第7讲：解三角形
3．2解三角形
【考纲知识梳理】
一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理
注：在ΔABC 中，sinA>sinB 是A>B 的充要条件。（∵sinA>sinB ?22R R
>?a>b ?A>B ） 2、在在ΔABC 中，已知a,b 和A 时，解的情况如下：
二、应用举例
1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角
是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
①北偏东α
即由指北方向顺时针旋转α
到达目标方向； ②北偏本α
即由指北方向逆时针旋转α
到达目标方向；
③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式
（1）1
()2a a S a h h a =
表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abc
S ab C ac B bc A R R ====
为外接圆半径； （3）1
()()2
S r a b c r =++为内切圆半径。
【热点难点精析】
一、正弦定理和余弦定理
（一）正弦定理、余弦定理的简单应用
1、已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断；
2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷；
3、三角形中常见的结论 （1）A+B+C=π；
（2）在三角形中大边对大角，反之亦然；
（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； （4）三角形内的诱导公式
sin()sin ;cos()cos ;tan()tan ;sin
cos ;cos sin .2222
A B C A B C
A B C A B C A B C +++=+=-+=-== （5）在ΔABC 中，tanA+tanB+tanC= tanA ·tanB ·tanC.
※例题解析※
〖例1〗在ΔABC 中，（1）若o
,求a 及C 的值；（2）若A=600
，a=7,b=5,求边C 。
〖例2〗在ΔABC 中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC
（二）三角形形状的判定
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=π这个结论。
注：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。
※例题解析※
〖例〗在ΔABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果2222
a b A B a b A B
+-=-+，判断三角形的形状
()sin()()sin()
（三）正、余弦定理在几何中的应用
※相关链接※
正、余弦定理在几何中的应用
（1）首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形；
（2）其次确定与未知量相关联的量；
（3）最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。
※例题解析※
〖例1〗如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=300，∠ADB=450，求BD的长。
〖例2〗如图，，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=600，∠BCD=1350，求BD及BC的长。
二、应用举例
（一）与距离有关的问题
1、一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。
2、解斜三角形应用题常有以下几种情形：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；
（3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。
※例题解析※
〖例1〗某观测站C在A城的南偏西200的方向。由A城出发的一条公路，走向是南偏东400，在C处
测得公路上B 处有一人距C 为31千米正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A 城？
〖例2〗如图，公路MN 和PQ 在P 处交汇，且∠QPN=300
，在A 处有一所
中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/小时，那么学校受影响的时间为多少？
（二）与高度有关的问题
1、在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；
2、准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图；
3、运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用。 ※例题解析※
〖例1〗某人在塔的正东沿着南偏本600
的方向前进40米后望见在东北方向，若沿途测得塔顶的最大
仰角为300
，求塔高。
〖例2〗某人在山顶观察地面上相距2500m 的A 、B 两个目标，测得A 在南偏本570，俯角为300
，
同时测得B 在南偏东780，俯角是450
，求山高（设A 、B 与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1m ）. （三）与角度有关的问题
1、测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义；
2、在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。
※例题解析※
〖例〗在海岸A 处，发现北偏东450
方向，距A 处1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏
本750
的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以的速度追截走私船。此时，走私
船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东300
方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
（四）与三角形面积有关的问题
〖例〗在ΔABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=3
π。
（1）若ΔABC a,b; (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ΔABC 的面积。
【感悟高考真题】
1、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，
a ，则 A.a ＞
b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定
2、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c
，若
22a b -=
，sin C B =，则A= （A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0
150
3、在△ABC 中，若b = 1，
23C π
∠=
，则a = 。
4、已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若
A+C=2B,则sinC= .
5、 ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，
12cos 13A =
。
(Ⅰ)求AB AC
；
(Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。
6、ABC ?中，D 为边BC 上的一点，33BD =，
5sin 13B =
，3
cos 5ADC ∠=，求AD ．
7、在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.
