离散数学模拟题(开卷)
《离散数学》模拟题（补）
一．单项选择题
1．下面四组数能构成无向图的度数列的有( )。 A 、 2,3,4,5,6,7； B 、 1,2,2,3,4； C 、 2,1,1,1,2； D 、 3,3,5,6,0。
2．图 的邻接矩阵为( )。
A 、；
B 、；
C 、；
D 、。
3.设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}， S 5={3，5}，在条件
下X 与（ ）集合相等。
A 、X=S 2或S 5 ；
B 、X=S 4或S 5；
C 、X=S 1，S 2或S 4；
D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。 4．下列图中是欧拉图的有( )。
5.下述命题公式中，是重言式的为（ ）。
A 、；
B 、；
C 、；
D 、。 6.的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。
A 、2；
B 、 3；
C 、5；
D 、0
??????
? ??0001101110100001??????
?
??111111111111
1111
??????
? ??000110111100
0010
??
?
??
??
??000110111010
0010
3
1S X S X ??
且)()(q p q p ∨→∧))())(()(p q q p q p →∧→??q q p ∧→?)(q p p ??∧)(r q p wff
→∧?)(
7.给定推理
① P ② US ① ③ P ④ ES ③ ⑤ T ②④I ⑥ UG ⑤
推理过程中错在（ ）。
A 、①->②;
B 、②->③;
C 、③->④;
D 、④->⑤
8.设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}， S 5={3，5}，在条件
下X 与（ ）集合相等。
A 、X=S 2或S 5 ；
B 、X=S 4或S 5；
C 、X=S 1，S 2或S 4；
D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。 9.设R 和S 是P 上的关系，P 是所有人的集合，
，
则表示关系 （ ）
。
A 、；
B 、
；
C 、 ；
D 、
。
10.下面函数（ ）是单射而非满射。
A 、
； B 、
；
C 、
；
D 、。
))()((x G x F x →?)()(y G y F →)(x xF ?)(y F )(y G )(x xG ?)())()((x xG x G x F x ??→?∴3
1S X S X ??且},|,{的父亲是y x P y x y x R ∧∈><=},|,{的母亲是y x P y x y x S ∧∈><=R S ο1-},|,{的丈夫是y x P y x y x ∧∈><},|,{的孙子或孙女是y x P y x y x ∧∈><Φ},|,{的祖父或祖母是y x P y x y x ∧∈><12)(,:2-+-=→x x x f R R f x x f R Z f ln )(,:=→+的最大整数表示不大于x x x x f Z R f ][],[)(,
:=→12)(,
:+=→x x f R R f
11.其中R 为实数集，Z 为整数集，R +，Z +
分别表示正实数与正整数集。
1、 设S={1，2，3}，R 为S 上的关系，其关系图为
则R 具有（ ）的性质。
A 、自反、对称、传递；
B 、什么性质也没有；
C 、反自反、反对称、传递；
D 、自反、对称、反对称、传递。 12.设，则有（ ）。 A 、{{1,2}} ；B 、{1,2 } ； C 、{1} ； D 、{2} 。 13.设A={1 ,2 ,3 }，则A 上有（ ）个二元关系。
A 、23
； B 、32
； C 、； D 、
二．填空题
1.任何(n,m) 图G = (V,E) , 边与顶点数的关系是 。
2.当n 为 时,非平凡无向完全图Kn 是欧拉图。
3.已知一棵无向树T 有三个3顶点,一个2度顶点,其余的都是1度顶点, 则T 中有 个1度顶点。
4.n 阶完全图Kn 的点色数X(KN)= 。
5.设集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，定义A 上的二元关系“≤”为 x ≤ y = x|y , 则= 。
6.设
，定义A 上的二元运算为普通乘法、除法和加法，则代数系统
8.设
1. 设G 为具有n 个结点的简单图，且
则G 是连通图。
2. 设G 是（n,m ）简单二部图，则
。 }}2,1{},1{,{Φ=S S ?3
222
3
2y x ∨},2|{N n x x A n
∈==G a ∈)2)(1(21
-->
n n m 42
n m ≤
3.证明：在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面的面度都是3。
4.对代数系统
（2）每个元素的逆元是唯一的。
5.证明任一环的同态象也是一环。
四.中国邮递员问题
求带权图G中的最优投递路线。邮局在v1点。
五.应用题
某年级共有9门选修课程，期末考试前必
须提前将这9门课程考完，每人每天只在
下午考一门课，若以课程表示结点，有一
人同时选两门课程，则这两点间有边（其
图如右），问至少需几天？
参考答案：
一、单项选择题
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C B B C C C C A 题目10 11 12 13
答案 A B D D
二．填空题
1.
