二次函数总复习ppt 人教版
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人教九年级上册数学2二次函数图像与性质复习课件
2.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下
平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则
b,c的值为( Ｂ )
A.b=2,c=-6
B.b=2,c=0
C.b=-6,c=8
D.b=-6,c=2
【知识延伸】
1.把抛物线y=(x-1)2-4绕着它的顶点旋转1800 ，得到：
植物每天高度 增长量y(mm)
… -4 … 41
-2 0 2 49 49 41
4 4.5 … 25 19.75 …
由这些数据,科学家估计出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函 数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种. (1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外 两种函数的理由. (2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?
若 y1 ＞ y2 ＞ yo ,则x0的取值范围是（ B ）
A．x0 ＞-5 ; C．-5＜ x0 ＜-1;
B． x0 ＞-1 ; D．-2 ＜x0 ＜3
[回顾一般式与顶点式关系]
y＝ax2＋bx＋c -—→y＝a(x＋ b )2＋ 4ac b2
2a
4a
主题2 二次函数的平移
【主题训练2】将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个
【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为
y=ax2+bx+c,
4a 2b c 49, a 1,
根据题意,得 4a 2b c 41, 解得 b 2,
c 49,
c 49，
∴y关于x的函数解析式为y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图 象上,所以y不是x的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在 同一直线上,所以y不是x的一次函数.
人教版二次函数复习课件(2)
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式；
解：（1）将点A（2，0）、B（0，-6）代入得：c226b c 0 ，
解得：bc
4 6
，
故这个二次函数的解析式为：y 1 x2 4x 6。
2
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润。
解：（4）y=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000 当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元。
接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值。
如图2中，作点E关于y轴的对称点N，EM⊥AB于M，连接
MN，交对称轴于P，交y轴于Q，
∵ M、O关于对称轴对称， ∴OP=PM，
∵ E、N关于y轴对称， ∴QE=QN，
∴ OP+PQ+QE=PM+PQ+QN，
∴ 当M、N、P、Q共线时，OP+PQ+QE最小，最小值为MN，
第二十二章 二次函数 复习课件
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求 △ABC的面积； （3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的 周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数性质综合题 课件(77张PPT)2024年中考人教版数学复习
A. B. C. D.
图3
提示：因为反比例函数 的图象位于第一、三象限，所以 .因为图象A，B中的抛物线都是开口向下，所以 ，则 ，即对称轴在 轴右侧，故图象A，B不符合题意.因为图象C，D的抛物线都是开口向上，所以 ，则 ，即对称轴在 轴左侧.
图4
提示：因为抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，所以抛物线与 轴的另一个交点坐标为 .把 ， 代入 ，得 解得 所以 .故③正确.
因为抛物线的开口向下，所以 ，则 ， .所以 .故①错误.因为抛物线与 轴有两个交点，所以当 时，
【答案】C
图1
针对训练
图2
1.（2023·成都）如图2，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，下列说法正确的是( ) .
A.抛物线的对称轴为直线 B.抛物线的顶点坐标为 ， C. ， 两点之间的距离为5D.当 时， 的值随 值的增大而增大
图2
提示：因为二次函数 的图象经过点 ，所以 .解得 .所以 .又 ，所以对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，故说法
图5
图85
【解析】如图85，设抛物线 与直线 的交点为 ， .因为 与 关于 轴对称，抛物线 也关于 轴对称，所以点 ， 与点 ， 也关于 轴对称，则 ， .
【答案】D
， 之间，抛物线 在直线 的上方，所以 的解集为 .
针对训练
4.已知 ，关于 的一元二次方程 的解为 ， ，则下列结论正确的是( ) .
类型一 二次函数的图象与性质的综合问题
在二次函数的图象与性质的综合问题中，主要涉及下列几种典型问题. （1）根据抛物线的开口方向、对称轴、与 轴的交点位置，以及与 轴的交点情况，判断 ， ， ，以及 等式子的正负性. （2）在 中，分别取 ， ， ，结合函数图象，可判断 ， ， 等式子的正负性. （3）利用抛物线对称轴与直线 或 的关系，可判断式子 或 的正负性. （4）利用二次函数的增减性或最值，可判断不等式是否成立. （5）利用二次函数图象与直线的位置关系，可求出不等式的解集
图3
提示：因为反比例函数 的图象位于第一、三象限，所以 .因为图象A，B中的抛物线都是开口向下，所以 ，则 ，即对称轴在 轴右侧，故图象A，B不符合题意.因为图象C，D的抛物线都是开口向上，所以 ，则 ，即对称轴在 轴左侧.
图4
提示：因为抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，所以抛物线与 轴的另一个交点坐标为 .把 ， 代入 ，得 解得 所以 .故③正确.
