线性代数考研习题_二维随机变量
《概率论与数理统计(经管类)》综合测验题库
《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题1.α=0.01，请根据下表推断显著性（ ）(已知F 0.05（1,8）=5.32)A.无法判断B.显著C.不显著D.不显著，但在α=0.01显著2.某批产品中有20%的次品，现取5件进行重复抽样检查，那么所取5件中有3件正品的概率为( )3.已知二维随机变量（X ，Y ）的分布密度为，那么概率=（ ）A.1/18B.4/18C.5/18D.7/184.已知二维随机变量（X ，Y ）的分布密度为那么=（）A.1/24B.2/24C.3/24D.5/245.已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为那么=（）A.1/8B.2/8C.3/8D.4/86.设随机变量（X,Y）的概率密度为那么（）A.3/5B.2/5C.4/5D.17.随机变量（X,Y）的概率密度为那么=（）A.0.65B.0.75C.0.85D.0.958.设随机变量（X,Y）的概率密度为那么（X,Y）的分布函数为（）9.在线性回归模型，则对固定的x，随机变量y的方差D（y）＝（）10.某种金属的抗拉程度y与硬度x之间存在相关关系，现观测得20对数据（x i，y i）（i=1，2，…，20），算得求y对x的回归直线（）11.设正态总体（）12.设总体X的分布中含有未知参数，由样本确定的两个统计量，如对给定的，能满足，则称区间（）为的置信区间13.设是来自总体X样本，则是（）.A.二阶原点矩B.二阶中心矩C.总体方差D.总体方差的无偏估计量14.下类结论中正确的是（）A.假设检验是以小概率原理为依据B.由一组样本值就能得出零假设是否真正正确C.假设检验的结构总是正确的D.对同一总体，用不同的样本，对同一统计假设进行检验，其结构是完全相同的15.统计推断的内容是（）A.用样本指标推断总体指标B.检验统计上的“假设”C.A、B均不是D.A、B均是16.关于假设检验，下列那一项说法是正确的（）A.单侧检验优于双侧检验B.采用配对t检验还是成组t检验是由实验设计方法决定的C.检验结果若P值大于0.05，则接受H0犯错误的可能性很小D.用u检验进行两样本总体均数比较时，要求方差相等17.以下关于参数估计的说法正确的是（）A.区间估计优于点估计B.样本含量越大，参数估计准确的可能性越大C.样本含量越大，参数估计越精确D.对于一个参数只能有一个估计值18.设总体,x1,x2,x3是来自X的样本，则当常数a=（）时候，=1/3x1+ax2+1/6x3是未知参数的无偏估计A.-1/2B.1/2C.0D.119.矩估计具有（）A.矩估计有唯一性B.矩估计具有“不变性”C.矩估计不具有“不变性”D.矩估计具有“稳定性”20.区间的含义是（）A.99%的总体均数在此范围内B.样本均数的99%可信区间C.99%的样本均数在此范围内D.总体均数的99%可信区间21.当样本含量增大时，以下说法正确的是（）A.标准差会变小B.样本均数标准差会变小C.均数标准差会变大D.标准差会变大22.设X1,X2独立，且X1～N（2,3）,X2～N（3,6）,那么服从（）分布A.B.C.正态分布D.t（2）23.如果X～F（3,5）,那么1/ F（3,5）服从（）分布A.F（5,2）B.F（2,5）C.F（5,3）D.无法知道24.一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为（20时产品合格，试求产品合格的概率（）A.0.2714B.0.3714C.0.4714D.0.571425.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米,现从这批木柱中随机取出100根,问其中至少有30根短于3米的概率是（）A.0.0052B.0.0062C.0.0072D.0.008226.设各零件的重量是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布,其数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是（）A.0.0593B.0.0693C.0.0793D.0.089327.计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。
《线性代数与概率统计》压轴复习
《线性代数与概率统计》考前辅导大纲一、单项选择题1．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( )。
(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-答案：B2.A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
(A)22A A = (B)))((22B A B A B A +-=- (C)AB A A B A -=-2)( (D) T T T B A AB =)(答案：A3.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则( )。
(A) A 中两行(列)对应元素成比例(B) A 中任意一行为其它行的线性组合(C) A 中至少有一行元素全为零(D) A 中必有一行为其它行的线性组合答案：D4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）。
