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八年级数学下册菱形培优专题练习

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部编数学八年级下册菱形的判定专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优含答案

部编数学八年级下册菱形的判定专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优含答案

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.3菱形的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•杜尔伯特县期中）菱形的周长为12，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）A．2B．3C．1D．【分析】根据已知可得较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长，根据周长可求得菱形的边长从而较短的对角线也就求得了．【解答】解：由已知得，较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长＝12÷4＝3，故选：B．2．（2022春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝9和BD＝6，那么菱形ABCD 的面积为（ ）A．4B．30C．54D．27【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度乘积的一半进行计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面积＝BD•AC＝×6×9＝27，故选：D．3．（2022春•墨玉县期末）如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（ ）A．20B．40C．28D．24【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，故选：D．4．（2022春•南召县期末）四边形具有不稳定性，小明将一个菱形ABCD转动，使它形状改变，当转动到使∠B＝60°时（如图），测得AC＝2；当转动到使∠B＝120°时，AC的值为（ ）A．2B．C．D．【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得菱形的边长为2，再根据菱形的性质以及勾股定理解答即可．【解答】解：因为菱形ABCD，∠B＝60°时，测得AC＝2，所以△ABC是等边三角形，所以菱形的边长为2，当转动到使∠B＝120°时，如图所示：因为AC⊥BD，∠ABC＝120°，所以∠ABO＝60°，所以∠OAB＝30°，所以，所以，所以AC＝2AO＝．故选：B．5．（2022春•博兴县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AB＝5，DE＝4，则在下列结论中正确的是（ ）A．DB＝5B．AE＝4C．BE＝2D．OA＝3【分析】根据菱形的性质可知AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，由于DE⊥AB于点E，所以在Rt△AED中，利用勾股定理可以求出AE，进而求出BE、BD，再在Rt△AOB中求出OA即可作出判断．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，∵AB＝5，∴AD＝5，∵DE⊥AB于点E，DE＝4在Rt△AED中，根据勾股定理得，AE＝＝3，故B错误；∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，故C正确；在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD＝，故A错误；∴OB＝BD＝，在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝，故D错误．故选：C．6．（2022春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（ ）A．（0，﹣8）B．（0，﹣5）C．（﹣5，0）D．（0，﹣6）【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵A（12，13），∴OD＝12，AD＝13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝13，在Rt△ODC中，OC＝，∴C（0，﹣5）．故选：B．7．（2022春•丰泽区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（ ）A．10B．4C．D．6【分析】由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再求出BD＝4，则OB＝2，然后由菱形面积求出AC＝6，则OA＝3，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∴OB＝2，∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AC×4＝12，∴AC＝6，∴OA＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故选：C．8．（2022秋•合川区校级月考）如图，在菱形ABCD中，M．N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC 交于点O，连接BC若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）A．28°B．52°C．62°D．72°【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，再由ASA可得△AMO≌△CNO，得AO＝CO，然后证BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故选：C．9．（2022秋•胶州市校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④，其中正确的结论有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】根据菱形的性质和∠A＝60°，可知△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BFD＝∠DEB＝90°，∠GDB＝∠GBD＝30°，即可判断①选项；根据SSS可证△CDG ≌△CBG，根据全等三角形的性质可得∠DGC＝∠BGC＝60°，再根据含30°角的直角三角形的性质可判断②选项；根据△GBC为直角三角形，可知CG＞BC，进一步可知CG≠BD，即可判断③选项；根据勾股定理可得DE＝AB，再根据三角形面积的求法即可判断④选项．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵∠A＝60°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∠CDB＝∠CBD＝60°，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴∠BFD＝∠DEB＝90°，∴∠GDB＝∠GBD＝30°，∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG，∴∠BGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故①选项正确；在△CDG和△CBG中，，∴△CDG≌△CBG（SSS），∴∠DGC＝∠BGC＝60°，∴∠GCD＝30°，∴CG＝2GD，∵DG＝BG，∴CG＝DG+BG，故②选项正确；∵△GBC为直角三角形，∴CG＞BC，∴CG≠BD，∴△BDF与△CGB不全等，故③选项错误；∵BE＝AB，BD＝AB，∠DEB＝90°，根据勾股定理，得DE＝AB，＝＝，∴S△ABD故④选项正确，故正确的有①②④，故选：B．10．（2022春•新抚区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠B＝120°，AB＝，则PE﹣PF的值为（ ）A．2B．3C．4D．6【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质和勾股定理得OA＝3，则AC＝6，再由含30°角的直角三角形的性质得PF＝CP，则PE﹣PF＝（AP﹣CP）＝AC，即可得出答案．【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∠DAC＝∠DCA＝∠BAD＝×60°＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，在Rt△AOD中，OD＝AD＝×＝，∴OA＝＝＝3，∴AC＝2OA＝2×3＝6，Rt△APE中，∠DAC＝30°，∴PE＝AP，在Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，∴PF＝CP，∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC＝×6＝3，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•牡丹区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝24，AB＝13，则菱形ABCD 的面积是　120　．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝5，∴BD＝2OB＝10，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×24×10＝120，故答案为：120．12．（2022秋•东明县校级月考）已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm，那么这个菱形的周长为　52cm　，面积为　120cm2　．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24cm，BD＝10cm，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD＝5（cm），∴S＝AC•BD＝×24×10＝120（cm2），∠AOB＝90°，菱形ABCD∴AB＝＝＝13（cm），∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×13＝52（cm），故答案为：52cm，120cm2．13．（2022春•杭州期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠BAD＝40°，则∠ODE的度数为　20°　．【分析】根据菱形的性质得出∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE＝90°，∠DEB＝90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD＝OE，求出∠ODE＝∠OED即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．14．（2022春•吴中区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，E，F分别是边AB和CD 上的点，EF⊥CD于点F，则线段EF的长度为 ．【分析】连接AC，BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质得出AC，进而得出BD，利用菱形的面积解答即可．【解答】解：连接AC，BD，相交于O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠A＝120°，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，BO＝，∴BD＝2，∴菱形ABCD的面积＝，∴EF＝，故答案为：．15．（2022春•集美区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD 上的动点，且AE+AF＝a，则△CEF面积的最小值为 ．【分析】由在边长为a的菱形ABCD中，易得△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，继而证得△ACE ≌△DCF，继而证得△CEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点B或点A时，CE的值最大，当CE ⊥AB，即E为AB的中点时，EF的值最小，△CEF面积的最小值最小．【解答】解：连接AC、CE、CF，如图所示：∵四边形ABCD是边长为a的菱形，∠B＝60°，∴△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，∴AB＝BC＝CD＝AC＝AD，∠CAE＝∠ACB＝∠ACD＝∠CDF＝60°，∵AE+AF＝a，∴AE＝a﹣AF＝AD﹣AF＝DE，在△ACE和△DCF中，，∴△ACE≌△DCF（SAS），∴∠ACE＝∠DCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠DCF+∠ACF，∴∠ECF＝∠ACD＝60°，∴△CEF是正三角形，∴EF＝CE＝CF，当动点E运动到点B或点A时，CE的最大值为a，当CE⊥AB，即E为BD的中点时，CE的最小值为a，∵EF＝CE，∴EF的最小值为a，∴△CEF面积的最小值为：，故答案为：．16．（2022•温江区校级自主招生）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为　6.5　．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD＝13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE＝6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO＝GF即可得出答案．【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD＝＝13，又∵E是边AD的中点，∴OE＝AD＝6.5，∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，∴四边形EFOG为矩形，∴FG＝OE＝6.5．故答案为：6.5．17．（2022春•南岗区校级期中）如图，在边长为5的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、点F分别在AD、CD上，且∠EBF＝60°，连接EF，若AE＝2，则EF的长度为 ．【分析】连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，先根据菱形的性质得到AB＝AD＝5，AB∥CD，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD＝AB，∠ABD＝60°，再证明∠ABE＝∠DBF，∠FDB＝∠EAB，则可判断△BDF≌△BAE，所以BF＝BE，于是可证明△BEF为等边三角形得到EF＝BE，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AH＝1，EH＝，然后利用勾股定理计算出BE，从而得到EF的长．【解答】解：连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝5，AB∥CD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB，∠ABD＝60°，∵∠EBF＝60°，∴∠ABD﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，即∠ABE＝∠DBF，∵CD∥AB，∴∠FDB＝∠ABD＝60°，∴∠FDB＝∠EAB，在△BDF和△BAE中，，∴△BDF≌△BAE（ASA），∴BF＝BE，而∠EBF＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴EF＝BE，在Rt△AEH中，∵∠A＝60°，∴AH＝AE＝1，∴EH＝AH＝，在Rt△BEH中，∵EH＝，BH＝BA﹣AH＝5﹣1＝4，∴BE＝＝，∴EF＝BE＝．故答案为：．18．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，点E在边BC上（不与端点重合），AE交BD于点F，以EF为边向外作等边△EFG，连接CF，BG，现给出以下结论：①∠EAB＝30°；②△ABF≌△CBF；③直线AB与直线DC的距离是9；④BF+BG＝BE．其中正确的是　②③④　（写出所有正确结论的序号）．【分析】连接AC，先证明△ABD和△CBD都是等边三角形，再证明△ADC≌△ABC，则∠CAD＝∠CAB ＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，所以点E与点C重合，这与已知条件相矛盾，所以∠EAB≠30°，可判断①错误；由AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，BF＝BF根据全等三角形的判定定理“SAS”可证明△ABF≌△CBF，可判断②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，所以∠ADI＝30°，则AI＝×6＝3，可根据勾股定理求得DI＝9，可判断③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，而△EFG是等边三角形，可证明△BFG≌△HFE，得BG＝HE，所以BF+BG＝BH+HE＝BE，可判断④正确．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝6，∴AD＝AB＝CD＝CB＝6，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAB＝∠DCB＝180°﹣∠ABC＝60°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形，∴∠ABF＝∠CBF＝60°，在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，∴AE与AC重合，点E与点C重合，与已知条件相矛盾，∴假设不成立，即∠EAB≠30°，故①错误；在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），故②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，∵∠DAI＝60°，∴∠ADI＝30°，∴AI＝AD＝×6＝3，∴DI＝＝＝9，∴直线AB与直线DC的距离是9，故③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，∵△EFG是等边三角形，∴FB＝FH，FG＝FE，∠BFH＝∠GFE＝60°，∴∠BFG＝∠HFE＝60°﹣∠GFH，在△BFG和△HFE中，，∴△BFG≌△HFE（SAS），∴BG＝HE，∴BF+BG＝BH+HE＝BE，故④正确，故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•薛城区月考）如图，已知A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥ED，且AB＝ED．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）如果四边形EFBC是菱形，已知EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求AF的长度．【分析】（1）根据SAS即可证明△ABC≌△DEF；（2）解直角三角形求出DF、OE、OF的长，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）解：如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，EF＝3，DE＝4，∴DF＝＝＝5，∵四边形EFBC是菱形，∴OF＝OC，BE⊥CF，∴EO＝＝＝，∴OF＝OC＝＝＝，∴CF＝2OF＝，∴AF＝CD＝DF﹣FC＝5﹣＝．20．（2022春•姑苏区校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；（2）欲求菱形ABCD的面积，求得AC、BD的长度即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：由（1）知，四边形BECD是平行四边形，则BD∥CE．∵∠E＝60°，∴∠ABD＝60°．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∴△ABD是等边三角形．∴AB＝BD＝8．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝4．∴OA＝＝＝4．∴AC＝8．∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×8×8＝32．21．（2022•雨花区校级开学）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的面积．【分析】（1）由菱形ABCD的四条边相等、对角相等的性质知AB＝AD，∠B＝∠D；然后根据已知条件“AE⊥BC，AF⊥CD”知∠AEB＝∠AFD；最后由全等三角形的判定定理AAS证明△ABE≌△ADF；（2）由全等三角形△ABE≌△ADF的对应边相等知BE＝DF，然后根据菱形的四条边相等求得AB＝CD，设AB＝CD＝x，已知CF＝2，则BE＝DF＝x﹣2，利用勾股定理即可求出菱形的边长，进而可以求菱形的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS）；（2）解：设菱形的边长为x，∵AB＝CD＝x，CF＝2，∴DF＝x﹣2，∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x﹣2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即42+（x﹣2）2＝x2，解得x＝5，∴菱形的边长是5，∴菱形的面积＝BC•AE＝5×4＝20．22．（2022春•南浔区期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边AB、BC的中点，连结DE、EF、DF．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）若AD＝10，EF＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接AC，BD交于O，根据三角形中位线定理得到AC＝16，根据菱形的性质得到AO＝AC＝8，AC⊥BD，根据勾股定理得到OB＝＝6，根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴AE＝AB，CF＝BC，∴AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：连接AC，BD交于O，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∵EF＝8，∴AC＝16，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC＝8，AC⊥BD，∴OB＝＝6，∴BD＝12，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×16×12＝96．23．（2022春•重庆期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点．（1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度；（2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，证明△ABD是等边三角形，根据E是线段BD 的中点，进而可以解决问题；（2）作EG∥AB交AD于点G，先证明△DGE是等边三角形，得DG＝DE＝GE，再证明△AGE≌△EBF，得AE＝EF．【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝∠C＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝6，∵E是线段BD的中点，∴BE＝DE＝3，∴AE＝BE＝3；（2）证明：如图2，作EG∥AB交AD于点G，∵△DAB是等边三角形，∴∠GDE＝60°，∠DGE＝∠DAB＝60°，∠DEG＝∠DBA＝60°，∴△DGE是等边三角形，∴DG＝DE＝GE，∵BF＝DE，∴GE＝BF，∵AD＝BD，∴AD﹣DG＝BD﹣DE，∴AG＝EB，∵∠AGE＝180°﹣∠DGE＝120°，∠EBF＝180°﹣∠DBA＝120°，∴∠AGE＝∠EBF，在△AGE和△EBF中，，∴△AGE≌△EBF（SAS），∴AE＝EF．24．（2022春•抚远市期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE．（1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD；（2）如图②、图③，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明．【分析】（1）先判断出∠BAP＝∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，再判断出∠CAH+∠ACH＝90°，即可得出结论；（2）同（1）的方法即得出结论；【解答】（1）证明：如图1，连接AC，延长CE交AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∵∠BAC＝∠PAE，∴∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；（2）解：如图2，BD＝CE+PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP，∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；如图3，BD＝CE﹣PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAD+∠DAP＝120°+∠DAP，∠CAE＝∠CAD+∠DAP+∠PAE＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP﹣PD，∴BD＝CE﹣PD．。

