金湖县实验中学高中数学奥赛辅导函数的基本性质(一)
金湖县实验中学高中数学奥赛辅导构造一次方程组的技巧
一、利用同类项的定义构造：例1：已知m n m n b a --319991和1079999+-m n a b 是同类项，则.________22=+n m 二、利用二元一次方程的定义构造： 例2：若243724953=+--++n m n m y x 是二元一次方程，则nm 的值等于________. 三、利用方程组的解的定义构造：例3：若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-5213by ax y ax 的解，求b a 、的值.四、利用相反数的性质构造：例4：已知a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，则.________22=+b a五、利用非负数性质构造：例5：如果实数y x ,满足()022=++-y x x ，那么.________=y x 六、利用多项式恒等性质构造：例6：已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以分解为()()n y x m y x +-++22的形式，那么.________1123=++n m 七、利用一次方程的解的特征构造：例7：已知关于x 的方程()()()15133+=++-x x b x a 有无穷多个解，那么.________________,==b a 八、取特殊值构造：例8：设b ax x x ++-232除以()()12+-x x 所得的余式为12+x ，那么.________________,==b a 九、弱化某些未知数构造：例9：若,073,0452=-+=++z y x z y x 则.________=-+z y x 十、利用新运算的定义构造：例10：对于实数y x ,定义一种新运算*：,c by ax y x ++=*其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算.已知：,2874,1553=*=*那么.________11=*。
高中数学函数的基本性质优质课教案
函数的单调性一、教学目标1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习 函数的紧迫感.二、教学重点与难点重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 三、学法与教学用具1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（一）创设情景，揭示课题1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
函数的基本性质(讲解部分)
y轴 对称
奇函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 关于 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数
2.奇、偶函数的性质
原点 对称
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关于原
点对称的区间上的单调性 (2)在公共定义域内,
相反 .
(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;
例3 求函数f(x)=log1 (-x2-2x+3)的单调区间.
2
解题导引 先求定义域,然后拆分函数式为y=log1 u,u=-x2-2x+3,判断单调性
2
得单调区间.
解析 由已知得-x2-2x+3>0,∴-3<x<1. ∴f(x)的定义域为{x|-3<x<1}.令u=-x2-2x+3.
∵u=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,y=log1 u为
§3.2 函数的基本性质 (讲解部分)
考点清单
考点一 函数的单调性及最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I.区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2
都有① f(x1)<f(x2)
都有② f(x1)>f(x2)
函数f(x)在区间D上是③ 增函数
2
(2)∵f(x)在R上单调递减,
a-1 0,
∴0 a 1,
∴
loga 2 (a-1) 2-2a,
2 ≤a<1.
2
∴a的取值范围为
2 2
高中数学必修一 《3 2 函数的基本性质》多媒体精品课件
(× )
(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为
“存在两个自变量”．
(× )
(3)任何函数都有最大值或最小值．
( × )
(4)函数的最小值一定比最大值小．
( √ )
2.函数 y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的
单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变
量的限制条件,以防出错.
[跟踪训练五]
1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
题型二
利用函数的图象求函数的最值
例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的
最值情况,并写出值域.
3-, ≥ 1,
解:y=-|x-1|+2=
函数图象如图所示.
+
+11,
, < 1,
1,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域
为(-∞,2].
