高中数学人教a版选修4-5 第四讲 数学归纳法证明不等式 12含答案
《不等式和绝对值不等式》课件7 (人教A版选修4-5)
a > b,c > d a +c > b+d
（加法法则）
4.a > b, > 0 ac > bc c （可乘性） a > b, < 0 ac < bc c
a > b > 0,c > d > 0 ac > bd （乘法法则）
5. a > b > 0 a > b (n∈N,n >1) 6. a > b > 0 n a > n b
a<b a-b<0 b = a b-a = 0
注:是比较两个数大小的依据
例：比较 x+3(x+7)和(x+ 4)(x+6)的大小。 解：因为 x + 3 (x + 7)-(x + 4)(x + 6)
=(x +10x + 21)-(x +10x + 24) = -3 < 0 所以 x + 3 (x + 7)<(x + 4)(x + 6)
几何解释
b
a b a b
三: 基本不等式
定理2：（基本不等式） a+b 如果a，b 0，那么 ≥ ab， 2 当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
几何平均数
C
几何解释
ab
A
a O D b B
定理：设x,y都是正数，则有 1）若xy = s（定值），则当x = y时,x + y有最小值2 s .
n n
（加法法则） （可乘性）
（乘法法则） （开方性）
5.a = b a = b
高中数学人教a版选修4-5 第四讲 数学归纳法证明不等式 13含答案
学业分层测评（十三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命题总成立的是( )A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立【解析】根据题中条件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因为D中f(4)＝25＞42，故可推得k≥4时，f(k)≥k2，故只有D正确．【答案】 D2．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整数n，都有x n＋x n－2＋x n－4＋…＋1x n－4＋1x n－2＋1x n≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为( )A．n0＝1 B．n0＝2C．n0＝1,2 D.以上答案均不正确【解析】需验证：n0＝1时，x＋1x≥1＋1成立．【答案】 A3．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1<f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )【32750070】A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项【解析】 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1－1， ∴共增加2k 项．【答案】 D4．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >m 24对大于1的一切自然数n 都成立，则自然数m 的最大值为( )A ．12B ．13C ．14D.不存在 【解析】 令f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 易知f(n)是单调递增的，∴f(n)的最小值为f(2)＝13＋14＝712. 依题意712>m 24，∴m<14.因此取m ＝13. 【答案】 B5．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边( )A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1，12k＋2C．增加了B中两项但减少了一项1 k＋1D．以上各种情况均不对【解析】∵n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，∴增加了两项12k＋1，12k＋2，少了一项1k＋1.【答案】 C二、填空题6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．【解析】当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．【答案】21＋1≥12＋1＋27．证明n＋2n＜1＋12＋13＋…＋12n＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________．【解析】当n＝2时，要证明的式子为。
5.3数学归纳法证明不等式2 课件(人教A版选修4-5)
由（1）（2）可知，
－1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n
下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：
（1）验证：n=n0 （n0∈N+） 时命题成立。
奠基
（2）证明：假设n=k （k≥n0）时命题成立， 则n=k+1时命题也成立。
假设与 递推
对所有的n （n0∈N+， n≥n0）命题成立
则当n k 1时，左边＝ 2 2 3 3 4 ... k (k 1) (k 1)(k 2) 1
利用 假设
1 k (k 1)( k 2) (k 1)( k 2) 3 1 ( k 1)( k 1)( k 2) 从n=k到n=k+1有什么变化 3
分析“n=k+1时”命题是什么，并找出 与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应 增加的项。 注意用上假设， • 要作结论
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 （2）假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确 由（1）、（2）得出结论正确
（1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于 与正整数有关的问题。 （2）两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不能成立。 （3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设。