(人教版)八年级数学下册《菱形》提高测试卷及答案

(人教版)八年级数学下册《菱形》提高测试卷及答案

一、选择题（每小题4分，共12分）1. （海南中考）如图，将厶ABC 沿BC 方向平移得到△ DCE 连接AD,下列条件中能够判定四边形 ACE 为菱形的是（） A.AB=BCB.AC=BC3.（玉林中考）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形 .甲、乙两人的 作法如下： 甲：连接AC,作AC 的垂直平分线MN 分别交AD,AC,BC 于 M,O,N,连接AN,CM 则卩四 边形ANCM 是菱形.乙分别作/ A, / B 的平分线AE,BF,分别交BC,AD 于 E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断（ ）C. / B=60°D. / ACB=60 2.如图,两条笔直的公路 公路的旁边建三个加工厂 村庄C 到公路l i 的距离为 A.3千米 B.4千米 C.5千米 D.6千米A.甲正确,乙错误C.甲、乙均正确 B.乙正确，甲错误 A f)HF 匚/）GD C E二、填空题（每小题4分，共125.如图,在四边形 ABCD 中,AC 二BD=6,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,则6.（宜宾中考）如图，在厶ABC 中，/ ABC=90 ,BD 为AC 的中线，过点C 作CEL BD于点E,过点A 作BD 的平行线,交CE 的延长线于点F,在AF 的延长线上截取FG=BD, 求证:MN L BD.中,E 为BC 边上的一点，连接AE,BD 且AE=AB.⑵ 若/ AEB=2/ ADB 求证：四边形ABCD 是菱4.（潍坊中考）如图,ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且为菱形.（只需添加一个即可）E G+F H二连接BG,DF 若AG=13,CF=6则四边形BDFG 勺周长为8.（8分）（2 013 •盐城中考）如图，在平行四边(1)求证:/ ABE 2 EAD. OB=OD 青你添加一个适当的条件 ,使 ABCD成 三、解答题（共267.（8分）已知：如图所示，平行四边形ABCD 中 ,M,N是 DC,AB 的中点,若/ A=60° ,AB=2AD.ABC【拓展延伸】9.(10分)△ ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B,C重合),△ADE是以AD为一边的等边三角形，过点E作BC的平行线,分别交射线AB,AC于点F,G,连接BE.(1)如图⑻ 所示，当点D在线段BC上时.①求证：△ AEB^A ADC.②探究四边形BCGE^怎样的特殊四边形？并说明理由.⑵如图(b)所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出(1)中的两个结论是否成⑶在⑵ 的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE^菱形？并说明理由.答案解析1.【解析】选B.由平移，得AC// DE,AC=DE,\四边形ACED是平行四边形；又T BC=CE,\ 当AC二BC寸,AC=CE/.四边形ACED是菱形.2. 【解析】选B.如图,连接AC作CF丄h,CE丄12；v AB=BC=CD=DA=5千米,•••四边形ABCD是菱形,h•••/ CAE M CAF, ••• CE二CF二千米.3. 【解析】选C.甲的作法正确;T四边形ABCD是平行四边形，• AD// BC,「./ DAC M ACN,v MN是AC的垂直平分线,• AO=CO,G MAO =ZNCO,在厶AOM^A COh中, _ I：L A OM• △AOIM^A CON(ASA)「MO二NO,•四边形ANC M是平行四边形，v ACL MN,•四边形ANCM是菱形.乙的作法正确；v AD// BC,• / 1=M 2, M 6=M 7,v BF平分/ ABC,AE平分/ BAD,•M 2=M 3, M 5=M 6, •/ 1=M 3, M 5=M 7,•AB=AF,AB=BE,\ AF=BE.v AF// BE,且AF=BE,•四边形ABEF是平行四边形.v AB=AF,/.平行四边形ABEF是菱形.4. 【解析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，已知AC L BD,所以只需添加条件使四边形ABC场平行四边形即可，答案不唯一，如OA=O等.答案:OA=OC答案不唯一)5.【解析】连接EF,FG,GH,HE,T点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA勺中点，••• EF// AC// GH,EF=GH=AC=3,EH// BD//FG,EH=FG=BD=3,所以四边形EFG H是菱形，• EGL FH.设EG,FH的交点为o.• E^+F^=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OI2=4(OE2+OI2)=4EH2=36. 答案：366. 【解析】v AGI BD,BD=FG,•四边形BGFD是平行四边形，v CF! BD,「. CF± AG,又v点D是AC的中点，• BD=DF=AC,•四边形BGFD是菱形,设GF=x则AF=13-x,AC=2x,在Rt△ ACF中,AF2+C F二AC,即(13-x) 2+62=(2X)2,解得:x=5,故四边形BDFG的周长=4GF=20.答案:207. 【证明】连接DN,BM.v四边形ABCD是平行四边形，• AB CD,v M,N分别是DC,AB的中点，••• DM=DC,BN=AB二AN,2 2•DM BN,•四边形BMD是平行四边形.v AB=2AD,AB=2AN,. AD=AN.•••/ A=60° , •△ ADN是等边三角形，•DN=AN=BN,平行四边形BMD是菱形,•MNL BD.8. 【证明】（1）v四边形ABCD为平行四边形，•AD// BC, •/ AEB2 EAD.又v AE=AB/. / ABE2 AEB.•/ ABE2 EAD.（2）v AD// BC,•/ ADB W DBC.又v/ AEB二N ADB,Z AEB2 ABE,•/ ABE二/ DBC,•/ ABD/ DBC.•/ ABD/ ADB/. AB=AD.又v四边形ABC助平行四边形，•四边形ABCD是菱形.9. 【解析】（1）①丁厶ABC^H^ ADE都是等边三角形，•AE=AD,AB=AC/ EAD/ BAC=60 .又v/ EAB/ EAD-/ BAD,/ DAC N BAC-/ BAD,•/ EAB/ DAC,•△AEB^A ADC.②四边形BCGE^平行四边形，理由：由①得△ AEB^A ADC,•/ ABE/ C=60 .又vZ BAC M C=60°•••/ ABE W BAC, ••• EB// GC.又v EG/ BC,•••四边形BCGE^平行四边形.(2)①②都成立.⑶当CD=CB Z CAD=30 或Z BAD=90 或Z ADC=30 )时，四边形BCGE^菱形. 理由：由①得△ AEB^A ADC/. BE=CD.又v CD=CB\ BE=CB.由②得四边形BCGE^平行四边形，•四边形BCGE^菱形.。

人教版八年级数学下册18.2.2.2菱形的判定培优训练(含答案)

人教版八年级数学下册18.2.2.2菱形的判定培优训练(含答案)