称 M 是函数 y＝f(x)
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最小值
的最大值
几何 f(x)图象上最 高 点
意义
的纵坐标
f(x)图象上最低 点的纵坐标
[点睛] 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y
＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
高中数学必修1三角函数的基本性质
高中数学必修1三角函数的基本性质
三角函数是数学中的重要概念，它在解决几何问题和物理问题
中起着重要的作用。
高中数学必修1中，学生将研究三角函数的基
本性质，包括以下几个方面：
正弦函数的基本性质
1.周期性：正弦函数的周期是360度或2π弧度。
在一个周期内，正弦函数的值呈现规律性变化。
2.奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。
这意味着正弦函数的图像关于原点对称。
3.范围：正弦函数的值域是[-1.1]。
即正弦函数的值在-1和1之
间变化。
余弦函数的基本性质
1.周期性：余弦函数的周期也是360度或2π弧度。
与正弦函数类似，余弦函数的值在一个周期内呈现规律性变化。
2.偶性：余弦函数是偶函数，即满足f(x)=f(-x)。
与正弦函数不
同的是，余弦函数的图像关于y轴对称。
3.范围：余弦函数的值域也是[-1.1]。
正切函数的基本性质
1.周期性：正切函数的周期是180度或π弧度。
在一个周期内，正切函数的值也呈现规律性变化。
2.奇性：正切函数是奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。
正切函数的图像关于原点对称。
3.无定义点：正切函数在90度或π/2弧度、270度或3π/2弧度
等等点处没有定义。
以上是高中数学必修1中三角函数的基本性质的简要介绍。
通
过学习这些基本性质，学生可以更好地理解三角函数的特点和用途，进一步应用于解决实际问题。
高中数学函数的基本性质新人教A版必修市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx
基础知识梳理
(2)设函数y＝f(x)定义域为I，假 如存在实数M，满足：
①对于任意x∈I，都有 f(x)≥.M ②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M . 则称M是f(x)最小值．
第6页
基础知识梳理
2.函数最值与函数值域有何关 系？
【思索·提醒】 函数最值与 函数值域是关联，求出了闭区间上 连续函数值域也就有了函数最值， 但只有了函数最大 (小)值，未必 能求出函数值域．
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课堂互动讲练
(3)定号：依据给定区间和x2－x1 符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－ f(x2))符号．当符号不确定时，能够进 行分类讨论．
(4)判断：依据定义得出结论．
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课堂互动讲练
练习：证实函数 f (x) x 1 , x ,1
数
x
是增函
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课堂互动讲练
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规律方法总结
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规律方法总结
(3)①若f(x)是偶函数，则f(x)＝ f(|x|)，反之亦真．
②若f(x)为奇函数，且0在定义域 内，则f(0)＝0.
③若f(x)＝0且f(x)定义域关于原 点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函 数．
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基础知识梳理
(2)在公共定义域内， ①两个奇函数和是 奇函数，两个奇 函数积是 偶函；数 ②两个偶函数和、积是 偶函；数 ③一个奇函数，一个偶函数积是 奇函数．
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三基能力强化
1．在(－∞，0)上是减函数是( ) 答案：D
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三基能力强化
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在 [a－1,2a]上偶函数，那么a＋b值是 ()
3.奇偶函数定义域有何特点？ 【思索·提醒】 若函数f(x)含 有奇偶性，则f(x)定义域关于原点对 称．反之，若函数定义域不关于原点 对称，则该函数无奇偶性．
江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 构造一次方程组的技巧
- 1 - 一、利用同类项的定义构造：例1：已知m n m n b a --319991和1079999+-m n a b 是同类项，则.________22=+n m 二、利用二元一次方程的定义构造： 例2：若243724953=+--++n m n m y x 是二元一次方程，则nm 的值等于________. 三、利用方程组的解的定义构造：例3：若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-5213by ax y ax 的解，求b a 、的值.四、利用相反数的性质构造： 例4：已知a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，则.________22=+b a五、利用非负数性质构造：例5：如果实数y x ,满足()022=++-y x x ，那么.