走进重高 培优讲义 八上 第一讲 认识三角形

第一讲 认识三角形例 1 有四条线段，长度分别为,12,10,8,4cm cm cm cm 选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？例2 如图，将△ABC 沿着平行于BC 的直线折叠，使点A 落到点/A 处，折痕为DE.若,15,115 =∠=∠A C 则DB A /∠的度数为例3 如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是边BC ，AD ，CE 上的中点，且,1=∆BEF s 求⋅∆ABC s例4 如图：(1)图1是一个五角星，求∠++∠∠∠+DE+CBA∠的度数．(2)将图1中的点A向下移到BE上（如图2），五个角的和有无变化？说说你的理由．(3)将图2中的点C 向上移到BD上（如图3），五个角的和有无变化？说说你的理由，例5已知直线MN与直线PQ垂直相交于点o，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．(1)如图1，已知AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，点A，B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．(2)如图2，已知AB不平行于CD，AD，BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线，DE ，CE分别是∠ADC和∠BCD 的平分线，点A，B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．(3)如图3，延长BA至点G，已知∠BAO，∠OAG的平分线分别与∠BOQ的平分线及延长线相交于点E，F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．例 如图1，已知线段AB ，CD 相交于点O ，连结AC ，BD ，我们把形如这样的图形称为“8字形”．(1)求证：.D B C A ∠+∠=∠+∠(2)如图2，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与CD ，AB 分别相交于点M ，N ． ①以线段AC 为边的“8字形”有_______个，以0为交点的“8字形”有________个．②若,120,100 =∠=∠C B 求∠P 的度数． ③当CDB CDP CAB CAP ∠=∠∠=∠31,31时，试探究C B P ∠∠∠,与之间存在的数量关系，并说明理由，拓展训练A 组1．以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是( )．9,6,3.A 9,5,3.B 4,6,2.C 9,6,4.D2．在△ABC 中，,3:2:1::=∠∠∠C B A 则△ABC 是( )．A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定形状3．在△ABC 中，B C A ∠∠∠与,的外角度数如图，则x 的值是( )．60.A 65.B 70.C 80.D（第3题）4．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是( )．5．已知三角形的三边长分别为,10,,2x 若x 为正整数，则这样的三角形的个数为( )．1.A2.B3.C4.D6．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为,110那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为7．小亮家离学校,1km 小明家离学校,3km 如果小亮家与小明家相距),(km x 那么x 的取值范围是_______.8．如图，△ABC 三边的中线CF BE AD ,,交于点G ，若,12=∆ABC s 则阴影部分的面积是________.（第8题） （第9题） 9．如图，已知,28,34,142 =∠=∠=∠C B BDC 则=∠A _________.10.把长度分别为cm cm cm 8,15,20的三根木棒搭成一个三角形．(1)若把cm 20的木棒换成cm 7的木棒能否搭成一个三角形？(2)若把cm 20的木棒换成cm 5的木棒能否搭成一个三角形？(3)把cm 20的木棒换成什么范围内的木棒能搭成一个三角形？11．如图，已知AB DF ⊥于点,50,40, =∠=∠D A F 求∠ACB 的度数．（第11题）12．如图，在△ABC 中，,ABC A ∠=∠直线EF 分别交△ABC 的边AB ，AC 和CB 的延长线于点.,,F F D(1)求证：.2A FEC F ∠=∠+∠(2)过点B 作AC BM //交FD 于点M ，试探究FEC F MBC ∠+∠∠与的数量关系，并证明你的结论．（第12题）B 组13．下面不能组成三角形的三条线段是( )．cm c cm b a A 1,100.=== cm c b a B 3.===cm c b a c 332.=== cm a cm a c cm a b D 2,)1(,)1(.=+=+=14.如图，在△ABC 中，ABC A ∠=∠,52与ACB ∠的平分线交于点11,ABD D ∠与1ACD ∠的平分线交于点,2D 依此类推，4ABD ∠与4ACD ∠的平分线交于点,5D 则C BD 5∠的度数是( )． 60.A 56.B 94.C 68.D（第14题） （第15题） （第16题）15.