【考点精题精练】
一、选择题
1、如图，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，D 在边AC 上，已知BC ＝2，CD ＝1，∠ABD ＝45°，则AD ＝（ ） A ．2
B ．5
C ．4
D ．
1
2、在ABC △中，若
43
tan =
A ， ?=120C ，32=BC ，则边长A
B 等于（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
3、在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ?的顶点()5,0A -和()5,0C ，顶点B 在双曲线
22
1169
x y -=上，
则
sin sin sin B
A C -为 ( )
A. 32
B. 23
C. 54
D. 45
4、设G 是ABC ?的重心，且(56sin )(40sin )(35sin )0A GA B GB C GC ++=
，则B 的大小为
A ．45°
B ．60°
C ．30°
D ．15° 5、在△ABC 中，sin 2A+cos 2B=1，则cosA+cosB+cosC 的最大值为
A ．
54 B C ．1 D ．32
6、锐角三角形ABC 中，若AC
AB
B C 则,2∠=∠的范围是 （ ）
A ．（0，2）
B ．（2,2）
C ．（3,2）
D ．（2,3）
7、ABC ?为锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为（sin cos ,cos sin A B A C --），则
cos sin tan sin cos tan y θθθ
θθθ
=
++
的值是：（ ） A ．1 B ．1- C ． 3 D ． 3-
8、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a,b,c ，若?===45,2,3B b a ，则角A=( )
A ． 60°或120°
B ．30°或105°
C ．60°
D ． 30°
9、ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c (b ≠1),且C
A 、sin sin B
A
都是方程log (44)b x x =-的
根,则ABC ?（ ）
.A 是直角三角形但不是等腰三角形 .B 是等腰三角形但不是直角三角形 .C 是等腰直角三角形 .D 不是等腰三角形,也不是直角三角形
10、对于任意的,R x ∈不等式03
sin sin 22
≤-++m
m x m x 恒成立，则m 的取值范围是（ ） .A 23-≤m .B 10≤ 3 -≤m 或30≤ 11、锐角三角形ABC 中，若2A B =，则下列叙述正确的是（ ） ①sin 3sin 2B C = ②3tan tan 122B C = ③64B ππ<< ④a b ∈ .A ①② .B ②③ .C ③④ .D ②③④ 12、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ） A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100° C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45° 二、填空题 13、在中，角 ， ， 所对的边分别是， ，，若 ，且 ， 则 的面积等于______． 14、在ABC ?中，边长,a b 是方程2 520x x -+=的两个根，120C ∠=?，则边长c = ． 15、在?ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 若 a =4c =，60A = ，则b = 16、 在 ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边长分别为 c b a ,,，若 ()ac B b c a 3tan 222 =-+，则角B 的值为 三、解答题 17、ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且lg lg lgcos lgcos 0a b B A -=-≠． （1）判断ABC ?的形状； （2）设向量(2,)a b =m ，(,3)a b =-n ，且⊥m n ，()()14+?-+=m n m n ，求,,a b c ． 18、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围. 必修5第一章《解三角形》练习题 一、选择题 1．在ABC ?中，6=a ， 30=B ， 120=C ，则ABC ?的面积是（ ） A ．9 B ．18 C ．39 D ．318 2．在ABC ?中，若 b B a A cos sin = ，则B 的值为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 3．在ABC ?中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是（ ） A ． 30或 60 B ． 45或 60 C ． 60或 120 D ． 30或 150 4．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．7=a ，5=b ， 80=A D ．14=a ，16=b ， 45=A 5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程02322 =-+x x 的根，则第三边长是（ ） A ．20 B ．21 C ．22 D ．61 6．在ABC ?中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A 等于（ ） A ． 30 B ． 60 C ． 120 D ． 150 7．在ABC ?中，若 60=A ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（ ） A ．620 B ．75 C ．51 D ．49 8．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ） A ． 223 B ．233 C ．2 3 D ．33 9．在ABC ?中，若12+= +c b ， 45=C ， 30=B ，则（ ） A ．2,1= =c b B ．1,2==c b C ．221,22+== c b D ．2 2 ,221=+=c b 10．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ） A ．38=k B ．120≤ 数学：第7章三角形综合检测题A （人教新课标七年级下） 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n 的值是（ ）．A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．下面四个图形中，线段BE 是⊿ABC 的高的图是（ ） 3．已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．属于哪一类不能确定 5．如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高， DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （∠C 除外）相等的角的个数是（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 6．下面说法正确的是个数有（ ） ①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=2 1∠C ，那么△ABC 是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在?ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。 A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 7．在?ABC 中，C B ∠∠,的平分线相交于点P ，设,?=∠x A 用x 的代数式表示BPC ∠的度数，正确的是（ ） （A ）x 2190+ （B ）x 2 190- （C ）x 290+ （D ）x +90 8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ， 则∠AOC+∠DOB=（ ） A 、900 B 、1200 C 、1600 D 、1800 9．以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 10．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。正确的命题有 ( ) 第2题图 第5题图 第8题图 第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= 专题1-2 解三角形重难点、易错点突破 (建议用时：60分钟) 三角形定“形”记 根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用． 1．通过角之间的关系定“形” 例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2．通过边之间的关系定“形” 例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 细说三角形中解的个数 解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨． 1．出现问题的根源 我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ， 把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数． 显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情 况： 当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况： 根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当 a 不小于 b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解． 2．解决问题的策略 (1)正弦定理法 已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝ b sin A a . 若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 第七章三角形 测试1三角形的边 学习要求 1．理解三角形及与三角形有关的概念，掌握它们的文字表述、符号语言表述及图形表述方法． 2．掌握三角形三边关系的一个重要性质． (一)课堂学习检测 1、填空题： (1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做 ______；相邻两边的公共端点叫做______，相邻两边所组成的角叫做______，简称______． (2)如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作______，读作______．其中，顶点A所 对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示；顶点C 所对的边______还可用______表示． (3)由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质 ______________________________．由它还可推出：三角形两边的差____________． (4)对于△ABC，若a≥b，则a＋b______c同时a－b______c；又可写成______＜c＜ ______． (5)若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是 ____________，其中x可以取的整数值为____________． (二)综合运用诊断 2．已知：如图，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，它们分别是______________________________________. (2)以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________. (3)线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是________________________． (4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______．3．选择题： (1)下列各组线段能组成一个三角形的是( )． (A)3cm，3cm，6cm (B)2cm，3cm，6cm (C)5cm，8cm，12cm (D)4cm，7cm，11cm (2)现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列 四根木条中应选取( )． (A)0.85m长的木条(B)0.15m长的木条 (C)1m长的木条(D)0.5m长的木条 第7讲 解三角形的综合应用 [基础题组练] 1．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( ) A ．10 km B ．10 3 km C ．10 5 km D ．107 km 解析：选 D.由余弦定理可得，AC 2 ＝AB 2 ＋CB 2 －2AB ×CB ×cos 120°＝102 ＋202 － 2×10×20×? ?? ??－12＝700. 所以AC ＝107(km)． 2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( ) A ．240(3－1) m B ．180(2－1) m C ．120(3－1) m D ．30(3＋1) m 解析：选C.因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45° 1＋tan 60°tan 45° ＝2－3，所以 BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)． 3．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m 解析：选A.作出示意图如图所示，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，在Rt △BCD 中，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2 ＝h 2 ＋1002 －2·h ·100·cos 60°，即h 2 ＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m. wenjian 第一章解三角形 本章规划 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五de第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆de方程等与本章知识联系密切de内容，使这部分内容de处理有了比较多de工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容de联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识de学习和巩固．