（A ）r(A)=r<n (B)A 的列秩为n(C)A 的每一个行向量都是非零向量 (D)A 的伴随矩阵存在答案：B5.设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（ ）。
(A) ()r A m < (B) ()r A n <(C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =<答案：D6.如果（）成立，则事件,A B 互为对立事件....()()1A AB B AB C AB A B D P A P B =Φ=Ω=Φ⋃=Ω+=且答案：C7.若X 的概率密度为02()4240x x f x xx ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它，则{3}P X ≤=（） .3/2A .5/2B .7/2C .4D答案：C8.设随机变量),(~p n B X ，则方差var()X =（）.A np .(1)B n p - 2.C np .(1)D np p -答案：D9.满足以下（ ）条件，n 阶矩阵A 不一定可逆。
A. n A r =)(；B. A 的每个行向量都是非零向量；C. A 的列秩为n ；D. 0≠x 时，0≠Ax ，其中()Tn x x x x 21=。
2021年考研数学一真题及答案
2005年考研数学一真题欧阳光明(2021.03.07)填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分。
答案写在题中横线上)x2(1)曲线y=莎刁的斜渐近线方程为。
1 1［答案l y = ^-4【解析】_ 1 1所以斜渐近线方程为7 =^-401 1综上所述，本题正确答案是y =^-4o【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸性.拐点及渐近线(2)微分方程兀"+ 2y »屁满足以1)=-話勺解为。
［答案】y -押处_ 9%【解析】原方程等价于y+2、lnx所以通解为将y(i)=鳥代入可得c = °综上所述，本题正确答案是y =^/nx"k【考点】高等数学一常微分方程一一阶线性微分方程2 2 2(3)设函数u(x,y,z) = 1 +石+正+码单位向量九=乔｛I」」｝,贝［］du1 1+「希V3综上所述，本题正确答案是三。
【考点】高等数学一多元函数微分学一方向导数和梯度（4）设°是由锥面Z =与半球面z = J" _X 2_『围成的空间区域，，是"的整个边界的外侧，则If xdydz + ydzdx + zdxdy =Zo【答案】2*（1-字）R ： 【解析】综上所述，本题正确答案是W-T ）«3O【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲面积分的概念、 性质及计算（5）设旳，％也均为三维列向量，记矩阵力=（旳，也°） 如果⑷=1,那么⑹=。
【答案】2。
【解析】 【方法一】 【方法二】dn (1,2,3) 一o£【答案】丁。
【解析】du x du y du 因为 Ox— 3f dy ~ 6f dzdu1 1所以乔(1,2,3) =3 •蔚两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以 综上所述，本题正确答案是2。
【考点】线性代数一行列式T 亍列式的概念和基本性质，行列 式按行(列)展开定理(6) 从数1234中任取—个数记为X,再从1,2,…,X 中任一个数,记为侦］P{Y = 2} = o13【答案】屁。
数一考研数学知识点归纳
【海文考研数学】：考研数学知识点归纳2008 年总考点数：50个。
其中高等数学25个。
线性代数11个。
概率论与数理统计14个。
2009 年2010年考研数一真题知识点分布计难所属知识点大纲要求类型题型算度科目量技巧%@高等12个特殊极限掌握利用两个重要极限求极限的方法计算型%@数学掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的多元复合函数求法；O/2求导；会求分段函数的导数，会求隐函数和由常规计算%O/@高等Mr当隐函数求导法参数方程所确定的函数以及反函数的%数学导数%@反常积分的收%@超纲分析计高等3敛性了解反常积分的概念，会计算反常积分%@题目算数学（审敛法）%@%@定积分的定义概念%@高等4理解不定积分与定积分的概念常规求极限理解%@数学理解矩阵的秩的概念，掌握用初基础线性5矩阵秩的性质常规%@等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法概念代数矩阵的特征值的定义；理解矩阵的特征值和特征向量的@6实对称矩阵相概念及性质，会求矩阵的特征值和特征常规概念%@线性理解代数似对角化的结向量@论理解随机变量的概念，理解分布函数的随机变量的分概念及性质，会计算与随机变量相联系布函数；基础概%@概率7的事件的概率；常规概率的加法公念应用%@统计掌握概率的加法公式、减法公式、乘法工式公式、全概率公式以及贝叶斯公式常用分布（均匀理解离散型随机变量及其概率分布的刀布，正态刀概念，掌握0—1分布、二项分布B基础概%@概率8的密度函数；常规（n,p）、几何分布、超几何分布、泊松念应用%@统计概率密度函数（Poisson）分布及其应用。
