运算素养引领下的解析几何命题变迁
素养导向的高考数学命题趋势-简稿-20190328
二、高考数学命题新导向
导向二 降难度：采用文头理尾
文理合卷特点
近两年“两省一市”新高考数学卷的趋势与启示
——文科的韵味，理科的深度
2018年普通高等学校招生全国统一考试全国卷
数学命题报告 ——Y字型排列方案，十个一工程
二、高考数学命题新导向
导向三 推新题：创新试题情境
1
开放题
3
逻辑题 2
举例题 4
试题 要素
二、高考数学命题新导向
导向一 调目标：突出三维立意
取势 明道 优术
高考 数学
三维立意与立体命题特点
三维 三并 三本
二、高考数学命题新导向
三维立意“三部曲”——目标手法途径
二、高考数学命题新导向
立体命题“三字经”——稳变新
依纲靠本，立足基础——体现一个“稳” 知能并重，强调交汇——着眼一个“变” 引经据典，融史嵌名——展示一个“新”
应用性
运用数学知识、思想和方法对实际问题进行分析研究，进而解决问题。通过紧密联系 生产、生活实际的题目背景设计，考查考生所掌握解决实际问题的方法和能力。
创新性
创设新颖情境，考查学生阅读理解能力；强化推理论证，考查理性思维能力。通过设 计新的情境，同时在设问时提出有一定跨度的问题引导学生进行自主探索，考查学生 运用数学及相关学科的核心概念分析和解决问题的能力。
数学 新题型
6 多选题
文化题
5 推断题
二、高考数学命题新导向
新题型的“四化特点”
试题背景的情境化
设问方式的多样化 思维方法的多元化 解答过程的简洁化
二、高考数学命题新导向
试题情境创新的“三贴近”
背景 素材 呈现 形式
试题 情境
且行且思 简化运算 提升素养——一道解析几何题评讲的所想所思
2020年第12期中学数学教学参考（上旬）www A学论教一道解析几何题评讲的所想所思石鹏（江苏省石庄高级中学）摘要：由一道解析几何题出发，通过不同的解法，阐述如何理解运算对象、探究运算路径、简化运算过程、监控运算关鍵点、调整运算方向等，最终落实到如何提升学生的运算素养。
关键词：数学运算；运算路径；运算素养文章编号：1002-2171(2020)12-0028-04《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据法则解决 数学问题的素养。
主要包括：理解运算对象，掌握运 算法则，探究运算思路，选择运算方法.设计运算程 序，求得运算结果等。
[1]”数学运算素养不仅作为高中 数学六大核心素养之一.而且是六大核心素养中最基 本、最基础的素养。
如果数学运算素养有所欠缺，其 他素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数据分析）都将变为空中楼阁、无源之水。
因此，培养学 生数学运算素养要贯彻到每一堂课中，落实到每一道 具体题目的解决过程之中，细化到每道题目运算的每 个步骤。
1问题提出解析几何的本质是用代数方法研究几何图形的 性质，将几何问题转化为代数问题，充分体现了数形 结合的数学思想，从而让解析几何的内容变得丰富多 彩——既包含了对平面图形的认识和图形几何量的 处理，又包含了较为复杂的代数运算，备受命题教师 的青睐，在各地的高考试卷以及各类的模拟考试中，都稳居中档题的位置，有较强的区分功能，学生的得 分率较低。
因此，如何寻找解析儿何问题的本质，探 究相关题目的解题思路.优化其运算的路径，精简其 运算的过程.具有非常现实的意义。
笔者就以一道解 析几何题目为例，设计了一堂“且行且思，简化运算. 提升素养”的高三复习课，以期抛砖引玉。
2教学过程2.1问题呈现题目如图1，已知椭圆M:4+#=1U>6>a a 〇)的右顶点为A(2,0)，点在椭圆上(e为离心率）。
核心素养导向下解析几何教学的实践与思考
核心素养导向下解析几何教学的实践与思考随着核心素养理念在教育领域的不断深入，教学内容和方法也在不断地进行调整和优化。
在数学教学中，尤其是几何教学，核心素养的导向下，如何更好地进行教学实践，培养学生的数学素养和解决问题的能力，成为了教师们需要面对的挑战和思考。
本文将对核心素养导向下解析几何教学的实践与思考进行探讨。
一、核心素养理念对几何教学的影响核心素养是指学生在学习过程中应该获得的必备知识、技能和情感素养。
在数学教学中，核心素养理念主要体现在以下几个方面：1. 培养学生的数学思维和解决问题的能力：核心素养理念强调学生在学习过程中应该掌握一定的数学知识，同时也要培养他们的数学思维和解决问题的能力。
在几何教学中，不仅要让学生掌握几何知识，更要引导他们运用所学知识解决实际问题，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
2. 强调跨学科学习和综合应用：核心素养理念强调学生要具备综合应用知识的能力，能够将所学知识应用到实际问题中。
在几何教学中，不仅要注重几何知识本身的学习，更要引导学生将几何与其他学科进行整合，发现几何知识在其他学科中的应用。
3. 注重学生的自主学习和批判性思维：核心素养理念强调学生在学习过程中应该具备自主学习和批判性思维的能力。
在几何教学中，教师不应该简单地向学生灌输几何知识，而是要通过引导学生自主学习，培养他们的批判性思维，使他们能够主动地探索几何知识。
1. 注重问题情境的引入：在几何教学中，教师可以通过引入问题情境，让学生在实际问题中感受几何知识的应用，从而引发学生的兴趣。
在学习平行线和相交线的关系时，可以通过实际问题引导学生发现平行线和角度之间的关系，培养他们的探究精神和分析问题的能力。
2. 强调几何知识与其他学科的整合：在几何教学中，教师可以着重强调几何知识与其他学科的整合。
在学习几何形状时，可以引导学生探讨几何形状在建筑、艺术等领域的应用，从而让学生发现几何知识在实际生活中的重要性，激发学生对几何知识的兴趣。
从“解析几何的运算”看高考中的“数学运算”核心素养