________=yx 六、利用多项式恒等性质构造：例6：已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以分解为()()n y x m y x +-++22的形式，那么.________1123=++n m 七、利用一次方程的解的特征构造：例7：已知关于x 的方程()()()15133+=++-x x b x a 有无穷多个解，那么.________________,==b a八、取特殊值构造：例8：设b ax x x ++-232除以()()12+-x x 所得的余式为12+x ，那么.________________,==b a九、弱化某些未知数构造：例9：若,073,0452=-+=++z y x z y x 则.________=-+z y x 十、利用新运算的定义构造：例10：对于实数y x ,定义一种新运算*：,c by ax y x ++=*其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算.已知：,2874,1553=*=*那么.________11=*。
高一数学必修1《函数的基本性质》教案
高一数学必修1《函数的基本性质》教案教学目标：1. 理解函数以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和零点。
3. 实现函数的简单变换，例如平移、伸缩和反转等。
4. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学重点：1. 理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，实现函数的简单变换。
3. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学难点：1. 如何理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 如何应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学方法：一、讲授法。
二、探究法。
三、案例分析法。
教学过程：一. 引入新知识(5分钟)：教师简单介绍函数的概念和历史背景，引导学生关注函数在实际生活中的应用，引出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。
二. 讲解函数的概念(10分钟)：1. 函数的定义：任何能够使$x$值唯一对应一个$y$值的规律都称为函数，可以表示为$y=f(x)$。
$x$为自变量，$y$为因变量，函数$f(x)$表示$y$与$x$之间的关系。
2. 函数的图像：函数可以通过绘制它们的图像进行可视化。
函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线。
3. 函数的表示方法：函数可以用表格、图像、公式等多种方式表示。
例如$f(x)=x^2$就是一种表示方式。
三. 掌握函数的基本性质(30分钟)：1. 单调性：单调递增和单调递减；2. 奇偶性：奇函数、偶函数和常函数；3. 周期性：周期函数和非周期函数；4. 零点：零点定义以及求零点的方法。
四. 实现函数的简单变换(10分钟)：1. 平移变换：表示为$f(x-a)$或$f(x)+b$，注意$a$和$b$的正负性；2. 伸缩变换：表示为$f(kx)$或$f(x)/k$，注意$k$的正负性；3. 反转变换：表示为$f(-x)$或$f(-y)$，注意反转后的坐标轴位置变化。
五. 应用函数的基本性质(10分钟)：1. 求函数的最值。
1函数的基本性质(教师版)
第一讲：函数的基本性质1．已知函数()()2,3{1,32xf x x f x x +<=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭则()4f -=（ ）．A. 116B. 18C. 14D. 12【答案】 A【解析】()()()()()41142024216f f f f f ⎛⎫-=-===== ⎪⎝⎭,故选A.2．设函数()4,1{2,1x x a x f x x +<=≥，若243f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a =（ ）A. 23-B. 43-C. 43-或 23-D. 2-或 23-【答案】A【解析】因为213<，所以2284333f a a ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭，若813a +>，即53a >-时， 8324a +=，即8252333a a +=⇒=->-（成立）；若813a +≤，即53a ≤-时，则32443a a ++=，即4533a =->-（舍去），综上23a =-，应选答案A 。
3．函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为（ ）A.B. C. D.【答案】A【解析】因为()()()()2244log xx f x x f x --=--=-，所以函数()()2244log x x f x x -=-是奇函数，又定义域是{|0}x x ≠，且()11222111255244log 3,2,22248f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，应选答案A 。
点睛：本题旨在考查函数的图像的识读和分析推断能力的综合运用。
解答本题的关键是借助函数的图像和基本性质，综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误，求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数，进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确答案。