的性质（归一性）9参数方程求导了解高阶导数的概念，会求简单函数的常规，综合%@高等法； 高阶导数；技巧计算%@数学积分上限的函理解积分上限的函数，会求它的导数型@数的导数高阶导数定积分的换元 掌握不定积分和定积分的性质及定积%%@ 高等 数学10 积分法；分中值定理，掌握换元积分法与分部积 常规计算@分部积分法分法。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A3=O，则( )A．E—A不可逆，E＋A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E—A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C解析：利用单位矩阵E，将A3=O变形为E—A3=E和A3+E=E，进一步分解为(E—A)(E＋A＋A2)=E一A3=E，(E＋A)(E—A＋A2)=E+A3=E，则E—A，E+A均可逆。
2．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )A．交换A*的第1列与第2列得B*。
B．交换A*的第1行与第2行得B*。
C．交换A*的第1列与第2列得一B*。
D．交换A*的第1行与第2行得一B*。
正确答案：C解析：由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A=B，由于A可逆，可知B也可逆，故B*=(E12A)*一｜E12A｜(E12A)－1=一｜A｜A－1E12－1=一A*E12－1，即A*E12=－B*，故选C。
3．设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P－1AP=。
若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q－1AQ=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：4．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。
B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。
D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。
正确答案：D5．设向量组，α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( ) A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关。
线性代数与概率统计
1、每张奖券中尾奖的概率为，某人购买了20张号码杂乱的奖券，则中尾奖的张数服从( )分布。
A. 二项正确:【A】2、设随机变量的方差，利用切比雪夫不等式估计（）A.B.C.D.正确:【A】3、下列矩阵中，不是二次型矩阵的是（）A.B.C.D.正确:【D】4、实二次型的矩阵，若此二次型的正惯性指数为3，则（）A.B.C.D.正确:【C】5、在假设检验中，设服从正态分布，未知，假设检验问题为，则在显著水平下，的拒绝域为（）A.B.C.D.正确:【B】6、矩阵（）合同于A.B.C.D.正确:【A】7、设总体，是总容量为2的样本，为未知参数，下列样本函数不是统计量的是（）A.B.C.D.正确:【D】8、设随机变量的，用切比雪夫不等式估计（）A. 1B.C.D.正确:【D】9、A. 0B.C.D.正确:【C】10、A.B.C.D.正确:【D】11、某人打靶的命中率为0.4，现独立的射击5次，那么5次中有2次命中的概率为（）A.B.C.D.正确:【C】12、A.B.C.D.正确:【D】13、设服从参数为的泊松分布，则下列正确的是（）A.B.C.D.正确:【D】14、已知和是线性方程组的两个解，则系数矩阵是（）A.B.C.D.正确:【C】15、A.B.C.D.正确:【B】16、若都存在，则下面命题正确的是（）A. 与独立时，B. 与独立时，C. 与独立时，D.正确:【C】17、下列各函数中是随机变量分布函的为（）A.B.C.D.正确:【B】18、设为二维连续随机变量，则和不相关的充分必要条件是（）A. 和相互独立B.C.D.正确:【C】19、设是三阶方阵的三个特征值，对应特征向量分别为，且存在可逆矩阵，使得，则（）A.B.C.D.正确:【B】20、设是的两个不同的特征值，又与是属于的特征向量，则与（）正确:【B】21、设是从正态总体中抽取的一个样本，记则服从（）分布A.B.C.D.正确:【C】22、设总体服从两点分布：为其样本，则样本均值的期望（）A.B.C.D.正确:【A】23、设随机变量和的密度函数分别为若与相互独立，则（）B.C.D.正确:【D】24、设总体，其中已知，为来自总体的样本，为样本均值，为样本方差，则下列统计量中服从分布的是（）A.B.C.D.正确:【D】25、设二维随机变量，则（）A.B. 3C. 18D. 36正确:【B】26、A. 2B.C.D.正确:【D】27、已知是阶方阵，且，则的个行向量中（）A. 任意个行向量线性无关B. 必有个行向量线性无关C. 任一行向量都可由其余个行向量线性表出D. 任意个行向量都为极大无关组正确:【B】28、齐次线性方程组的自由未知量为（）A.B.C.D.正确:【C】29、对于正态分布，抽取容量为10的样本，算得样本均值，样本方差，给定显著水平，检验假设 .则正确的方法和结论是（）A. 用检验法，查临界值表知，拒绝B. 