2.奇数
3.5
4.n
5.LCM （x,y ）
6.乘法
7.群 8.
三．证明题
1、反证法：若G 不连通，不妨设G 可分成两个连通分支G 1、G 2，假设G 1和G 2的顶点数分别为n 1和n 2，显然。
与假设矛盾。所以G 连通。 2、设G=（V ，E ），
对完全二部图有
当
时，完全二部图的边数m 有最大值。 故对任意简单二部图有
。 3、证：n=6,m=12 欧拉公式n-m+f=2知 f=2-n+m=2-6-12=8 由图论基本定理知：
，而，所以必有，
即每个面用3条边围成。 4.证明：
（1）设，b 是a 的右逆元，c 是b 的右逆元，由于，
所以b 是a 的左逆元。
（2）设元素a 有两个逆元b 、c ，那么
a 的逆元是唯一的。 5.证明:
设是一环,且是关于同态映射f 的同态象。
∑∈=V
v m
v d 2)(},,{12e a a a a G n
n ==-，Λn n n =+2111112121-≤-≤∴≥≥n n n n n n Θ2)
2)(1(2)2)(1(2)1(2)1(212211--=-+-≤-+-≤
∴n n n n n n n n n m n
n n n Y n X Y X V =+==?=2121,,,则4)2()(2
2112
1
1121n n n n n n n n n n n m +
--=+-=-=?=21n
n =
),(m n 42n ),(m n 42
n m ≤
242)deg(=?=∑m F 3)deg(≥i
F 3)deg(=i
F A c b a ∈,,b e b b a b ==*)*(*a b e a b c b a b c b a b c b e **)*()*(*)*(*)*(**=====c c e c a b c a b e b b =====**)*()*(**>?+<,,A >?⊕<,,)(A f
由是Abel 群，易证也是Abel 群。
是半群，易证也是半群。
现只需证：对是可分配的。
于是
同理可证
因此也是环。
四．中国邮递员问题
解：图中有4个奇数结点，
（1） 求
任两结点的最短路
再找两条道路使得它们没有相同的起点和终点，且长度总和最短：
（2） 在原图中复制出
，设图G ‘
，则图G ‘
中
每个结点度数均为偶数的图G ‘
存在欧拉回路，欧拉回路C 权长
为43。
五.应用题
解：即为最少考试天数。 用Welch-Powell 方法对G 着色：
第一种颜色的点 ，剩余点
第二种颜色的点 ，剩余点
第三种颜色的点
>+<,A >⊕<,)(A f >?<,A >?<,)(A f ?⊕3
,2,1,)(:,,),(,,321321==∈?i b a f a a a A f b b b i i 使得则必有相应的)
()())()(())()(()()())()(())(())(()())()(()()(3121312131213121321321321321b b b b a f a f a f a f a a f a a f a a a a f a a a f a a f a f a f a f a f b b b ?⊕?=?⊕?=?⊕?=?+?=+?=+?=⊕?=⊕?)
