学而思中考数学一轮复习第2讲.四边形.提高班.教师版

考试内容考试要求层次A B C多边形了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以进行镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能依据图形条件分解与拼接简单图形平行四边形会识别平行四边形掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题会运用平行四边形的知识解决有关问题特殊的平行四边形会识别矩形、菱形、正方形掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决简单问题会运用矩形、菱形、正方形的知识解决有关问题梯形会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题本讲结构新课标剖析2中考第一轮复习四边形G FEDCB A一、 四边形知识结构图直角梯形等腰梯形一个角是直角两腰相等四边形两组对边分别平行平行四边形一个角是直角一组邻边相等矩形菱形一组邻边相等一个角是直角正方形梯形一组对边平行另一组不平行二、平行四边形及特殊平行四边形的性质及其判定名称 定义 性质判定面积平 行 四 边 形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．①对边平行；②对边相等；③对角相等；④邻角互补；⑤对角线互相平分；⑥是中心对称图形． ①定义；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形．S ah =（a 为一边长，h为这条边上的高）．矩 形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形． ①定义；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． S ab =（a 、b 为一组邻边）．菱 形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 除具有平行四边形的性质外，还有：①四条边相等；②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形．①定义；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形． ① S ah =（a 为一边长，h 为这条边上的高）； ②12S bc =（b 、c 为两条对角线的长）． 正方形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形．①定义；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形． ①2S a =（a 为边长）； ②212S b =（b 为对角线长）．三、梯形常见辅助线作法：DC B AEFFEEE FEEABCD ABC DABCDABC DDC BA四、特殊四边形性质特点：（以下性质需先证明后运用）知识导航OHABDEFN M E ODCBA60°ODCBA1. 对角线互相垂直的四边形：性质1 中点四边形EFGH 为矩形；如图1性质2 四边形面积等于对角线乘积的一半；即12ABCD S AC BD =⋅性质3 四边形对边的平方和相等. 即 2222AB CD AD BC +=+2. 筝形：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，也称之为半菱形．如图，在筝形ABCD 中，AB=AD ，BC=DC ，AC 与BD 相交于点O ． 性质1 ABC ADC △≌△性质2 一组对角相等，即ABC ADC ∠=∠性质3（1）对角线平分一组对角，即AC 平分,BAD BCD ∠∠.（2）对角线互相垂直，即AC BD ⊥.（3）一条对角线平分另一条对角线，即AC 平分BD （OB OD =）. 性质4 12ABCD S AC BD =⋅筝形 性质5 筝形是轴对称图形，即AC 所在直线为其对称轴.【编写思路】本讲内容主要包括：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定的应用，以及与其他知识点的综合运用，例如相似全等、几何变换等，由于近三年中考淡化了对梯形的考察，因此我们放入了平四、矩形、菱形、正方形的两问的中档题，而削弱了梯形的题量和难度. 本讲针对核心考点——中点的构造，进行探究，再次回顾、总结中点的重要辅助线构造.【例1】 ⑴如图，在平行四边形ABCD 中（AB ≠BC ），直线EF 经过其对角线的交点O ，且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、 F ，下列结论：①AO=BO ；②OE=OF ；③△EAM ∽△EBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是（ ）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④（2）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O .已知∠AOB =60°，AC =16，则图中长度为8的线段有（ ）A. 2条B. 4 条C. 5条D. 6条（3）人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1，Y ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，HG ∥AB ，图中哪两个平行四边形面 积相等？