4．函数 的定义域是（ ）A. B. C.D.【答案】B【解析】函数有意义，则：，解得：或，表示成区间的形式为 .本题选择B 选项.5．已知全集U R =，集合(){|50},{|3}A x x x B x y x =-≥==-，则()U C A B ⋂等于（ ）A. ()0,3B. ()0,5C. φD. (]0,3【答案】D【解析】因为集合(){|50}{|5A x x x x x =-≥=≥ 或0}x ≤ ， {|05}R C A x x ∴=<< ，()(]{|3}{|30}{|3},0,3R B x y x x x x x C A B =-=-≥=≤∴⋂= ，故选D.6．设集合2{|2},{|}M x y x x N x x a ==-=≤，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（） A. 02a ≤≤ B. 0a ≤ C. 2a ≤ D. 2a ≤ 【答案】C 【解析】2{|20}{|02},{|},M x x x x x N x x a M N =-≥=≤≤=≤⊆ ， 2a ∴≤ ，故选C.7．已知函数()2,1{43,1x x f x x x x≤=+->，则()f x 的值域是 A. [)1,+∞ B. [)0,+∞ C. ()1,+∞ D. [)()0,11,⋃+∞【答案】B【解析】当x ≤1时，f (x )∈[)0,+∞，当x>1时，f (x )=x+4x -3≥1，当且仅当x=4x，即x=2时，f (x )取最小值1； 所以f (x )的值域为[)0,+∞.选B.8．函数()()22log 1f x x =-的定义域为（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()2,+∞C. ()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D. ][10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】函数有意义，则： ()22log 10{x x ->> ，求解不等式组可得函数的定义域为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.点睛：函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．9．若函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数12log f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域是（ ）A. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. (]0,2 C. [)2,+∞ D. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【解析】因为()f x 的定义域是[]1,1-，所以121log 1x -≤≤，所以1112221log 2log log 2x ≤≤，所以122x ≤≤，所以函数12log f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A点睛：求函数定义域总是求对应自变量的范围，明确复合函数内外函数范围的关系，如本题中12log x 的值域为[]1,1-，而12log x 中自变量范围为复合函数定义域.10．已知函数()21,0,{1,0,x x f x x +≥=<则满足不等式()()212f x f x ->的x 的范围是（ ）A. ()21B. ()21-C. (21-D. ()21- 【答案】D【解析】()210{10x x f x x +≥=<，，，的图象如下图所示，不等式()()212f x f x ->等价于210{20x x ->≤，或2210{2012x x x x ->>->，，，解得121x -<<-，故选D ．点晴:本题考查的是一元二次不等式的解法和二次函数的单调.解决本题的关键是先根据分段函数的解析式画出分段函数的图象，所以可得210x ->,对2x 分20x ≤和20x >两种情况分别讨论，要注意数形结合和分类讨论思想的应用;再就是解一元二次不等式时，要注意二次项系数的正负，确保结论形式正确.11．已知函数(),1{42,12x a x f x a x x >=⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（） A. ()1,+∞ B. ()1,8 C. [)4,8 D. ()4,8 【答案】C【解析】由题意得11{40482422a aa aa >->⇒≤<≥-+ ，选C. 12．已知函数()()221,1={1log ,(1)x x f x x x +≤->,则满足不等式()()2122f m f m ->-的m 取值范围为（ ）A. （-3,1）B. （32,+∞）C. （-3,1）⋃（32,+∞）D. （-3, 32）【答案】C【解析】当1x ≤ 时， ()21xf x =+ 为增函数，则()1f x > ，当1x > 时， ()21log f x x =- 为减函数，则()()()21,122f x f mf m -- ， 2211{221122m m m m -≤∴-≤->- 或2211{221122m m m m ->->-<- 或211{221m m -≤-> ，解得31m -<< 或32x >，故选C. 13．设函数()f x 是奇函数，对任意的实数,x y ，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时， ()0f x <，则()f x 在区间[],a b 上（ ）A. 有最小值()f aB. 有最大值()f aC. 有最大值2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭ D. 有最小值2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】任取12x x <， 210x x ->，∵当0x >时， ()0f x <，∴()210f x x -< 即()()210f x f x +-<；∵()f x 是奇函数，∴有()()210f x f x -<，∴()()21f x f x < ∴()f x 在R 上递减，∴()f x 在区间[],a b 上有最大值()f a ，最小值()f b ，故选B.点睛：本题以一个抽象函数为例，考查了函数单调性的判断与证明、函数奇偶性等知识点，属于中档题；利用函数单调性的定义，结合题意得()210f x x -<，再结合()()()f x y f x f y +=+，最后利用函数为奇函数得到()()210f x f x -<，得到函数为R 上的减函数．