人教版八年级数学下册菱形的判断培优训练一、选择题（共 10 小题， 3*10=30 ）1．以下命题中，正确的选项是()A ．有一个角是60°的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形2．如图，在 ?ABCD 中， AC ，BD 交于点 O，AB ＝13， AC ＝24， DB＝ 10，则四边形ABCD 是 () A ．一般的平行四边形B．长方形C．菱形 D ．形状不可以确立3. 如图，以下条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为 ()①AC ⊥ BD ；②∠ BAD=90°；③ AB=BC ；④ AC=BD ．A 、①③B 、②③C、③④D、①②③4.如图，四边形 ABCD 的两条对角线订交于点 O，且相互均分．增添以下条件，仍不可以判断四边形ABCD 为菱形的是 ()A ．AC ⊥BD B．AB ＝ADC． AC ＝ BD D．∠ ABD ＝∠ CBD5. 如图，在 ?ABCD 中，对角线AC ，BD 订交于点O，增添以下条件不可以判断 ? ABCD 是菱形的只有()C．AC＝BD D．∠ 1＝∠ 26.如图，四边形 ABCD 的两条对角线订交于点 O，且相互均分，增添以下条件，仍不可以判断四边形ABCD 为菱形的是 ()A ．AC ⊥BD B．AB ＝ADC． AC ＝ BD D ．∠ ABD ＝∠ CBD7. 如图，将?ABCD 沿 AE 翻折，使点 B 恰巧落在 AD 上的点 F 处，则以下结论不必定建立的是()A ．AF＝EF B．AB ＝EFC．AE＝AF D．AF ＝BE8. 四边形的四边长按序为a、b、 c、 d，且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad ，则此四边形必定是()A.平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形9．如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为()A ． 52 cmB ．40 cmC． 39 cm D ．26 cm10.如图，分别以 Rt△ABC 的斜边 AB 和直角边 AC 为边向△ABC 外作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE ， F 为 AB 的中点， DE 与 AB 交于点 G，EF 与 AC 交于点 H，∠ BAC ＝ 30°给.出以下结论：1二．填空题（共 8 小题， 3*8=24 ）11.如图，假如要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要增添一个条件，那么你增添的条件是_________．12.如图在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 订交于点 O，且 DE ∥AC ， CE∥ BD ，则四边形 OCED 的形状是 _________．13. 如图 ,在长方形 ABCD 中,AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且△EFG 为等腰直角三角形,则 EF 的长为 _________．14. 如图 ,在周长为 12 的菱形 ABCD 中 ,AE=1,AF=2, 若 P 为对角线BD 上一动点 ,则 EP+FP 的最小值为_________．15．以下命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线相互垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线均分一组对角的平行四边形是菱形．此中正确的选项是__________( 填序号 )．16.把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使极点 B 和极点 D 重合，折痕为 EF．若 BF=4 ，FC=2 ，17.如图 ,把长方形纸片 ABCD 折叠 ,使其对角极点 C 与 A 重合 .若长方形的长 BC 为 8,宽 AB 为 4,则折痕 EF 的长度为 _________．18. 在菱形 ABCD 中， AE 为 BC 边上的高，若AB=5 ， AE=4 ，则线段CE 的长为．三．解答题（共 7 小题，46 分）19．(6 分 )如图，在平行四边形ABCD 中， AC 均分∠ DAB ，AB ＝ 2 cm，求平行四边形ABCD 的周长为 .20． (6 分 ) 如图， E， F 是菱形 ABCD 对角线上的两点，且AE ＝ CF.求证：四边形BEDF 是菱形；21． (6 分 ) 如图，在△ABC 中， AD 均分∠ BAC ，过点 D 分别作 DE∥ AC 、 DF ∥AB ，分别交 AB 、 AC 于点 E、 F.求证：四边形 AEDF 是菱形．22． (6 分 ) 如图，在△ABC 中， AD 均分∠ BAC ，将△ABC 折叠，使点 A 与点 D 重合，睁开后折痕分别交AB ， AC 于点 E， F，连结 DE，DF.求证：四边形AEDF 是菱形．23． (6 分 ) 如图，在 ?ABCD 中，对角线AC ， BD 订交于点O，AB ＝ 5， AC ＝ 6， BD ＝ 8.(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)过点 A 作 AH ⊥BC 于点 H，求 AH 的长．24． (8 分 ) 如图，在矩形ABCD 中， E， F 分别是 BC ， AD 边上的点，且AE ＝ CF.(1)求证：△ABE ≌△ CDF；(2)当 AC⊥ EF 时，四边形 AECF 是菱形吗？请说明原因．25． (8 分 ) 如图，将一张矩形纸片ABCD 进行折叠，详细操作以下：第一步：先对折，使AD 与 BC 重合，获得折痕MN ，睁开；第二步：再折叠一次，使点 A 落在 MN 上的点 A′处，并使折痕经过点B，获得折痕BE，同时，获得线段 BA′， EA′，睁开，如图①；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的点B′处，获得折痕EF，同时获得线段B′F，睁开，如图②.求证： (1) ∠ ABE ＝30°； (2)四边形 BFB′E为菱形．参照答案1-5DCACC6-10 CCCAC11.AB=AD 或 AC ⊥BD12.菱形13.10214.315.①③⑤16.6017.2518.2 或 819.解：如图．∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠ 1＝∠ 4，∠ 2＝∠ 3，∵ AC 均分∠ DAB ，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＝∠ 3，∴ AD ＝DC，四边形 ABCD 为菱形，∴四边形 ABCD 的周长＝ 4×2＝ 8.20.证明：连结 BD ，交 AC 于 O.∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝ OC，OB＝ OD ， AC ⊥BD ，∵ AE ＝ CF，∴ OE＝ OF，∴四边形 BEDF 是平行四边形，∵ EF⊥ BD ，∴四边形 BEDF 是菱形；21.证明：∵DE∥AC ，DF∥AB ，∴四边形 AEDF 是平行四边形．∵ AD 均分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD.∵DE ∥ AC ，∴∠ EDA ＝∠ CAD ，∴∠ EDA ＝∠ BAD ，∴四边形AEDF 是菱形．22.证明： (方法不独一 )由折叠性质知： AE ＝ DE，AF ＝ DF，∴∠ DAE ＝∠ EDA ，∠ ADF ＝∠ FAD ，∵∠ DAE ＝∠ FAD ，∴∠ DAE ＝∠ ADF ，∠ DAF ＝∠ EDA ，∴DF∥AE，DE∥AF ，∴四边形 AEDF 是平行四边形，∵ AE ＝ DE，∴四边形 AEDF 是菱形1 23. (1) 证明：∵在 ?ABCD 中，对角线AC ， BD 订交于点O， AB ＝ 5，AC ＝ 6， BD ＝8，∴ AO ＝2AC1＝ 3， BO＝2BD ＝ 4，∵AB ＝ 5，且 32＋ 42＝ 52，∴AO 2＋BO2＝AB 2，∴△ AOB 是直角三角形，且∠ AOB ＝ 90°，∴ AC ⊥ BD ，∴四边形 ABCD 是菱形．(2)解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴BC＝AB ＝ 5，1111∵ S△ABC＝2AC· BO＝2BC· AH，∴2× 6×4＝2× 5× AH，解得： AH ＝24 5.24.解： (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ B ＝∠ D ＝ 90°，AB ＝ CD， AD ＝BC ， AD ∥ BC，AE ＝ CF，在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中，AB ＝CD ，∴Rt△ABE ≌ Rt △CDF(HL)(2)解：当 AC ⊥ EF 时，四边形 AECF 是菱形，原因以下：∵△ ABE ≌△ CDF ，∴ BE ＝ DF，∵BC＝AD ，∴ CE＝AF ，∵CE∥ AF，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵ AC ⊥ EF，∴四边形AECF 是菱形∴∠ AEB ＝∠ A′EB.∵第三步折叠，点 B 落在 AD 上的点 B′处，获得折痕EF，同时获得线段B′F，∴∠ A′EB＝∠ FEB′.∵∠ AEB ＋∠ A′EB＋∠ FEB′＝ 180°，∴∠ AEB ＝∠ A′EB＝∠ FEB′＝ 60°，∴∠ ABE ＝30°(2) ∵沿 EA′所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的点 B′处，∴BE ＝ B′E， BF＝B′F.∵AD ∥ BC，∴∠ BFE ＝∠ FEB′＝60°，∴△ BEF 是等边三角形，∴ BE ＝ BF，∴ BE ＝ B′E＝ B′F＝BF，∴四边形 BFB′E为菱形。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题08 菱形中的最值问题