归纳法 可能错误 如何避免？
完全归纳法
穷举法
不完全归纳法
递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉
数学归纳法
数学归纳法的核心思想
数学归纳法主要步骤:
找准起点 奠基要稳
高中数学选修4-5课件：本讲小结4
第四讲数学归纳法证明不等式知识框图—原理数学归纳法|—匚应用方法总结利用数学归纳法证明的几类问题1.有关恒等式的证明问题用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n=k+\时命题成立，从n = k+l的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的变化（即用k+1代替恒等式中的n）.2.有关整除与几何问题数学归纳法可以用来证明有关整除问题，几何方面的问题，证明的关键是寻求＞+1）与/伙）之间的递推关系，基本策略是"硬凑假设”即从金+1）中将张）分离出来，或者从特例入手，发现规律, 或用＞+!）-»看由n=k到”=k+l的变化情况.3.有关不等式的证明问题证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活，它往往结合综合法，分析法，比较法外，放缩法更显得重要，用数学归纳法证明的第二步，由假设_AQ>g伙）成立，推证金+l）>g 伙+ 1）.对这一条件不等式的证明，应灵活运用证明不等式的常用方法，其基本格式为_Ak+l+ A伙）〉g伙）+ A（Q>g伙+1）.具体证明过程中应注意以下几点：(1)瞄准当n=k^ 1时的目标，一切变换都向目标推进;(2)要把假设作为条件用上一次或几次；(3)活用起点的位置.4.有关归纳、猜想、证明问题数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是用不完全归纳法对一些具体的简单的情形进行观察，类比而提出的.他的可靠性就要用数学归纳法来证明，问题一般分为三步进行：验证：(l)P(l), P(2), P(3)…;(2)提出猜想；(3)用数学归纳法证明.简称为“归纳、猜想、证明”，是近几年高考的热点之一.专题探究开放性问题【例1】是否存在常数a, b, c,使得1-22+2-32+342+-fi（n -J-1）+〃（〃+1）2= Y2（初，+%+c）对一切〃WN+都成立？证明你的结论.【分析】此题可用归纳、猜想、证明来思考，先赋给〃值, 看a, b, c是否存在.【解】假设存在心4 C使题设等式成立，令斤=123时,4=6(a + b+c)，解得 a = 3, b=\\, c=10.22=q(4°+2b+c),70 = 9tz + 3b+c,•:当n = 1,2,3 时，等式1-22 + 2-32 + …+ n(n + l)2n(n + 1 )(3/ +11/1+10)12成猜想等式对H GN+都成立.立,12【证明】记5, = b22+2.32+-• +斤(斤+1)2.①当川=1,2,3时，上面已证.②假设兀=£时，猜想等式成立.心+1)(3泾+11£+10)12贝！J当n=k-\-l时,S R +I =S R +伙 +1)伙+2)2= —(3疋+1 \k~\~ 10) + 伙+1)伙+2)2警評伙+2)(3£+5) +伙 +1)伙+2)2当n = k-\r 1时，等式也成立.伙+1)伙+2) 12(3泾 + 5£+12£+24) 伙+1)伙+2) 12[3 伙+1尸+11 伙+1)+10].综上所述，当a = 3, b=ll, 均成立.=10时，题设的等式对nWM规律技巧对于开放性I可题’思路是先假设命题成立（或存在）进行推理，若推出矛盾，说明不存在.【例2】已知数列｛。
人教版高中数学选修4-5练习：第四讲4.2用数学归纳法证明不等式
第四讲数学归纳法证明不等式4.2 用数学归纳法证明不等式A级基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证() A．n＝1B．n＝2C．n＝3 D．n＝4解析：由题意n≥3知应验证n＝3.答案：C2．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1B．2k－1C．2k D．2k＋1解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.故选C.答案：C3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－1＞12764(n∈N＋)成立，其初始值至少应取()A．7B．8 C．9D．10解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案：B4．用数学归纳法证明“1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ≥1124(n ∈N *)”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是( )A.12（k ＋1）B.12k ＋1＋12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1D.12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1－1k ＋2解析：当n ＝k 时，不等式为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ≥1124. 当n ＝k ＋1时，左边＝1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋1（k ＋1）＋（k －1）＋1（k ＋1）＋k ＋1（k ＋1）＋（k ＋1）＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2. 比较n ＝k 与n ＝k ＋1的左边，可知应添加的项为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.答案：C5．若不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＞m24对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为() A．