为什么？① 根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为 和 ； ② 如图2，点P 为Y ABCD 内一点，过点P 分别作AD 、AB 的平行线分别交Y ABCD 的四边于点E 、F 、G 、H . 已知S □BHPE = 3，S □PFDG = 5，则PAC S ∆= ；夯实基础模块一 平行四边形及特殊平行四边形的性质和判定③ 如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重复、无缝隙）.已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD 的面积为11，则菱形EFGH 的周长为 ． （2013昌平一模）图2图3图1⑤④③②①H PA BGEH DF C ABGEP DF C HGFE DCBA（4）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF .给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ； ③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE =∠BAP ；⑤PD 2．其中 正确结论的序号是 ．【解析】（1）B （2）D （3）①Y AEPH 和Y PGCF 或Y ABGH 和Y EBCF 或Y AEFD 和Y HGCD ；②1. ③24．（4）①②④⑤【例2】 1. 如图，在ABCD Y 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使12CE BC =，连接DE ，CF .（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若4AB =，6AD =，60B ∠=︒，求DE 的长.（2013北京中考） 【解析】（1）在ABCD Y 中，AD BC ∥∵F 是AD 中点.∴12DF AD =，又∵12CE BC =.∴DF CE =且DF CE ∥ ∴四边形CEDF 为平行四边形 （2）过D 作DH BE ⊥于H在ABCD Y 中 ∵60B ∠=︒ ∴60DCE ∠=︒∵4AB =， ∴4CD = ∴2CH =，23DH = 在CEDF Y 中，132CE DF AD ===， ∴1EH =在Rt DHE △中，22(23)113DE +=g2. 如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点． （1）求证：∠CED =∠DAG ；P F EDCBAAB CDEF（2）若BE =1，AG =4，求sin AEB ∠的值． （2013东城一模） 【解析】（1）证明：∵ 矩形ABCD ，∴ AD ∥BC .∴ ∠CED =∠ADE .又∵点G 是DF 的中点， ∴ AG =DG .∴ ∠DAG =∠ADE . ∴ ∠CED =∠DAG . （2）∵ ∠AED =2∠CED ，∠AGE =2∠DAG ， ∴ ∠AED =∠AGE . ∴ AE =AG . ∵ AG =4，∴ AE =4.在Rt △AEB 中，由勾股定理可求AB 15 ∴ 15sin AB AEB AE ∠== 【例3】 1. 已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2. （1）若CE =1，求BC 的长；（2）求证AM=DF+ME. （2012重庆）【解析】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC CD =，1DAC DCA ACB ∠=∠=∠=∠. ∵12∠=∠，∴2DCA ∠=∠， ∴DM CM =. 又∵ME CD ⊥，1CE =，∴22CD CE ==，∴2BC CD ==.（2）证明：延长AB 和DF 相交于点G . ∵F 为BC 的中点，∴22BC CF BF ==. ∵2CD CE =，BC CD =，∴CE CF = 又∵ECM FCM ∠=，CM CM =， ∴CEM △≌CFM △， ∴ME MF =. ∵四边形ABCD 是菱形， ∵AB CD ∥，∴2G ∠=∠.又∵DFC GFB ∠=∠，CF BF =， ∴DCF △≌GBF △， ∴DF GF =. ∵2G ∠=∠，12∠=∠， ∴1G ∠=∠， ∴AM GM =. ∵MG GF MF =+，DF GF =，ME MF =， ∴AM DF ME =+.2. 已知：如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线BE 平行于对角线AC ，AE=AC （E ，C 均在AB 的同侧）.求证：∠CAE =2∠BAE . （2013大兴一模）【解析】过A 作AG ⊥BE 于G ，连结BD 交AC 于点O ，∴ AGBO 是正方形. ∴ AG=AO=21AC =21AE ∴ ∠AEG=30°.∵ BE ∥AC ， ∴ ∠CAE =∠AEG = 30 º.E DBCAGOACBDE12MABGCD FE21MFEDCB A∴ ∠BAE = 45º – 30º = 15º . ∴ ∠CAE = 2∠BAE .【例4】 在ABCD Y中，BAD ∠的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． ⑴ 在图1中证明CE CF =；⑵ 若90ABC ∠=︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出BDG ∠的度数；⑶ 若120ABC ∠=︒，FG CE ∥，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求BDG ∠的度数．