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题08 菱形中的最值问题

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题08 菱形中的最值问题【例题讲解】如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____ 解：连接BD ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵E 是AD 的中点，∴BE ⊥AD ，取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，∴点B 关于MN 的对称点是E ，连接EC ，此时CE 的长就是GB +GC 的最小值；∵MN ∥AD ，∴HM ＝12AE ，∵HB ⊥HM ，AB ＝6，∠A ＝60°，∴MB ＝3，∠HMB ＝60°，∴HM ＝1.5，∴AE ＝3，∵∠AEB ＝∠MHB ＝90°，∴∠CBE ＝90°，在Rt △EBC 中，EB ＝33，BC ＝6，∴EC ＝37，故答案为37．【综合演练】1．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 是AC 上的一动点，则EF BF +的最小值为（ ）A ．33B ．6C ．3D ．322．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝1，E 为BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为（ ）A ．34B ．33C ．32D ．123．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．23+24．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，P 是AC 上的一个动点，则PE PF +的最小值是（ ）A ．3B ．33C ．4D ．435．如图，菱形ABCD 的边长为2，且∠DAB ＝60°，E 是BC 的中点，P 为BD 上一点且△PCE 的周长最小，则△PCE 的周长的最小值为（ ）A ．31+B ．71+C ．231+D ．271+6．如图，菱形ABCD 的边长为23,60DAB ︒∠=，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线上一动点，则PB PE +的最小值为__________．7．如图，四边形ABCD 为菱形，以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3，2DE =，点E ，C 在BD 的同侧，点P 是BD 上的一动点，则PE PC +的最小值是_____________．8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．AP+PD 9．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则12的最小值为_____．10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD 上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.12．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若45B ∠=︒，23BC =，则GH 的最小值为___________．13．如图，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则12BP PC +的最小值是______．14．如图，菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，C ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．(1)求证：AF EF =；(2)求MN NG +的最小值．15．如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____答案与解析【例题讲解】如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____ 解：连接BD ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵E 是AD 的中点，∴BE ⊥AD ，取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，∴点B 关于MN 的对称点是E ，连接EC ，此时CE 的长就是GB +GC 的最小值；∵MN ∥AD ，∴HM ＝12AE ，∵HB ⊥HM ，AB ＝6，∠A ＝60°，∴MB ＝3，∠HMB ＝60°，∴HM ＝1.5，∴AE ＝3，∵∠AEB ＝∠MHB ＝90°，∴∠CBE ＝90°，在Rt △EBC 中，EB ＝33，BC ＝6，∴EC ＝37，故答案为37．【综合演练】1．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 是AC 上的一动点，则EF BF +的最小值为（ ）A ．33B ．6C ．3D ．32【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B 关于AC 的对称点是点D ，连接ED ，EF +BF 最小值等于ED 的长，然后解直角三角形即可求解．【解答】解：如图，连接BD ，∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴点B、D关于AC对称，如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，∵E为AB的中点，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∴ED=22226333AD AE-=-=，∴EF+BF的最小值为33．故选：A．【点评】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值．2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）A3B3C 3D．12【答案】C【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为PE+ AP，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值,进而求AE的值即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴A、C关于BD对称，∴连AE交BD于P，则PE+PC＝PE+AP＝AE，根据两点之间线段最短，AE 的长即为PE +PC 的最小值．∵∠ABC ＝60°，AB=BC∴△ABC 为等边三角形，又∵BE ＝CE 12BC =， ∴AE ⊥BC ，11,2AB BE == ∴AE ＝22AB BE -＝32． 故选：C ． 【点评】本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键．3．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．23+2【答案】B【解答】解：作点P 关于BD 的对称点P′，作P′Q ⊥CD 交BD 于K ，交CD 于Q ，∵AB=4，∠A=120°，∴点P′到CD 的距离为4×32=23， ∴PK+QK 的最小值为23，故选B ．【点评】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质． 4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，P 是AC 上的一个动点，则PE PF +的最小值是（ ）A ．3B ．33C ．4D ．43 【答案】C【分析】作E 点关于AC 的对称点点G ，连接GF 交AC 于点P ，连接PE ，当P 、G 、F 三点共线时，PE +PF 有最小值，最小值为GF ，求出GF 即可．【解答】解：作E 点关于AC 的对称点点G ，连接GF 交AC 于点P ，连接PE ，连接PE ，由对称性可得PG =PE ，AG =AE ，∴PE +PF =PG +PF ⩾GF ，当P 、G 、F 三点共线时，PE +PF 有最小值，∵点E 是AB 的中点，∴点G 是AD 的中点，1=2AG AD ∴， ∵F 是BC 的中点，1=2BF BC ∴， 又∵四边形ABCD 是菱形，∴AG BF ∥，AD =BC ，=AG BF ∴，∴四边形ABFG 是平行四边形，∴GF =AB =4，∴PE +PF 的最小值为4，故选：C ．【点评】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键．5．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）A．31+B．71+C．231+D．271+【答案】B【分析】由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG＝12，EG＝32，在Rt△AEG中，求出AE＝2213(2)()722++=，则△PCE的周长＝AE＋CE＝7＋1，即为所求．【解答】解：∵菱形ABCD，∴点A与点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，连接PC，则PE＋PC＝P A＋PC＝AE，∴△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2，∴BE＝1，AB＝2，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠EBG＝60°，∴BG＝12，EG＝32，在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，∴AE ＝2213(2)()722++=， ∴△PCE 的周长＝AE ＋CE ＝7＋1，∴△PCE 的周长的最小值为7＋1，故选：B ．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，将所求问题转化为求AE 的长是解题的关键． 6．如图，菱形ABCD 的边长为23,60DAB ︒∠=，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线上一动点，则PB PE +的最小值为__________．【答案】3【分析】找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DE 交AC 于P ，则DE 就是PB PE +的最小值，求出即可．【解答】解：连接BD ，交AC 于O ，连接DE 交AC 于P ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD PB =，PE PB PE PD DE ∴+=+=，即DE 就是PE PB +的最小值．四边形ABCD 是菱形，60DCB DAB ∴∠=∠=︒，23DC BC ==，DCB ∴∆是等边三角形，3BE CE ==，DE AB ⊥∴（等腰三角形三线合一的性质）． 在Rt DE B ∆中，2222(23)(3)3DE BD BE =-=-=．即PB PE +的最小值为3．故答案为3．【点评】本题主要考查轴对称—最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．7．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为斜边的Rt AED△的面积为3，2DE=，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则PE PC+的最小值是_____________．【答案】3【分析】根据菱形的轴对称性可得A、C关于BD对称，当A、P、E三点共线时，PE PC+的值最小为AE，再根据三角形的面积即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD菱形，∴A、C关于BD对称，∵点E，C在BD的同侧，∴当A、P、E三点共线时，PE PC+的值最小，且最小值为AE；∵以AD为斜边的Rt AED△的面积为3，2DE=，∴1123 22⨯=⨯=AE DE AE，∴AE=3，∴PE PC+的最小值是3故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型．8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．【答案】9【分析】要求PM＋PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值,即可求出△PMN 周长的最小值．【解答】解：如图：连接MN ，作ME ⊥AC 交AD 于E ，连接EN ，则EN 就是PM ＋PN 的最小值，∵菱形ABCD ，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴BN ＝BM ＝AM ，MN=118422AC =⨯= ∵ME ⊥AC 交AD 于E ，∴AE ＝AM ，∴AE ＝BN ，AE ∥BN ，∴四边形ABNE 是平行四边形，∴EN ＝AB ，EN ∥AB ，而由题意可知，可得AB ＝()()226282÷+÷＝5，∴EN ＝AB ＝5，∴PM ＋PN 的最小值为5．∵MN 不变，当PM ＋PN 的最小值时，△PMN 周长最小 ，∴△PMN 周长最小=9故答案为：9．【点评】本题考查菱形的性质、轴对称、平行四边形的判定及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．9．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠B ＝120°．点P 是对角线AC 上一点（不与端点A 重合），则12AP+PD 的最小值为_____．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝12AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝12AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝12AD＝12×6＝3;∴DF＝33;∵12AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴12AP+PD的最小值为33.故答案为：33.【点评】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．【分析】连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE，根据菱形的性质和垂线段最短可得此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长，然后根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形外角的性质即可求出结论．【解答】解：连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=56°∴菱形ABCD是以BD所在直线为对称轴的轴对称图形，∠ADC=∠ABC=56°，DA=DC∴AE=CE，∠DAC=∠DCA=1（180°－∠ADC）=62°2∴此时AE＋EF=CE＋EF=CF，∠EAC=∠ECA根据垂线段最短可知：此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长∵CF⊥AD∴∠AFC=90°∴∠ECA=90°－∠DAC=28°∴∠EAC=28°∴∠AEF=∠EAC＋∠ECA=56°故答案为：56．【点评】此题考查的是菱形的性质、垂线段最短的应用、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握菱形的性质、垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余和等边对等角是解决此题的关键．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD 上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.【答案】33【分析】首先证明△BEF 是等边三角形，当BE ⊥AD 时面积最小．【解答】解：连接BD ，∵菱形ABCD 边长为4，∠ADC =120°，∴∠BAD =60°，∴△ABD 与△BCD 都为等边三角形，∴∠FDB =∠EAB =60°，∵AE +CF =4，而DF +CF =4，∴AE =DF ，∵AB =BD ，∴△BDF ≌△BAE （SAS ），∴BE =BF ，∠ABE =∠DBF ，∴∠EBF =∠ABD =60°，∴△BEF 是等边三角形，∴当BE ⊥AD 时，△BEF 的面积最小，在Rt △ABE 中，AE =12AB =2，由勾股定理得BE =23，同理可得等边△BEF 的边BE 上的高为32×23=3， △BEF 面积的最小值=33．故答案为：33．【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若45B ∠=︒，23BC =GH 的最小值为___________．【答案】6 2【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF，求出AF的最小值即可解决问题．【解答】连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AB= BC= 23∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，GH =12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°，∵∠B= 45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB=22×23=6，∴GH =6 2即GH的最小值为6 2故答案为：6 2【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13．如图，菱形ABCD中，60ABC∠=︒，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则12BP PC+的最小值是______．【答案】332【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．【解答】解：如图所示：过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，过点C 作CF AB ⊥交AB 于点F ，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴∠ABP =30°，12PE BP ∴=， 12BP PC PE PC ∴+=+， 由垂线段最短可知，PE PC +的最小值为CF 的长，33sin 3sin 602CF BC ABC ∴=⨯∠=⨯︒=， 即12BP PC +的最小值是：332， 故答案是：332． 【点评】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离． 14．如图，菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，C ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．(1)求证：AF EF =；(2)求MN NG +的最小值． 【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）连接CF ，根据FG 垂直平分CE 和菱形的对称性即可得到CF EF =，CF AF =，从而求证结论；（2）利用M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 的中点，即可得到1(2)AF F MN N C G +=+，当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF CF +最小，此时MN NG +最小，结合已知推断ABC 为等边三角形，即可求解．（1）证明：连接CF ，FG 垂直平分CE ，CF EF ∴=，四边形ABCD 为菱形，A ∴和C 关于对角线BD 对称，CF AF ∴=，AF EF ∴=；（2）解：连接AC ，M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，11,22MN AF NG CF ∴==，即 1(2)AF F MN N C G +=+ 当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF CF +最小，即此时MN NG +最小，菱形ABCD 边长为1，60ABC ∠=︒，ABC ∴为等边三角形，1AC AB ==，即MN NG +的最小值为12．【点评】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．。