如图，△ABC 和△DEF 有一部分重叠在一起（图中阴影部分），重叠部分的面积是△ABC 面积的,72是 △DEF 面积的,31且△ABC 与△DEF 面积之和为26，则重叠部分的面积是__________.16.如图，点G 是△AFE 的两外角平分线的交点，点P 是△ABC 的两外角平分线的交点，点F ，C 在AM 上，又点B ，E 在AN 上，如果,66 =∠FGE 那么=∠P ________.17．在△ABC 中，已知.40 =∠A(1)如图1，若两内角ACB ABC ∠∠,的平分线交于点P ，则=∠P ______p A ∠∠与,之间的数量关系是__________为什么有这样的关系？请证明它．(2)如图2，若内角∠ABC、外角∠AC E 的平分线交于点P ，则=∠P ________P A ∠∠与,之间的数量关系是_________.为什么有这样的关系？请证明它．(3)如图3，若两外角FCB EBC ∠∠,的平分线交于点P ，则=∠P ________A ∠,与P ∠之间的数量关系是_________.（第17题） 18.如图1，在△ABC 中，AD 是高线，AE 是∠BAC 的平分线，.70,40 =∠=∠ACB ABC(1)求∠EAD 的度数．(2)当βα=∠=∠ACB ABC ,时，请用βα,表示∠EAD ，并写出推导过程．(3)当,,βα=∠=∠ACB ABC AE 是∠BAC 的外角∠FAC 的平分线时，如图2，∠EAD 的度数是多少？（用βα,表示，直接写出结果）（第18题）走进重高1．【贵阳】如图，在△ABC 中，有四条线段DE ，BE ，EF ，FG ，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是( )．A.线段DE B ．线段BE C ．线段EF D ．线段FG（第1题）2．【长春】如图，在△ABC 中，CD 平分么ACB 交AB 于点D ，过点D 作BC DE //交AC 于点E ．若,48,54 =∠=∠B A 则∠CDE 的大小为( )．44.A 40.B 39.C 38.D（第2题） （第3题） （第5题）3．【聊城】如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的点/A 处，折痕为DE ．如果 ,,,//γβα=∠=∠=∠BDA CEA A 那么下列式子中正确的是( )．βαγ+=2.A βαγ2.+=B βαγ+=.C βαγ--= 180.D4．【巴中】若c b a ,,为三角形的三边，且a ，b 满足,0)2(92=-+-b a 第三边c 为奇数，则c=__________.5．【临海】如 图，若C A B ,,40 =∠分别为角两边上的任意一点，连结BAC AC ∠,与∠ACB 的平分线交于点,1P 则=∠1P________，D ，F 也为角两边上的任意一点，连结BFD DF ∠,与∠FDB 的平分线交于点 2P 按这样的规律，则=∠2016P ___________.6．如图是一张三角形纸片ABC ，其中.C A ∠=∠(1)把△ABC 纸片按如图1所示折叠，使点A 落在AC 边上的点F 处，DE 是折痕，证明.//DF BC(2)把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内时（如图2），探究+∠∠1与C 2∠之间的大小关系，并说明理由．(3)当点A 落在四边形BCED 外时（如图3），2,1∠∠∠与C 的关系是________.（直接写出结论）（第6题）高分夺冠1．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，点0在AD 上，如果BO D AO B S s ∆∆=,3,1,2==∆Aco S 那么COD S ∆等于( )． 31.A 21.B 23.C 32.D （第1题）2．将长度为25 cm 的细铁丝折成边长都是质数(单位：cm)的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是,,,c b a 且满足,c b a ≤≤则),,(c b a 有________组解，所构成的三角形都是________三角形．3．如图，点D ，C ，G 在同一直线上，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，CF 平分∠ACG ，BE 延长线与CF 相交于点F ，若,100,160 =∠=∠A BDC 则=∠F _____度．（第3题）4．已知△ABC 的面积是60，请回答下列问题：(1)如图1，若AD 是△ABC 的BC 边上的中线，则△ABD 的面积_______（填“>”“<”或“一”）△ACD的面积．(2)如图2，若CD ，BE 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的中线，求四边形ADOE 的面积可以用如下方法：连结AO ，由DB AD =得,BDO ADO s s ∆∆=同理可得⋅=∆∆AEO CEo s s 设,x s BDo =∆,y s CEo =∆则⋅==∆∆y S x S AEO O D A , 由题意得,3021,3021====∆∆∆∆ABC ADC ABC ABE s S S S 可列方程组为 ⎩⎨⎧=+=+,302,302y x y x 解得________，则四边形ADOE 的面积为______ (3)如图,2:1:,3:1:,3==AE CE DB AD 请你计算四边形ADOE 的面积，并说明理由．（第4题） 5．已知在同一平面上有n 个点(n n ,3≥为自然数），其中任何三点都不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于⋅n180答案。