5.2 余弦函数的图象与性质再认识
5.2余弦函数的图像与性质再认识优秀教学课件(推优)
,0)
图象的最低点 ( ,1)
例1 用五点作图法画出函数y= - cosx在x[0, 2]的简图：
x
0
2
cosx
1
0
- cosx -10 Nhomakorabeay 1
o
2
2
-1
3
2
2
-1
0
1
1
0
-1
y=cosx，x[0, 2]
思考：如何用五点法
3
2
x 作出y cos(x )的图像？
2
6
y= - cosx，x[0, 2]
2
2k，3
2
2k k
Z
y
y=cosx
1
-2 - o 2 3 4 x
-1
x k k Z
k ,0
2
偶函数
单调增区间: - 2k，2k k Z 单调减区间: 2k， 2k k Z
练习：思考函数y cosx和函数y cosx的关系，并画出函数y cosx的图像， 说出函数y cosx的性质
2
只需将 y sin x 的图象向左平移 2 个单位即可得到.
余弦函数y=cosx(xR)的图象
y
y=sinx的图象
1
2 0 3 2 3
2 -1 2
2
4 5
y=cosx的图象
6 x 平移法
y
y cos x x [0, 2 ]
1-
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5 23
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
52余弦函数的图象与性质再认识课件高一下学期数学北师大版
课文精讲
➢余弦函数的图象 余弦函数y=cosx，x ∈R的图象称作余弦曲线.
课文精讲
➢五点作图法余弦函数y=cosx的图象（列表、描点、连线）
x
y=cosx
课文精讲
➢余弦函数的图象 因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，
然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图. 这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”.
f（x）+b
向上平移 b个单位长度
f（x+a） 向左平移a个单位长度 f（x） 向右平移a个单位长度 f（x−a）
向下平移 b个单位长度
f（x）−b
课文精讲
➢余弦函数的图象
图象的对称变换
关于x轴对称 −f（x）
f（x）
关于y轴对称 f（−x）
典型例题
例1：画出函数y=cos(x−π)在一个周期上的图象.
y
x
y=cosx
y=cosx−1
o
x
典型例题
例2：画出函数y=cosx−1在一个周期上的图象，并根据图象讨论 函数的性质. 解： 由函数y=cosx−1的图象得到它的主要性质(如表).
函数 y=cosx-1 定义域 R 值域 [−2，0] 奇偶性 偶函数
周期性 周期函数，周期是2π
典型例题
函数
y=cosx−1
课文精讲
➢余弦函数性质的再认识
3.单调性 4.最大(小)值和值域
课文精讲
➢余弦函数性质的再认识 5.奇偶性
余弦曲线关于y轴对称(如图).由诱导公式cos(−x)=cosx可知，
余弦函数是偶函数.
典型例题
例2：画出函数y=cosx−1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函
余弦函数图像与性质
余弦函数的图象
五点法
小 1.余弦曲线
结
正弦函数得出（借助诱导公式）
2.注意与正弦函数的性质对比来理解余弦函数
的性质
谢谢！
作业：课本P33 2、4
用五点法作y=sinx , x∈[02，π ]的简图
x
0
sinx 0
π 2
π
3π 2
2π
1
0
-1
0
Y 1
.
.
O
π
2
-1
.π 3π
.
2π X
2.
五点法作y=cosx, x∈[0，2π]的简图
周期为T=2π
奇函数
在x∈[2kπ都是增函数 x∈[2kπ+
π2, 2kπ+ ，, π22kπ+
都是减函数.