12 B．13C．14 D．不存在解析：令f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以f(n)]max＞m 24，所以由f(2)＞m24，求得m的值．故应选B.答案：B二、填空题6．设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞_______．解析：由贝努利不等式知(1＋x)n＞1＋nx.答案：1＋nx7．设通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k)个部分，则k＋1个平面将空间分成f(k＋1)＝f(k)＋________个部分．答案：2k8．在应用数学归纳法证明“1＋122＋132＋…＋1（n＋1）2＜2n＋1n＋1(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项是________．解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n＝k时，尾项的分母为(k ＋1)2，n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n ＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n ＝k 到n ＝k ＋1只增加了一项，即1（k ＋2）2(k ∈N ＋)． 答案：1（k ＋2）2三、解答题9．求证：1＋12＋13＋…＋1n ≥2n n ＋1. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×11＋1＝1，左式＝右式． 当n ＝2时，左边＝1＋12＝32，右边＝2×22＋1＝43，32＞43， 左边＞右边．故当n ＝1或n ＝2时，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，有1＋12＋13＋…＋1k ≥2k k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k ＋…＋1k ＋1≥2k k ＋1＋1k ＋1＝2k ＋1k ＋1. 因为2k ＋1k ＋1－2（k ＋1）（k ＋1）＋1＝k （k ＋1）（k ＋2）＞0， 所以2k ＋1k ＋1＞2（k ＋1）（k ＋1）＋1＝右边． 由不等式的传递性可得：左边＞右边．故当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ∈N *原不等式都成立．10．设0＜a ＜1，定义a 1＝1＋a ，a n ＋1＝1a n ＋a .求证：对于任意的n ∈N *，都有1＜a n ＜11－a . 证明：(1)当n ＝1时，a 1＞1，又a 1＝1＋a ＜11－a，显然命题成立． (2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立．即1＜a k ＜11－a . 当n ＝k ＋1(k ∈N ＋)时，由递推公式可知a k ＋1＝1a k＋a ＞(1－a )＋a ＝1.同时a k ＋1＝1a k ＋a ＜1＋a ＝1－a 21－a ＜11－a. 所以当n ＝k ＋1(k ∈N ＋)时，命题也成立，即1＜a k ＋1＜11－a. 由(1)(2)可知对于任意的n ∈N ＋，都有1＜a n ＜11－a. B 级 能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项 解析：1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项． 答案：D2．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项a n＝________．解析：可用两种方法求解．法一：分别令n＝1，2，3求出a2＝12，a3＝13，通过不完全归纳法知，a n＝1n.法二：对已知等式因式分解得(n＋1)a n＋1－na n]·(a n＋1＋a n)＝0.由a n＞0知a n＋1a n＝nn＋1，再由累乘法求得a n＝1n.答案：1 n3．设a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N＋成立？证明你的结论．解：法一：a2＝2，a3＝2＋1.再由题设条件知(a n＋1－1)2＝(a n－1)2＋1.从而{ (a n－1)2}是首项为0公差为1的等差数列，故(a n－1)2＝n－1，即a n＝n－1＋1(n∈N*)．法二：a2＝2，a3＝2＋1.可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想a n＝n－1＋1.下用数学归纳法证明上式：当n＝1时结论显然成立．假设n＝k时结论成立，即a k＝k－1＋1，则a k＋1＝（a k－1）2＋1＋1＝（k－1）＋1＋1＝（k＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，则c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14. 下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2＜14＜a 2＜1，结论成立． 假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2，即1＞c ＞a 2k ＋1＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＋1＜1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
5.3数学归纳法证明不等式1 课件(人教A版选修4-5)
思考 1：证明贝努利不等式 如果 x 是实数，且 x 1 ， x 0 ， n 为大于 n 1 的自然数，那么有 (1 x) 1 nx .
注： 事实上， 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立. 当 是实数,且 或 0 时,有 (1 x ) ≥ 1 x ( x 1) 当 是实数,且 0 1 时,有 (1 x ) ≤ 1 x ( x 1)
课外训练:
能被 8 整除.
作业:课本 P 6 题 54 明天开始复习不等式(使用发的资料).