()()(1312132b b b b b b b ?⊕?=?⊕>?⊕<,,)(A f 5
)(, 3)( ,5)( ,3)(5321====v d v d v d v d 5
321,,,v v v v 5736562532457133212211535232513221 , , , , ,4)( , 3)( ,2)( ,4)(, 5)( ,3)(v v v p v v v p v v p v v v p v v v p v v p v v d v v d v v d v v d v v d v v d ============
, ,3245713v v p v v v p ==4
3 ,p p 1
57123.5726542371v v v v v v v v v v v v v v v v C =)(G χ6
85421739v v v v v v v v v 6419v v v v 8
5273v v v v v 573v v v 8
2v v 8
2v v
所以≤3 任
构成一圈，所以≥3
故=3
所以三天下午即可考完全部九门课程。
)(G χ9
32v v v )(G χ)(G χ
离散数学模拟题一套及答案
离散数学考试（试题及答案） 一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下。 解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此 (ACD)∧(B∧C)∧(CD) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D)) (A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧ D∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D) (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D) T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。 解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为： (()∧())，()(()∧())
下面给出证明： (1)() P (2)(c) T(1)，ES (3)(()∧()) P (4)( c)∧( c) T(3)，US (5)( c) T(4)，I (6)( c)∧(c) T(2)(5)，I (7)(()∧()) T(6) ，EG 三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。 证明：ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。 四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪I A＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>， <5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝R i＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。
离散数学模拟题(开卷)
《离散数学》模拟题（补） 一．单项选择题 1．下面四组数能构成无向图的度数列的有( )。 A、 2,3,4,5,6,7； B、 1,2,2,3,4； C、 2,1,1,1,2； D、 3,3,5,6,0。 2．图的邻接矩阵为( )。 A、； B、； C、； D、。 3.设S1={1，2，…，8，9}，S2={2，4，6，8}，S3={1，3，5，7，9}，S4={3，4，5}，S5={3，5}，在条件下X与（）集合相等。 A、X=S2或S5 ； B、X=S4或S5； C、X=S1，S2或S4； D、X与S1，…，S5中任何集合都不等。 4．下列图中是欧拉图的有( )。 5.下述命题公式中，是重言式的为（）。 A、； B、； C、； D、。 6.的主析取范式中含极小项的个数为（）。 A 、2； B、 3； C、5； D、0 ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 3 1 S X S X? ?且 ) ( ) (q p q p∨ → ∧)) ( )) (( ) (p q q p q p→ ∧ → ? ? q q p∧ → ?) (q p p? ? ∧) ( r q p wff→ ∧ ?) (
7.给定推理 ① P ② US ① ③ P ④ ES ③ ⑤ T ②④I ⑥ UG ⑤ 推理过程中错在（ ）。 A 、①->②; B 、②->③; C 、③->④; D 、④->⑤ 8.设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}， S 5={3，5}，在条件 下X 与（ ）集合相等。 A 、X=S 2或S 5 ； B 、X=S 4或S 5； C 、X=S 1，S 2或S 4； D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。 9.设R 和S 是P 上的关系，P 是所有人的集合， ， 则表示关系 （ ） 。 A 、； B 、 ； C 、 ； D 、 。 10.下面函数（ ）是单射而非满射。 A 、 ； B 、 ； C 、 ； D 、。 ))()((x G x F x →?)()(y G y F →)(x xF ?)(y F )(y G )(x xG ?)())()((x xG x G x F x ??→?∴3 1S X S X ??且},|,{的父亲是y x P y x y x R ∧∈><=},|,{的母亲是y x P y x y x S ∧∈><=R S 1-},|,{的丈夫是y x P y x y x ∧∈><},|,{的孙子或孙女是y x P y x y x ∧∈><Φ},|,{的祖父或祖母是y x P y x y x ∧∈><12)(,:2-+-=→x x x f R R f x x f R Z f ln )(,:=→+的最大整数表示不大于x x x x f Z R f ][],[)(, :=→12)(,:+=→x x f R R f
2离散数学模拟题
一、填空 1、 设p ：天气热，q ：他去游泳，则命题“如果天气热，则 他就去游泳”可符号化为 2、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系 }|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。R 的关系矩阵M R = 。 3、设A={1，2，3}，则A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 4、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 5、 设A 为任意的命题公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为 ； 二、选择 1、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 则R 具有（ ）性质。 A ．自反性、对称性、传递性； B ．反自反性、 反对称性；
C ．反自反性、反对称性、传递性； D ．自反性 。 2、在如下各图中（ ）欧拉图。 3. 设{}1,2,3A =，则A 上的二元关系有几个？（ ） A. 32 . B. 23 . C. 332? . D. 323?. 4．下列哪个命题是真命题？（ ） A ．我正在说谎. B. 若011=+，则雪是黑色的. C. 9518+>. D.存在最大的质数. 5. 下面四组数能构成无向简单图的度数列的有（ ）。 A 、（2，2，2，2，2）； B 、（1，1，2，2，3）； C 、（1，1，2，2，2）； D 、（0，1，3，3，3）。 三、计算 1、权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树。 2. 利用主析取范式，求公式R Q Q P ∧∧→?)(的类型。 3. 设A={1，2}，A 上所有函数的集合记为A A ,试给出A A 四、证明 1. 若无向图G 为欧拉图，证明G 中无桥.