图1图2图3ABCF ED ADB E CGFADECG FB（2011北京中考） 【解析】⑴ 证明：∵AF 平分BAD ∠， ∴BAF DAF ∠=∠.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC AB CD ，∥∥.∴DAF CEF BAF F ∠=∠∠=∠，. ∴CEF F ∠=∠. ∴CE CF =. ⑵ BDC ∠=45︒.⑶ 解：分别连结GB 、GE 、GC . ∵120AB DC ABC ∠=︒，，∥ ∴120ECF ABC ∠=∠=︒∵FG CE ∥且FG CE =， ∴四边形CEGF 是平行四边形. 由⑴得CE CF =， ∴CEGF Y 是菱形.∴1602EG EC GCF GCE ECF =∠=∠=∠=︒，.∴ECG △是等边三角形.∴EG CG =， ①60GEC EGC ∠=∠=︒.∴GEC GCF ∠=∠. ∴BEG DCG ∠=∠. ②由AD BC ∥及AF 平分BAD ∠可得BAE AEB ∠=∠. ∴AB BE =. 在ABCD Y 中，AB DC =. ∴BE DC =. ③ 由①②③得BEG DCG ≅△△. ∴BG DE =，12∠=∠.∴132360BGD EGC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.能力提升321G图2ABCFED图3图2图1A E B F C D A E BF C GD A EB FC GD ∴180602BGDBDG ︒-∠∠==︒.【点评】 此题与第一讲的例3的第2问类似，第（2）问已知CEG △为等腰直角三角形，欲证BDG △为等腰 直角三角形，只需证DCG BEG △≌△； 第（3）问已知CEG △为等边三角形，欲证BDG △为等边三角形，只需证DCG BEG △≌△.【例5】 已知：如图1，正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连结DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． ⑴ 求证：EG =CG ；⑵ 将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问⑴ 中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．⑶ 将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问⑵中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）（2011平谷二模）【解析】（1）∵90DEF DCF ∠=∠=︒ ，G 为DF 中点， ∴EG =CG=12DF ；（2）方法一：如下图1，延长EG 交AD 延长线于点M ，连结CM 、CE ，易证DMG FEG △≌△、BDE DCM △≌△，然后可证ECM △为等腰直角三角形，于是EG =CG ，同时还可得EG ⊥CG ；方法二：如下图2，延长CG 到M ，使得MG=CG ，连结MF 、ME 、EC ，类似方法一通过证两次 全等和一个等腰直角三角形即可证得结论；方法三，如下图3，过点G 作GM ⊥AD 于点M ，延长MG 、EF 交于点N ，连结AG ，通过证明 AG=GE 、AG=GC 证得结论；图3图2图1MNG BCDEFFECBAGGABCEF图2图1DGEEGC（3）结论为EG =CG 且EG ⊥CG ，证明思路如下：方法一：如下图1，延长CG 到M ，使得MG=CG ，连结MF 、ME 、EC ，并延长MF 交BC 于点H ， 先证MGF CGD △≌△，再通过证明四边形EBHF 对角互补证明EFM EBC ∠=∠，从而可证EFM EBC △≌△以及MEC △为等腰直角三角形，于是EG =CG 且EG ⊥CG ；方法二：如下图2，分别取FB 、DB 的中点M 、N ，连结EM 、CN 、MG 、GN ，通过证明EMG GNC △≌△ 证出结论；方法三：如下图3，延长FE 到M ，使FE=EM ，延长DC 到N ，使CN=DC ，连结BM 、BN 、MD 、FN ，通过证明MBD FBN △≌△证出结论.图1图2图3MNNABDEFGH ABD F GMMGFD BA【点评】回顾总结“中点”的辅助线构造：以下探究主题为：中点的构造【探究1】 在正方形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点 E 、C 不重合）.且BN =NE ，请判断BN 与EN 的位置关系、以及CE 与BM 的数量关系并证明. 【解析】如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ． ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ∥CG ． ∴ ∠MBN =∠DGN ，∠BMN =∠GDN . ∵ N 为MD 的中点，∴ MN =DN ． ∴ △BMN ≌△GDN ．∴ MB =DG ，BN =GN .∵ BN =NE ， ∴ BN =NE =GN .∴ ∠BEG =90°．∵ EH ⊥CE ， ∴ ∠CEH =90°． ∴ ∠BEG =∠CEH ． ∴ ∠BEC =∠GEH ． 由（1）得∠DCF =45°．HGABCDEM NFFENM DCBA∴ ∠CHE =∠HCE =45°． ∴ EC=EH , ∠EHG =135°． ∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°，∴ ∠ECB =∠EHG ．