专题18.4菱形的判定专项提升训练(重难点培优)-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖

专题18.4菱形的判定专项提升训练(重难点培优)-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.4菱形的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•宝山区校级月考）对角线（）的平行四边形是菱形．A．互相垂直B．互相平分C．相等D．相交2．（2022春•江源区期中）下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形B．对角线互相垂直且相等的四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形D．对角线互相垂直的四边形3．（2022春•衡山县期末）从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A．AC⊥BD B．AD＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD4．（2022春•通榆县期末）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD5．（2022春•青龙县期末）如图，以O为圆心，OA长为半径画弧别交OM、ON于A、B两点，再分别以为A、B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC、BC，则四边形OACB一定是（）A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形6．（2022•南京模拟）如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（）A．仅甲正确B．仅乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误7．（2021春•路北区期末）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8．（2022•五华区校级模拟）如图，AP是△ABC的角平分线，MN垂直平分AP，且交AP于点D，判断以下结论错误的是（）A．MP∥AC B．AM＝ANC．P A是∠MPN的平分线D．四边形AMPN是矩形9．（2022•大名县三模）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，点G、H在AC上，且AH ＝CG，若添加一个条件使四边形EGFH是菱形，则下列可以添加的条件是（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AB＝AC D．AB⊥AC10．（2022•上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四边形BCDE的顶点E在边AB上，联结CE、AD．添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（）A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022•富拉尔基区三模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是（添加一个条件即可）．12．（2021秋•陈仓区期中）如图，AD∥BC，AB∥DC，AB＝4，∠ADE＝150°，那么∠A＝时，四边形ABCD是菱形，且BD＝．13．（2019春•陵城区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD 是菱形，所添条件为（写出一个即可）14．（2015春•阳谷县期中）如图所示，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加一个条件，可以判定四边形BEDF是菱形．15．（2022春•同安区期中）如图，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABF沿着BE方向平移到Rt△DEC的位置，此时点E恰为边BF的中点，若AE＝2，则四边形AEFD的面积为．16．（2022•夏津县二模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG 为菱形．则其中正确的结论的序号是．17．（2022春•夏邑县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．18．（2022•金水区校级模拟）如图，在▱ABCD中，∠D＝30°，对角线AC＝AD＝3，点E，F分别为CD，AB边上的动点，且DE＝BF．现将△ADE关于直线AE对称，点D的对应点记为D′，将△CBF关于直线CF对称，点B的对应点记为B′，当以点A，B'，C，D'为顶点的四边形是菱形时，DE的长度为．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022•南京模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）求证：∠BAC＝∠DAC．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．20．（2018秋•宁德期末）利用所给的图形证明：一个顶点到它所对的两边距离相等的平行四边形是菱形．（写出已知、求证并加以证明）已知：求证：证明：21．（2022•武威模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠ADC＝∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E，B作EF∥AB，BF∥AC，当∠FCE和∠DCE满足怎么样的数量关系时，四边形EFCD 是菱形？请说明理由．22．（2022春•郯城县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M是BD上任意一点，连接AM并延长至点N，使AM＝MN，交BC于H，连接CN、BN．（1）求证：OM∥CN．（2）连接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求证：四边形BNCM是菱形．23．（2022春•巴东县期末）已知点E是平行四边形ABCD边CD上的一点（不与点C，D重合）．（1）如图1，当点E运动到CD的中点时，连接AE、BE，若AE平分∠BAD，证明：CE＝CB．（2）如图2，过点E作EF⊥DC交直线CB于点F，连接AF．若∠ABC＝120°，BC＝2．封AB＝4．在线段CF上是否存在一点H．使得四边形AFHD为菱形？若存在，请求出ED，CH的长；若不存在，请简单地说明理由．24．（2022秋•鄄城县期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动．（1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？。

人教版八年级数学下册 18.2.2.2菱形的判定 培优训练(含答案)

人教版八年级数学下册 18.2.2.2菱形的判定 培优训练(含答案)

人教版八年级数学下册18.2.2.2 菱形的判定培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列命题中，正确的是( )A．有一个角是60°的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形2．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，AB＝13，AC＝24，DB＝10，则四边形ABCD是() A．一般的平行四边形B．长方形C．菱形D．形状不能确定3. 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A、①③B、②③C、③④D、①②③4. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有()C．AC＝BD D．∠1＝∠26. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD7. 如图，将▱ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是() A．AF＝EF B．AB＝EFC．AE＝AF D．AF＝BE8. 四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是( )A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形9．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为()A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm10. 如图，分别以Rt△ABC的斜边AB和直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠BAC＝30°.给出以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG; ④FH＝14BD.其中正确的结论是()二．填空题（共8小题，3*8=24）11.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．12. 如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，则四边形OCED 的形状是_________．13. 如图,在长方形ABCD中,AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且△EFG 为等腰直角三角形,则EF的长为_________．14. 如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为_________．15．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是__________(填序号)．16. 把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，17. 如图,把长方形纸片ABCD折叠,使其对角顶点C与A重合.若长方形的长BC为8,宽AB为4,则折痕EF的长度为_________．18. 在菱形ABCD中，AE为BC边上的高，若AB=5，AE=4，则线段CE的长为．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2 cm，求平行四边形ABCD的周长为.20．(6分) 如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是菱形；21．(6分) 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作DE∥AC、DF∥AB，分别交AB、AC于点E、F.求证：四边形AEDF是菱形．22．(6分) 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形．23．(6分) 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．24．(8分) 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．25．(8分) 如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再折叠一次，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.求证：(1)∠ABE＝30°；(2)四边形BFB′E为菱形．参考答案1-5DCACC 6-10 CCCAC11. AB=AD或AC⊥BD12. 菱形13.10 214.315. ①③⑤16. 6017.2 518. 2或819. 解：如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AD＝DC，四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8.20. 证明：连接BD，交AC于O.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形；21. 证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠EDA＝∠BAD，∴四边形AEDF 是菱形．22. 证明：(方法不唯一)由折叠性质知：AE ＝DE ，AF ＝DF ， ∴∠DAE ＝∠EDA ，∠ADF ＝∠FAD ， ∵∠DAE ＝∠FAD ，∴∠DAE ＝∠ADF ，∠DAF ＝∠EDA ， ∴DF ∥AE ，DE ∥AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形， ∵AE ＝DE ，∴四边形AEDF 是菱形23. (1)证明：∵在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，BD ＝8，∴AO ＝12AC＝3，BO ＝12BD ＝4，∵AB ＝5，且32＋42＝52， ∴AO 2＋BO 2＝AB 2，∴△AOB 是直角三角形，且∠AOB ＝90°， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形． (2)解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC ＝AB ＝5，∵S △ABC ＝12AC·BO ＝12BC·AH ，∴12×6×4＝12×5×AH ，解得：AH ＝245.24. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝90°， AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，AB ＝CD ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF(HL)(2)解：当AC ⊥EF 时，四边形AECF 是菱形，理由如下： ∵△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF ， ∵BC ＝AD ，∴CE ＝AF ， ∵CE ∥AF ，∴四边形AECF 是平行四边形， 又∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形∴∠AEB＝∠A′EB.∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°，∴∠ABE＝30°(2)∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，∴BE＝B′E，BF＝B′F.∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠FEB′＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BFB′E为菱形。

专题2.12 菱形(专项练习)-2020-2021学年八年级数学下册基础知识专项讲练(湘教版)

专题2.12 菱形(专项练习)-2020-2021学年八年级数学下册基础知识专项讲练(湘教版)