由此不难得到正确选项.14．下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是（ ）A. 2y x = B. 2xy = C. 21log y x= D. sin y x = 【答案】C【解析】A 、2y x =是偶函数，在(),0-∞上单调递减，不满足条件；B 、2xy =是偶函数，在(),0-∞上单调递减，不满足条件；C 、21log y x=是偶函数，在(),0-∞上单调递增，满足条件；D 、sin y x =为奇函数，不满足条件；故选C.15．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：①对于任意的x R ∈ ，都有()()22f x f x +=- ；②函数()2y f x =+是偶函数；③当(]0,2x ∈时， ()1x f x e x =-， ()19415,,24a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. c a b << C. c a b << D. b a c <<【答案】A 【解析】由①得()()()4,1, 1.5, 1.75T a f b f c f =∴=-==- ，由②得()()()()()224f x f x f x f x f x +=-+⇒=-=- ，所以()()1, 1.75a f c f ==因为当(]0,2x ∈时， ()1x f x e x=-单调递增，所以()()()1 1.5 1.75,f f f a b c <<<<，选A.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“”f ，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.16．若()()3,1{log ,1a a x a x f x x x --<=> 是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）.A. ()1,+∞B. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (),3-∞D. ()1,3【答案】B 【解析】由题意得()303{132log 13a a a a a a->>⇒≤<≥-- ，选B. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[],a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 17．设a ＝3log 132，b ＝log 1213 ，c ＝23 ，则下列结论正确的是( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. b <c <a【答案】B 【解析】()0,1,0,1a b c a c b ∈∴<< ，选B.18．函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以去掉D,因为当0x > 时22112,02x x x x x y y x e e ++=='-=⇒= ，所以当()0,2x ∈ 时0y '> ，去掉B;当()2,x ∈+∞ 时0y '< ，去掉C ，因此选A.19．定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222xxf xg x -+=-+，则()2f =（ ）A. 2B. 154C. 4D. 174【答案】B 【解析】因为()()2223222224f g -+=-+=，()()()()2222722222222224f g f g ---+-=-+⇒-+=-+=-所以()2371544224f +== ，选B.20．已知函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时， ()22f x x x =-，则当0x <时，函数()f x 的解析式为（ ）A. ()()2f x x x =-+B. ()()2f x x x =-C. ()()2f x x x =--D. ()()2f x x x =+ 【答案】A【解析】因为函数()y f x =在0x ≥时，()22f x x x =-，所以0x <时， 0x ->，所以22()()2()2f x x x x x -=---=+，因为函数是奇函数，所以22()()(2)2f x f x x x x x -=-=-+=--，所以选A点睛：本题考察分段函数的性质，注意每段函数所对应的范围为其切入点.21．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递增，若实数a 满足()()124a f f ->，则a 的取值范围是（ ）A. (),1-∞-B. ()(),13,-∞⋃+∞C. ()1,3-D. ()3,+∞ 【答案】C【解析】由函数的单调性结合函数为偶函数可得，不等式转化为： 124,1|2a a -∴-<，求解关于实数a 的不等式，可得a 的取值范围是()1,3- .本题选择C 选项.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．22．函数的定义域为实数集，，对于任意都有，若在区间内函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】试题分析：由得函数的周期为，当时；当时，．所以可得函数在的图象．由在区间函数恰有三个不同的零点知与在区间有三个交点，两函数的图象如下图所示，当过点时有最大值；当过点时有最小值，得，故选B.考点：分段函数；函数的周期性；函数的图象． 23．设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，则方程的根落在区间（ ） A. B. C.D. 不能确定 【答案】B【解析】试题分析：方程的解等价于的零点.由于在上连续且单调递增，所以在内有零点且唯一，所以方程的根落在区间，故选B ．考点：函数的零点．