要重视与内容密切相关de数学思想方法de 教学，并且在提出问题、思考解决问题de策略等方面对学生进行具体示范、引导． 1.教学内容 全章有三大节内容： 第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过de三角中de边角关系，让学生从已有de几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角de边角关系.我们是否能得到这个边、角de关系准确量化de表示呢?”重点是正弦定理de概念和推导方法，体现了从特殊到一般de思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形de两条边及其所夹de角,根据三角形全等de判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定de三角形.我们仍然从量化de角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知de两边和它们de夹角计算出三角形de另一边和两个角de问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法de 教学．比如对于余弦定理de证明，常用de方法是借助于三角形de方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量de方法，发挥了向量方法在解决问题中de威力．第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关de解三角形和测量问题de过程中，一个问题也常常有多种不同de解决方案，应该鼓励学生提出自己de解决办法，并对于不同de方法进行必要de分析和比较．对于一些常见de测量问题甚至可以鼓励学生设计应用de 程序，得到在实际中可以直接应用de算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学de数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识de实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法de能力较强，但当面临一种新de问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题de科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题． 第三大节：实习作业，适当安排一些实习作业，目de是让学生进一步巩固所学de知识，提高学生分析问题和解决实际问题de能力、动手操作de能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果de能力，增强学生应用数学de意识和数学实践能力．教师要注意对学生实习作业de指导，包括对实际测量问题de选择，及时纠正实际操作中de 错误，解决测量中出现de一些问题． 2.作用与地位 本章de两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形de边角关系de结论．学习数学de最终目de是应用数学，而如今比较突出de两个问题是，学生应用数学de意识不强，创造能力较弱．为解决此问题，教学中要用联系de观点，从新de角度看过去de问题，使学生对于过去de知识有了新de认识，同时使新知识建立在已有知识de 坚实基础上，形成良好de知识结构． 3.学习目标 本章de中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形de工具，最后落实wenjian 1 专题限时集训(七) [第7讲解三角形] (时间：45分钟) 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为( ) A.π 6 B. π 3 C.π 6 或 5π 6 D. π 3 或 2π 3 2．在△ABC，已知A＝45°，AB＝2，BC＝2，则C＝( ) A．30° B．60° C．120° D．30°或150° 3．△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积的大小都等于1，则sin A sin B sin C的值为( ) A.1 4 B. 3 2 C. 3 4 D. 1 2 图7－1 4．如图7－1，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( ) A．10 2 m B．20 m C．20 3 m D．40 m 5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sin A的值是( ) A.3 16 B. 3 14 C.33 16 D. 33 14 6．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，2) D ．(1,2) 7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( ) A.14 B.34 C.24 D.23 8．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 32 B.34 C. 32或 3 D.32或34 9．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________. 10．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km. 11．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为________． 12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小； (2)求3sin A －cos B ＋π 4的最大值，并求取得最大值时A ，B 的大小． 课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。 第七章 三角形 1. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 ＿＿＿＿＿.组成三角形的线段叫做＿＿＿＿＿＿，相邻两边的 公共端点叫做_____________，相邻两边所组成的角叫做 ___________，简称___________.如图 以A 、B 、C 为顶点的三 角形ABC ，可以记作＿＿＿＿＿＿＿，读作_____________. △ABC 的三边，有时也用_____________表示，顶点A 所对的边BC 用____表示，顶点B 所对的边CA 用____表示，顶点C 所对的边AB 用____表示. 2. 三角形的分类 三角形按角分类如下: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 ＿＿＿＿＿. 三角形 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 ＿＿＿＿＿＿＿. 3. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做＿＿＿，另一边叫做 ＿＿，两腰的夹角叫做＿＿＿，腰和底的夹角叫做＿＿＿ ＿. 如右图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，那么腰是＿＿＿ 底是＿＿＿＿，顶角是＿＿＿＿，底角是＿＿＿＿＿. 4. 