用检验法，查临界值表知，拒绝C. 用检验法，查临界值表知，拒绝D. 用检验法，查临界值表知，拒绝正确:【C】30、A.B.C.D.正确:【B】31、设随机事件A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且，则（）A. 0.5B.C.D.正确:【B】32、A.B.C.D.正确:【A】33、设随机事件A与B相互独立，，则（）A. 0.6正确:【D】34、为任意两事件，若之积为不可能事件，则称与（）A. 相互独立B. 互不相容C. 互为独立事件D. 为样本空间的一个部分正确:【B】35、设总体服从泊松分布：，其中为未知参数，为样本，记，则下面几种说法正确的是（）A. 是的无偏估计B. 是的矩估计C. 是的矩估计D. 是的矩估计正确:【D】36、已知为阶方阵，以下说法正确的是（）A.B. 的全部特征向量为的全部解C. 若有个互不相同的特征值，则必有个线性无关的特征向量D. 若可逆，而矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵属于特征值的特征向量正确:【B】37、设总体，为样本均值，为样本方差，样本容量为，则以下各式服从标准正态分布的是（）A.B.C.D.正确:【A】38、A.B.C.D.正确:【A】39、A.B.C.D.正确:【A】40、设，则（）A.B.C.D.正确:【D】1、下列矩阵是正定矩阵的是（）A.B.C.D.正确:【C】2、从一批产品中随机抽两次，每次抽1件。
考研数学二(线性代数)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）模拟试卷50(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．A，B是n阶可逆方阵，则下列公式正确的是( )A．(A2)-1=(A-1)2B．(A+B)-1=A-1+B-1C．(A+B)(A—B)=A2一B2D．(kA)-1=kA-1(k≠0)正确答案：A解析：(A)中，(A2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2；(B)不成立，例：B=一A，A+B不可逆；(C)中，若AB≠BA，则BA一AB≠O；(D)中，不一定等于kA-1．涉及知识点：线性代数2．设A是n阶方阵，且A3=O，则．( )A．A不可逆，且E一A不可逆B．A可逆，但E+A不可逆C．A2一A+E及A2+A+E均可逆D．A不可逆，且必有A2=O正确答案：C解析：因A3=O，有E3+A3=(E+A)(A2一A+E)=E，E3一A3=(E—A)(A2+A+E)=E，故A2-A+E及A2+A+E均可逆，(C)正确．由以上两式知，E-A，E+A也均可逆，故(A)，(B)不成立．(D)不成立，例有但知识模块：线性代数3．A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|= ( )A．|A|B．|A-1|C．|A-1|D．|An|正确答案：C解析：由AA*=|A|E，两边取行列式，得|A||A*|=|A|n 若|A|≠0，|A*|=|A|n-1=|An-1|；若|A|=0，则|A*|=0，故选(C)．知识模块：线性代数4．设A是n阶可逆方阵(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则(A*)*= ( ) A．|A|n-1AB．|A|n+1AC．|A|n-2AD．|A|n+2A正确答案：C解析：由AA*=|A|E，得A*(A*)*=|A*|E，(A*)*=|A*|(A*)-1，其中故知识模块：线性代数5．A是n阶矩阵，|A|=3．则|(A*)*|= ( )A．3(n-1)2B．3n2-1C．3nn2一nD．3n-1正确答案：A解析：因|A|=3，A可逆，则A*(A*)*=|A*|E，所以|(A*)*|=||A|n-2A|=|A|n-2n|A|=|A|n2-2n+1=3(n-1)2．知识模块：线性代数6．设An×n是正交矩阵，则( )A．A*(A*)T=|A|EB．A*TA*=|A*|EC．A*(A*)T=ED．(A*)TA*=一E正确答案：C解析：因为A是正交矩阵，则有，A*(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E．知识模块：线性代数7．设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是( )A．(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B．(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2C．(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D．(A+E)2=A2+2AE+E2正确答案：B解析：由矩阵乘法的分配律可知：(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，因此，(A+B)2=A2+2AB+B2的充要条件是BA=AB，也即A，B的乘积可交换．由于A与A-1，A与A*以及A与B都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的．故选(B)．知识模块：线性代数8．