专题2.12 菱形（专项练习）一、单选题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．两组对角分别相等D ．对角线互相垂直 2．菱形的边长是5cm ，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线的长为（ ）A ．6cmB ．C ．8cmD ．10cm 3．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．AB ＝CDB ．OA ＝OC ，OB ＝OD C ．AC =BD D ．//AB CD ，AD ＝BC4．如图：矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相较于点O ，//CE BD ，//DE AC ，若2AC =，则四边形OCED 的周长为（ ）A ．6B ．4C ．5D ．25．如图，在ABCD 中，用直尺和圆规作BAD ∠的平分线,AG 若10,12,AD DE ==则AG 的长是（ ）A ．15B ．16C ．18D ．206．若顺次连结四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ）A ．菱形B ．平行四边形C ．对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形7．如图，在⊥ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，下列结论不正确的是（ ）A ．AF ＝BD ，BF ⊥ADB ．若AB ＝AC ，则DF ＝ABC ．若⊥BAC ＝90°，则CF ＝AD D ．若AC ＝12BC ，则四边形ACDF 为菱形 8．菱形OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点C 的坐标是()4,0，点A 的纵坐标是1,则点B 的坐标是（ ）A ．()2,1B ．()2,1-C ．()1,2-D ．()1,29．如图，在四边形纸片ABCD 中，AB AD =，CB CD =，将纸片按如图方式折叠2次后，沿虚线剪开，阴影部分展开后得到的四边形是（ ）A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．无法判断10．如图，在平面直角坐标系中，点A(﹣1，0)，D(0)为菱形ABCD 的顶点，现固定点A ．沿对角线AC 方向将菱形的顶点C 拉至点C '处，使得点B ，D 落在菱形ABCD 内部的点B '，D 处，若D C B '''∠＝30°，则此时点D 的坐标是（ ）A ．﹣1)B ．(1C ．)D ．() 11．如图，菱形ABCD 中，AB=2，⊥BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是( )．A ．1B ．2CD 12．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）A B ．2 C ．D ．413．如图，点E ，F 在菱形ABCD 的对角线AC 上，120ADC =∠︒，50BEC CBF ∠=∠=︒，ED 与BF 的延长线交于点M ．则对于以下结论：⊥30BME ∠=︒；⊥ADE ABE ≌；⊥EM BC =；⊥AE BM +=．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 14．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，且OA OC OB OD ==，，若要使四边形 ABCD 是菱形，则可以添加的条件是__________．15．如图，O 点是矩形ABCD 的对角线的中点，菱形ABEO 的边长为2，则BC ＝ ______．16．已知菱形ABCD 的边长为4,⊥A =60°，则菱形ABCD 的面积为_________．17．如图，在菱形ABCD 中，6BC =，点E 是AD 的中点，连接OE ，则OE=_____________．18．已知菱形的边长为2cm ，一个内角为60︒，那么该菱形的面积为__________2cm ．19．如图，四边形ABCD 为菱形，四边形AOBE 为矩形，O ，C ，D 三点的坐标为(0,0)，(2,0)，(0,1)，则点E 的坐标为________．20．如图，在⊥ABC 中，已知⊥ACB ＝90°，⊥A ＝30°，BC ＝6，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD ＝_____时，平行四边形CDEB 为菱形．21．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，BC =E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为________．22．如图，面积为16的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是边BC 的中点，过点E 作EF BD ⊥ 于点F ，EG AC ⊥于点G ，则四边形EFOG 的面积为__．23．如图，菱形ABCD 的边长为4，对角线交于点O ，⊥ABC =60°，点E 、F 分别为AB 、AO 的中点，则EF 的长度为________．24．如图，在MON ∠中，使OA=OB ，按以下步骤作图：⊥以O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OM ，ON 于点A ，B ；⊥分别以点A 、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；⊥连接AC 、BC 、AB 、OC ．若2cm AB =，四边形OACB 的面积为24cm ．则OC 的长为________cm ．25．如图，在菱形ABCD 中，4,120AB A ︒=∠=，点P 为BC 的中点，,Q K 分别为线段,CD BD 上的任意一点，则PK QK +的最小值为______．三、解答题26．如图，在菱形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，延长AD 到点E ，使DE AD =，延长CD 到点F ，使DF CD =，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF 是矩形．（2）直接写出四边形ABCE 的面积是______．27．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点.过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）若3AC =，4AB =，求菱形ADCF 的面积．28．如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD ，将一个60°的⊥MAN 的顶点与该菱形顶点A 重合，以A 为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的⊥MAN ，使它的两边分别交CB 、DC 于点E ，F ．（1）如图1，当BE ＝DF 时，AE 与AF 的数量关系是 ；（2）旋转⊥MAN ，如图2，当BE ≠DF 时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．参考答案1．B【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．【详解】解：矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选：B．【点拨】本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形的对角线相等且平分、菱形的对角线垂直且平分是解题的关键．2．C【分析】根据菱形性质得出OB＝OD＝3cm，OA＝OC，AC⊥BD，由勾股定理求出OA，即可得出答案．【详解】如图所示：⊥四边形ABCD是菱形，⊥AB＝5cm，OB＝OD＝12BD＝3cm，AC⊥BD，⊥⊥AOB＝90°，由勾股定理得：OA=＝4cm，⊥AC＝2OA＝8cm，故选：C．【点拨】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 3．B【分析】由题知AC ⊥BD ，所以只要所给选项能使四边形ABCD 为平行四边形即可．【详解】A 、只有AB ＝CD 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；B 、据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由OA ＝OC ，OB ＝OD 可判定四边形ABCD 为平行四边形，再由AC ⊥BD 可得四边形ABCD 为菱形；C 、只有AC =BD 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；D 、//AB CD ，AD ＝BC 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；故只有B 选项的条件可判定四边形ABCD 为菱形．故选：B ．【点拨】此题考查菱形的判定，菱形的基本判定方法有三个：一、一组邻边相等的平行四边形是菱形；二、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；三、四条边相等的四边形是菱形 ．其中第一、二两种判定方法都需要先判定四边形是平行四边形．4．B【分析】根据矩形的性质可得OD ＝OC ，由//CE BD ，//DE AC 得出四边形OCED 为平行四边形，利用菱形的判定得到四边形OCED 为菱形，由AC 的长求出OC 的长，即可确定出其周长．【详解】解：⊥四边形ABCD 为矩形，⊥OA ＝OC ，OB ＝OD ，且AC ＝BD ．⊥AC ＝2，⊥OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1．⊥CE⊥BD ，DE⊥AC ，⊥四边形OCED 为平行四边形．⊥OD ＝OC ，⊥四边形OCED 为菱形．⊥OD ＝DE ＝EC ＝OC ＝1．则四边形OCED的周长为4×1＝4．故选：B．【点拨】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．5．B【分析】首先证明四边形ADGE是菱形，得出AG⊥DE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AG的长．【详解】试题解析：连接EG，⊥由作图可知AD=AE，AG是⊥BAD的平分线，⊥⊥1=⊥2，⊥AG⊥DE，AD=10，DE=12．⊥四边形ABCD是平行四边形，⊥CD⊥AB，⊥⊥2=⊥3，⊥⊥1=⊥3，⊥AD=DG．⊥AG⊥DE，⊥OA=12AG，OD=12DE．在Rt⊥AOD中，，⊥AG=2AO=16．故选B．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ADGE为菱形是解决问题的关键．6．D【分析】顺次连结四边形ABCD各边的中点，则所得四边形的四边分别是以原四边形对角线为底边的四个三角形的中位线，根据三角形的中位线定理可得原四边形对角线相等【详解】解：如图：⊥E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，CD的中点，⊥EH=12AC，EH//AC，FG=12AC，FG//AC，EF=12BD，EF//BD，GH=12BD ，GH//BD⊥EH//FG，EH=FG，EF//GH，EF=GH⊥四边形EFGH为菱形⊥EF=FG，⊥AC=BD，故选：D【点拨】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半7．C【分析】根据题意易得⊥AFE⊥⊥DCE，进而可得AF=DC=BD，然后可证四边形AFBD是平行四边形，则由平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定及等腰三角形的性质可进行排除选项．【详解】解：⊥点E是AD的中点，⊥AE=DE，⊥AF⊥BC，⊥⊥FAE=⊥CDE，⊥AFE=⊥DCE，⊥⊥AFE⊥⊥DCE（AAS），⊥AF=DC，⊥点D是BC的中点，⊥AF=DC=BD，⊥四边形AFBD是平行四边形，⊥BF⊥AD，故A正确；⊥AB=AC，点D是BC的中点，⊥AD⊥BC，⊥⊥ADB=90°，⊥平行四边形AFBD是矩形，⊥DF=AB，故B正确；⊥//AF DC，⊥四边形ACDF是平行四边形，⊥点D是BC的中点，AC=12 BC，⊥AC=DC，⊥平行四边形ACDF是菱形，故D正确；⊥四边形ACDF、AFBD是平行四边形，⊥BAC=90°，⊥AD=BD=DC，假设AD=CF时，则四边形ACDF是矩形，即AB与AF重合，与题干矛盾，故C错误；故选C．【点拨】本题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定，关键是根据三角形全等得到四边形是平行四边形，然后再进行排除选项即可．8．B【分析】连结AB，然后根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质可以得到解答．【详解】解：如图，连结AB并与OC交于E，则由菱形性质可知，AB⊥OC，且EB=AE=1，OE=EC=12OC=2，⊥点B 的坐标是（2，-1），故选B．【点拨】本题考查菱形与直角坐标系的综合运用，熟练掌握菱形对角线的性质是解题关键．9．A【分析】由两次对折后，再沿虚线剪开，可得：阴影部分图形展开后的四条边相等，结合菱形的判定可得答案．【详解】解：由题意得：阴影部分图形展开后的四条边相等，所以：阴影部分展开后得到的四边形是菱形．故选：A．【点拨】本题考查的是轴对称的性质，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键．10．A【分析】过D′在D′E⊥AB于E，在Tt⊥OAD中，由特殊角的函数值和勾股定理求得⊥DAO＝60°，AD＝2，根据菱形的性质求得⊥B′AB＝15°，进而求得⊥D′AE＝45°，得到Rt⊥D′AE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE＝D′E，即可求出D'的坐标．【详解】解：过D′作D′E⊥AB于E，在Tt⊥OAD中，由A（﹣1，0），D（0OA＝1，OD⊥⊥DAO＝60°，AD2，⊥四边形ABCD是菱形，⊥⊥DAC＝⊥BAC＝30°，⊥四边形AB′C′D′是菱形，⊥⊥D′AC′＝⊥B′AC′，⊥D′AB′＝⊥D'C'B'＝30°，⊥⊥B′AB＝⊥D′AD＝12×（60°﹣30°）＝15°，⊥⊥D′AE＝60°﹣15°＝45°，由题意知：AD′＝AD＝2，在Rt⊥D′AE中，⊥⊥D′AE＝45°，⊥⊥AD′E＝45°，⊥AE＝D′E，⊥2AE2＝AD′2＝4，⊥AE＝D′E，⊥OE﹣1，⊥D'﹣1）故选：A．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，平面直角坐标系，勾股定理，特殊角的函数值，正确作出辅助线，求出⊥D′AE的度数是解决问题的关键．11．D【分析】根据轴对称最短问题作法首先求出P点的位置，再结合菱形的性质得出⊥AEE′为等边三角形，进而求出PE+PB的最小值．【详解】解：如图所示，作E点关于AC对称点E′点，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点，⊥菱形ABCD中，AB=2，⊥BAD=60°，E是AB的中点，⊥AE′=AE=BE=1，⊥⊥AEE′为等边三角形，⊥⊥AEE′=60°，⊥⊥E′EB=120°，⊥BE=EE′，⊥⊥EE′B=30°，⊥⊥AE′B=90°，，⊥PE+PB=BE′，⊥PE+PB ．．【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及轴对称中最短路径求法，正确地作出P 点从而利用菱形性质得出是解决问题的关键．12．