概率论基础定积分概念笔记

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定积分基础知识

专题三：定积分1、定积分的概念（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零;（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限。

2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)如果()()F x f x '=，且()f x 在],[b a 上可积,则()()()()b b a a f x dx F x F b F a ==-⎰，【其中()F x 叫做()f x 的一个原函数，因为()()()()F x C F x f x ''+==】3、常用定积分公式 ⑴0dx c ⎰=（c 为常数）⑵1dx x c ⎰=+ ⑶1(1)1x x dx c αααα+⎰=+≠-+ ⑷1ln dx x c x⎰=+ ⑸x x e dx e c ⎰=+⑹(0,1)ln x x a a dx c a a a⎰=+>≠ ⑺sin cos xdx x c ⎰=-+⑻cos sin xdx x c ⎰=+ ⑼1sin cos (0)axdx ax c a a⎰=-+≠ ⑽1cos sin (0)axdx ax c a a⎰=+≠ 4、定积分的性质⑴⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）； ⑵⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ⑶()()()b c ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(其中)a cb <<;⑷利用函数的奇偶性求定积分：若()f x 是[,]a a -上的奇函数，则0dx )x (f a a =⎰-;若()f x 是[,]a a -上的偶函数，则⎰⎰=-a0a a dx )x (f 2dx )x (f . 5、定积分的几何意义定积分()ba f x dx ⎰表示在区间[,]ab 上的曲线()y f x =与直线x a =、x b =以及x 轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即()ba x x f x dx S S =⎰轴上方轴下方－。

大一数学定积分知识点

大一数学定积分知识点定积分是微积分学中的一个重要概念，是对某个区间上的函数在该区间上的总体积进行刻画的数学工具。

它有着广泛的应用，在科学、工程等领域都有着重要的地位。

在本文中，我们将介绍大一数学中的定积分的基本概念、性质以及一些常见的计算方法。

一、定积分的概念定积分的概念可以从求和的角度进行理解。

给定一个函数 f(x)在闭区间 [a, b] 上连续，我们将 [a, b] 上的区间等分成 n 个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。

选取每个小区间的一个代表点x_i，将函数在这些点上的取值 f(x_i) 求和，然后将这个和乘以Δx，当 n 趋向于无穷大时，这个乘积的极限就是定积分。

定积分通常用符号∫ 表示，表示对函数 f(x) 在区间 [a, b] 上进行积分。

其表示方式为∫[a,b] f(x) dx，其中 f(x) 为被积函数，a 和 b分别为积分下限和上限，dx 表示积分变量。

二、定积分的性质1. 线性性质：对于任意的实数 k，以及在区间 [a, b] 上连续的函数 f(x) 和 g(x)，有∫[a,b] (kf(x)+g(x)) dx = k∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx。

2. 区间可加性：对于连续函数 f(x)，在区间 [a, b] 上和区间 [b,c] 上进行积分的和等于在整个区间 [a, c] 上进行积分，即∫[a,c] f(x) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[b,c] f(x) dx。

3. 切割性质：将一个区间分割成几个小区间，对于每个小区间进行积分的和等于整个区间进行积分，即若 [a, b] 表示为 [a, c] 和[c, b] 的和，那么有∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dx。

三、定积分的计算方法1. 几何意义计算：对于一些简单的图形，我们可以利用几何意义来计算定积分。

掌握定积分概念及基本性质

供需关系研究
通过定积分，可以研究市场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以用来分析投资回报率的变化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分，掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解决与几何形状、物理量分布等有关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。

大一高数定积分知识点总结

大一高数定积分知识点总结在大一的高等数学课程中，定积分是一个重要的概念和工具。

掌握定积分的相关知识点对于理解和应用数学是至关重要的。

本文将对大一高数定积分的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、定积分的定义与性质定积分可以理解为曲线与坐标轴所夹的面积，也可以使用求和的方法进行计算。