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点的判定与应用，其中熟记函数零点的判定方法和函数零点的存在性定理是解答此类问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，属于基础题，本题的解答中，方程的解等价于的零点，利用函数零点的存在定理，即可得到零点的区间，得到结论． 24．已知()3221xa f x =-+是R 上的奇函数，则()f a 的值为（ ） A. 76 B. 13 C. 25 D. 23【答案】A【解析】因为()3221xa f x =-+是R 上的奇函数， 所以()30022a f =-=，得3a =, ()33221x f x =-+.()()3373296f a f ==-=.故选A.25．若函数()()lg 101xf x ax =++是偶函数， ()42x xbg x -=是奇函数，则a b +的值是（ ）A. 12B. 1C. 12- D. -1【答案】A【解析】对于偶函数()f x 有()f x -= ()f x ，所以()()()()11lg 1011lg 101f a f a --=+-==++，解得12a =-；对于定义域为R 的奇函数()g x ， ()010gb =-=，解得1b =，所以11122a b +=-+=.故本题正确答案为A.。
高一数学必修2 函数的基本性质——奇偶性
高一数学必修2函数的基本性质——奇偶性（一）、基本概念及知识体系：教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。
教学重点：熟练判别函数的奇偶性。
教学难点：理解奇偶性。
教学过程：一、复习准备：1.提问：什么叫增函数、减函数？★2.指出f(x)＝2x 2－1的单调区间及单调性。
→变题：|2x 2－1|的单调区间★3.对于f(x)＝x 、f(x)＝x 2、f(x)＝x 3、f(x)＝x 4，分别比较f(x)与f(－x)。
二、讲授新课：1.教学奇函数、偶函数的概念：①给出两组图象：()f x x =、1()f x x=、3()f x x =；2()f x x =、()||f x x =. 发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征② 定义偶函数：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function ）的定义.（如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数。
④ 讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体性） ⑤ 练习：已知f(x)是偶函数，它在y 轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。
2.教学奇偶性判别：●例1：判别下列函数的奇偶性：f(x)＝34x 、f(x)=43x 、f(x)＝－4x 6＋5x 2、f(x)＝3x ＋31x 、f(x)＝2x 4-＋3。
★ 判别下列函数的奇偶性：f(x)＝|x ＋1|+|x －1| f(x)＝23x 、f(x)＝x ＋x 1、 f(x)＝21xx +、f(x)＝x 2,x ∈[-2,3] ③ 小结奇偶性判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法判别f(x)与f(-x)的关系。
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1 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C
2. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤23时，f(x)＝x，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )
A.150 B.2303 C.152 D.2305
提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝23对称
利用中点坐标公式，这100个根的和等于23×100＝150 所有101个根的和为23×101＝2303.选B 4. 实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x1998＋6sin5y＝______________. 解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x－sin(xy))2＋cos2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7
5. 已知x＝9919是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x－9919 2
∴ x2－219x＋19＝99 即 x2－80＝219x 再平方得x4－160x2＋6400＝76x2 即 x4－236x2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c＝6400 b＋c＝6164 6. 已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b2－4ac≥0 ① f⑴＝a＋b＋c＞1 ② f(0)＝c＞1 ③
0＜－a2b＜1 ④ b2≥4ac b＞1－a－c c＞1 b＜0(∵ a＞0)
于是－b≥2ac
所以a＋c－1＞－b≥2ac ∴ (ca)2＞1 ∴ ca＞1 于是ca＋1＞2 ∴ a＞4 证法二：设f(x)的两个根为x1，x2， 则f(x)＝a(x－x1)(x－x2) f⑴＝a(1－x1)(1－x2)＞1 f(0)＝ax1x2＞1 由基本不等式
x1(1－x1)x2(1－x2)≤[41(x1＋(1－x1)＋x2＋(1－x2))]4＝(41)2
∴ 16a2≥a2x1(1－x1)x2(1－x2)＞1 ∴ a2＞16 ∴ a＞4
7. 已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M，求证：M≥21. 3