离散数学模拟试题讲解
1 离散数学模拟试题Ⅰ 一、单项选择题(本大题共15小题,每题1分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 1.设 }16{2<=x x x A 是整数且,下面哪个命题为假( A )。 A 、A ?}4,2,1,0{; B 、A ?---}1,2,3{; C 、A ?Φ; D 、A x x x ?<}4{是整数且。 2.设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ,则B －A 就是( C )。 A 、}}{{Φ; B 、}{Φ; C 、}}{,{ΦΦ; D 、Φ。 3.右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为 ( B )。 A 、b,c; B 、a,b; C 、b; D 、a,b,c 。 4.设f 与g 都就是X 上的双射函数,则1)(-g f ο为( C )。 A 、11--g f ο; B 、1)(-f g ο; C 、11--f g ο; D 、1-f g ο。 5.下面集合( B )关于减法运算就是封闭的。 A 、N ; B 、}2{I x x ∈; C 、}12{I x x ∈+; D 、}{是质数x x 。 6.具有如下定义的代数系统>*<,G ,( D )不构成群。 A 、G={1,10},*就是模11乘 ; B 、G={1,3,4,5,9},*就是模11乘 ; C 、G=Q(有理数集),*就是普通加法; D 、G=Q(有理数集),*就是普通乘法。 7.设 },32{I n m G n m ∈?=,*为普通乘法。则代数系统>*<,G 的幺元为( B )。 f
2 A 、不存在 ; B 、0032?=e ; C 、32?=e ; D 、1132--?=e 。 8.下面集合( C )关于整除关系构成格。 A 、{2,3,6,12,24,36} ; B 、{1,2,3,4,6,8,12} ; C 、{1,2,3,5,6,15,30} ; D 、{3,6,9,12}。 9.设},,,,,{f e d c b a V =, },,,,,,,,,,,{><><><><><><=e f e d d a a c c b b a E ,则有向图 >= 北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 离散数学（上）模拟题 1、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分） 1. 用命题逻辑把下列命题符号化 a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 b) 我今天进城，除非下雨。 c) 仅当你走，我将留下。 2. 用谓词逻辑把下列命题符号化 a) 有些实数不是有理数 b) 对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。 c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得 f(a)=b. 2、简答题（共6道题，共32分） 1. 求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范 式，并写出所有成真赋值。（5分） 2. 设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分） a) xy(x+y=4) b) yx (x+y=4) 3. 求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分） 4. 判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分） a) （AB）－C=(A-B) (A-C) b) 若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B| 5. 设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分） a) A上有多少种不同的等价关系？ b) 从A到A的不同双射函数有多少个？ 6. 设有偏序集 下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即 可）(6分) 3、证明题（共3小题，共计40分） 1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。（每小题5分，共10 分） a) A→(B∧C),(E→F)→C, B→(A∧S)B→E b) x(P(x)→Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，xR(x) xP(x) 2. 