B【分析】根据菱形的性质证明⊥ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是⊥ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD⊥四边形ABCD 是菱形，⊥AC BD ⊥，BD 平分⊥ABC ，4AB BC CD DA ==== ⊥⊥111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒ ⊥AB AD =⊥⊥ABD 是等边三角形，⊥ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又⊥BD AC ⊥，⊥//EF BD⊥EF 为⊥ABD 的中位线， ⊥122ET BD == 故选：B ．【点拨】本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．13．D【分析】先由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，⊥BAD＝⊥BCD＝60°，⊥DAE＝⊥BAE，⊥DCE＝⊥BCE＝30°，再由三角形的外角性质得⊥BFE＝80°，则⊥EBF＝50°，然后证⊥CDE⊥⊥CBE （SAS），得⊥DEC＝⊥BEC＝50°，进而得出⊥正确；由SAS证⊥ADE⊥⊥ABE，得⊥正确；证出⊥BEM⊥⊥EBC（AAS），得BM＝EC，EM＝BC，⊥正确；连接BD交AC于O，由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三角形的性质得OD＝12CD＝12BC，OCOD，则OC，进而得出⊥正确即可．【详解】解：⊥四边形ABD是菱形，⊥ADC＝120°，⊥AD＝AB＝BC＝CD，⊥BAD＝⊥BCD＝60°，⊥DAE＝⊥BAE，⊥DCE＝⊥BCE＝12⊥BCD＝30°，⊥⊥BFE＝⊥BCE＋⊥CBF＝30°＋50°＝80°，⊥⊥EBF＝180°−⊥BEC−⊥BFE＝180°−50°−880°＝50°，在⊥CDE和⊥CBE中CD CBDCE BCE CE CE⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，⊥⊥CDE⊥⊥CBE（SAS），⊥⊥DEC＝⊥BEC＝50°，⊥⊥BEM＝⊥DEC＋⊥BEC＝100°，⊥⊥BME＝180°−⊥BEM−⊥EBF＝180°−100°−50°＝30°，故⊥正确；在⊥ADE和⊥ABE中AD ABDAE BAE AE AE⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，⊥⊥ADE⊥⊥ABE（SAS），故⊥正确；⊥⊥EBC＝⊥EBF＋⊥CBF＝100°，⊥⊥BEM＝⊥EBC，在⊥BEM 和⊥EBC 中30BEM EBC BME ECB BE EB ∠∠∠∠︒⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝＝，⊥⊥BEM⊥⊥EBC （AAS ），⊥BM ＝EC ，EM ＝BC ，故⊥正确；连接BD 交AC 于O ，如图所示：⊥四边形ABCD 是菱形，⊥OA ＝OC ，AC⊥BD ，⊥⊥DCO ＝30°，⊥OD ＝12CD ＝12BC ，OC ＝3OD ， ⊥OC ＝32BC ， ⊥AC ＝2OC ＝3BC ，⊥BM ＝EC ，EM ＝BC ，⊥AE ＋BM ＝AE ＋EC ＝AC ＝3BC ＝3EM ，故⊥正确，正确结论的个数是4个，故选：D ．【点拨】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．14．AB AD =【分析】由条件OA=OC ，OB=OD ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD 为平行四边形，再由菱形的判定定理即可得出结论．【详解】==，OA OC OB OD∴四边形ABCD是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条件是AB AD=（答案不唯一），=故答案为：AB AD【点拨】此题主要考查了菱形的判定的判定；关键是掌握菱形的判定定理．15．【分析】根据矩形的性质得到AC=4，再根据菱形的性质得到AB=2，再根据勾股定理即可求解.【详解】⊥菱形的边长为2，⊥AB=AO=2，⊥O点是矩形ABCD的对角线的中点，⊥AC=2AO=4，=故填：【点拨】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的四边相等.16．【分析】作出图形，利用30°直角三角形的性质求出高，利用菱形的面积公式可求解．【详解】如图所示，菱形ABCD中，AB=AD=4，⊥A=60°，过点D 作DE⊥AB 于点E ，则3sin 604DE AD =︒==⊥菱形ABCD 的面积为AB∙DE=4×故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，熟练运用30°直角三角形的性质以及菱形的面积公式是本题的关键．17．3【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD ，AB=BC=CD=DA ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．【详解】解：⊥四边形ABCD 为菱形，⊥AC⊥BD ，AB=BC=CD=DA=6，⊥⊥AOD 为直角三角形．⊥点E 为线段AD 的中点，AD=6，⊥OE=3． 故答案为：3．【点拨】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，本题属于基础题，难度不大．18．【分析】连接AC ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，根据菱形的面积公式即可求出答案．【详解】解：过点A作AM⊥BC于点M，⊥菱形的边长为2cm，⊥AB=BC=2cm，⊥有一个内角是60°，⊥⊥ABC=60°，⊥⊥BAM=30°，⊥112BM AB==（cm），⊥AM==（cm），⊥此菱形的面积为：2=cm2）．故答案为：【点拨】本题主要考查了菱形的性质和30°直角三角形性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．19．(2,1)--【分析】由菱形的性质得到,OA OB的长，由矩形的性质可得到答案．【详解】解：四边形ABCD为菱形，,,,AC BD OB OD OA OC∴⊥==O，C，D三点的坐标为(0,0)，(2,0)，(0,1)，1,2,OD OB OC OA∴====四边形AOBE为矩形，(2,1).E∴--故答案为：(2,1).--【点拨】本题考查的是菱形与矩形的性质，熟练掌握菱形，矩形的性质是解题的关键．20．6【分析】连接CE交AB于点O，首先根据含30°角直角三角形的性质得AB＝12，由菱形的性质可得OD＝OB，CD＝CB，由三角形面积可求出OC，根据勾股定理可得OB，由AD＝AB﹣2OB 即可求AD的长．【详解】解：连接CE交AB于点O，如图所示：⊥Rt⊥ABC中，⊥ACB＝90°，⊥A＝30°，BC＝6，⊥AB＝2BC＝12，AC=当平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB，⊥12AB•OC＝12AC•BC，⊥OC＝AC BCAB•==⊥OB3==，⊥AD＝AB﹣2OB＝12﹣2×3＝6，故答案为：6．【点拨】本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题关键．21．2【分析】连结AF ，利用中位线的性质GH=12AF ，要使GH 最小，只要AF 最小，由点F 在BC ，当AF⊥BC 时，AF 最小，利用菱形性质求出AB =45B ∠=︒确定⊥ABF 为等腰直角三角形，得出AF=BF ，由勾股定理得：22222AB BF AF AF =+=求出AF 即可．【详解】连结AF ，⊥G ，H 分别为AE ，EF 的中点，⊥GH⊥AF ，且GH=12AF ， 要使GH 最小，只要AF 最小，由点F 在BC ，当AF⊥BC 时，AF 最小，在菱形ABCD 中，BC = ⊥AB =在Rt⊥ABF 中，45B ∠=︒，⊥⊥ABF 为等腰直角三角形，⊥AF=BF ，由勾股定理得：22222AB BF AF AF =+=，⊥(22=2AF ，⊥AFGH 最小=12【点拨】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质，点F在BC上，AF最短，点A到BC直线的距离最短时由点A向直线BC作垂线，垂线段AF为最短是解题关键．22．2【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积＝12AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF//OC，EG//OB，得出EF、EG都是⊥OBC的中位线，则EF＝12OC＝14AC，EG＝12OB＝14BD，由矩形面积即可得出答案．【详解】解：⊥四边形ABCD是菱形，⊥OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积＝12AC×BD=16，⊥AC×BD=32⊥EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，⊥四边形EFOG是矩形，EF//OC，EG//OB，⊥点E是线段BC的中点，⊥EF、EG都是⊥OBC的中位线，⊥EF＝12OC＝14AC，EG＝12OB＝14BD，⊥矩形EFOG的面积＝EF×EG＝14AC×14BD＝116×32＝2；故答案为：2．【点拨】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．23【分析】先根据菱形的性质得出⊥ABO＝12⊥ABC＝30°，由30°的直角三角形的性质得出OA＝12AB＝2，再根据勾股定理求出OB，然后证明EF为⊥AOB的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果．⊥四边形ABCD 是菱形，⊥AC⊥BD ，⊥ABO ＝12⊥ABC ＝30°， ⊥OA ＝12AB ＝2，⊥OB =⊥点E 、F 分别为AO 、AB 的中点，⊥EF 为⊥AOB 的中位线，⊥EF ＝12OB【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及三角形中位线定理；根据勾股定理求出OB 和证明三角形中位线是解决问题的关键．24．4【分析】由作法知四边形OACB 为菱形，利用菱形面积公式对角线乘积的一半，可求OC ．【详解】解：由作图可知：OA OB AC BC ===，∴四边形OACB 为菱形，⊥AB⊥OC ，214cm 2OACB S AB OC ∴=⋅⋅=菱形， 又2cm AB =，4cm OC ∴=．故答案为：4．【点拨】本题考查用尺规作图推导图形的特征，掌握菱形的性质与判定方法，会利用对角线积表示面积达到解题目的．25．根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时，PK+QK取最小值，然后求解即可．【详解】解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，⊥AB＝4，⊥A＝120°，⊥点P′到CD的距离为⊥PK+QK的最小值为故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据菱形的性质可得AD=CD，即可得出AE=CF，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形即可得结论；（2）由⊥B=60°及菱形的性质可得⊥ABC是等边三角形，可得AE=2AB，利用勾股定理可求出CE的长，根据等底等高的三角形面积相等可得S⊥ACD=S⊥CED=S⊥EDF=S⊥ADF，根据菱形的性质可得S⊥ABC=S⊥ACD，即可得出S四边形ABCE=34S矩形ACEF，根据矩形的面积公式即可得答案．【详解】（1）⊥四边形ABCD是菱形，⊥AD=CD，⊥DE=AD ，DF=CD ，⊥AD+DE=CD+DF ，即AE=CF ，⊥四边形ACEF 是矩形．（2）⊥AB=BC ，⊥B=60°，⊥⊥ABC 是等边三角形，⊥AB=AC=BC=AD=DE ，⊥AE=2AC=2AB=4，⊥四边形ACEF 是矩形，⊥⊥ACE=90°，=⊥⊥ACD 、⊥CED 、⊥EDF 、⊥ADF 等底等高，⊥S ⊥ACD =S ⊥CED =S ⊥EDF =S ⊥ADF ，⊥四边形ABCD 是菱形，⊥S ⊥ABC =S ⊥ACD ，⊥S 四边形ABCE =34S 矩形ACEF =34CE·AC=34× 【点拨】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，菱形的四条边都相等；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形；熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．27．（1）证明见解析；（2）6【分析】(1)先证明⊥AEF⊥⊥DEB(AAS)，得AF ＝DB ，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF 是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD ＝CD ，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF 是菱形；(2)先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF 的面积＝直角三角形ABC 的面积，即可解答．【详解】解：(1)证明：⊥E 是AD 的中点，⊥AE ＝DE ，⊥AF⊥BC，⊥⊥AFE＝⊥DBE，在⊥AEF和⊥DEB中，⊥AFE DBEAEF DEBAE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥AEF⊥⊥DEB(AAS)，⊥AF＝DB，⊥D是BC的中点，⊥DB=CD=AF，⊥四边形ADCF是平行四边形，⊥⊥BAC＝90°，D是BC的中点，⊥AD＝CD＝12 BC，⊥四边形ADCF是菱形；(2)解：如图，设AF到CD的距离为h，⊥AF⊥BC，AF＝BD＝CD，⊥BAC＝90°，⊥S菱形ADCF＝CD•h＝12 BC•h＝S⊥ABC＝12 AB•AC＝12×4×3＝6．【点拨】本题主要考查的是菱形的判定与菱形的面积，需要有一定的推理论证能力，掌握菱形的判定方法是解题的关键．28．（1）AE＝AF；（2）成立，证明见解析【分析】（1）由“SAS”可证⊥ABE⊥⊥ADF，可得AE＝AF；（2）由菱形的性质可得AB ＝BC ＝AD ＝CD ，⊥B ＝⊥D ＝60°，可证⊥ABC 是等边三角形，⊥ACD 是等边三角形，可得AB ＝AC ，⊥ACD ＝⊥B ＝60°＝⊥BAC ，由“ASA ”可证⊥BAE ⊥⊥CAF ，可得AE ＝AF ．【详解】解：（1）⊥四边形ABCD 是菱形，⊥AB ＝AD ，⊥B ＝⊥D ，在⊥ABE 和⊥ADF 中，AB=AD B=D BE=DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，⊥⊥ABE ⊥⊥ADF （SAS ），⊥AE ＝AF ，故答案为：AE ＝AF ；（2）仍然成立，理由如下：如图2，连接AC ，⊥四边形ABCD 是菱形，⊥B ＝60°，⊥AB ＝BC ＝AD ＝CD ，⊥B ＝⊥D ＝60°，⊥⊥ABC 是等边三角形，⊥ACD 是等边三角形，⊥AB ＝AC ，⊥ACD ＝⊥B ＝60°＝⊥BAC ，⊥⊥MAN ＝60°＝⊥BAC ，⊥⊥BAE ＝⊥CAF ，在⊥BAE 和⊥CAF 中，BAE=CAF AB=ACB=ACF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，⊥⊥BAE⊥⊥CAF（ASA），⊥AE＝AF．【点拨】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定，掌握菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形全等判定方法是解题关键．。

