移动到如图②所示位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？试说明理由．4.如图（1），中，，，垂足为D。