设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠且B≠，关系R 满足：< 《离散数学》模拟试题 一、 填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A 得幂集合p （A ）=_____ _。 2. 设集合E ={a , b , c , d , e }, A = {a , b , c }, B = {a , d , e }, 则A ∪B =___ ___， A ∩ B =____ __，A －B =___ ___，～A ∩～B =____ ____。 3. 设A ，B 是两个集合，其中A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}，则A －B =____ ___， ρ（A ）－ρ（B ）=_____ _ _。 4. 已知命题公式，则G 的析取范式为 。 5. 设P ：2＋2＝4，Q ：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为 。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A 、B 是两个集合，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,2}，则A －B 为（ ）. A. {1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（ ）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X ＝{x , y }，则ρ（X ）＝（ ）。 A. {{x },{y }} B. {φ,{x },{y }} C. {φ,{x },{y },{x , y }} D. {{x },{y },{x , y }} 4. 设集合 A ＝{1,2,3}，A 上的关系 R ＝ {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R 不具备（ ）. 三、计算题（共50分） R Q P G →∧?=)( 模 拟 试 题 1 一．将下面命题写成符号表达式。(3,4题要使用句后给定的谓词。) 1.如果小张去，则小王与小李都不去，否则小王与小李不都去。 2.我们不能既划船又跑步。 3.有些运动员是大学生。(L(x)：x 是运动员；,S(x)：x 是大学生。) 4.每个运动员都钦佩一些教练。( L(x):x 是运动员，A(x,y):x 钦佩y ，J(x):x 是教练。) 二．写出命题公式 (Q →?P)→Q 的主合取范式。（要求有解题过程） 三．令集合A={1,{1}}, B={1}, P(A)表示A 的幂集 1.判断下面命题的真值。并说明原因，否则不给分。 (1) B ∈A, (2) P(B) ?P(A) (3) {Φ}?P(A) (4) {1}∈P(B) 2.分别计算: (1) A ×P(B) (2) A ⊕B (3) P(A)－P(B) 四．用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 ?x(A(x)∧(B(x)→?C(x))), ?x(A(x) → (C(x) ∨?D(x))), ?x(A(x) →D(x)) ? ?x(A(x) ∧? B(x)) 五．令Ａ＝{1,2,3,4 }，给出Ａ中关系R 1,R 2,R 3, R 4如下： R 3={<1,2>,<2,2>,<1,3>,<2,4>,<1,1>,<1,4>, <3,3>,<4,4>} R 4={<2,2>,<3,2>,<4,1>,<2,1>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<1,2>,<3,3>,<3,4>, <4,2>,<4,4>,<4,3>,<1,1>} 1．求复合关系~R 4oR 2c 。 2．分别画出R 1、R 3、R 4关系的有向图。 3．分别指出上面各个关系是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性。 4．上述四个关系中，哪些是等价关系？哪些是偏序关系？哪些是从Ａ到Ａ的函数？如果是等价关系，请写出该等价关系的各个等价类。 如果是函数，请指出该函数的类型。 六．设I 是整数集合，在I 上定义二元运算 * 如下：对于任何a,b ∈I a *b=a+ b ＋4 求证 离散数学考试试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C ) (A∧(P Q ))C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p） 证明: (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C) (P ∨Q ∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C) ((P ∨Q ∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律 ((P∧Q∧A)∨(A ∧P ∧Q))∨C ( A∧((P∧Q)∨(P ∧Q)))∨C再反用分配律 GAGGAGAGGAFFFFAFAF ( A∧(P Q))∨C (A∧(P Q ))C 2) (P Q)P Q。 