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２３解析几何的运算看高考中的数学运算核心素养从 解析几何的运算 看高考中的 数学运算 核心素养Һ陈淑玲㊀（福建省德化第一中学，福建㊀泉州㊀３６２５００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 数学运算 是指在解题过程中，对运算的对象㊁法则㊁思路㊁方法的理解㊁掌握㊁探究和选择．本文从 数学运算 核心素养的内涵出发，结合高中生运算水平现状，从解析几何的运算谈如何优化运算．ʌ关键词ɔ高中数学；数学运算；内涵；现状；优化运算ʌ基金项目ɔ本文系福建省教育科学 十三五 规划２０２０年度课题 灵动课堂理念下的高中数学教学研究与实践 （项目编号：ＦＪＪＫＸＢ２０－８７０）的研究成果数学运算 并不是简单的数学计算能力，它反映了一名学生的综合能力． 数学运算 是数学学科核心素养的六个构成要素之一，它几乎贯串其他五个数学核心素养中，是高考中考查比例最大的一个核心素养．一㊁ 数学运算 核心素养的内涵数学运算 意味着在解决问题的过程中，选择适当的算法来解决数学问题的核心水平．它主要包含：清晰计算对象，了解操作算法，利用运算思想，确定操作方法，设计计算过程，找到操作的结果．高中数学课程旨在从多角度标准化中培养学生的数学思维，并可以有效解决实际问题． 数学运算 是解决数学问题的基本途径．因此，在教学中，教师应该注意如何更好地提高学生的 数学运算 素养．二㊁高中生运算水平现状部分学生在学习数学时对数学运算不重视，只注重解题思路方法的探索．比如，解析几何中的求圆锥曲线的弦长，有些学生思路会了就放弃具体运算，结果到了真正运算时，往往因为弦长运算公式的选取缺乏合理性导致计算量偏大，还有些学生因为一个符号或坐标的出错，导致整道题算错．久而久之，很多学生出现解题思路清晰，解题时过多地依赖口算㊁心算，不愿意在草纸上动笔，结果极容易失误．一旦遇到解析几何中运算量比较大的复杂运算，就产生畏惧心理和不自信心理，经常是一个题目拿到手，不知从何入手开始运算，于是开始依赖计算器和 小猿搜题 等软件，图省事㊁求快速，不愿自己动脑动手．在数学解题中，有些学生在解题时稍微遇到难一点的运算就没勇气往下算，还有些学生在运算过程中，书写潦草，导致运算出错，运算结束后，缺乏对运算结果的检查㊁检验过程，导致不能及时发现并改正错误．解题后，学生不善于归纳㊁总结㊁反思解题运算的方法技巧，没有思维的发散性，对于能一题多解的问题，只能找到比较常规的解法，没法寻求更简便的运算途径，不去选取更合理的运算策略，运算过程烦琐笨拙，从而导致运算失误或缓慢，必然导致正确率下降，进而打击了学习的积极性．由于高中数学内容多㊁课时少，导致教学任务繁重，部分教师对数学运算的理解不到位，在课堂上只注重解题思路和方法的探求，忽视对具体运算过程的示范㊁引领㊁指导和要求，很少给学生预留当堂完成运算求解的时间和机会，这就不能及时发现并指正学生的运算错误．而对于学生作业和考试中的运算错误，由于教师缺乏重视，只是让学生自己核对答案并订正，很多学生忙于完成大量的作业，并没有真正将订正落实到位，学生的运算能力自然下降．三㊁提高高中生数学运算能力的具体实践无算不成数学题，要有不怕算的思想．高中生的数学计算能力就是能够按照题目的条件㊁待求等，探求与设计合理的运算路径，在兼顾计算方法的技巧性和计算速度的快捷性的同时，保证计算结果的准确性．算理就是计算过程中的原理，是解决为何这样算的问题．比如，有的同学看到二次方程就用韦达定理，但是没有判别式作保证，算理不对就会使计算结果失去意义．当然，我们还希望简捷，能两步求解就不要搞成三步㊁四步，多想少算㊁优算肯定是上策，在运算以前尽量考虑多种可能的方案，比较彼此的优劣，像下围棋一样，走一步要想好后面的几步，所谓 磨刀不误砍柴工 ，这就需要解法的设计．拿到题后没有斟酌直接计算，很容易误入歧途，特别是运算比较复杂的问题，运算在求解解析几何问题中的地位大家都是清楚的，那么该如何优化运算呢？１．优化常规动作例１㊀已知点Ｐ是圆Ｑ：（ｘ＋２）２＋ｙ２＝３２上任意一点，定点Ｒ（２，０），线段ＰＲ的中垂线与半径ＰＱ相交于Ｍ点，点Ｐ在圆周上运动时，设点Ｍ的运动轨迹为Ｅ．若点Ｎ在双曲线ｘ２４－ｙ２２＝１（顶点除外）上运动，过点Ｎ，Ｒ的直线与曲线Ｅ相交于Ａ，Ｂ，过点Ｎ，Ｑ的直线与曲线Ｅ相交于Ｃ，Ｄ，请问：｜ＡＢ｜＋｜ＣＤ｜是否为定值（说明理由）？问题分析：这是一道常规的涉及圆锥曲线的弦长的问题，学生基本上按部就班求解即可．易求点Ｍ的运动轨迹方程为ｘ２８＋ｙ２４＝１①，设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋ１（ｘ－２）＝２②，联立①②消元得（２ｋ２１＋１）ｘ２－８ｋ２１ｘ＋８ｋ２１－８＝０，设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２＝８ｋ２１２ｋ２１＋１，ｘ１ｘ２＝８ｋ２１－８２ｋ２１＋１，可以求出ＡＢ＝㊀１＋ｋ２１㊃㊀ｘ１＋ｘ２()２－４ｘ１ｘ２＝㊀１＋ｋ２１㊃㊀８ｋ２１２ｋ２１＋１æèçöø÷２－４㊃８ｋ２１－８２ｋ２１＋１＝４２（ｋ２１＋１）２ｋ２１＋１．（∗）然而，在许多情况下，联立圆锥曲线方程与直线方程消元后得到的一元二次方程的系数都含有参数，利用韦达定理求弦长，计算量都不小．如果用ＡＢ＝㊀１＋ｋ２１㊀Δａ＝㊀１＋ｋ２１㊀－８ｋ２１()２－４（２ｋ２１＋１）８ｋ２１－８()２ｋ２１＋１＝４２（ｋ２１＋１）２ｋ２１＋１求解，可以发现利用韦达定理实实在在是绕了一大圈，前面写出的韦达定理没有任何作用，这个步骤的优化，可以减少含参数的式子的化简，减少出错的概率．. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２３例２㊀在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知椭圆Ｃ的中心在原点Ｏ，焦点在ｘ轴上，短轴长为２，离心率为２２，过左顶点Ａ的直线ｌ与椭圆交于另一点Ｂ．若｜ＡＢ｜＝４３，求直线ｌ的倾斜角．问题分析：这个问题也与弦长问题有关，容易求得椭圆方程为ｘ２２＋ｙ２＝１．很多学生设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋２()，代入椭圆方程，得到（２ｋ２＋１）ｘ２＋４２ｋ２ｘ＋４ｋ２－２＝０，不管是直接用韦达定理代入弦长公式ＡＢ＝㊀１＋ｋ２㊃㊀ｘ１＋ｘ２()２－４ｘ１ｘ２，或是利用公式ＡＢ＝１＋ｋ２Δａ求解，计算量都不小，但是，如果能发现本题中一元二次方程中有一个根是－２，则有－２＋ｘＢ＝－４２ｋ２２ｋ２＋１，就容易求得另外一个根为ｘＢ＝２－２２ｋ２２ｋ２＋１，则ＡＢ＝㊀１＋ｋ２ｘＡ－ｘＢ＝１＋ｋ２㊃２２２ｋ２＋１＝４３，这样运算就可以减少计算量．这就需要学生突破常规，在熟练运算中养成 常规动作 的好习惯，灵活选取最适合的弦长公式解题，优化步骤才能保证解题质量．又如，设直线方程时方程形式的选取，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程ｙ＝ｋｘ＋ｂ便于运算，即 定点落在纵轴上，斜截式帮大忙 ；若直线经过的定点在横轴上，一般设为ｘ＝ｍｙ＋ｎ可以减小运算量，即 直线定点落横轴，斜率倒数作参数 ．２．优化运算对象例３㊀已知抛物线Ｃ：ｙ２＝３ｘ的焦点为Ｆ，斜率为３２的直线ｌ与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，与ｘ轴的交点为Ｐ．若ＡＰң＝３ＰＢң，求｜ＡＢ｜．问题分析：大部分学生看到这个题目，就是设直线ｌ：ｙ＝３２ｘ＋ｔ，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｐ（ｐ，０）．