π]2上
在
]上3π2
对称中心 对称轴
(kπ,0) π
x = kπ+ 2
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1
周期为T=2π 偶函数
在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是增函数 。
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(o2 ,0)
( 2 ,0)
2
3
-1
( ,-1)
余弦函数的图象和性质
例5 画出函数y=cosx-1的简图，并根据图像讨 论函数的性质。
x y=cosx y=cosx-1
0
π
2
π
3π 2π
2
1
0
-1
0
1
0
-1
-2
-1
0
y
11
π
0
2
-1
y= cosx
3π 2
2π
π
π
2
y=cosx-1
函数 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性
最大值与 最小值
函数y=cosx-1的性质
，
2
上是减函数
（2）函数y cos(x ), x R A
2 A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
（3）不通过求值，比较sin( 54 )与sin( 63 )的大小
7
8
sin( 54 ) sin( 63 )
4
4
4
4
2
(4) cos(1650) cos1650 cos(4360 210) cos 210 cos(180 30) cos 30 3
2 (5) cos(15015) cos15015 cos(180 2945) cos 2945 0.8708
x
y=cosx (xR)
三、余弦函数的性质
y=cosx (xR)
-4 -3
-2
y
1
-
o
-1
定义域 xR 值 域 y[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2
x
2
3
4
余弦函数的图象与性质ppt课件
(2) 余弦函数的周期
由公式 cos(x＋k ·2 )＝cos x ( k Z ) 可知：
余弦函数是一个周期函数，2 ，4 ，…， －2 ，－4 ，… ， 2k ( k Z 且 k≠0 ) 都是余弦函数的周期；
2 是其最小正周期．
余弦函数的图象每隔 2 重复出现．
(3) 余弦函数的奇偶性
由公式 cos(－x)＝cos x
2π
4π
6π
x
-
-
二、余弦函数的性质 (1) 余弦函数的值域
观察余弦曲线 定义域 x R ， 值 域 y[- 1， 1]. 当 x＝2 k，k Z 时，
y＝cos x 取得最大值1，即 ymax＝1； 当 x＝ (2 k+1) ， k Z 时，
y＝cos x 取得最小值 -1，即 ymin＝-1．
余弦函数是偶函数．
图象关于 y 轴成轴对称 ．
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4 x
(4) 余弦函数的单调性
观察余弦曲线
x
－ …
π 2
…
0
π
…2
cosx －1
0
1
0
… －1
y
1
-3 5π -2 3π
2
2
-
π o 2
π 2
3π 2
2
5π 2
x
-1
在 [(2 k－1) , 2 k] (kZ)上，是增函数； 在 [2 k，(2 k＋1) ] (kZ)上，是减函数．
7π 5
；(2)
cos(-
23π 5
)
和cos(-
17 π 4
)．
北师大版高中数学课件第一章 5.2 余弦函数的图象与性质再认识
2.要得到 y=cos x 的图象,只需把 y=sin x 的图象向左平移 2 个单位长
度即可,这是利用诱导公式 cos x=sin x+2 得出.
-6-
5.2
课前篇自主预习
余弦函数的图象与性质再认识
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)函数 y=cos x 的图象与 y 轴只有一个交点.
余弦函数在整个定义域内不单调.
2.余弦函数图象的对称轴一定过余弦函数图象的最高点或最低点,
即此时的余弦值取最大值或最小值.
3.利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小,必须先看两
角是否同属于这一函数的同一单调区间,若不属于,先化至同一单
调区间内,再比较大小.
-9-
5.2
课前篇自主预习
余弦函数的图象与性质再认识
.
(2)函数 y= 1-2cos+lg(2sin x-1)的定义域是
.
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
-27-
5.2
探究一
课前篇自主预习
余弦函数的图象与性质再认识
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
√2
解析(1)要使函数有意义,只需 2cos x-√2≥0,即 cos x≥ 2 .由余弦函数
变式训练3方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内的所有根的和为(
)
A.2
B.1
C.0 D.-1
解析如图所示,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=|x|与
1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识(教学课件)-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
−6 +
7
5
7
,
5
=
7
7
4
4
−6 + =
,
7
7
5
4
因为 = 在 , 2 上单调递增，且π < π < π < 2π,
所以
即
7
<
5
23
−
5
<
7
.