证明：(P Q)((P∧Q))(P ∨Q))P Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。 主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 证明： 公式法：因为(P(Q ∨R))∧(P∨(Q R)) (P∨Q∨R)∧(P∨(Q ∧R )∨(Q ∧R)) (P∨Q ∨R)∧(((P∨Q)∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律 (P∨Q∨R)∧(P∨Q ∨Q)∧(P∨Q ∨R)∧(P∨R ∨Q)∧(P∨R ∨R) (P∨Q ∨R)∧(P∨Q ∨R )∧(P ∨Q∨R) M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0 4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 所赋真值，即100，二进制为4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 一、 填空 1．不能再分解的命题称为，至少包含一个联结词的命题称为。 2．一个命题公式A(P , Q, R)为真的所有真值指派是000, 001, 010, 100，则其主析取范式是，其主合取范式是。 3．设 {}，{}，{}，则( A ? B ) ⊕C ＝ 。 4．幂集 P(P(?)) ＝ 。 5．设A 为任意集合，请填入适当运算符，使式子?；’=?成立。 6．设{0，1，2，3，6}，{〈〉≠y ∧(∈A)∧y≡x( 3)}，则D(R)，R(R)。 7．称集合S 是给定非空集合A 的覆盖：若{S 1，S 2，…，}，其中?，≠?，1，2，…，n ，且 ；进一步若 ，则S 是集合A 的划分。 8．两个重言式的析取是 式，一个重言式和一个永假式的合取式是 式。 9．公式 ┐(P ∨Q) ←→(P ∧Q)的主析取范式是 。 10. 已知Π={{a}{}}是{}的一个划分，由Π决定的A 上的一个等价关系是 。 二、 证明及求解 1．求命题公式（P →Q ）→（Q ∨P ）的主析取范式。 2．推理证明题 1）?P ∨Q ，?Q ∨R ，R →S ?P →S 。 2) (?x)(P(x)→Q(y)∧R(x))，(?x)P(x)?Q(y)∧(?x)(P(x)∧R(x)) 3．设{0，1，2，3}，{〈〉∈A ∧(1∨2x )}，{〈〉∈A ∧（2）}。试求οο。 4．证明：R 是传递的?R *R ?R 。 5．设R 是A 上的二元关系，{ 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 专科《离散数学模拟》试题（一） 姓名______________ 学号______________ 成绩______________ 一、填空（每小题5分，共25分） 1．设}41,,3|{≤≤∈==K N k k x x A ，则用列举法表示A =_____________________. 2．设}2,{φ=A ，则A 的幂集=A 2________________________. 3．设)}1,2(),2,4(),3,1{(=ρ是A 到B 的关系，则ρ的逆关系=ρ ~_______________. 4．下图G 的邻接矩阵 A =__________________________ 5．设}},3,2{,3,2{φ=A ，则=-}}3,2{{A 二、选择题（将正确答案的编号填入相应题目后面的括号中，每小题5分，共20分） 1．设集合}3,2,1{=A ，A 上的关系)}1,1(),1,2(),1,3(),3,2{(=ρ，则ρ是（ ）. A ．自反的 B ．反对称的 C ．可传递的 2．设有函数Z Z Z f →?:（Z 表示非负整数集），定义为y x y x f +=),(，则f 是（ ）. A ．满射 B ．内射 C ．双射 3．设}4,3,2,1{=A ，则A 的分划有（ ）. A ．}}3{},4,2{),1{( B ．}}4{},3,2{{ C ．}}4{},3,2,1{{ 4．设简单图G 所有结点的度之和为12，则G 一定有（ ）. A ．3条边 B ．4条边 C ．6条边 4 v 3v 2 v 1v 三、问答题（每小题6分，共42分） 1．下图G 是否二部图？若是，找出它的互补结点子集. 2．设有命题公式)(Q P P F →?∨=，问F 3．判断下图是否欧拉图，若是，找出一个欧拉回路. 4．设1ρ和2ρ是集合A 上的偏序关系，问1ρ－ 5．判断下述命题公式的等值关系是否成立 P Q P Q P Q ∨??→∧→)(( 6．将下一命题符号化.分析到个体词、谓词和量词，使用全总个体域. “有些大学生不钦佩任何运动员” v 2v 1v 5 3v 5v 一、填空 1．