由ＡＰң＝３ＰＢң，学生往往想到的是利用向量的模长的倍数关系ＰＡң＝３ＰＢң，或者是利用ｐ－ｘ１，－ｙ１()＝３ｐ－ｘ２，－ｙ２()去处理，不管是用哪种方法，计算都比较烦琐．如果把向量的倍数关系结合相似三角形就可以转化为坐标的倍数关系ｙ１＝－３ｙ２，从而减少计算量．例４㊀过抛物线Ｃ：ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）的焦点Ｆ作直线ｌ与抛物线Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，当点Ａ的纵坐标为１时，｜ＡＦ｜＝２．若抛物线Ｃ上存在点Ｍ（－２，ｙ０），使得ＭＡʅＭＢ，求直线ｌ的方程．问题分析：对已知条件 ＭＡʅＭＢ ，学生容易想到直线ＭＡ与ＭＢ的斜率之积为－１，可是在解题过程中往往忽略对直线斜率不存在这种情况的讨论．注意运算对象ＭＡʅＭＢ，从向量角度看，两直线互相垂直等价于直线的方向向量互相垂直，利用ＭＡң㊃ＭＢң＝０的坐标运算就可以避免分类讨论，达到简便解题的效果．多想 ，优化运算对象是比计算更重要的事情，如果方向不对㊁路径不对㊁解题跑偏，无疑是考试中的 灾难 ．３．同构减少运算例５㊀如图，已知椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为１２，过椭圆右焦点Ｆ作两条互相垂直的弦ＡＢ与ＣＤ．当直线ＡＢ的斜率为０时，｜ＡＢ｜＝４．若｜ＡＢ｜＋｜ＣＤ｜＝４８７，求直线ＡＢ的方程．问题分析：易求椭圆方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１，且由题易知弦ＡＢ与ＣＤ所在直线的斜率均存在且不为０，设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），Ｂ（ｘ１，ｙ１），Ａ（ｘ２，ｙ２），则直线ＣＤ的方程为ｙ＝－１ｋ（ｘ－１）．将直线ＡＢ的方程代入椭圆方程中并整理得（３＋４ｋ２）ｘ２－８ｋ２ｘ＋４ｋ２－１２＝０，则ｘ１＋ｘ２＝８ｋ２３＋４ｋ２，ｘ１㊃ｘ２＝４ｋ２－１２３＋４ｋ２，所以｜ＡＢ｜＝ｋ２＋１｜ｘ１－ｘ２｜＝ｋ２＋１㊃（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２＝１２（ｋ２＋１）３＋４ｋ２．在求ＣＤ时，由于直线ＡＢ与ＣＤ都是经过点Ｆ的弦，在图形的构成中，唯一不同的只有斜率，所以这个过程无须再算，只要把弦ＡＢ的运算结果中的ｋ直接换成－１ｋ就可以得到，｜ＣＤ｜＝１２１ｋ２＋１æèçöø÷３＋４ｋ２＝１２（ｋ２＋１）３ｋ２＋４．从而求得ｋ值，得到直线ＡＢ的方程．例１求解ＣＤ时，可以发现直线ＣＤ的方程ｙ＝ｋ２（ｘ＋２）与直线ＡＢ的方程ｙ＝ｋ１（ｘ－２）有相同的结构特征，而ʃ２的符号差异在利用弦长公式ＣＤ＝１＋ｋ２㊃ｘ１＋ｘ２()２－４ｘ１ｘ２求解时，会因为（ｘ１＋ｘ２）２的作用而消除，利用同构性直接把∗()中的ｋ１换成ｋ２，得ＣＤ＝４２（ｋ２２＋１）２ｋ２２＋１．其本质是直线ＡＢ，ＣＤ的几何意义完全一致，代数形式自然表示出同构的特点．如果题目中出现对称㊁对等条件，就可以考虑用同构法减少计算量．在数学教学中，学生计算能力的培养有待加强，对于高中生来说，解题思路的获取㊁解题方法的选择㊁数学工具（参数方程㊁向量等）的运用等，都是考查学生对知识的综合运用能力和数学方法优化的能力，它有利于学生数学核心素养的培养和形成．ʌ参考文献ɔ［１］邱婉珠，周仕荣．从 三角与三角函数 考点看高考中的 数学运算 核心素养：以２０１６ ２０１９四年高考理科全国卷Ⅰ卷为例［Ｊ］．数学通报，２０２０（０２）：４９－５４．［２］詹长青．基于高中学生数学运算的现状调查与研究［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１９（１３）：６７－７１．［３］曹凤山．高中数学解题研究（第１２辑：曹凤山讲怎样解题）［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，２０２０．. All Rights Reserved.。
2024年高考数学全国Ⅰ卷解析几何题解法研究与复习启示
2024年高考数学全国Ⅰ卷解析几何题解法研究与复习启示作者：***来源：《中学数学杂志(高中版)》2024年第04期【摘要】2024年是数学高考历史上浓墨重彩的一年，数学高考试卷发生了重大变化，解析几何问题第一次出现在第二个大题的位置．通过对2024年全国Ⅰ卷第16题解析几何题的解法探究、命题意图的探讨，找出这类问题的本源，帮助学生深入理解解析几何问题，提高解决这类问题的能力．最后给出复习启示：立足基础，回归教材；加强训练，培养能力；掌握技法，提升素养．【关键词】高考；解析几何；解法研究；复习启示《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调：能够在熟悉的数学情境中，根据问题的特征形成合适的运算思路；能够选择合适的数学模型表达所要解决的问题，理解模型中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型；理解数学运算是一种演绎推理，在综合运用运算方法解决问题的过程中，形成规范化思考问题的品质，抓住问题的本质，创造性地解决问题[1]．2024年是数学高考历史上浓墨重彩的一年，数学高考试卷发生了重大变化．2024年数学新课标卷调减了题量，同时增加了解答题的总分值，优化了多选题的赋分方式，强化了考查思维过程和思维能力的功能，使思维能力强的学生能较好地展示素养，发挥潜力、脱颖而出，发挥高考的选拔功能，引导数学教学关注学生核心素养的培养．解析几何一直是高考的重要考点，常年稳居高考试题的后两位，因其难度大，运算复杂而令学生苦恼．但在“新课标、新教材、新高考”“三新”背景下，解析几何大题已不是传统意义上的压轴题，位置前移，难度降低，在2024年全国高考数学Ⅰ卷中，解析几何问题第一次出现在第二个大题的位置，更是出乎大多数人的意料．本文以2024年全国高考数学Ⅰ卷第16题解析几何题为例，从试题命题意图，解法探究，追本溯源，复习启示等方面进行说明．原题呈现1命题意图本题是全国高考数学Ⅰ卷第16题，位居第二个大题的位置，情境熟悉，题干简洁，内容简单，设计了两个问题：第（1）问是基础题，极为简单，属于送分题；第（2）问是面积问题，学生复习时经常训练，不会对学生解题造成障碍.本题设计中规中矩，难度不大，但是涉及的知识点多，综合考查椭圆的标准方程及离心率等几何性质、直线方程、弦长公式、韦达定理、三角形面积公式、待定系数法等，学生容易理解题意，能够快速发现解题思路．本题打破了以往的命题模式，将解析几何试题安排在解答题的第2题．