设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij 的代数余子式，则下列结论：①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为( ) A．lB．2C．3D．4正确答案：B解析：由aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A*=AT，那么|A*|=|AT|，也即|A|2=|A|，即|A|(|A|一1)=0．又由于A为非零矩阵，不妨设a11≠0，则|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132>0，故|A|=1．因此，A可逆．并且由AAT=AA*=|A|E=E，可知A是正交矩阵，故①，④正确，③错误．从题目中的条件无法判断A是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)．知识模块：线性代数9．设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m＞n，则必有( )A．|AB|=0B．|BA|=0C．|AB|=|BA|D．||BA|BA|=|BA||BA|正确答案：A解析：由于m>n，则有r(AB)≤r(A)≤nP为3阶非零矩阵，且满足PQ=O，则( )A．t=6时，P的秩必为1B．t=6时，P的秩必为2C．t≠6时，P的秩必为1D．t≠6时，P的秩必为2正确答案：C解析：“AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为：①Am×sBs×n=Or(A)+r(B)≤s；②Am×sBs×n=O组成B的每一列都是Am×sX=0的解向量．对于本题，PQ=Or(P)+r(Q)≤31≤r(P)≤3一r(Q)．当t=6时，r(Q)=11≤r(P)≤2r(P)=1或2，则(A)和(B)都错；当t≠6时，r(Q)=21≤r(P)≤1r(P)=1．故选(C)．知识模块：线性代数11．设若r(A*)=1，则a= ( )A．1B．3C．1或3D．无法确定正确答案：C解析：由r(A*)=1，得r(A)=3，则|A|=0，即得a=1或3，且此时均满足r(A)=3，故选(C)．知识模块：线性代数填空题12．已知A，B为3阶相似矩阵，λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，行列式|B|=2，则行列式正确答案：解析：设λ3为A的另一特征值．则由A～B知，|A|=|B|=2，且又λ1λ2λ3=|A|=2，可见λ3=1，从而A，B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1．于是有|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，|(2B)*|=|22B|=43|B|=43|B|2=256，故知识模块：线性代数13．已知AB—B=A，其中则A=_________．正确答案：解析：知识模块：线性代数14．设A为奇数阶矩阵，AAT=ATA=E，且|A|＞0，则|A—B|=_____________．正确答案：0解析：由题知|A—E|=|A—AAT|=|A(E-AT)|=|A||(E-A)T|=|A||E-A|．又由于AAT=ATA=E，可知|A|2=1．又由|A|>0，可知|A|=1．又A为奇数阶矩阵，故|E 一A|=|一(A—E)|=一|A—E|，从而有|A—E|=一|A—E|，可知|A—E|=0．知识模块：线性代数15．设α=[1，2，3]，A=αTβ，则An=__________．正确答案：解析：因故An=(αTβ)n=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)=αT(βαT)(βαT)…(βαT)β=3n-1A．知识模块：线性代数16．设则Bn=__________．正确答案：解析：因故Bn=(αTα)n=(αTα)(αTα)…(αTα)=αT(ααT)…(ααT)α=14n-1B．知识模块：线性代数17．设n≥2为正整数，则An-2An-1=__________．正确答案：O解析：因故An=2An-1，An一2An-1=O．知识模块：线性代数18．A，B均为n阶矩阵，|A|=一2，|B|=3，则||B|A-1|=____________．正确答案：解析：因|A|=一2，|B|=3，故知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．行列式=( )A．(ad一bc)2。
B．一(ad一bc)2。
C．a2d2一b2c2。
D．一a2d2+b2c2。
正确答案：B解析：由行列式的展开定理展开第一列。
=一ad(ad一bc)+bc(ad—bc)=一(ad一bc)2。
故选B。
知识模块：线性代数2．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )A．E一A不可逆，E+A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E—A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C解析：(E—A)(E+A+A2)=E一A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。
故E—A，E+A均可逆。