因为抛物线的开口向下，所以 ，则 ， .所以 .故①错误.因为抛物线与 轴有两个交点，所以当 时，
【答案】C
图1
针对训练
图2
1.（2023·成都）如图2，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，下列说法正确的是( ) .
A.抛物线的对称轴为直线 B.抛物线的顶点坐标为 ， C. ， 两点之间的距离为5D.当 时， 的值随 值的增大而增大
图2
提示：因为二次函数 的图象经过点 ，所以 .解得 .所以 .又 ，所以对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，故说法
图5
图85
【解析】如图85，设抛物线 与直线 的交点为 ， .因为 与 关于 轴对称，抛物线 也关于 轴对称，所以点 ， 与点 ， 也关于 轴对称，则 ， .
【答案】D
， 之间，抛物线 在直线 的上方，所以 的解集为 .
针对训练
4.已知 ，关于 的一元二次方程 的解为 ， ，则下列结论正确的是( ) .
类型一 二次函数的图象与性质的综合问题
在二次函数的图象与性质的综合问题中，主要涉及下列几种典型问题. （1）根据抛物线的开口方向、对称轴、与 轴的交点位置，以及与 轴的交点情况，判断 ， ， ，以及 等式子的正负性. （2）在 中，分别取 ， ， ，结合函数图象，可判断 ， ， 等式子的正负性. （3）利用抛物线对称轴与直线 或 的关系，可判断式子 或 的正负性. （4）利用二次函数的增减性或最值，可判断不等式是否成立. （5）利用二次函数图象与直线的位置关系，可求出不等式的解集
人教版数学中考复习《二次函数的图象及性质》精品教学课件ppt优秀课件
A(x,y)
B(-x,y)
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
1 1.5
2
...
y=x2
...
4 2.25
1 0.25 0
0.25
1
2.25
4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
-0.25
-1
-2.25 -4
...
函数图象画法
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
y x2
当当当当xx==xx--==2112时 时时 时，，，，yyyy====--41--14
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而
增大。
当当当当xx==xx--==2112时时时时，，，，yyyy====4114
当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
3
3
( 3,6)
( 3,6)
谢谢观看
Thank You!
这对对这对条称对这对称条称抛，称条称轴抛，物y轴抛，。轴物y线。轴物y就线轴关就线是关就于是关它于是y它于的轴y它的轴y的轴 对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。
2、练习2 3、想一想
4、练习4
二次函数y=ax2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点: ⑤.对称于原点的两点:
y
Q(b,-b)
人教版九年级上册22.1二次函数的图象和性质 复习课件(共32张PPT)
o
2
x
5
10
15
D.(4,3)
4
例 3 （ 2 ） （ 山 东 中 考 ） 抛 物 线 y = a x ²+ b x + c 经 过 点 A （ - 2 , 7 ） ， B（6,7）C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是
例 3 （ 3 ） （ 上 海 中 考 ） 抛 物 线 2 （ x + m ) ²+ n ( m , n 是 常 数 ）
y
8
6
4
2
10
5
o
5
x
10
15
2
4
例 3 ， 如 图 已 知 抛 物 线 y = x ²+ b x + c 的 对 称 轴 为 x = 2 ， 点
A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为
（0,3），则点B的坐标为（
）
8y
6 4
x=2
A.(2,3) B.(3,2)
2A
B
C.(3,3)
5
二次函数的解析式（三种形式解析式）
一 般 式 ： y = a x ²+ b x + c ( a ≠ ﾷ )
顶 点 式 ： y = a ( x - h ) ²+ k ( a8, h , k 为 常 数 ， 且 a ≠ ﾷ )
两根式：y=a(x-x1)（x-x2)(a≠ﾷ,x1,x2是抛物线与x轴两交点
解析式为
6
y
4
2
A(-1,0)
B(3,0)
15
10
5
O
x5
10
2
4
∙x 3
2)2 2∙(x +例2) 43：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛8 物线C1的顶点为A（-1， -4），且过点B（-3,0）。
人教版九年级上册第22章二次函数复习 课件(共19张PPT)
y<0
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0; 无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一 元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
【例】已知某二次函数二的次图函象数过的(一1，1般0)式，。(1，4) ， (2，7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c
由已知函数图象过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2，b 3，c 5
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习1
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c 由已知，函数图象上有 (1，3) ，(1，3) ，(2，6) 三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0; 无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一 元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
【例】已知某二次函数二的次图函象数过的(一1，1般0)式，。(1，4) ， (2，7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c
由已知函数图象过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2，b 3，c 5
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习1
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c 由已知，函数图象上有 (1，3) ，(1，3) ，(2，6) 三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
人教版九年级数学上册第22章二次函数章末复习课件 (共68张ppt)
(4)当图像与x轴 有两个交点时, b2-4ac>0；当图像与x轴只有一个 交点时, b2-4ac=0； 当图像与x轴没有交点时, b2-4ac<0. (5)图像过点(1, a+b+c)和点(-1, a-b+c), 再根据图像上的点的位置可 确定式子a+b+c和a-b+c的符号.