机动调整题目顺序，有助于打破学生机械应试的套路，打破教学中僵化、固定的训练模式，防止猜题押题，同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力．引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力，灵活地整合知识解决问题．2解法探究3追根溯源4链接高考5复习启示5.1立足基础，回归教材“万丈高楼平地起”，无论试题综合性有多强，难度有多大，都离不开基础知识的铺垫．《中国高考报告》指出：高考命题会以教材中的知识为蓝本进行改造，既可以实现对基础知识的考查，又可以引导回归教材，减轻学习负担，提高学生学习的针对性和有效性．回归教材并不是简单的联系教材，而是从知识、技能、能力、方法、思维和思想上回归学科[2]．因此，只有回归教材，才是大道至简、返璞归真之举．在复习过程中，要引导学生回顾教材，使学生了解知识发生、发展和应用过程，夯实学生的基础知识，沟通平面几何与解析几何知识之间的关系，以便使学生在解决这类问题时能够得心应手，运用自如．5.2加强训练，培养能力“书读百遍，其义自见”，平时要加强解析几何问题的训练力度，侧重培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运算能力．解析几何问题由于计算过程复杂，运算量大，一直是学生学习过程中的难点，对学生的逻辑思维能力和数学运算能力要求较高．好的解题思路是通过一定的运算、推理等数学语言表达出来的，因此在平时的复习过程中，提升学生的空间想象能力、逻辑思维能力和数学运算能力尤为重要，所以平时要引导学生进行以运算为主的练习和规范严密的思维分析过程．在运算时注重一題多解的方法，进行变式训练，选取恰当的解法起到事半功倍的效果，提高学生的运算能力．5.3掌握技法，提升素养“工欲善其事，必先利其器”，要夯实学生解题的基本技能和基本方法，提升学科核心素养．解析几何问题不是单纯靠“刷题”就能解决的，要将训练的重点放在巩固、加深对概念的理解、训练和提升基本技能、熟练掌握基本方法上．例如解决面积问题的基本技能和方法主要是利用弦长公式和面积公式进行求解，解决圆锥曲线定点问题的基本技能主要是借助坐标系用代数方法表示和定比点差法求解等，解决解析几何问题除了上述基本技能和方法外，还要熟练利用几何直观、数形转化、向量转化等知识，能够培养学生的几何直观、逻辑推理、数学运算、数学抽象等学科核心素养．参考文献[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订[M]．北京：人民教育出版社，2020．[2]中国高考报告学术委员会.高考试题分析·数学[M]．北京：现代教育出版社，2021：8作者简介侯怀有（1973—），男，山东德州人，教育硕士，中学高级教师；主要从事数学教育教学研究.。
核心素养下高中生解析几何运算能力提升策略
核心素养下高中生解析几何运算能力提升策略【摘要】在当今教育领域，提升高中生解析几何运算能力是非常重要的任务。
为了实现这一目标，可以通过制定个性化学习计划，针对学生的不同需求和水平设定相应的学习目标和方法。
加强基础知识训练也是必不可少的步骤，只有牢固的基础才能支撑起更高级的学习。
培养逻辑推理能力也是必要的，这可以通过解题思路的训练和练习来提升。
利用多种资源辅助学习也是很有效的方法，例如学习APP、网络资源等。
参加实践活动也是提升能力的有效途径，通过实际操作来加深对知识的理解和应用。
在核心素养的指导下，高中生可以通过以上几种策略来提升解析几何运算能力。
【关键词】核心素养、高中生、解析几何运算、能力提升、个性化学习计划、基础知识训练、逻辑推理能力、多种资源、实践活动、策略、结论。
1. 引言1.1 核心素养下高中生解析几何运算能力提升策略在当今社会，高中生的数学能力一直备受关注。
解析几何是数学中一个重要的分支，对于高中生来说，掌握解析几何的运算能力不仅有助于提高数学成绩，还有助于培养逻辑思维能力。
要提升高中生的解析几何运算能力，需要综合考虑他们的核心素养。
核心素养包括批判性思维、创新能力、沟通能力等，这些素养在解析几何学习中起着至关重要的作用。
为了帮助高中生提升解析几何运算能力，可以制定个性化的学习计划。
通过分析学生的学习特点和水平，针对性地安排学习任务和辅导内容，让学生在有针对性的指导下更好地掌握解析几何的知识和技能。
加强基础知识训练也是提升运算能力的关键。
只有打牢基础，学生才能在解析几何的学习过程中更加游刃有余。
培养逻辑推理能力也是解析几何学习的重点。
通过训练学生的逻辑思维，让他们能够更好地理解解析几何的原理和方法，有助于提升他们的运算能力。
利用多种资源辅助学习，例如教学视频、教学软件等，可以帮助学生更全面地学习解析几何知识，加深对知识的理解。
参加实践活动可以帮助学生将解析几何理论运用到实际问题中，锻炼他们的解决问题能力和创新能力。
数学核心素养视角下的高中解析几何教学
数学核心素养视角下的高中解析几何教学随着数学教育的不断发展，数学核心素养已经成为当前教育领域的热门议题之一。
在这一背景下，高中解析几何教学也必然要从数学核心素养的角度来进行重新审视和重构。
本文将从数学核心素养的概念出发，探讨在高中解析几何教学中如何培养学生的数学核心素养，从而促进他们的综合素质和能力的全面发展。
一、数学核心素养的概念数学核心素养是指学生在数学学习中应该具备的基本素养，包括数学思维、数学方法、数学技能和数学情感等方面的素养。
数学核心素养强调的是学生在数学学习过程中的综合能力和综合素质，而不仅仅是对数学知识的掌握和运用。
数学核心素养的培养，是以学生为主体的、全面发展为目标的数学教育的本质要求。
在高中解析几何教学中，数学核心素养的培养具体体现在以下几个方面：1.数学思维的培养。
高中解析几何是一门抽象性很强的数学学科，学生在学习解析几何时，需要具备较高的数学思维能力，包括抽象思维、逻辑思维、空间思维等。
通过解析几何的学习，可以培养学生的数学思维能力，提高他们的抽象思维能力和逻辑推理能力。
2.数学方法的培养。
高中解析几何的学习，需要学生掌握一定的数学方法和解题技巧，例如坐标法、向量法、参数方程法等。
通过解析几何的学习，可以培养学生的数学方法意识，提高他们的解题技巧和解题能力。
4.数学情感的培养。
高中解析几何的学习，需要学生具备一定的数学情感，包括数学兴趣、数学好奇心、数学自信心等。
通过解析几何的学习，可以培养学生对数学的兴趣，增强他们的数学自信心，激发他们对数学的好奇心。
3.注重数学技能的培养。
在解析几何的教学中，可以通过讲解基本概念和性质、导引定理的证明和应用等方式，来培养学生的数学技能。
可以通过讲解典型例题、布置实践题等方式，来提高学生的计算能力和实际运用能力。
为了更好地培养学生的数学核心素养，本文结合实际教学案例，给出了一些具体的数学核心素养培养实例。
例1.培养数学思维的实例教师在解析几何的教学中，可以设计一个“坐标系中的几何图形”实验活动。