知识模块：线性代数3．设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )A．E一ααT不可逆。
B．E+ααT不可逆。
C．E+2ααT不可逆。
D．E一2ααT不可逆。
正确答案：A解析：由α是n维单位列向量可知(ααT)α=α(αTα)=α，且1≤r(ααT)≤r(α)=1，即1是矩阵ααT的特征值，且r(ααT)=1，所以ααT的特征值为0(n一1重)和1。
矩阵E一ααT的特征值为1(n一1重)和0，则E一ααT不可逆。
E+ααT的特征值为1(n一1重)和2，E+2ααT的特征值为1(n 一1重)和3，E一2ααT的特征值为1(n一1重)和一1，三者的矩阵行列式均不为零，因此均可逆。
不可逆的只有A选项。
知识模块：线性代数4．设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A 的转置矩阵。
若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为( ) A．。
B．3。
C．。
D．。
正确答案：A解析：由A*=AT及AA*=A*A=｜A｜E，有aij=Aij，i，j=1，2，3，其中Aij，为aij的代数余子式，且AAT=｜A｜E→｜A｜2=｜A｜3→｜A｜=0或｜A｜=1。
[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编10.doc
[考研类试卷]考研数学⼆（线性代数）历年真题试卷汇编10.doc[考研类试卷]考研数学⼆（线性代数）历年真题试卷汇编10⼀、选择题下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项符合题⽬要求。
1 (10)设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=O．若A的秩为3，则A相似于2 (13)矩阵相似的充分必要条件为（A）a=0，b=2．（B）a=0，b为任意常数．（C）a=2，b=0．（D）a=2，b为任意常数．3 (16)设A，B是可逆矩阵．且A与B相似，则下列结论错误的是（A）A T与B T相似．（B）A-1与B-1相似．（C）A+A T与B+B T相似．（D）A+A-1与B+B-1相似．4 (17)已知矩阵A=，则（A）A与C相似，B与C相似．（B）A与C相似，B与C不相似．（C）A与C不相似，B与C相似，（D）A与C不相似，B与C不相似．5 (18)下列矩阵中，与矩阵相似的为6 (07)设矩阵A=，则A与B （A）合同，且相似．（B）合同，但不相似．（C）不合同，但相似．（D）既不合同，也不相似．7 (08)设A=则在实数域上与A合同的矩阵为8 (15)设⼆次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为（A）2y12-y22+y32．（B）2y12+y22-y32．（C）2y12-y22-y32．（D）2y12+y22+y32．9 (16)设⼆次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为l，2，则（A）a＞1（B）a＜-2（C）-2＜a＜1（D）a=1或a=-2⼆、填空题10 (08)设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ，若⾏列式｜2A｜=-48，则λ=_______．11 (09)设α，β为3维列向量，βT为β的转置．若矩阵αβT相似于，则βTα=_______．12 (15)设3阶矩阵A的特征值为2，-2，1，B=A2-A+E，其中E为3阶单位矩阵．则⾏列式｜B｜=_______．13 (17)A=的⼀个特征向量为，则a=______．14 (18)设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为线性⽆关的向量组．若Aα1=2α1+α2+α3，Aα2=α2+2α3，Aα3=-α2+α3，则A的实特征值为_______．15 (11)⼆次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则f的正惯性指数为_________.16 (14)设⼆次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是______．三、解答题解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(线性代数)-试卷20
考研数学二（线性代数）-试卷20(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A为n阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )．（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若A不可逆，则A=OD.若A可逆，则A=E √解析：解析：因为A 2 =A，所以A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选(D)．3.设A=(α1，α2，…，αm )，若对于任意不全为零的常数k 1，k 2，…，k m，皆有k 1α1 +k 2α2+…+k mαm≠0，则( )．（分数：2.00）A.m>nB.m=nC.存在m阶可逆阵P，使得D.