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图22-Z-1所示, 那么下
二次函数 的图像和
性质
开口方向
a>0, 图像开口向上 a<0, 图像开口向下
对称轴
a, b同号, 对称轴在y轴左侧 a, b异号, 对称轴在y轴右侧
烦烦烦鬼鬼鬼鬼 鬼鬼鬼鬼跟鬼鬼 鬼鬼鬼g鬼鬼
二次函数 的图像和
性质
a>0 增减性
a<0
最值
二次函数 的解析式
y=ax²+bx+c(a≠0)(一般式) y=a(x-h)²&#(a≠0)(交点式)
【要点指导】研究二次函数的图像的平移、轴对称变换过程, 实 际 就是确定变换后所得图像的二次函数解析式, 研究变换后的图 像和性质 的过程, 关键是找到变换后图像上的特殊点(如抛物线的 顶点), 从而得出 函数解析式, 最后利用二次函数的性质解答.
例4 如图22-Z-3, 在平面直角坐标系 xOy中, 将抛物线y=2x2沿y轴 向上平移1个单 位长度, 再沿x轴向右平移2个单位长度, 平移 后所 得抛物线的顶点记作A, 直线x=3与平移 后的抛物线相交于点B, 与 直线OA相交于点C. (1)求平移后的抛物线的函数解析式； (2)求点C的坐标及△ABC的面积．
例2 已知二次函数的图像以A(-1, 4)为顶点, 且过点B(2, -5). (1)求该函数的解析式； (2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标.
人教版初三九年级数学《二次函数复习PPT课件》优秀课件
• 二次函数的特殊形式： • y=ax2 • y=ax2+c • y=a(x-h)2+k
函数的图象及性质
抛物线
开口方 对称轴 顶点 最 增
向
坐标 值 减
性
y = ax2 y = ax2 + k y = a(x – h )2 y = a(x – h )2 + k
a＞0向上 y轴 a＜0向下
(0,0)
y
y
y
y
o x
A
o
o
x
x
B
C
o
的 图象过点（0，5）． （1）求m的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
12.某旅社有客房120间，每间客房的月租金为 50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金， 经市场调查，如果一间客房的日租金增加5元， 则客房每天出租会减少6间，不考虑其它因素， 旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房 日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入 增加多少元？
2.函数y=5(x－3)2－2的图象可由函数y=5x2的图象沿 x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单 位得到.
3.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论k取什么实数， 图象顶点必在（ ）. A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y 轴上
4.将函数y=-x2-2x化为y=a(x-h) 2+k的形式
为
.
5.函数y=-2x2+8x-8的顶点坐标为
.
6.函数y=2x2+8x-8的对称轴为
.
7.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2－4x－1 有相同的顶点，并且在对称轴左侧，y随x的增大而 增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则所求 的二次函数的解析式为（ ）
函数的图象及性质
抛物线
开口方 对称轴 顶点 最 增
向
坐标 值 减
性
y = ax2 y = ax2 + k y = a(x – h )2 y = a(x – h )2 + k
a＞0向上 y轴 a＜0向下
(0,0)
y
y
y
y
o x
A
o
o
x
x
B
C
o
的 图象过点（0，5）． （1）求m的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
12.某旅社有客房120间，每间客房的月租金为 50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金， 经市场调查，如果一间客房的日租金增加5元， 则客房每天出租会减少6间，不考虑其它因素， 旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房 日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入 增加多少元？
2.函数y=5(x－3)2－2的图象可由函数y=5x2的图象沿 x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单 位得到.
3.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论k取什么实数， 图象顶点必在（ ）. A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y 轴上
4.将函数y=-x2-2x化为y=a(x-h) 2+k的形式
为
.
5.函数y=-2x2+8x-8的顶点坐标为
.
6.函数y=2x2+8x-8的对称轴为
.
7.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2－4x－1 有相同的顶点，并且在对称轴左侧，y随x的增大而 增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则所求 的二次函数的解析式为（ ）
第22章《二次函数》复习课PPT课件(人教版)
形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
人教版数学九年级上册22.1.1 二次函数课件(共21张PPT)
二次 函数
注意：a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和 常数项.(自变量的最高次数是2；二次项系数a≠0)
特殊形式
y=ax2 (a ≠0)；y=ax2+bx(a ≠0)； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
方法总结 判断二次函数的方法
1.自变量的最高次数是2次； 2.二次项系数a≠0；
即y = 12x2-2x+9.