素养立意下解析几何专题复习常规与转向
素养立意下解析几何专题复习常规与转向作者：***来源：《中学数学杂志(高中版)》2022年第02期【摘要】素养立意下的解析几何专题复习，在高考导向、总结归纳、突出常规的同时要转向注重知识间的融合，注重培养学生问题解决能力;要转向落实细节，注重回归教材的方式方法，培养惯性观念时注重学生运算难点的突破，运用变式教学提升学生核心素养;要转向高考试题命题技术、共性联系、创新研究等方面的总结和预测上来，从而把握命题方向.【关键词】素养立意;解析几何;变式教学;命题技术;共性联系高考评价体系标志着中国高考正在实现从能力立意到素养导向的历史性转变.回顾2021年素养立意下的解析几何考题，可总结为：强化“四基”、考查“四能”;主要表现在突出主干知识，重视解析几何的本质、基本思想与方法，考查学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养以及分析问题、解决问题的能力.因此，作为素养立意下的专题复习，注重常规的同时，还必须适时“转向”，跳出“刷题”模式，笔者认为可以从以下方面把握与提升.1 高考导向，总结归纳1.1 突出常规情境，注重基本思想与技能《普通高中课程标准（2017年版2020年修订）》[1]（以下简称课标）指出，平面解析几何内容包括：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几何的形成与发展.课标对每部分的考查要求作了明确，但高考中直线、圆的方程很多时候融入圆锥曲线与方程的知识当中进行综合考查，因此，圆锥曲线与方程是解析几何的核心内容.梳理近两年的解析几何考查热点，大致可归纳如下：从表1不难发现，高考试题主要以变换曲线类型、几何性质和位置关系为载体，基本上在距离问题、面积问题、最值与范围问题、定点定值问题等典型问题情境上做文章.1.2 体现知识融合，注重问题解决能力除了常规的考查方式，素养立意下的高考试题要素已经从单一要素转向复合要素，这导致更注重考查知识的融合;同时随着不定项多选题的出现，对解析几何专题的要求更强调知识的迁移和问题解决能力.1.2.1 考查多选题与解析几何知识的融合例1 （2020年山东卷9题）已知曲线C：mx2+ny2=1.A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为nC.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-mnxD.若m=0，n>0，则C是两条直线评析此题以圆锥曲线统一形式为情境载体，根据参数的变化，融合了不同曲线类型的知识，要求考生能从基础知识出发，进行具体问题具体分析，在分类讨论的基础上进行逻辑推理，最后落脚在曲线（直线）方程、渐近线等常规问题的解决上.值得一提的是，解析几何的多项选择题紧接着出现在2021年新高考Ⅰ卷11题，以直线与圆的方程为载体，落脚在动态变化和对距离的考查上.1.2.2 考查解析几何与函数知识的融合例2 （2020年浙江卷8）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）.設点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=34-x2图象上的点，则|OP|=（）.A.222B. 4105C. 7D. 10评析本题体现了双曲线和函数图象的融合，同时函数图象也是椭圆的上半部分，从而也是双曲线和椭圆知识的融合.要求学生能从双曲线的定义出发，得出双曲线右支的方程，结合函数解析式得出P点坐标.考查了学生数学运算和直观想象的核心素养.值得注意的是，在2021年浙江卷第9题出现了与数列（等比数列）知识的融合.1.2.3 考查解析几何与平面向量的融合平面向量在新人教A版教材中的位置发生了重要变化，它作为一种解决问题的工具更加受到重视.因此解析几何与平面向量的融合也就变得十分自然.比如2020年江苏卷、天津卷、上海卷中的解析几何解答题，2021年上海卷20题等.这类融合主要涉及圆锥曲线的相关知识和平面向量知识等，多出现在解答题，考查学生从代数角度寻找关于长度或者利用向量的坐标反映向量的位置关系方面解决问题的能力.2 备考转向，落实细节复习备考策略一直是一个老生常谈的问题，往往各种宏观上的指导颇多，而在复习中微观上的实际操作却比较少.下面就几点落实关键细节上的经验和想法给出建议.2.1 回归教材，注重方式方法回归教材绝对不是在复习中简单地让学生“看看教材，做做习题”.复习备考回归教材是连续性的过程，是进入复习教学时就要思考的整体性的、全局性的计划部署，要定位如何通过对高考题和教材习题的比较、研究，达到回归教材、活用教材以及类比拓展的目的[2].首先建立高考试题与教材的对接点.从高考试题的显性要素和隐性要素两方面建立高考试题与教材的对接点.比如，2021年全国新高考Ⅱ卷第13题可对接新人教A版选择性必修2习题3.2第3题;全国甲卷理科第15题可对接选择性必修2复习参考题3第7题等.其次，以高考为导向挖掘教材资源.根据建立的高考与教材的对接点，从高考考查的重点、高考试题的命题思路反思教材相关重点内容的问题提出方式，创新教材习题形式.最后，将对接点要融入解析几何专题中的思维导图，形成概念与概念之间的逻辑关系，以便应对知识融合时的思维跨越.2.2 培养惯性观念，突破运算难点素养立意的高考命题重视学科观念、规律的考查，考查学生扎实的学科基础，引导他们去形成思维中的惯性观念，并且能够合理的进行转化[3].思维上的惯性观念往往在解析几何解答题中体现为：需要联立直线与曲线方程，利用韦达定理整体代换进行求解，所得表达式有时候可以很快求解，有时候就需要一些技巧，这时学生就容易卡壳.这是学生运算的难点，因为这里涉及到两种运算结构.2.2.1 对称结构转化表达式中只含“x1+x2”（或“y1+y2”）、“x1x2”（或“y1y2”）的结构，我们俗称其为“对称结构”.例3 （2021年新高考Ⅰ卷21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（-17，0），F2（17，0），点M满足|MF1|-|MF2|=2，记M的轨迹为C.（1）求C的方程;（2）设T点在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA||TB|=|TP||TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.评析第（2）问中可用弦长公式转化为|TA||TB|=1+k2AB·|xA-12|·1+k2AB·|xB-12|=（1+k2AB）（xAxB-xA+xB2+14）.此时能直接利用韦达定理整体代换求解.