普通最小二乘法(OLS)

普通最小二乘法（OLS ）

普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。

在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下（见

图2.2.1中的散点），假如模型（2.2.1）的参数估计量已经求

得到，为^0β和^

1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线

方程（见图2.2.1中的直线） i i x y ^

1^0^ββ+= i=1,2,…,n (2.2.2)

应该能够最好地拟合样本数据。其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。

),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ˆˆˆˆ1021

10212ˆ,ˆ1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== (2.2.3)

为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。

由于

2

1

^1^012

^

))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^

1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。即

0011001100ˆ,ˆ1

ˆ,ˆ0

=∂∂=∂∂====ββββββββββQ

Q

(2.2.4)

容易推得特征方程： ()0)ˆˆ(0ˆ)ˆˆ(1011

10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n

i i

i i i i n i i e x x y

x e y y x y

ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^

1^0^1^0i i i i i i x x x y x

n y ββββ （2.2.5） 所以有：⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 1012121121111ˆˆ)())(()()()(ˆβββ （2.2.6） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。

为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记

∑=-i x n x 1

∑=-i y n

y 1 y y y

x x x

i i i i -=-=

（2.2.6）的参数估计量可以写成

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===∑∑==x y x y x n t i n t i i 101211ˆˆˆβββ (2.2.7)

至此，完成了模型估计的第一项任务。下面进行模型估计的第二项任务，即求随机误差项方差的估计量。记i i i i y y u

e ˆˆ-==为第i 个样本观测点的残差，即被解释变量的估计值与观测值之差。则随机误差项方差的估计量为 2ˆ22-=∑n e i

u σ (2.2.8)

在关于2ˆu σ的无偏性的证明中，将给出（2.2.8）的推导过程，有兴趣的读者可以参考

有关资料。

在结束普通最小二乘估计的时候，需要交代一个重要的概念，即“估计量”和“估计值”的区别。由（2.2.6）给出的参数估计结果是由一个具体样本资料计算出来的，它是一个“估计值”，或者“点估计”，是参数估计量^0β和^1β的一个具体数值；但从另一个角度，仅仅把（2.2.6）看成^0β和^1β的一个表达式，那么，则是i y 的函数，而i y 是随机变量，所以^0β和^1β也是随机变量，在这个角度上，称之为“估计量”。在本章后续内容中，有时把^0β和^1β作为随机变量，有时又把^0β和^1β作为确定的数值，道理就在于此。