1 第1讲 新题培优练

[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝() A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)
解析：选A.因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.
2．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则()
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
解析：选B.因为集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，所以M⊆N.故选B.
3．(2019·湖南湘东五校联考)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B ＝()
A．(1，3) B．(1，3]
C．[－1，2) D．(－1，2)
解析：选 C.A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，故选C.
4．(2019·山西八校第一次联考)设集合A＝{x∈Z|x2－3x－4＜0}，B＝{x|2x≥4}，则A∩B ＝()
A．[2，4) B．{2，4}
C．{3} D．{2，3}
解析：选D.法一：由x2－3x－4＜0得，－1＜x＜4，因为x∈Z，所以A＝{0，1，2，3}，由2x≥4得x≥2，即B＝{x|x≥2}，所以A∩B＝{2，3}，故选D.
法二：通过验证易知3∈A，3∈B，故排除选项A，B.同理可知2∈A，2∈B，排除选项C.故选D.
5．(2019·惠州模拟)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为()
A．{1}B．{－1，1}
C．{1，0} D．{－1，1，0}
解析：选D.M ＝{x |x 2＝1}＝{－1，1}，当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ，当a ≠0时，因为N ⊆M ，所以1a ＝－1或1
a
＝1，即a ＝－1或a ＝1.故选D.
6．已知集合A ＝{x |x ＜1}，B ＝{x |3x ＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}
D ．A ∩B ＝∅
解析：选A.因为3x ＜1＝30，所以x ＜0，所以B ＝{x |x ＜0}，所以A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A.
7．已知全集为整数集Z .若集合A ＝{x |y ＝1－x ，x ∈Z }，B ＝{x |x 2＋2x >0，x ∈Z }，则A ∩(∁Z B )＝( )
A ．{－2}
B ．{－1}
C ．[－2，0]
D ．{－2，－1，0}
解析：选D.由题可知，集合A ＝{x |x ≤1，x ∈Z }，B ＝{x |x >0或x <－2，x ∈Z }，故A ∩(∁Z B )＝{－2，－1，0}，故选D.
8.(2019·太原模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A ．(－2，1)
B ．[－1，0]∪[1，2)
C ．(－2，－1)∪[0，1]
D ．[0，1]
解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.
9．(2019·安徽省示范高中模拟)已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，1]
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，3]
D ．[3，＋∞)
解析：选B.法一：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1，故选B.
法二：集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{1，2，3}，a 的值大于3时，满足A ∩B ≠∅，因此排除A ，C.当a ＝1时，满足A ∩B ≠∅，排除D. 故选B.
10．(2019·安徽安庆模拟)已知集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a ＝( )
A ．－1
B ．2
C ．－1或2
D ．1或－1或2
解析：选C.因为B ⊆A ，所以必有a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . ①若a 2－a ＋1＝3，则a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}，满足条件； 当a ＝2时，A ＝{1，3，2}，B ＝{1，3}，满足条件．
②若a 2－a ＋1＝a ，则a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，此时集合A ＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，所以a ＝1应舍去．
综上，a ＝－1或2.故选C.
11．设集合A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝
________．
解析：由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝2.此
时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－1，此时不符合
题意，舍去．
答案：{－1，2，3，5}
12．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |18<2x <8，则A ∩B
＝________．
解析：不等式1
8<2x <8的解为－3<x <3，
所以B ＝(－3，3)．
若x ∈A ∩B ，则⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3
－3<x <3，
所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.
若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1；
若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解； 若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解； 若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}
－1，7. 答案：{}－1，7
[综合题组练]
1．(2019·广东六校联考)已知集合A ＝{x |2
x ＋1≤1}，B ＝{x |2x ＜1}，则(∁R A )∩B ＝( )
A ．[－1，0)
B ．(－1，0)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，－1)
解析：选A.由2x ＋1≤1，得2
x ＋1－1≤0，x －1x ＋1≥0，解得x ≥1或x ＜－1，即A ＝(－∞，
－1)∪[1，＋∞)，则∁R A ＝[－1，1). 由2x ＜1，得x ＜0，即B ＝(－∞，0)，所以(∁R A )∩B ＝[－1，0)，故选A.
2．已知集合P ＝{y |y 2－y －2＞0}，Q ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}．若P ∪Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2，3]，则a ＋b ＝( )
A ．－5
B ．5
C ．－1
D ．1
解析：选A.P ＝{y |y 2－y －2＞0}＝{y |y ＞2或y ＜－1}．由P ∪Q ＝R 及P ∩Q ＝(2，3]，得Q ＝[－1，3]，所以－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.
3．(创新型)(2019·河南八市质检)在实数集R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )＞0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( )
A ．[0，2]
B ．[－2，－1)∪(－1，0]
C ．[0，1)∪(1，2]
D ．[－2，0]
解析：选D.依题意可得x (1－x ＋a )＞0.因为其解集为{x |－1≤x ≤1}的子集，所以当a ≠－1时，0＜1＋a ≤1或－1≤1＋a ＜0，即－1＜a ≤0或－2≤a ＜－1.当a ＝－1时，x (1－x ＋a )＞0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a ≤0.故选D.
4．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________．
解析：因为A ∩B ＝∅，
①若当2m ≥1－m ，即m ≥1
3时，B ＝∅，符合题意；
②若当2m ＜1－m ，即m ＜1
3时，
需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，
2m ≥3，
解得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.
综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)。