三角形的三边关系：_________________________________________. 5. 三角形的高 从△ABC 的顶点A 向它 所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑴，AD 是△ABC 的高，则AD ⊥_____. 连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC ?? ??? ??? ?? ?? 上的_____ .如图⑵，AD是△ABC的中线，则BD＝______. ∠BAC的平分线AD，交∠BAC的对边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的___________.如图⑶，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠_______. 6.三角形是具有__________的图形，而四边形没有__________ . 7.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于_______. 8.三角形的一个外角等于与它不相邻的______________________.三角形的一个外角大 于与它不相邻的_________________ . 9.多边形的内角和公式：n边形的内角和等于________________.多边形的外角和等于 _______. 10.各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于_______.（限定镶嵌的正多边形的边长相等，顶点共用）如果只用一种正多边形镶嵌，符合“平面镶嵌”的必备条件的正多边形是 ____________________________________.如果用两种正多边形镶嵌，哪些组合可以用来作平面镶嵌：_____________________________________________________________ ______________________________________________________. 第7讲解三角形应用举例 、选择题 1.在相距2 km 的A , B 两点处测量目标点 C ,若/ CAB = 75°,/ CBA = 60°, C 两点之间的距离为（） B ^/2 km 则A , A 应 C.V 3 km km D.2 km 解析 AC 如图，在△ ABC 中，由已知可得/ AC 吐45 °,扃 2 sin ；,/AC = 2迈 x ￥=V 6(km). 答案 A 2.—艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航 行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向 是南偏东70 ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ,那么B ，C 两点间 的距离是（ ） A.10迈海里 B.1^/3海里 D.20迄海里 解析女口图所示，易知, 在 △ ABC 中，AB = 20,/CAB = 30° ,ACB = 45°, BC AB 根据正弦定理得討.乔 解得BC = 10寸2（海里）. 答案 A 3.（2017合肥调研）如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距 离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与B 的距离为（ ） B A /3 a km A. a km C.>/2a D.2a km 解析 由题图可知，/ ACB = 120°, 由余弦定理，得 AB 2 =AC 2 + BC 2 - 2AC BC cosZACB =a 2 + a 2 -2a a ?—舟卜3a 2 ,解得 AB = ^/3a(km). 答案 B 4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d = 0.6 km , 一艘客 船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知AB = 1 km ,水的流速为2 km/h ,若客船从码头A 驶到码头B 所 用的最短时间为6 min ,则 客船在静水中的速度为（ ） B. 6V 2 km/h D.10 km/h 解析 设AB 与河岸线所成的角为0,客船在静水中的速度为V km/h ，由题意 知，sin 0=016 = 5，从而cos 0=4 ，所以由余弦定理得 1 4 厂 2X —x 2X 1X 5,解得 V = 6讥.选 B. 答案 B 5. 如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平 面内的两个测点C 与D ，测得/ BCD = 15°,/ BDC = 30°, CD = 30,并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°,则塔高AB 等于（） A .^/6 C.5迈 解析 在^BCD 中，/CBD = 180°-5°-0°W35°. 口 C on 由正弦定理得s^=砲’所以BC =吨 在 Rt ^ABC 中，AB = BCtan ZACB = 15^2x 73= 15^6. 答案 D 、填空题 A.8 km/h C.2V34 km/h B.15V 3 D.15^/6 x 2,+ 12 n 三角形易错点突破和重难点析解 易错点突破 1．运用三角形三边关系性质致误 例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（ ）. A ．10厘米 B ．14厘米 C ．10厘米或14厘米 D ．无法确定 错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底，所以需讨论：①当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为()66214cm ++=；②当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为()62210cm ++=. 故选C. 分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形. 正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B. 2．应用判定方法致误 例2 如图3，已知AB=DC ，OA=OD ，∠A=∠D. 问∠1=∠2吗？试说明理由. 错解：∠1=∠2. 理由如下： 在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，OA=OD ，∠AOB=∠DOC. 所以△AOB ≌△DOC ，所以∠1=∠2. 分析：不存在“角角角（AAA ）”和“边边角（SSA ）”的判定方法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.” 正解：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，∠A=∠D ，OA=OD. 所以△AOB ≌△DOC （SAS ），所以∠1=∠2. 3．不理解“对应”致误 例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？ 错解：这两个三角形全等. 图3 图4 解三角形（专题课）教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点，为更好有效地突出重点，攻破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认知规律，本节主要以教师为主导，学生为主体，交流讨论，互助学习为主线的指导思想，采用“6+1”高效课堂教学模式，在教师的启发引导下，学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提，以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本 1. 