4
−
17
4
.
练习
题型三：余弦函数的定义域、值域、最值问题
例3
思考三：求函数
y＝
2－2cos x的定义域.
解：要使函数有意义，则 2 − 2 ≥ 0，即 ≤
= 3 − 2的单调递增区间为________．
(2)比较
−
23
5
与
17
− 4
解：(1)由 = 3 − 2的图象(图略)可得，
函数在 2, + 2 , ∈ 上单调递增，
故填 2, + 2 , ∈ ．
的大小．
练习
(2)
−
−
17
4
23
5
=
=
新知探索
我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，
这一现象可以用公式( ± ) = 来表示.这说明，自变量
每增加(减少)，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一
特性，就可以简化正弦函数的图象与性质的研究过程.
下面先研究函数 = ， ∈ 的图象，从画函数 = ， ∈
新知探索
思考2： 在对函数图象的精度要求不太高时，如何画出函数在 ,
北师大版高一数学必修第二册(2019版)_《余弦函数的图象与性质再认识》教学设计一
《余弦函数的图象与性质再认识》教学设计一教学设计 教学环节 教学内容师生互动设计意图复习引入1.余弦函数的概念.2.余弦函数的基本性质.3.余弦函数的诱导公式.4.画正弦函数图象的方法.教师提出问题，学生回答.为研究余弦函数的图象与性质做好准备.探究新知1.余弦函数的图象. 画余弦函数图象的方法： 方法一：列表、描点、连线. 第一步：列表.第二步：描点.第三步：连线，得到余弦函数在区间[0,2]π上的图象（如图所示）.由周期性可知，函数cos y x =在区间[2,2(1)]k k ππ+，k ∈Z ，0k ≠上与在区间[0,2]π上的函数图象形状完全相同，只是位置不同.将函数cos ,[0,2]y x x π=∈的图象向左、右平移（每次平移2π个单位长度），就可以教师指导学生阅读教材第32~33页内容，找到画余弦函数图象的三种方法，并由学生画图，画完后师生共同归纳总结画余弦函数图象的方法.思考：方法一的优点与缺点分别是什么？教师引导学生思考回答.思考：余弦函数图象中的五个关键点与正弦函数图象中的五个关键点有什么相同点与不同点？教师引导学生思考回答.教师操作多媒体展示余弦函数的图象，引导学生探究余弦函数的性质，并与正弦函数的性质进行类比，找出相同点与不同点.学生相互交流，发表自己的想法，其他学生补充完善.锻炼学生的动手实践能力，为下一步再认识余弦函的性质做好准备，让学生从“形”的角度认识余弦函数，培养学生的直观想象核心素养. 用类比的方法认识余弦函数的性质，有助于加深学生得到余弦函数cos ,y x x =∈R 的图象，余弦函数cos ,y x x =∈R 的图象称作余弦曲线.方法二：五点（画图）法. 在平面直角坐标系中，描出3(0,1),,0,(,1),,0,(2,1)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这五个点，函数cos y x =在区间[0,2]x π∈的图象就基本确定了.因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图这种作余弦曲线的方法也称为“五点（画图）法.方法三：平移法.因为cos sin 2x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以余弦函数的图象可以通过将正弦函数图象向左平移2π个单位长度得到. 2.余弦函数的性质再认识. （1）定义域.余弦函数的定义域是R . （2）周期性.由于余弦函数cos y x =的图象是由正弦曲线sin y x =向左平移2π个长度单位得到的，可以证明，余弦函数是周期函数，最小正周期是2π.的记忆.由图象的画图过程可知，每隔2π余弦函数的图象就重复出现，也能得出上述结论.（3）单调性.从列表到图象，分析余弦函数图象的“上升”“下降”的变化趋势，分析余弦函数的单调性.从cos ,[,]y x x ππ=∈-的图象可以看出：当x 由π-增大到0时，曲线逐渐上升，cos x 的值由1-增大到1；当x 由0增大到π时，曲线逐渐下降，cos x 的值由1减小到1-.因此，余弦函数在区间[,0]π-上单调递增，在区间[0,]π，上单调递减.结合周期性可知，余弦函数在区间[(21),2],k k k ππ-∈Z 上都单调递增，在区间[2,(21)],k k k ππ+∈Z 上都单调递减.（4）最大（小）值与值域. 