算法设计

算法的概念1）算法是一个有穷规则的集合2）算法是求解一个问题类的无二义性的有穷过程。

3）用与给定计算机通讯的语言编写的，并且可以在这种计算机上执行的过程叫做算法4）算法是对所有有效输入都停机的图灵机算法的五个特征1）有穷性：计算步骤有限，且有一定的顺序，同时每一步骤都能在有限的时间内完成2）确定性：每个计算步骤必须是确定的、无二义性3）可终止性：运算能在有限的时间内完成，没有死循环4）输入：有零或多个输入5）输出：有一个或多个输出算法设计的步骤一、问题的陈述已知什么，求什么，提附加问题以帮助理解用户的要求二、模型的选定三、算法的详细设计四、算法的正确性五、算法的实现1）完善子程序2）选合适的数据结构六、算法的分析七、程序的测试算法的评价1．正确性2．执行时间最短3.复杂性最小这些因素与使用的机器、程序设计语言、程序员有关算法的复杂性一般随问题规模的增长而增大。

算法复杂性= 算法所需要的计算机资源顺序统计问题：从n个元素中找出第k个最小元素(或最大元素) 。

把n个元素排成非递减序，从中找出第K个最小元素O(nlog2n)把这n个元素放在集合S中，从S中随机地选出一个元素a，a为界，把全体元素分成：S1 S2 S3{小于a} {等于a} {大于a}再根据S1、S2、S3排中元素个数从某个子集中寻找。

先从S中找到中值元素m，再用m去划分S矩阵乘法方法三：Strassen的分治算法令P=(A11+A22)(B11+B22), Q=(A21+A22)B11，R=A11(B12-B22), S=A22(B21-B11)，T=(A11+A12)B22，U=(A21-A11)(B11+B12)，V=(A12-A22)(B21+B22)则C11=P+S-T+V, C12=R+T，C21=Q+S, C22=P+R-Q+UT(n)=O(n log7)=O(n2.81)大整数乘法方法二：设n=2r,将两个数都按位数划分成两段即x=a2n/2+b, y=c2n/2+d 则：xy=(a2n/2+b)(c2n/2+d)=ac2n+(ad+bc) 2n/2+bdT(n)=O(n2)方法三：xy=(a2n/2+b)(c2n/2+d)=ac2n+(ad+bc) 2n/2+bd= ac2n+((a-b)(d-c)+ac+bd)2n/2+bdT(n)=O(n log3)=O(n1.59)第三章动态规划概念：动态规划方法涉及多级决策过程中的最优化问题。

它把求解的问题分成许多级或许多子问题，然后按顺序求解各子问题；前一子问题的解为后一子问题的求解提供了有用的信息；并且在求解任一子问题时，保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其它局部解；依次解决各子问题，最后一个子问题的解就是初始问题的解。

基本思想：分治思想和解决冗余。

重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。

最优子结构：当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。

最优性原理又称为最优子结构性质：如果有一决策序列包含有非最优的决策子序列，则该决策序列一定不是最优的。

即一个最优策略的子策略总是最优的。

解题步骤:1、找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2、递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3、以自底向上的方式计算出最优值；4、根据计算最优值时记录的信息，构造最优解。

动态规划与分治法的区别和联系相同之处：都是将原问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

区别：分治法中被分解的子问题之间相互独立；在动态规划中，经分解的子问题往往不是互相独立的，各子问题必须按顺序求解，前一子问题的解是求解下一子问题的条件，已求解子问题的有用解保存起来，以免重复计算。

资源分配问题)}({max)()}()({max)(..............)}()({max)(11121222112xGxfxxfxGxfxxfxGxfaxxaxxnnnnaxxnn≤≤≤≤≤≤-≤≤≤=-+=-+=单源最短路径问题cost(i,j)=min{C(j,r)+cost(i+1,r)}r∈V i+1<j,r> ∈EProcedure Fgraph{ for i ←1 to n cost[i] ←0；for j =n-1 step –1 to 1 do{找顶点r,使<j,r> ∈E,且C(j,r)+cost[r]最小；cost[j]←C(j,r)+cost[r];D[j] ←r ;}P[1] ←1 ; P[k] ←n;for j=2 to k-1 do P[j] ←D[P[j-1]]}资源分配问题)}({max)()}()({max)(..............)}()({max)(11121222112xGxfxxfxGxfxxfxGxfaxxaxxnnnnaxxnn≤≤≤≤≤≤-≤≤≤=-+=-+=流水作业车间调度问题算法设计：流水作业调度问题的Johnson算法(1)令};|{},|{21iiiibaiNbaiN≥=<=(2)将N1中作业依a i的非减序排序；将N2中作业依b i的非增序排序；(3)N1中作业接N2中作业构成满足Johnson法则的最优调度。