答案
1.求证:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3 1 5 证:(1)当n=1时,左边= 1 2 ,右边= 2 2 2 ,由于 2 4 5 3 ,故不等式成立. 4 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( n N , n ≥ 2). 2 3 n n
证明贝努利不等式你有第二种方法吗？
答案
例4、已知x> 1，且x0，nN*，n≥2．
求证：(1+x)n>1+nx.
证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立 （2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
当n k 1时，不等式成立。 由（1）（2）可知，对一切n N，且n 2，不等式都成立。
3. 用 数学 归 纳法 证明 : An 5n 2 3n1 1(n N * )
能被 8 整除.
证:(1)当 n=1 时,A1 =5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当 n=k 时,Ak 能被 8 整除,即 Ak 5k 2 3k 1 1 是 8 的倍数.那么: Ak 1 5k 1 2 3k 1
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲一数学归纳法
1)· [2(k＋1)－1]．
即n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知对任何n∈N＋等式均成立．
用数学归纳法证明几何问题
例2 平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于
两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证： 这n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分． 【思路点拨】 用数学归纳法证明几何问题，主 要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时分点增加了多 少，区域增加了几块，本题中第k＋1个圆被原来 的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分 分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就 得到了解决．
1 1 1 1 1 1 那么 ＋ 2＋ 3＋„＋ k－1＋ k＋ k＋1 2 2 2 2 2 2 1 1 k＋1 [1－ ] 2 2 1 ＝ ＝1－ k＋1. 1 2 1－ 2 这就是说，当 n＝k＋1 时，等式也成立． 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
【错因】 从形式上看，会认为以上的证明是正确 的，过程甚至是完整无缺的，但实际上以上的证明 却是错误的． 错误的原因在第(2)步， 它是直接利用等比数列的求 1 1 1 和公式求出了当 n＝k＋1 时式子 ＋ 2＋ 3＋„＋ 2 2 2 1 1 1 k－1＋ k＋ k＋1的和，而没有利用“归纳假设”，这 2 2 2 是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误， 要引 以为戒，一定要引起同学们的足够重视．
＝(x＋1)[(x＋1)k＋1 ＋(x＋2)2k－1]＋(x2 ＋3x＋3)· (x ＋2)2k－1. 因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋ 3x＋3整除，所以上面的式子也能被x2 ＋3x＋3整
除．
这就是说，当n＝k＋1时， (x＋1)(k＋1)＋1 ＋(x＋2)2(k＋1)－1 也能被x2 ＋3x＋3整 除． 根据(1)(2)可知，命题对任何n∈N＋都成立．
5.3数学归纳法证明不等式1 课件(人教A版选修4-5)
复习引入
练习答案
思考1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ思考2
作业:课本 P 6 题 54
数学归纳法证明不等式
数学归纳法:
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可 以采用下面方法来证明其正确性： 1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的 n的值，如n0＝1) (归纳奠基） ； 2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也 成立(归纳递推）. 用上假设，递推才真 由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！ 注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
(2)假设n=k( k N , k ≥ 2)时命题成立,即
1 1 1 1 1 2 2 2 2 . 2 3 k k
则当n=k+1时,
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( ) 2 . 2 k (k 1) k k (k 1) k k k 1 k 1 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 n N , n ≥ 2都成立.
若 k 1 个正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 都相等,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立. 若这 k 1 个 正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 不全 相等,则 其中
必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 .
思考 2 证明:如果 n(n 为正整数)个正数 a1 , a2 ,, an 的 乘积 a1a2 an 1 ,那么它们的和 a1 a2 an ≥ n .
注：这一命题与均值不等式是等价的.
你能根据上面不等式推出均值不等式吗？
数学归纳法
那么，当n=k+1时
左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]
=k2+2k+1=(k+1)2=右
即n=k+1时命题成立 由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立
证明:1+3+5+…+(2n1)=n2 . 如下证明对吗？
证明: ①当n=1时,左边＝1，右边＝12＝1 ∴n=1时,命题成立. ②设n=k时,有 1 3 5 (2k 1) k 2 ,
平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条 不过同一点，证明：它们的交点的个数为f(n)＝ 证明：(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个， 又f(2)＝ ×2×(2－1)＝1， .