再比如2021年新高考Ⅱ卷20题也是如此.2.2.2 非对称结构例4 （2020年全国Ⅰ卷理科21题）已知A，B分別为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8.P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.（1）求E的方程;（2）证明：直线CD过定点.评析解答此题大部分学生的惯性思路为：由A（-3，0），B（3，0），设C（x1，y1），D（x2，y2），直线AC与BD的方程为y=y1x1+3（x+3），y=y2x2-3（x-3）根据AC与BD相交，则可得3y1x1+3=y2x2-3.此时就是非对称结构，若将CD直线方程（斜率存在时）y=kx+b代入椭圆方程得到表达式（9k2+1）x2+18kbx+9b2-9=0，由韦达定理并不能解决问题[4].教师这时应该引导、帮助学生总结处理这类问题的方法（例如平方法、积转为和等）或者规避这类非对称结构的求解方法.2.3 课堂变式教学，聚焦核心素养课堂变式教学能总结复习备考中出现的问题，能够引导学生在熟悉的情境中抽象出数学概念和规则，并以此铺展开来，在关联的情境中分析并解决数学问题，达到触类旁通的效果.例5 （2021年八省联考数学21题（1））双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BF⊥AF时，|BF|=|AF|.求C的离心率.此题是解答题第（1）问，以双曲线为情境，在两直线为特殊位置关系且满足|BF|=|AF|等式关系时的离心率问题，依然落脚于常规问题.为了提升学生解决问题的能力，可以针对情境进行变式、迁移：例6 （恩施州2022届高三第一次质量监测6题）双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左顶点为A，右焦点为F，过点A的直线交双曲线C于另一点B，当BF⊥AF时满足|AF|>2|BF|，则双曲线离心率e的取值范围是（）.A.1<e<2B.1<e<32C.32<e<2D.1<e<3+32这样，就把圆锥曲线中基本量的问题迁移到了范围问题，虽然基础知识一样，但涉及到逻辑推理、数学运算等核心素养水平是不一样的.3 研究考向，猜想预测加强对高考试题的研究，可以在命题技术、共性联系、创新研究等方面总结解题思路、方法，便于在关联的情境中进行迁移，把握命题方向乃至预测试题.3.1 基于命题技术研究与预测归纳解析几何题情境中的圆锥曲线性质及去情境化的平面几何性质，总结命题技术及类似案例，能深入体会解析几何命题中利用平面几何关于三角形的一些等式关系、性质或结论进行试题命制的过程.例7 （2019年浙江卷21题）如图1，已知F（1，0）是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，点Q在点F的右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.（1）求p的值及抛物线的准线方程;（2）求S1S2的最小值及此时G点坐标.若去掉抛物线的情境，可表述为：如图2，过△ABC的重心G作一条直线分别交AB，AC于F，Q，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2，则S1S2的最小值为1+32[5].结论很容易证明，也是三角形中的一条性质.有意思的是，2021年浙江卷依然是类似的命题手法.例8 （2021年浙江卷21题）如图3，已知F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2.（1）求抛物线的方程;（2）设过点F的直线交抛物线于A，B两点，斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且|RN|2=|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的范围.同样地，去掉抛物线背景，可描述为：如图4，在MAB中，MF平分∠AMB，直线PQ与MAB的三边MA，MB，AB，MF依次交于点P，Q，R，N，如果|RN|2=|PN|·|QN|，那么BMMP·NRQN·RFFB=1. 结论的证明可利用梅涅劳斯定理，请读者自己完成.类似这样的命题手法，通过三角形性质，融入圆锥曲线的背景，应该引起关注.3.2 基于试题共性研究与预测所谓试题共性研究，就是根据联系的多样性，对各地高考试卷解析几何的命题立意、情境设问、解法等方面进行共性研究，归纳与分类，寻找之间的联系，把握命题方向.例9 （2021年新高考Ⅱ卷20题）已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），右焦点为F（2，0），且离心率为63.（1）求椭圆C的方程;（2）设点M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2（x>0）相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=3.例9与例3两道真题的第（2）问解法中的条件式都是用弦长公式，转化为两交点坐标的对称结构.在命题立意上，两道高考真题都以圆锥曲线与圆的位置关系为背景，例3比较隐性，实质为A，B，P，Q四点共圆，即圆与双曲线相交于四点;例9显性的给出了圆与椭圆相切，最后二者都是以直线与曲线的位置关系为落脚点[6].（1）求C的方程;（2）设T点在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA||TB|=|TP||TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.评析第（2）问中可用弦长公式转化为|TA||TB|=1+k2AB·|xA-12|·1+k2AB·|xB-12|=（1+k2AB）（xAxB-xA+xB2+14）.此时能直接利用韦达定理整体代换求解.再比如2021年新高考Ⅱ卷20题也是如此.2.2.2 非对称结构例4 （2020年全国Ⅰ卷理科21题）已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8.P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.（1）求E的方程;（2）证明：直线CD过定点.评析解答此题大部分学生的惯性思路为：由A（-3，0），B（3，0），设C（x1，y1），D（x2，y2），直线AC与BD的方程为y=y1x1+3（x+3），y=y2x2-3（x-3）根据AC与BD相交，则可得3y1x1+3=y2x2-3.