∴ △ECB ≌△EHG ．∴ EB =EG ，CB =HG ． ∵ BN =NG ，∴ BN ⊥NE.∵ BM =DG= HG -HD= BC -HD =CD -HD =CH=2CE ， ∴CEBM=22.【探究2】△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ．请判断ED 和FD 的数量关系并说明理由．【解析】 DE =DF理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=． ∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==．∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠． ∴四边形MDNP 为平行四边形． ∴67∠=∠．∵,41∠=∠∴35∠=∠．∴EMD DNF ∠=∠． ∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．【例6】 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，P 是BC 边上一点，△P AD 的面积为21，设AB =x ，AD =y .（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若∠APD =45°，当1=y 时，求PB•PC 的值；（3）若∠APD =90°，求y 的最小值. （2013福建福州）B CADDAC P B模块二 梯形2x m =()()200ax b m a m +=≠≥，()211x +=11x +=±11x +=11x +=-1202x x ==-，AEFPBD C7654321NMCD BPFEA【解析】（1）如图，过点A 作AE BC ⊥于点E在Rt ABE △中，45B ∠=︒，AB x =∴2sin AE AB B x ==g ∵1122APD S AD AE ==g △，∴12122y =g g ， ∴2y =（2）∵APC APD CPD B BAP ∠=∠+∠=∠+∠ 又45APD B ∠=∠=︒ ∴BAP CPD ∠=∠∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴B C ∠=∠，AB DC =∴ABP △∽PCD △， ∴AB PBPC DC=， ∴PB PC AB DC =g g ， ∴2PB PC AB =g 当1y =时，2x =即2AB =∴2(2)2PB PC ==g（3）如图，取AD 的中点F ，连接PF ，过点P 作PH AD ⊥于点H ∴PF PH ≥当PF PH =时，PF 有最小值又∵90APD ∠=︒，∴1122PF AD y ==，∴12PH y =∴1122APD S AD PH ==g g △， ∴111222y y =g g ， 22y =∵0y >，∴2y =，即y 2【思维拓展训练】提高班训练1. 将两块全等的含30︒角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．30︒AB CD30︒图 1ABCDB 1C 1D 1图 2AB CD图 3图 4DCB A⑴ 四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________． ⑵ 如图2，将Rt BCD △沿射线BD 方向平移到111Rt B C D △的位置，四边形11ABC D 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．⑶ 在Rt BCD △沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形11ABC D 为矩形，其理由是_____________________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形11ABC D 为菱形，其理由是___________________________．（图3、图4用于探究）【解析】（1）是，AD ∥BC ，AD=BC ；（2）是，因为始终有AB ∥11C D ；（33，此时190ABC ∠=︒311AC BD ⊥.DACE P B H B P ECADF训练2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AC︰BD=2︰3．（1）求AC的长；（2）求△AOD的面积．（2013西城一模）【解析】（1）∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴OA=12AC，OB=12BD .∵AC︰BD=2︰3，∴OA︰OB=2︰3 .设OA=2x (x >0)，则OB=3x.∵AC⊥AB，∴∠BAC =90°.在Rt△OAB中，OA2+AB2=OB2.∵AB=2，∴(2x)2+22=(3x)2 .解得x=±255(舍负). ∴AC=2OA=855.（2）∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴OB=OD.∴S△AOD= S△AOB=12AO·AB =12×455×2=455.训练3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．⑴当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；⑵当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；⑶点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．