不能再分解的命题称为____________，至少包含一个联结词的命题称为____________。2．一个命题公式A(P, Q, R)为真的所有真值指派是000, 001, 010, 100，则其主析取范式是__________________，其主合取范式是_________________。 3．设A={a,b,c}，B={b,c,d,e}，C={b,c}，则( A ?B ) ⊕C＝____________。 4．幂集P(P(?)) ＝________________。 5．设A为任意集合，请填入适当运算符，使式子A________A=?；A________A’=?成立。6．设A={0，1，2，3，6}，R={〈x,y〉|x≠y∧(x,y∈A)∧y≡x(mod 3)}，则D(R)=____________，R(R)=____________。 7．称集合S是给定非空集合A的覆盖：若S={S1，S2，…，S n}，其中S i?A，S i≠?，i=1，2，…，n，且______ _____；进一步若_____ _______，则S是集合A的划分。8．两个重言式的析取是____ ____式，一个重言式和一个永假式的合取式是式。9．公式┐(P∨Q) ←→(P∧Q)的主析取范式是。 10. 已知Π={{a}{b,c}}是A={a,b,c}的一个划分，由Π决定的A上的一个等价关系 是。 二、证明及求解 1．求命题公式（P→Q）→（Q∨P）的主析取范式。 2．推理证明题 1）?P∨Q，?Q∨R，R→S?P→S。 2) (?x)(P(x)→Q(y)∧R(x))，(?x)P(x)?Q(y)∧(?x)(P(x)∧R(x)) x)}，S={〈x,y〉|x,y∈A∧（x=y+2）}。3．设A={0，1，2，3}，R={〈x,y〉|x,y∈A∧(y=x+1∨y= 2 试求R S R。 4．证明：R是传递的?R*R?R。 5．设R是A上的二元关系，S={ 《离散数学》模拟试题3 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A得幂集合p（A）=_____ _。 2. 设集合E ={a, b, c, d, e}, A= {a, b, c}, B = {a, d, e}, 则A∪B =___ ___， A∩B =____ __，A－B =___ ___，～A∩～B =____ ____。 3. 设A，B是两个集合，其中A= {1, 2, 3}, B= {1, 2}，则A－B =____ ___， ρ（A）－ρ（B）=_____ _ _。 4. 已知命题公式R Q P G→ ∧ ? =) (，则G的析取范式为。 5. 设P：2＋2＝4，Q：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A、B是两个集合，A＝{1,3,4}，B＝{1,2}，则A－B为（）. A.{1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X＝{x, y}，则ρ（X）＝（）。 A. {{x},{y}} B. {φ,{x},{y}} C. {φ,{x},{y},{x, y}} D. {{x},{y},{x, y}} 4. 设集合A＝{1,2,3}，A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R不具备（）. 三、计算题（共50分） 1. （6分）设全集E＝N，有下列子集：A＝{1，2，8，10}，B＝{n|n2<50 ，n∈N}，C＝ {n|n可以被3整除，且n<20 ，n∈N}，D＝{n|2i，i<6且i、n∈N}，求下列集合：（1）A∪(C∩D) （2）A∩(B∪(C∩D)) （3）B－(A∩C) （4）(～A∩B) ∪D 2. （6分）设集合A＝{a, b, c}，A上二元关系R1，R2，R3分别为：R1＝A×A， R2 ＝{(a，a)，(b，b)}，R3 ＝{(a，a)}，试分别用 定义和矩阵运算求R1·R2 ， 2 2 R，R 1 ·R2 ·R3 ， (R1·R2 ·R3 )－1 。 3.（6分）化简等价式（﹁P∧（﹁Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）. 4.(8分) 设集合A＝{1,2,3}，R为A上的二元关系，且 M R＝ 写出R的关系表达式，画出R的关系图并说明R的性质. 5. （10分）设公式G的真值表如下. 试叙述如何根据真值表求G的 主析取范式和主合取范式，并 写出G的主析取范式和主合取范式. 1 0 0 1 1 0 1 0 0 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题2分，共30分） 1、令A（x）:x是实数，B（x）:x是有理数，则命题：并非所有有理数都是实数。