例3 在情境2中，若某年级共有4个班参加篮球比赛，那么总共要比 多少场？
解：∵比赛的场次数为m = 1 n(n - 1)， 2
即m = 1 n2 - 1 n. 22
∴代入n=4，得m =6 ∴总共要比6场
随堂练习
1.下列函数关系中，是二次函数的为（ D ） A．在弹性限度内， 弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.B．距离一定时，火车 行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之 间的关系D．圆的面积S与半径之间的关系
围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长 AB 是 x ( 单位：m )，
面积是 S ( 单位：m2 )． BC 是(45 - 3x)cm 0＜45 - 3x≤20 (1) 求 S 与 x 的函数关系式及x的取值范围； -45＜- 3x ≤ -25
S =AB ·BC
≤ x ＜ 15
解：(1) S = x(45 - 3x) = -3x2 + 45x ( ≤ x < 15 ).
解：比赛的场次数为m = 1 n(n - 1)， 2
即m = 1 n2 - 1 n. 22
情境3 悦悦通过调查发现，由于学生参加校运动会的积极性非常高，所以 今年学校增加了每个项目的参赛人数。已知今年有300名同学参赛，今年比 去年的参赛人数增加了t倍，若按照这样的增长速度，预计两年后的参赛人 数f与t之间有怎样的关系？
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y=a(x-h)2+k
（h,k)及 另一点
已知与x
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
轴的两个 交点及另
一个点
2020/3/7
y 0
2020/3/7Βιβλιοθήκη (1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
2020/3/7
本章知识结构图
实际问题
归纳
抽象
二次函数 yax2 bxc
目标
图像 性质
实际问题 的答案
2020/3/7
利用二次函数的图像 和性质求解
一、定义
二、图象特点和性质
三、解析式的求法
四、图象位置与a、 b、c、 的正负关 系
一般地，如果 y=ax2+bx+c(a，b，c
是常数，a≠0)，那么，y 叫做x的二次函数。
一、定义
三、解析式的求法
四、图象位置与a、 b、c、 的正负关 系
2.一般二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象特点和函数性质
2020/3/7
图 2 6 .2 .4
(一) 图象特点:
(1)是一条抛物线；
(2)对称轴是:x=- 2a
(3)顶点坐标是:(- ,2a
)4ac-b2 4a
(4)开口方向:
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
题型分析:
(一)抛物线与x轴、y轴的交点急所构成 的面积
例1:填空： (1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
by x=- 2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
y
•(0,c)
0
2020/3/7
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y
•0 (0,0)
2020/3/7
(1)a确定抛物线的开口方向：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
• • 0
(x1,0)
x
(x2,0)
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
2020/3/7
a>0时,开口向上；
a<0时,开口向下.
2020/3/7
图 2 6 .2 .4
(二) 函数性质：
（函1数）值ay>随0时x的，增对大称而轴减左小侧；(x对<- 称2)a，轴 右侧(x>- )，函数值y随x的增大而增 大 。 2a
a<0时，对称轴左侧(x<- )2，a 函 数值y随x的增大而增大 ；对称轴右
2020/3/7
一、定义
三、解析式的求法
四、图象位置与a、 b、c、 的正负 关系
1.特殊的二次函数
y=ax2 (a≠0)
的图象特点和函数性质
2020/3/7
图 2 6 .2 .1
2020/3/7
(一) 图象特点:
(1)是一条抛物线； (2)对称轴是y轴； (3)顶点在原点； (4)开口方向: a>0时,开口向上； a<0时,开口向下.
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y
b
x=- 2a
0
2020/3/7
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
b x=- 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y 0
2020/3/7
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
•(x,0)
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
2020/3/7
y
0•
2020/3/7
(1)a确定抛物线的开口方向：
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
2020/3/7
b x=- 2a
y 0
2020/3/7
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
侧(x>小。
)，2a函数值y随x的增大而减
（2） a>0时，ymin=
4ac-b2 4a
a<0时，ymax=
4ac-b2 4a
2020/3/7
一、定义
使用
二、图象的特点 和性质
一般式
解析式
范围
y=ax2+bx+c
已知任意 三个点
三、解析式的求法
已知顶点
四、图象位置与a、顶点式 b、c、 的正负 关系
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y
•0 (0,c) 2020/3/7
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
图 2 6 .2 .1
2020/3/7
(二) 函数性质：
（1） a>0时，y轴左侧，函 数值y随x的增大而减小 ； y轴 右侧，函数值y随x的增大而增 大。
a<0时， y轴左侧，函数 值y随x的增大而增大 ； y轴右 侧，函数值y随x的增大而减小 。
（2） a>0时，ymin=0
a<0时，ymax=0