若AB=O，则B=O √解析：解析：因为对任意不全为零的常数k 1，k 2，…，k m，有k 1α1 +k 2α2+…+k mαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX=0只有零解，故若AB=O，则B=O，选(D)．4.设α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)=r(β1，β2，…，βs )=r，则( )．（分数：2.00）A.两个向量组等价B.r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs )=rC.若向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价√D.两向量组构成的矩阵等价解析：解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示．则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βr线性表示，若β1，β2，…，βr不可由α1，α2，…，αr线性表示．则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)．5.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是( )．（分数：2.00）A.AX=b的通解为k 1η1 +k 2η2B.η1 +η2为AX=b的解C.方程组AX=0的通解为k(η1 +η2 ) √D.AX=b的通解为k 1η1 +k 2η2η1 +η2 )解析：解析：因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A) *≠0，所以r(A)=n-1，η2-η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选(C)．6.设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是( )．（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A为可逆矩阵D.r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示√解析：解析：方程组AX=b有解的充分必要条件是6可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选(D)．7.设三阶矩阵A的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(3α2，-α3，2α1 )，则P -1 AP等于( )．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：显然3α2，-α3，2α1也是特征值1，2，-1的特征向量，所以P -1(C)．8.设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．（分数：2.00）A.存在可逆矩阵P，使得P -1 AP=BB.存在正交矩阵Q，使得Q T AQ=BC.A，B与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B √解析：解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B选(D)．二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E-A｜=｜E-2A｜=｜E-3A｜=0，则｜B -1 +2E｜= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：60）解析：解析：因为｜E-A｜=｜E-2A｜=｜E-3A｜=0，所以A的三个特征值为，1，又A～B，所以B的特征值为，1，从而B -1的特征值为1，2，3，则B -1 +2E的特征值为3，4，5，故｜B -1 +2E｜=60．10.设为三阶矩阵，且BA=O，则r(B)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：r(A)+r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠0，所以r(B)=1．11.设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1 +α2 )，A 2 (α1 +α2 +α3 )线性无关，则λ1，λ2，λ3满足 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：λ2λ3≠0）解析：解析：令x 1α1 +x 2 A(α1 +α2 )+x 3 A 2 (α1 +α2 +α3 )=0，即 (x 1 +λ1 x 2 +λ12 x3 )α1 +(λ2 x 2 +λ22 x3 )α2 +λ32 x3α3 =0，则有 x 1 +λ1 x 2 +λ12 x3 =0，λ2 x 2 +λ22 x3 =0，λ32 x3 =0，因为x 1，x 2，x 3只能全为零，所以三、解答题(总题数：17，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。