八年级数学下册《菱形》练习题(附含答案)

八年级数学下册《菱形》练习题(附含答案)

八年级数学下册《菱形》练习题(附含答案)一、单选题1．下列属于菱形具有的性质是（）A．对角线相等B．邻角相等C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直2．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：13．已知某菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形的面积为（）A．28cm2cm B．26cm D．24cm C．24．如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（）A．BA＝BC B．AC＝BDC．AB∥CD D．AC、BD互相平分5．已知：如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH成菱形，那么四边形ABCD必定是（）A．菱形B．平行四边形C．矩形D．对角线相等的四边形6．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝8cm，则OH的长为（）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm7．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，∠ABC=70°，Ev 是线段AO 上一点，则BEC ∠的度数可能是（ ）A ．100︒B ．70︒C ．50︒D ．20︒8．如图，在菱形ABCD 中，70ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 中点，则COE ∠的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．55°D ．35°9．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，120ADC ∠=︒，过点O 的直线与AD ，BC 分别交于点E ，F ，若四边形BEDF 是矩形，则∠DOE 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°10．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）．A ．48B ．24C ．12D ．6二、填空题11．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=10，BD=24，则菱形ABCD 的周长为_____．12．菱形一条对角线长为12cm ，周长为40cm ，则菱形的面积为_________平方厘米13．如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上一点，O 经过点A ，B ，C ，若O 的半径为2，OD=4，则BC 的长为______．14．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，DE AB ⊥于点E ，连接OE ，若2BAD α∠=，则DEO ∠为______(用含α的代数式表示)．15．如图，点,,,E F G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点，下列结论：①EH EF =；②当AB=CD ，EG 平分HGF ∠；③当AB CD ⊥时，四边形EFGH 是矩形；其中正确的结论序号是_____________．三、解答题16．如图，在ABC 中，B D ∠=∠．请用尺规作图法，在ABC 外求作一点C ，使得四边形ABCD 是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）17．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由．18．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成6×6的网格，每个小菱形的顶点称为格点．请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图（1）在图①中，画出一个矩形ABCD，使C、D两点在格点上；（2）在图②中，若∠P＝60°，画一个矩形EFGH，使矩形的各顶点不在格点上，且两边长分别为3和2．DE=2．19．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，AD=(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)求四边形OCED的面积．20．如图，将一张长方形纸片ABCD沿CE折叠，使点B与AD边上的点B′重合．过点B′作B′F//EB交CE于点F，连接EB′与BF．(1)求证：BE＝BF；(2)若DC＝3，AB′＝1，求四边形EBFB′的周长．参考答案1．C2．B3．A4．D5．D6．C7．B8．C9．A10．C11．5212．9613．314．α15．②③16．解：如图所示∵分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C=∴BC BA=DC DA∵B D∠=∠∴AB AD=∴CB CD AD AB===∴四边形ABCD是菱形，即点C是所求作的点．17．解：添加AB=BC∵四边形ABCD是对角线互相平分的四边形∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形．18．解：（1）如图①，矩形ABCD即为所求；（2）如图②，矩形EFGH即为所求．19．(1)证明：∵CE BD∥∥DE AC∴四边形OCED是平行四边形．∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ∴OD=OC∴平行四边形OCED是菱形．(2)连接OE，如图∵DE=2∴AC=2OC=2DE=4∵AD=23∴DC2222--=4(23)2AC AD∵DE AC∥，AO=OC=DE∴四边形AOED是平行四边形．∴OE=AD=23∴菱形OCED 的面积为232DC OE ⨯= 20． (1)证明：由翻折可知：∠B ′EF ＝∠BEF ，BE ＝B ′E ∵B ′F //EB∴∠B ′FE ＝∠BEF∴∠B ′FE ＝∠B ′EF∴B ′F ＝B ′E∴BE ＝B ′F∴四边形BE B ′F 是平行四边形∵B ′F ＝B ′E∴四边形BE B ′F 是菱形∴BE ＝BF ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A ＝90°∵AB ＝DC ＝3，AB ′＝1∴AE ＝AB ﹣BE ＝3﹣B ′E在Rt △AEB ′中，根据勾股定理得：AE 2+AB ′2＝B ′E 2∴（3﹣B ′E ）2+12＝B ′E 2解得B ′E ＝53∵四边形EBFB ′是菱形∴四边形EBFB ′的周长＝4B ′E ＝4×53＝203．。

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H同步练习2图DCAOE 同步练习1图AC DBO八年级数学下册菱形培优专题练习考点1：菱形对角线问题例1、如图，已知菱形ABCD 对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，BC AE ⊥于点E ，则AE的长是（ ）A 、35B 、52C 、524 D 、548 【同步练习】1、如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 边中点，OE 的长等于4，则菱形ABCD 的周长为（ ）A 、16B 、20C 、24D 、322、如图，四边形ABCD 是菱形，︒=∠50DAB ，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB DH ⊥于H ，连接OH ，则______=∠DHO 度。

考点2：菱形最值问题例2、如图，在周长为12的菱形ABCD 中，1=AE ，2=AF ，若P 为对角线BD 上一动点，则FP EP +的最小值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4DB E CA OP FE例2图DB APCE同步练习2图DBA例3图同步练习1图同步练习2图【同步练习】1、如图，在菱形ABCD中，2=AB，︒=∠60BAD，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PBPE+的最小值为（）A、1B、3C、2D、5例3、如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是.【同步练习】1、如图，将两张长为8，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值12，那么菱形周长的最大值是.2、如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A、15B、16C、19D、20考点3：菱形与直角坐标系问题同步练习1图同步练习2图同步练习3图例4、如图，正方形ABCD 的边长为10，点A 的坐标为（0，﹣8），点B 在x 轴上，若反比例函数xky =（0≠k ）的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为（ ） A 、x y 6= B 、x y 12-= C 、xy 10=D 、xy 10-= 【同步练习】1、如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A （3，0），B （﹣2，0），顶点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标为（ ）A 、（﹣3，4）B 、（﹣4，5）C 、（﹣5，5）D 、（﹣5，4）2、在平面直角坐标系中，菱形OABC 的OC 边落在x 轴上，︒=∠60AOOC ，360=OA .若菱形OABC 内部（边界及顶点除外）的一格点P （x ，y ）满足：y x y x 909022-=-，就称格点P 为“好点”，则菱形OABC 内部“好点”的个数为（ ）（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点。

） A 、145 B 、146 C 、147 D 、148 3、如图，菱形ABCD 的周长为20，点A 的坐标是（4，0），则点B 的坐标为（ ） A 、（3，0） B 、（4，0） C 、（0，3） D 、（0，4） 4、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是（0，0），（2，0），︒=∠60α，则顶点C 在第一象限的坐标是（ ）同步练习5图同步练习4图同步练习6图同步练习7图A 、（2，2）B 、（3，3）C 、（3，2）D 、（13+，3）5、如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，4），顶点A 在x 轴的正半轴上。

反比例函数xky =（0 x ）的图象经过顶点B ，则k 的值为 。

6、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，︒=∠60BOC ，顶点C 的坐标为（m ，33），反比例函数xky =的图象与菱形对角线AO 交于点D ，连接BD ，当x BD ⊥轴时，k 的值是 。

7、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数xy 3=的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为 .8、如图，点A 在双曲线x y 32=（0 x ）上，点B 在双曲线xky =（0 x ）上（点B 在点A 的右侧），且x AB //轴、若四边形OABC 是菱形，且︒=∠60AOC ，则___=k .考点4：菱形的折叠问题例5、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，点B 和点D 都与点O 重合，得到菱形AECF 、若3=AB ，则BC 的长为 .考点5：菱形的动点问题例6、如图，在ABC ∆中，AC AB =，BC AD ⊥于点D ，cm BC 10=，cm AD 8=，E 点F 点分别为AB ，AC 的中点。

（1）求证：四边形AEDF 是菱形； （2）求菱形AEDF 的面积；（3）若H 从F 点出发，在线段FE 上以每秒2cm 的速度向E 点运动，点P 从B 点出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向C 点运动，问当t 为何值时，四边形BPHE 是平行四边形？当t 取何值时，四边形PCFH 是平行四边形？【同步练习】1、如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点P 是线段AD 上一动点（不与与点D 重合），PO 的延长线交BC 于Q 点。

（1）求证：四边形PBQD 为平行四边形、（2）若cm AB 6=，m AD 8=，P 从点A 出发。

以1cm /秒的速度向点D 匀速运动、设点P 运动时间为t 秒，问四边形PBQD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由。

PHEFBCDA同步练习1图P Q OBCD A 同步练习2图P QOBCDA2、如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q .（1）求证：四边形PBQD 是平行四边形；（2）若cm AD 8=，cm AB 6=，P 从点A 出发，以1cm /秒的速度向D 运动（不与D 重合），设点P 运动时间为t 秒。

①请用t 表示PD 的长；②求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形。

考点6：菱形的判定与性质综合问题例7、已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB的延长线于点F 、如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长。

例8、如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM 、DN .（1）求证：四边形BMDN 是菱形；（2）若4=AB ，8=AD ，求菱形BMDN 的面积和对角线MN 的长。

【同步练习】1、如图，已知AC 是□ABCD 的一条对角线，过AC 中点O 的直线分别交AD 、BC 于点E 、F 。

E例7图F DBCMAN例8图ODBCMA同步练习1图DO EBCF A同步练习2图 DEBCFA同步练习3图 DGEBC FAO同步练习4图 DFE BCA同步练习5图DFEBAE同步练习6图DFGBCA（1）求证：COF AOE ∆≅∆；（2）连接AF 、CE ，当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AFCE 是菱形？请说明理由。

2、如图，已知：在平行四边形ABCD 中，F 是对角线BD 上一点，点E 是对角线BD 上异于点F 的另一点，BE DF =，连结AE 和CE .（1）FBC S ∆与FAB S ∆是否相等，请说明理由；（2）当平行四边形ABCD 满足什么条件时，四边形AFCE 是菱形，请说明理由。

3、如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作DB AG //交CB 的延长线于点G .（1）求证：CBF ADE ∆≅∆；（2）若︒=∠90G ，求证：四边形DEBF 是菱形。

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，BC AD //，︒=∠90B ，对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F .（1）求证：四边形AFCE 是菱形； （2）若6=AB ，8=BC ，求EF 的长。

P Q同步练习7图DF EBCACF同步练习8图EDBA5、如图，已知BD 平分ABF ∠，且交AE 于点D .（1）求作：BAE ∠的平分线AP （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP 交BD 于点O ，交BF 于点C ，连接CD ，当BD AC ⊥时，求证：四边形ABCD 是菱形。

6、如图，在ABC ∆中，︒=∠90ABC ，BD 为AC 的中线，过点C 作BD CE ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取BD FG =，连接BG 、DF .（1）求证：BD DF =；（2）求证：四边形BDFG 为菱形；（3）若13=AG ，6=CF ，求四边形BDFG 的周长。

7、如图，在ABC ∆中，AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，在线段AD 上任到一点P （点A 除外），过点P 作AB EF //，分别交AC 、BC 于点E 、F ，作AC PQ //，交AB 于点Q ，连接QE 与AD 相交于点G .（1）求证：四边形AQPE 是菱形；（2）四边形EQBF 是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；（3）直接写出P 点在EF 的何处位置时，菱形AQPE 的面积为四边形EQBF 面积的一半。

8、如图，在四边形ABCD 中，AD AB =，CD CB =，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF .（1）证明：DAC=AFD∠∠；BAC∠=∠，CFE（2）若CDAB//，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得BCD∠，并说明理由。

EFD∠=9、如图，在四边形ABCD中，ADCB=，E是CD上一点，BE交AC于F，连接AB=，CDDF.（1）证明：ADF≅∆；ABF∆（2）若CDAB//，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，又知BCD∠，请问你能推出什么结论？（直接写出一个结论，=EFD∠要求结论中含有字母E）。

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