由最大值、最小值的定义可知，最大值就是函数图象的最高点的纵坐标，最小值就是函数图象的最低点的纵坐标，根据余弦函数的图象，如何求得其最大值与最小值？取到最大值（最小值）时，x 的取值如何？由单调性的分析过程可知，当2,x k k π=∈Z 时，余弦函数取得最大值1；当(21),x k k π=+∈Z 时，余弦函数取得最小值1-.由余弦函数的图象可知，余弦曲线夹在两条平行线1y =和1y =-之间，所以余弦函数的值域是[1,1]-.（5）奇偶性.观察cos y x =的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这些事实说明函数的图象有什么样的对称性？可以得到余弦函数的哪一个性质？余弦函数的图象关于y 轴对称由诱导公式cos()cos x x -=可知，余弦函数是偶函数.归纳总结1.五点（画图）法画余弦函数的图象： 五个关键点是3(0,1),,0,(,1),,0,(21)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，与正弦函数一样，利用了图象上的最高点、最低点、与轴的交点，画出了余弦函数的图象.思考：在同一个直角坐标系内，能否同时画出sin y x =与cos y x =在[0,2]π内的图象，并研究函数的性质？ 如图所示.教师引导学生在同一个平面直角坐标系内画出函数sin y x=与cos y x=在[0,2]π，上的图象，并探究如下问题：（1）两个函数图象有几个交点？交点坐标分别是什么？（2）当sin cos x x >时，x 的取值范围是什么？当sin cos x x >时，x 的取在熟练掌握余弦函数图象的基础上进一步认识余弦函数的性质，激发学生的潜能，达到多思多说的目的，进一步2.余弦函数的性质： （1）定义域：R . （2）周期性：2T π=（3）单调性：单调递增区间是[(21),2],k k k ππ-∈Z ；单调递减区间是[2,(21)],k k k ππ+∈Z . （4）最大（小）值和值域: 当2,x k k π=∈Z 时，余弦函数取得最大值1；当(21),x k k π=+∈Z 时，余弦函数取得最小值-1.余弦函数的值域是[1,1]-（5）奇偶性：余弦函数的图象关于y 轴对称，余弦函数是偶函数.值范围是什么？ 学生可以进行小组讨论，以小组为单位汇总后进行回答.通过余弦函数图象，教师引导学生归纳总结余弦函数的性质.加深学生对本节内容的理解.应用举例例1画出函数cos()y x π=-在一个周期上的图象.解 按五个关键点列表（如下表）.于是得到函数cos()y x π=-在区间[,3]ππ上的五个关键点为35(,1),,0,(2,1),,0,(3,1)22πππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 教师出示例1，提示学生利用五点（画图）法画出函数图象.选两名学生上台画出函数图象，其他学生在练习本上完成.学生完成后，教师及时评价，并用多媒体出示函数图象. 教师出示例2，引导学生先用五点（画图）法画出函数图象，然后根据函数图象讨论通过画图象，锻炼学生的动手操作能力. 通过画函数图象并讨论函数性质的过程，进一步加深描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数cos()y x π=-在一个周期上的图象（如图）.也可以利用诱导公式cos()cos y x xπ=-=-，画出cos y x =-的图象.例 2 画出函数cos 1y x =-在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质.解 函数cos y x =的最小正周期是2π，按五个关键点列表（如下表）.于是得到函数cos 1y x =-在区间[0,2]π上的五个关键点为3(0,0),,1,(,2),,1,(2,0)22ππππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数cos 1y x =-在区间[0,2]π上的图象（如图）.函数的性质. 选两名学生上台画出函数图象，其他学生在练习本上完成，教师做好巡视指导.学生完成后，师生共同归纳函数的性质. 学生对余弦函数的图象与性质的认识，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养.由函数cos 1y x =-的图象得到它的主要性质（如下表）：课堂小结1.余弦函数的图象.2.五点（画图）法.3.余弦函数的性质.学生相互交流收获与体会，并进行反思.关注学生的自主体验，提高学生的概括总结能力.