符号化为：（） A、x┐(A(x)∧B(x)) B、┐x(B(x)→A(x)) C、┐x(A(x)∧B(x)) D、┐x(B(x)∧┐A(x)) 2、设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，则下列选项正确的是（） A、1∈A， B、φ∈A C、{1，2，3} A， D、{{4，5}} A 3、设A、B为集合，A-B=φ，则有（） A、B=φ B、B≠φ C、A B D、B A 4、一个连通有向图，如果它的每个结点的出度均等于入度，那么它有一条（）。 A、基本回路 B、欧拉回路 C、欧拉通路 D、简单回路 5、一棵树有2个结点度数为2，2个结点度数为3，3个结点度数为4，则它的树叶数为（） A、8 B、9 C、10 D、12 6、G是连通平面图，有5个顶点、6个面，则G的边数为（） A、6 B、5 C、11 D、9 7、设A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}，C={2，3}，则（A∪B）+C=（） A、{1，2} B、{2，3} C、{1，4，5} D、{1，2，3} 8、下列命题中为假的是（） A、{a，{b}}{{a，{b}}} B、φP(∪{φ,{φ}}) C、{a}XaX D、X∪Y=YX=φ 9、设解释T为：个体域为D={—2，3，6}，谓词A(x)：x 6，B(x)：x>5，则根据解释，公式x(A(x)∨B(x))的真值为（） A、0 B、1 C、没有确定真值 10、一个教室公用一个电源，如果想接34盏灯，则至少需要4个插线孔的接线板（）个。 A、10 B、11 C、12 D、34 11、下列说法错误的是（） A、n个结点m条边的有向树和无向树均满足：m=n－1. B、树都是二部图。 C、有向树都是单侧连通的 D、有桥的图不是欧拉图 专科《离散数学模拟》试题（一） 姓名______________ 学号______________ 成绩______________ 一、填空（每小题5分，共25分） 1．设}41,,3|{≤≤∈==K N k k x x A ，则用列举法表示A =_____________________。 2．设}2,{φ=A ，则A 的幂集=A 2________________________。 3．设)}1,2(),2,4(),3,1{(=ρ是A 到B 的关系，则ρ的逆关系=ρ~_______________。 4．下图G 的邻接矩阵 A =__________________________ 5．设}},3,2{,3,2{φ=A ，则=-}}3,2{{A ____________________________。 二、选择题（将正确答案的编号填入相应题目后面的括号中，每小题5分，共20分） 1．设集合}3,2,1{=A ，A 上的关系)}1,1(),1,2(),1,3(),3,2{(=ρ，则ρ是（ ）。 A ．自反的 B ．反对称的 C ．可传递的 2．设有函数Z Z Z f →?:（Z 表示非负整数集），定义为y x y x f +=),(，则f 是（ ）。 A ．满射 B ．内射 C ．双射 3．设}4,3,2,1{=A ，则A 的分划有（ ）。 A ．}}3{},4,2{),1{( B ．}}4{},3,2{{ C ．}}4{},3,2,1{{ 4．设简单图G 所有结点的度之和为12，则G 一定有（ ）。 A ．3条边 B ．4条边 C ．6条边 4 v 3v 2 v 1 v 《离散数学》期末考试考点及模拟题答案 一、考试题型及分值 各种题型所占的比例： 填空题10%，判断题10%，选择题20%，其它题型60% 新出试卷按照如下各种题型所占的比例： 填空题20%，判断题15%，选择题30%，其它题型35% 二、考点 1．命题逻辑 熟练掌握命题及其表示; 掌握常用联结词(?、∧、∨、→、 )的使用; 熟练掌握命题公式的符号化; 熟练掌握使用真值表判别命题等价的方法; 掌握使用等价公式判别命题等价的方法; 掌握重言式与蕴含式的概念及其判别方法;了解其他联结词的使用;了解对偶的概念; 掌握求命题范式的方法; 熟练掌握命题演算推理的基本理论。 2．谓词逻辑 熟练掌握谓词的概念及其表示; 熟练掌握量词的使用; 掌握使用谓词公式翻译命题的方法; 掌握变元的约束; 掌握谓词演算中等价式与蕴含式的判别;了解前束范式的求法; 熟练掌握谓词演算推理的基本理论。 3．集合与关系 熟练掌握集合的概念和表示法; 掌握集合的基本运算; 掌握序偶与笛卡尔积的概念; 熟练掌握关系及其表示; 掌握关系的基本性质;了解复合关系和逆关系的概念; 掌握关系的闭包运算; 了解集合的划分和覆盖; 掌握等价关系与等价类的概念; 了解相容关系的概念; 掌握各种序关系的概念。 4．函数 熟练掌握函数的概念; 掌握逆函数和复合函数的概念;了解基数的概念; 了解可数集与不可数集; 了解基数的比较。 5．代数结构 掌握代数系统的概念; 掌握n元运算及其性质; 掌握半群、群与子群的概念; 了解阿贝尔群和循环群的概念; 了解陪集与拉格朗日定理; 了解同构与同态的概念; 了解环与域的概念。 6．图论离散数学模拟试卷和答案
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