因此，当n＝2时，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，就是说，平面内满 足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)＝ k(k－1)．现在 来考虑平面内有k＋1条直线的情况．任取其中的一条直线， 记为l(如下图所示)．由上述归纳法的假设，除l以外的其他k 条直线的交点个数为f(k)＝ k(k－1)．
∴能被x＋y整除．
(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2· x2k－x2y2k＋x2y2k－y2· y 2k
＝ x 2(x2k－ y2k) ＋ y2k( x2－ y 2) ．
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．
5.3数学归纳法证明不等式2 课件(人教A版选修4-5)
3、一定要用上假设
练习巩固
4.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1×1×2×3 =2. 命题成立
3
2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
1 n(n + 1)(n + 2) 3
1 k (k 1)( k 2) 3
则当n k 1时，左边＝ 2 2 3 3 4 ... k (k 1) (k 1)(k 2) 1
利用 假设
1 k (k 1)( k 2) (k 1)( k 2) 3 1 ( k 1)( k 1)( k 2) 从n=k到n=k+1有什么变化 3
数学归纳法主要步骤:
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
第一步：验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 第二步：假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确
结论：由（1）、（2）得出结论正确
数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基 础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的 手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法 的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论 不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊 到一般、由有限到无穷。
（1）思考题：问题 1中大球中有很多个小球，如 何证明它们都是绿色的？ 模拟演示 （2）课本作业 P50. 习题4. 1 （3）补充作业: 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 那么an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
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学业分层测评（十二）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设f(n)＝1＋12＋13＋„＋13n－1(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于( )
A.13n＋2 B.13n＋13n＋1
C.13n＋1＋13n＋2 D.13n＋13n＋1＋13n＋2
【解析】 因为f(n)＝1＋12＋13＋„＋13n－1，所以f(n＋1)＝1＋12＋13＋„＋
13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，所以f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋1
3n＋2
.故选D.
【答案】 D
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第
一个值n0等于( )
A．1 B．2
C．3 D.0
【解析】 边数最少的凸n边形是三角形．
【答案】 C
3．已知a1＝12，an＋1＝3anan＋3，猜想an等于( )
【32750066】
A.3n＋2 B.3n＋3
C.3n＋4 D.3n＋5
【解析】 a2＝3a1a1＋3＝37，
a3＝3a2a2＋3＝38，
a4＝3a3a3＋3＝13＝39，
猜想an＝3n＋5.
【答案】 D
4．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)„·(n＋n)＝2n×1×3„(2n－1)时，从
“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1 B.2k＋1k＋1
C．2(2k＋1) D.2k＋2k＋1
【解析】 当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)„·(k＋1＋k＋1)＝(k
＋1)·(k＋2)·(k＋3)„(k＋k)·2k＋12k＋2k＋1＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)„(k＋
k)·2(2k＋1)．
【答案】 C
5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)等于f(k)
加上( )
A.π2 B．π
C．2π D.
3
2
π
【解析】 从n＝k到n＝k＋1时，
内角和增加π.
【答案】 B
二、填空题
6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，„，猜想第n个式
子应为________．
【答案】 1－4＋9－16＋„＋(－1)n－1n2
＝(－1)n＋1·nn＋12
7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋„＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二
步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
【解析】 ∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋„＋2k－1＝2k－1”，
∴n＝k＋1时为使用归纳假设，
应写成1＋2＋22＋„＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.
【答案】 1＋2＋22＋„＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
8．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于
34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________．
【解析】 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋
81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.
【答案】 81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
1－141－191－116„
1－
1
n
2
＝n＋12n(n≥2，n∈N＋)．
【证明】 (1)当n＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.
∴等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，
即1－141－191－116„1－1k2＝k＋12k(k≥2，k∈N＋)．
当n＝k＋1时，
1－141－191－116„1－1k2
1－
1
k＋1
2
＝k＋12k·k＋12－1k＋12＝k＋1k·k＋22k·k＋12
＝k＋22k＋1＝k＋1＋12k＋1，
∴当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．
10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式an－bn都能被a－b整除．
【证明】 (1)当n＝1时，an－bn＝a－b能被a－b整除．