布置作业1.教材第36~37页练习第1~6题.2.交流思考：请借助余弦函数cos y x =的图象，求满足不等式1cos 2x ≥的x 的取值范围. 学生独立完成，教师批阅.通过完成作业，巩固所学内容.板书设计5.2余弦函数的图象与性质再认识一、复习引入 1.余弦函数的概念 2.余弦函数的基本性质 3.余弦函数的诱导公式4.画正弦函数图象的方法 二、探究新知 1.余弦函数的图象方法一：列表、描点、连线 方法二：五点（画图）法 方法三：平移法 2.余弦函数的性质再认识 （1）定义域 （2）周期性 （3）单调性（4）最大（小）值与值域 （5）奇偶性 三、归纳总结1.五点（画图）法画余弦函数的图象五个关键点是3(0,1),,0,(,1),,0,(2,1)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.余弦函数的性质 （1）定义域：R （2）周期性：2T π=（3）单调性：单调递增区间是[(21),2],k k k ππ-∈Z ；单调递减区间是[2,(21)],k k k ππ+∈Z （4）最大（小）值和值域：当2,x k k π=∈Z 时，余弦函数取得最大值1； 当(21),x k k π=+∈Z 时，余弦函数取得最小值1- 余弦函数的值域是[1,1]-（5）奇偶性：余弦函数的图象关于y 轴对称，余弦函数是偶函数 四、应用举例 例1例2五、课堂小结1.余弦函数的图象2.五点（画图）法3.余弦函数的性质六、布置作业。
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5.2 余弦函数的图象与性质再认识
课后篇巩固提升
基础达标练
1.下列关于函数f(x)=的说法正确的是( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
解析定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(-x)==-=-f(x),故f(x)是奇函数.
答案A
2.函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A.,1
B.(π,1)
C.(0,1)
D.(2π,1)
解析用五点作图法作出函数y=-cosx(x>0)的图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1).
答案B
3.函数y=-3cos x+2的值域为( )
A.[-1,5]
B.[-5,1]
C.[-1,1]
D.[-3,1]
解析因为-1≤cosx≤1,所以-1≤-3cosx+2≤5,即值域为[-1,5].
答案A
4.函数y=|cos x|的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析作出函数y=|cosx|的图象(图略),由图象可知A,B都不是单调区间,D为单调递增区间,C为单调递减区间,故选C.
答案C
5.函数y=cos x在区间[-π,a]上是增加的,则a的取值范围
为.
5.2 余弦函数的图象与性质再认识
课后篇巩固提升
基础达标练
1.下列关于函数f(x)=的说法正确的是( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
解析定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(-x)==-=-f(x),故f(x)是奇函数.
答案A
2.函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A.,1
B.(π,1)
C.(0,1)
D.(2π,1)
解析用五点作图法作出函数y=-cosx(x>0)的图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1).
答案B
3.函数y=-3cos x+2的值域为( )
A.[-1,5]
B.[-5,1]
C.[-1,1]
D.[-3,1]
解析因为-1≤cosx≤1,所以-1≤-3cosx+2≤5,即值域为[-1,5].
答案A
4.函数y=|cos x|的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析作出函数y=|cosx|的图象(图略),由图象可知A,B都不是单调区间,D为单调递增区间,C为单调递减区间,故选C.
答案C
5.函数y=cos x在区间[-π,a]上是增加的,则a的取值范围为.。