货郎担问题算法设计：设T( i,S)是由结点i出发，经过结点集S中每个结点各一次并回到初始结点1的一条最短路径长度，则T(1,V-{1})就是一条最优的周游路线长度。

动态规划模型：T(1,V-{1})=min{d1k+T(k,V-{1,k})}则，T( i，S)= d i,1，当S为空时；T( i，S)=min{d ij+T(j，S-{j})} ，当S中有多于一个元素时，j ∈S，i ∉S多重配置系统可靠性问题分析：若部件i 只有一个，则该部件的可靠性为r i ，若部件i 有m i 个，则该部件的可靠性为1-(1-r i )m i 。

整个系统的可靠性为：∏=ni i i m 1)(φ；整个系统造价为：∑=ni ii c m 1假设系统的总造价不超过C ，系统的可靠性问题就是找出一个适当的m 1，m 2，…，m n ，在系统总造价不超过C 的情况下，使得可靠性最高。

算法设计：设系统的总造价为C ，则每一级部件的个数是有限的：i i i nj j u c c c C =--∑=]/))([(11)()}(*)({max )(011=-=-≤≤x f m c x f m x f i i i i i u m i ii φ算法设计：用一个二元组(f, x)来表示f=f i (x)用集合S i,j 表示由(f,x)组成的集合，其中i 表示前i 级部件，j 表示第i 级部件D i 的个数。

(1)S 0={(1,0)}(2)计算S i,1、S i,2、…、S i,ui方法：对于S i-1中的每一个(f, x)，有(f*φi (j),x+j*c i )∈S i,j (3)淘汰S i,j 中不可能达到最优的局部解，若同时存在(f 1,x 1)和(f 2,x 2),且f 1<f 2, x 1≥x 2 则淘汰(f 1,x 1) 把剩余的S i,j 中的所有二元组送到中S i (4)重复(2)、(3) (5)从中找到最佳方案第四章 贪心法概念：贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。

也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。

贪心选择性质：所谓贪心选择性质是指所求的问题的整体最优解可以通过一系列局部最优化的选择，即贪心选择来达到。

这是贪心算法可行的第一要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。

最优子结构性质：当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。

问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。

贪心算法与动态规划算法的差异：贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构性质，这是两类算法的一个共同点。

贪心算法还要求问题满足贪心选择性质。

多处理机调度问题最优化量------各作业的处理时间，先按t i 从大到小排序，依次调度背包问题M>0, W i >0, P i >0, 1≤i ≤n ，找一个n 元向量(x 1,x 2,………, x n ) , 0≤x i ≤1, 1≤i ≤n∑∑==≤ni i i ni i i x M x 11最大P 且W 使为最佳解)1(,1　则若1n i x M W i ni i ≤≤=≤∑=//P[1…n]存放n 种物体的价值，W[1…n]存放n 种物体的重量，//M 表示背包所能承受的重量，x[1…n]表示每种物体放进背包的比例//按P[i]/W[i]将序列P 和W 从大到小排列 for(i=1; i<=n; i++) x[i]=0; //初始化 cu=M; i=1; while(W[i]<=cu){x[i]=1; cu=cu-w[i]; i++; }x[i]=cu/w[i]; printf(x);带时限的作业调度问题 顺序选择以利润为最优化量，按利润从大到小选择作业。

1．初始化：J=Φ，∑ p i =02．选择一个利润最大的作业加入J 中3．设子集J 中已有k-1个作业J i1, J i2,…., J ik-1，它们是一个可完工的作业子序列，在剩余的作业中选择利润最大的作业J ik 加入J 最大时限选择令d =max{d i } ,1≤i ≤n,d 称为最大时限。

b =min{n,d}任何最大利润的可完工子序列中作业个数必不大于b ，任何可完工的作业子序列中最多只包含一个时限为1的作业；包含两个时限不大于2的作业；…… ；包含d 个时限不大于d 的作业。

以时限为最优化量（1）在时限为d 的作业中选择一个利润最大的作业加入J 中（2）在时限为不小于d-1的作业中，选择一个利润最大的作业加入J 中（3）在时限为不小于d-2的作业中，选择一个利润最大的作业加入J 中 ……在时限为不小于1的作业中，选择一个利润最大的作业加入J 中最佳合并顺序 void OMTREE( ){ L= ;for(i=1; i<=n; i++) { //建n 棵树 GETROOT(Ti);WEIGHT[Ti]=qi, INSERT(L,Ti); }for(i=1; i<n; i++){//合并n-1次 GETROOT(T);LEFTSON[T]=LEAST(L); RIGHTSON[T]=LEAST(L);WEIGHT[T]=WEIGHT[LEAFTSON[T]]+WEIGHT[RIGHT SON[T]]; INSERT(L,T); } }磁盘文件的最佳存储 目标为∑p i p j d(i,j)最小对任何的i,j,i ≠j, p i p j 只出现一次，只有d(i,j)是可变的。