【解析】（1）3或8；（2）1或11；（3）由（2）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，∴EP=AD=5，过D作DF⊥BC于F，则DF=FC=4，∴FP=3，∴2222345DP FP DF=+=+=∴EP=DP,G故此时平四为菱形.模块一特殊平行四边形的性质和判定课后演练【演练1】⑴如图，矩形ABCD中，AB AD>，AB a=，AN平分DAB∠，DM AN⊥于点M，CN AN⊥于点N．则DM CN+的值为（用含a的代数式表示）（）实战演练aNMD CBAP EAB CDS 2S 1A ．aB ．a 54 C ．a 22 D ． a 23⑵ 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积 分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ）A.16B.17C.18D.19【解析】（1）C （2）B【演练2】 在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连接EG 、GF 、FH 、HE ． ⑴ 如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；⑵ 如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是 ；⑶ 如图③，在⑵的条件下，若AC =BD ，四边形EGFH 的形状是 ；⑷ 如图④，在⑶的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由．【解析】（1）由全等证得OE=OF ，OG=OH 即可；（2）菱形；（3）菱形；（4）四边形EGFH 为正方形，先证平行四边形ABCD 为正方形.【演练3】 已知：如图，在□ABCD 中，∠BAD ，∠ADC 的平分线AE ，DF 分别与线段BC 相交于点E ，F ，AE 与DF 相交于点G ．（1）求证：AE ⊥DF ；（2）若AD =10，AB =6，AE =4，求DF 的长．（2013昌平一模） 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC . ∴∠BAD +∠ADC=180°. ∵AE 、DF 分别平分∠BAD 、∠ADC ， ∴111,222BAD ADC ∠=∠∠=∠ .∴112()902BAD ADC ∠+∠=∠+∠=︒ .∴∠AGD=90°. ∴AE ⊥DF .（2）由（1）知：AD ∥BC ,且BC= AD = 10，DC =AB =6，∠1=∠3,∠2=∠4 .∴∠1=∠AEB ,∠2=∠DFC . ∴∠3=∠AEB ,∠4=∠DFC .∴BE=AB =6，CF=DC =6. ∴BF =4. ∴EF =2. ∵AD ∥BC , ∴△EFG ∽△ADG . ∴15EG EF AGAD==.H G F E O D C B A 图① H G F E O D C B A 图② A B C D O E F G H 图③ A B C D O E F G H 图④GA EBCDF4321GAE B CDFPF EDCBA ∴145EGEG =-.∴EG=23.∴AG=103.由（1）知∠FGE=∠AGD=90°，由勾股定理，得2023，423∴DF=82.【演练4】 已知：如图，在正方形ABCD 中， E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE ⊥EF 于点E ．⑴ 延长EF 交正方形ABCD 的外角平分线CP 于点P ，试判断AE 与EP 的大小关系，并说明理由；⑵ 在AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【解析】（1）AE =EP ，在AB 上截取BN=BE ，证明ANE ECP △≌△ 即可； （2）存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形，如图，过点D 作DM ∥PE ，交AE 于点K ，交AB 于点M ，连结ME 、DP.证明AMD BEA △≌△即可.模块二 梯形 课后演练【演练5】 如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，3cm AB CD ==，60C ∠=︒，BD CD ⊥.⑴ 求BC 、AD 的长度；⑵ 若点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/秒的速度运动，点Q 从点 C 开始沿CD 边向点D 以lcm/秒的速度运动，当P 、Q 分别从B 、C 同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S 与运动时间t 之间的关系 式，并写出t 的取值范围（不包含点P 在B 、C 两点的情况）；⑶ 在⑵的前提下，是否存在某一时刻t ，使线段PQ 把梯形ABCD 分成 两部分的面积比为15∶?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）BC=6cm ，AD=3cm ；（2）)()232627034S t t t =-+<< （3）当12t = 时，线段PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积比为15∶.DAP QBKMPFEDCBA第十八种品格：坚持万斯同闭门思过清朝初期的著名学者、史学家万斯同参与编撰了我国重要史书《二十四史》。