解：M＝|f(x)|max＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－2a)|} ⑴若|－2a|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M＝max{|f⑴|，|f(－1)|} 而f⑴＝1＋a＋b f(－1)＝1－a＋b |f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2
∴ M≥2＞21
⑵|－2a|＜1 M＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－2a)|} ＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－4a2＋b|} ＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－4a2＋b|，|－4a2＋b|} ≥41(|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－4a2＋b|＋|－4a2＋b|) ≥41[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－4a2＋b)－(－4a2＋b)] ＝)2a2(412 ≥21 综上所述，原命题正确. 8. ⑴解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0
⑵解方程：2)1x(222221)1x(1x1x4x2 ⑴解：原方程化为(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0 即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x) 构造函数f(x)＝x2001＋x 原方程等价于f(x＋8)＝f(－x) 而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数 于是有x＋8＝－x x＝－4为原方程的解 ⑵两边取以2为底的对数得 4
x)1xx(log)x(f)1x()1)1x(1x(logx2)1x4x2(log1x2x)1)1x(1x(log)1x4x2(log)1x(1)1x(1x1x4x2log2222222222222222222222构造函数即即 于是f(2x)＝f(x2＋1) 易证：f(x)世纪函数，且是R上的增函数， 所以：2x＝x2＋1 解得：x＝1
9. 设f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求41[f⑷＋f(0)]的值. 解：由已知，方程f(x)＝x已知有三个解，设第四个解为m， 记 F(x)＝f(x)－x＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m) ∴ f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)＋x f⑷＝6(4－m)＋4 f(0)＝6m
∴ 41[f⑷＋f(0)]＝7
10. 设f(x)＝x4－4x3＋213x2－5x＋2，当x∈R时，求证：|f(x)|≥21 证明：配方得： f(x)＝x2(x－2)2＋25(x－1)2－21
＝x2(x－2)2＋25(x－1)2－1＋21 ＝(x2－2x)2＋25(x－1)2－1＋21 ＝[(x－1)2－1]2＋25(x－1)2－1＋21 ＝(x－1)4－2(x－1)2＋1＋25(x－1)2－1＋21 ＝(x－1)4＋21(x－1)2＋21 ≥21 练习： 1. 已知f(x)＝ax5＋bsin5x＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝( ) A.3 B.－3 C.5 D.－5 解：∵ f⑴＝a＋bsin51＋1＝5 设f(－1)＝－a＋bsin5(－1)＋1＝k 相加：f⑴＋f(－1)＝2＝5＋k 5
∴ f(－1)＝k＝2－5＝－3 选B 2. 已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值. 解：构造函数f(x)＝x2001＋x，则f(3x＋y)＋f(x)＝0 逐一到f(x)的奇函数且为R上的增函数， 所以3x＋y＝－x 4x＋y＝0
3. 解方程：ln(1x2＋x)＋ln(1x42＋2x)＋3x＝0 解：构造函数f(x)＝ln(1x2＋x)＋x 则由已知得：f(x)＋f(2x)＝0 不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略) 所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x) 由函数的单调性，得x＝－2x 所以原方程的解为x＝0 4. 若函数y＝log3(x2＋ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围是______________. 解：函数值域为R，表示函数值能取遍所有实数， 则其真数函数g(x)＝x2＋ax－a的函数值应该能够取遍所有正数 所以函数y＝g(x)的图象应该与x轴相交 即△≥0 ∴ a2＋4a≥0 a≤－4或a≥0 解法二：将原函数变形为x2＋ax－a－3y＝0 △＝a2＋4a＋4·3y≥0对一切y∈R恒成立
则必须a2＋4a≥0成立 ∴ a≤－4或a≥0
5. 函数y＝8x4x5x4x22的最小值是______________. 提示：利用两点间距离公式处理 y＝2222)20()2x()10()2x( 表示动点P(x，0)到两定点A(－2，－1)和B(2，2)的距离之和 当且仅当P、A、B三点共线时取的最小值，为|AB|＝5
6. 已知f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝x的两根为x1，x2，a＞0，x1－x2＞a1，若0＜t＜x1，试比较f(t)与x1的大小. 解法一：设F(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c， ＝a(x－x1)(x－x2) ∴ f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x 作差：f(t)－x1＝a(t－x1)(t－x2)＋t－x1 ＝(t－x1)[a(t－x2)＋1]
＝a(t－x1)(t－x2＋a1)