此时就是非对称结构，若将CD直线方程（斜率存在时）y=kx+b代入椭圆方程得到表达式（9k2+1）x2+18kbx+9b2-9=0，由韦达定理并不能解决问题[4].教师这时应该引导、帮助学生总结处理这类问题的方法（例如平方法、积转为和等）或者规避这类非对称结构的求解方法.2.3 课堂变式教学，聚焦核心素养课堂变式教学能总结复习备考中出现的问题，能够引导学生在熟悉的情境中抽象出数学概念和规则，并以此铺展开来，在关联的情境中分析并解决数学问题，达到触类旁通的效果.例5 （2021年八省联考数学21题（1））双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BF⊥AF时，|BF|=|AF|.求C的离心率.此题是解答题第（1）问，以双曲线为情境，在两直线为特殊位置关系且满足|BF|=|AF|等式关系时的离心率问题，依然落脚于常规问题.为了提升学生解决问题的能力，可以针对情境进行变式、迁移：例6 （恩施州2022届高三第一次质量监测6题）双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左顶点为A，右焦点为F，过点A的直线交双曲线C于另一点B，当BF⊥AF时满足|AF|>2|BF|，则双曲线离心率e的取值范围是（）.A.1<e<2B.1<e<32C.32<e<2D.1<e<3+32这样，就把圆锥曲线中基本量的问题迁移到了范围问题，虽然基础知识一样，但涉及到逻辑推理、数学运算等核心素养水平是不一样的.3 研究考向，猜想预测加强对高考试题的研究，可以在命题技术、共性联系、创新研究等方面总结解题思路、方法，便于在关联的情境中进行迁移，把握命题方向乃至预测试题.3.1 基于命题技术研究与预测归纳解析几何题情境中的圆锥曲线性质及去情境化的平面几何性质，总结命题技术及类似案例，能深入体会解析几何命题中利用平面几何关于三角形的一些等式关系、性质或结论进行试题命制的过程.例7 （2019年浙江卷21题）如图1，已知F（1，0）是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，点Q在点F的右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.（1）求p的值及抛物线的准线方程;（2）求S1S2的最小值及此时G点坐标.若去掉抛物线的情境，可表述为：如图2，过△ABC的重心G作一条直线分别交AB，AC于F，Q，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2，则S1S2的最小值为1+32[5].结论很容易证明，也是三角形中的一条性质.有意思的是，2021年浙江卷依然是类似的命题手法.例8 （2021年浙江卷21题）如图3，已知F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2.（1）求抛物线的方程;（2）设过点F的直线交抛物线于A，B两点，斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且|RN|2=|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的范围.同样地，去掉抛物线背景，可描述为：如图4，在MAB中，MF平分∠AMB，直线PQ 与MAB的三边MA，MB，AB，MF依次交于点P，Q，R，N，如果|RN|2=|PN|·|QN|，那么BMMP·NRQN·RFFB=1. 结论的证明可利用梅涅劳斯定理，请读者自己完成.类似这样的命题手法，通过三角形性质，融入圆锥曲线的背景，应该引起关注.3.2 基于试题共性研究与预测所谓试题共性研究，就是根据联系的多样性，对各地高考試卷解析几何的命题立意、情境设问、解法等方面进行共性研究，归纳与分类，寻找之间的联系，把握命题方向.例9 （2021年新高考Ⅱ卷20题）已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），右焦点为F（2，0），且离心率为63.（1）求椭圆C的方程;（2）设点M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2（x>0）相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=3.例9与例3两道真题的第（2）问解法中的条件式都是用弦长公式，转化为两交点坐标的对称结构.在命题立意上，两道高考真题都以圆锥曲线与圆的位置关系为背景，例3比较隐性，实质为A，B，P，Q四点共圆，即圆与双曲线相交于四点;例9显性的给出了圆与椭圆相切，最后二者都是以直线与曲线的位置关系为落脚点[6].。
全国卷解析几何板块基于核心素养检测的命题特点
• 平几渗透热点已经转移到选填题，体现在16年 解答题、选填全面渗透转变为17年只在选填上 结合平几. • 平几知识主要在圆、特殊三角形、平行线（中 位线）、相似、全等，相切等.少见“四心三线”
1、平几渗透（特殊三角形）
1、平几渗透（特殊三 角形）
2、平几渗透（圆）
• 酝酿而算，切忌胡算；
• 着眼选拨，厚积薄发.
四公子的剑
能抓老鼠的就是好猫
解法一:为通式通法，是对于 焦点弦的初步理解，基础但必 要,为入道； 解法二:体现平时积累，善于 引申思考，是对平时学习的再 发展,为悟道； 解法三:凡理不拒，不拘泥， 是建模思维的真体验，此法深 得解析几何之妙，为掌道.
①教研方面:加强对高考题的研究，把握命题趋势； ②课堂教学:理清平几渗透的基本手法，通过一题多 解对比解法优劣为引导，通过多题一解掌握思路本 质.
【 小 结 】
平几渗透特点的
【教学建议】
天长路远魂飞苦，梦魂不到关山难 长相思，摧心肝
2．从解几板块选拨功能角度看高考题
• 立足基础，不止基础；
• 立足通法，不拒妙法；
3.从直线与圆锥曲线联立方式看高考题
• 【知识要点】联立方程的常用方式 • 大联立：从直线入手，不好直接求出交点坐标，利用韦 达定理整体处理； • 小联立：从点入手，其中一点在曲线上，另一点的坐标 可以利用韦达定理解出；
• 不联立：如点差法等，利用点在曲线上进行变换处理.
• 双直线联立：经过曲线上一点的两直线与曲线联立.
【大联立】名花倾国两相欢
【双联立】云雨巫山枉断肠
①解法一是官方解法：采用一条直线与椭圆大联立，利用维 达定理，计算量大.解法二的双联立，非常巧妙，几乎是“零 计算量”，其关键是抓住了本质:两条直线同时与椭圆联立得 到的方程的解就是三个公共点的坐标，从而得到直线AB方程 ，再结合直线系方程求得定点.思路清楚干净；计算刚好不多 余，整洁且明快. ②解几大题不应该是机械的联立、维达定理，而是在根子上 体现数与形的转化 转化是灵活的变化的，不是僵硬的程式化的, 联立是有目的性的而不是习惯性的. 思维是发展的而不是记忆的.