2. 3. 4. 5. 6. 第七章三角形 A1卷?基础知识点点通 班级 姓名 得分 、选择题（3分X 8=24分） 一个三角形的三个内角中 A 、至少有一个钝角 C 、至多有一个锐角 B 、至少有一个直角 D 、 至少有两个锐角 下列长度的三条线段能组成三角形的是 A 、 3, 4, 8 B 、 5, 6, 11 关于三角形的边的叙述正确的是 三边互不相等 B 、 至少有两边相等 任意两边之和一定大于第三边 A 、 C 、 图中有三角形的个数为 A 、 4个 B 、 6个 A 第（4 ） 题 C 、 1, 2, 3 ) 6, 10 ) 最多有两边相等 （） D 、 10 个 如图在△ ABC 中，/ ACB=90 0 , CD 是边AB 上的高。那么图中与/ A 相等的角 是 A 、/ B B 、 / ACD F 列图形中具有稳定性有 (3) ( 5个 4个 D 、 2个 B 、 3个 一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 A 、三角形 B 、四边形 一个多边形内角和是 1080°, A 、 6 B 、 7 一、填空题（4分X 9=36分） 9. _______________ 一个三角形有 ________________ 条边， 个内角， 个顶点， 10. 如图，图中有 —个三角形，把它们用符号分别表示为 — 11?长为11, 8, 6, 4的四根木条，选其中三根组成三角形有 分别是— 12.如图，在△ ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，则根据图形填空: 1 1 C 、 7. C 、五边形 D 、 则这个多边形的边数为 六边形 个外角 种选法，它们 ⑴BE= ⑵/ BAD= 2AC ·AD 2×30 5×20 10 6 000 2 2 一、选择题 1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A ．北偏东 10° B ．北偏西 10° C ．南偏东 80° D ．南偏西 80° 解析：选 D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°， 所以∠DBA ＝10°，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. 2．已知 A 、B 两地间的距离为 10 km ，B 、C 两地间的距离为 20 km ，现测得∠ABC ＝ 120°，则 A ，C 两地间的距离为( ) A ．10 km C ．10 5 km 解析：选 D.如图所示，由余弦定理可得： B ．10 3 km D ．10 7 km AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， 所以 AC ＝10 7(km)． 3. 如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB ，CD 的高度分别为 20 m 、50 m ，BD 为水平面， 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 等于( ) A ．30° C ．60° B ．45° D ．75° 解析：选 B.依题意可得 AD ＝20 10 m ，AC ＝30 5 m ，又 CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得 AC 2＋AD 2－CD 2 cos ∠CAD ＝ （30 5）2＋（20 10）2－502 6 000 2 ＝ ＝ ＝ ， 又 0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河 对岸的码头 B .已知 AB ＝1 km ，水的流速为 2 km/h ，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短 时间为 6 min ，则客船在静水中的速度为( ) 数学5 第一章 解三角形 课题: §1．1．1 正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得 sin sin c b C B = ， b a 高中文科数学解三角形部分整理 一 正弦定理 （一）知识与工具: 正弦定理：在△ＡBC 中， R C c B b A a 2sin sin sin ===。 变形:::sin :sin :sin a b c A B C =. 在这个式子当中,已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。 注明:正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中,注意三角形中其他条件的应用: (1)三内角和为180° 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (2）三角函数的恒等变形 s ｉn(A+B)=ｓｉｎC,ｃos （A ＋Ｂ)＝－ｃosC ，s ｉn 2B A +＝cos 2C ，cos 2 B A +=si ｎ 2 C (３）面积公式：S= 21absin Ｃ＝R abc 4＝2R ２ s ｉnA ｓinBsinC （二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型 题型1 利用正弦定理公式原型解三角形 例一、在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于( ) A ．1 B.1- C ．32 Ｄ.32- 【解析】C ． 00tan 30,tan 302b b a c b c b a =====-= 题型2 利用正弦定理公式变形边角互化解三角形:关于边或角的齐次式可以直接边角互化。 例二、在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于（ ) A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 【解析】D ． 01 2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302 b a B B A B A A ====或0150 题型３ 三角形解的个数的讨论 方法一:画图看第一章解三角形练习题及答案
七年级数学第7章三角形检测题
高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形
专题1-2解三角形重难点、易错点突破(含答案)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
第七章 三角形
2021版高考数学第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形的综合应用练习理北师大版
1.本章规划(第一章 解三角形)
(课程标准卷)高考数学二轮复习专题限时集训(七)第7讲解三角形配套作业文(解析版)
高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理
《第七章三角形》全章知识点归纳及典型题目练习(答案)
第7讲解三角形应用举例
青岛版-数学-八年级上册-三角形易错点突破和重难点析解
解三角形(复习课)教学设计
第七章三角形试卷A1
2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第7讲含解析
必修5第一章《解三角形》全章教案
高中文科数学解三角形部分讲练整理