核心素养导向下解析几何教学的实践与思考
核心素养导向下解析几何教学的实践与思考一、引言随着教育改革的不断深化，我国教育界对素质教育的重视程度日益增加。
核心素养作为素质教育的重要内容之一，被纳入了教育教学过程中。
素养教育致力于培养学生全面发展的个体，促使其具备良好的心理素质、科学素养以及综合素养。
而几何教学是教育过程中的一个重要内容，如何将核心素养理念融入到几何教学中，是当前亟需思考和探讨的问题。
本文将从核心素养导向下解析几何教学的实践与思考进行探讨。
二、核心素养在几何教学中的意义核心素养的提出，意味着提倡一种更为全面发展的教育理念，不只是传授知识，更重要的是培养学生的综合素养。
在几何教学中，核心素养的应用将会带来以下几方面的意义。
核心素养导向下的几何教学将更加注重学生的综合能力培养。
传统的几何教学更注重学生的记忆和应试能力，而核心素养教育强调培养学生的综合能力，包括逻辑思维能力、创新能力、批判性思维能力等。
在几何教学中，教师应该注重培养学生的这些能力，让他们能够在解决几何问题时独立思考和创新。
核心素养导向下的几何教学将更注重学生的问题解决能力培养。
几何问题的解决需要学生发挥主观能动性，理清问题的本质，找到解决问题的方法，这需要学生具备一定的问题解决能力。
核心素养教育要求学生具备批判性思维和解决问题的能力，这与几何教学的实践密切相关。
核心素养导向下的几何教学将更加注重学生的情感态度培养。
学生的情感态度对于学习的积极性以及学习效果有着不可小觑的影响。
核心素养导向下的几何教学将更加注重学生的情感态度培养，帮助他们在学习几何的过程中养成积极的态度和乐观的情感，提高学习的主动性和积极性。
在核心素养的指导下，几何教学的实践需要从教师、学生和教学内容三个方面进行思考和调整。
教师在核心素养导向下的几何教学中扮演着至关重要的角色。
教师需要具备丰富的几何知识储备，同时也需要具有核心素养导向下的教育理念和方法。
在教学过程中，教师需要注重培养学生的逻辑思维能力、创新能力和批判性思维能力，引导学生运用数学知识、逻辑思维、实际问题解决能力等进行几何问题的解决。
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（二）规范运算，并用几何特性简化运算过程及 几何量表述形式
PA PQ f (k) (k 1)(k 1)3
2020/1/8
（二）规范运算，并用几何特性简化运算过程及 几何量表述形式
2011全国联赛一试7：直线x 2 y 1 0与抛物线
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三、浙江解析几何高考题的内容变迁
年份 2005,17 2006 2007,21 2008,20
载体 椭圆 椭圆 椭圆 抛物线
2009
椭圆抛物线
2010,21 椭圆
2011,21 抛物线圆
2012，21 2013， 2014,21 2015,19 2016，
椭圆 椭圆与圆 椭圆 椭圆 椭圆与圆
2、运算对象分析：三角形面积5次（07,12, 13,15,18）、 线段长4次（07,08,14,17）、坐标
与方程4次（09,10,11,16）、角的计算 2次(05,06)。
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三、浙江解析几何高考题的内容变迁
3、运算思路分析：建立函数模型求值域（最 值）7次（05,12,13,14,15,17,18）、建立 方程模型研究系数5次（09,11,16,18）， 坐标方程表示几何量求解4次（06,07,08,10 4、运算方法分析：函数单调性与最值7次 （05,12,13,14,15,17,18）；韦达定理研究方程 4次（09,11,16，18）；合理选用变量表示几 何量4次（06,07,08,10）。
掌握运算法则， 探究运算思路， 选择运算方法， 设计运算程序， 求得运算结果.等
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一、运算素养和运算求解能力
2018全国高考考纲： 运算求解能力是思维能力和运算技能的结 合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算, 对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各 几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算 条件、探究运算方向、选择运算公式、确定 运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括 在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能 力。
y2 4x交于A, B两点，C为抛物线上的一点，
ACB 90,则点C的坐标为__________.
联立直线与抛物线方程 消元得y2 8y 4 0
解方程组 y2 ( x
4x 9)2
(
y
4)2
100
消去x得y4 56 y2 128 y 48 0
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（二）规范运算，并用几何特性简化运算过程及 几何量表述形式
（Ⅱ）S 4 3 (3 4t2 )(1 t)2 3
设f (t) (3 4t2 )(1 t)2 思路一： f (t) 4t4 8t3 t2 6t 3
所以f (t) 16t3 24t2 2t 6 思路二： f (t) 8t(1 t)2 2(3 4t2 )(1 t)
2017,21 抛物线 2018,21 椭圆抛物线
内容 角的最大值 证明两角相等 已知弦长面积求直线 求直线方程探求线段比 定值 由椭圆弦中点坐标探求 抛物线方程系数范围 由三角形重心位置探求 椭圆方程系数范围 由圆双切线探求动点特 殊位置 三角形面积最值 三角形面积最值 点到直线距离的最值 三角形面积最值 求椭圆离心率范围
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二、解析几何考查要求
建立标准方程；运用代数方法进一步认识 圆锥曲线的性质以及它们的位置关系。
借助几何图形的特点，形成解决问题的思 路，通过直观想象和代数运算得到结果，并 给出几何解释，解决问题。
考查内容聚焦学生对重要数学概念、定理、 方法、思想的理解和应用，强调基础性、综 合性；注重数学本质、通性通法，淡化解题 技巧；融入数学文化。
必有因式 y2 8 y 4 即（y2 8 y 4）( y2 8 y 12) 0
2020/1/8
（三）始终明了方程中字母的几何意义 应用阶段结果优化运算（2011浙江）
2020/1/8
2020/1/8
（一）用合理的代数形式表示几何量及 几何量之间的关系
2020/1/8
如何求QA ?先求点A坐标？
（一）用合理的代数形式表示几何量及 几何量之间的关系
OG OH 0
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（二）规范运算，并用几何特性简化运算过程及 几何量表述形式
探究运算思路、调整运算方法 （隐含有解、过定点、字母替换减少重复）
运算素养引领下的解析几何命题变迁
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ห้องสมุดไป่ตู้
一、运算素养和运算求解能力 二、解析几何的考查要求 三、浙江解析几何高考题的内容变迁 四、运算素养引领下的解析几何复习
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一、运算素养和运算求解能力
数学运算是指在明晰运算对象的基础上， 依据运算法则解决数学问题的素养。 主要包括：理解运算对象，
线段长乘积的最值 三角形面积最值
运算类别 函数最值 证明相等 求直线方程 探求线段比定 值
探求抛物线方 程系数最值
求椭圆方程系 数范围
求动点坐标和 直线方程
函数最值 函数最值 函数最值 函数最值 求椭圆方程系 数范围
函数最值 函数最值
运算方法 基本不等式（单调性） 坐标表示角的正切值 解方程组 坐标表示线段长的比
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四、运算素养引领下的解析几何复习 变的是对象思路，不变的是素养要求
（一）用合理的代数形式表示几何量及 几何量之间的关系
（二）规范运算，并用几何特性简化运算 过程及几何量表述形式
（三）始终明了方程中字母的几何意义
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（一）用合理的代数形式表示几何量及 几何量之间的关系
理解运算对象（几何关系化为代数关系）
方程有解的条件
向量数量积小于0
韦达定理
函数与导数 换元与函数最值 基本不等式 换元配方求最值 方程有解的条件
函数与导数 韦达定理
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三、浙江解析几何高考题的内容变迁
1、几何载体分析：高考解析几何解答题以 椭圆作载体7年（05,06,07,10,12,14,15） 、以抛物线作载体2年（08,17）、 以组合体作载体5年（09，11,13,16，18； 其中3次涉及圆:11,13,16）