其定义如下：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，则定义函数 f(x) 在 [a, b] 上的定积分为：∫(a到b) f(x) dx = lim(n->∞) Σ[f(xi)*Δx]其中，Σ表示求和，xi 是 [a, b] 上的任意一组数，Δx = (b - a) / n 是区间的等分长度。

定积分具有以下重要性质：1. 定积分是一个实数，表示函数在区间上的累积效应。

2. 定积分与区间的选取和积分路径无关，只与函数和积分上下限有关。

3. 若 f(x) 在 [a, b] 上连续，则 f(x) 在 [a, b] 上可积。

4. 若函数 f(x) 在 [a, b] 上可积，则 f(x) 在 [a, b] 上连续。

二、定积分的计算方法定积分的计算方法有以下几种常见的情况：1. 基本积分法：对于一些基本的函数，可以直接使用积分表或者公式进行计算。

例如∫sin(x) dx = -cos(x) + C。

2. 分部积分法：适用于乘积形式的函数积分，通过反复应用分部积分公式可以求得积分结果。

3. 换元积分法：通过引入一个新的变量替代积分变量，从而将复杂的积分转换为简单的形式进行计算。

三、定积分的应用定积分在数学和科学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 几何学：定积分可用于计算曲线与坐标轴所夹的面积、体积和质心等几何属性的求解。

2. 物理学：力学、电磁学等物理学问题中，定积分可用于求解质点的位移、物体的质量等相关物理量。

3. 统计学：定积分可用于求解概率密度函数和累积分布函数，进行统计数据的分析。

4. 经济学：定积分可用于计算经济学中的边际效应、消费者剩余、生产者剩余等经济指标。

定积分知识点总结[汇编]

定积分知识点总结[汇编]一、定积分定义定积分是一种数学概念，它表示函数在一定区间内的面积或体积。

如果将定积分定义为数学公式，则其表示为：∫abf(x)dx其中，a和b是定积分的区间，f(x)是积分被积函数，dx表示积分的自变量。

二、定积分的性质定积分具有以下性质：1. 定积分与区间无关性如果一个函数在a和b两个点之间积分结果相同，则称该函数在这个区间上有定积分。

换句话说，定积分与积分的区间无关。

2. 可积性如果一个函数在一个区间上是有限的，则称该函数是“可积的”。

在这种情况下，函数的积分是一个有限的数。

如果一个函数可积，则它的积分在区间上是可加的。

4. 积分中值定理如果一个函数f在一个区间[a，b]上连续，则在这个区间上有一个c，使得积分的平均值等于函数在这个点的值。

即，其中，c位于[a，b]范围内的某个点。

三、定积分的求解方法1. 不定积分求解定积分对于给定的被积函数f(x)，可以通过求解它的不定积分F(x)来解决定积分的问题。

即，这种方法也被称为“牛顿-莱布尼茨公式”。

定积分可以通过几何方法求解。

即将定积分的积分区间分成若干小区间，计算每个小区间与x轴之间的面积，并将这些小区间的面积相加。

通过计算所有小区间的面积，可以得到整个函数曲线与x轴之间的面积。

如果无法使用解析方法求解定积分，则可以使用数值积分法来进行近似计算。

数值积分法基于面积法的原理，通过数值计算来估计定积分的值。

最常见的数值积分法包括梯形法、辛普森法和矩形法等。

定积分在数学和物理科学领域有广泛的应用。

例如：1. 确定函数之间的关系定积分可以用于确定函数之间的关系，例如求出两个函数之间的相关系数、协方差和提高回归模型。

2. 计算物体的体积通过找到物体的外形和切割平面之间的物体的截面积，可以使用定积分来计算物体的体积。

4. 计算电子包络通过使用定积分来计算电子包络的位置和波函数，可以推导出相关的量子力学方程。

大一高数知识点框架定积分

大一高数知识点框架定积分定积分是大一高数中的重要概念，用于计算曲线下面积、物理量累积和平均值等。

在本文中，我们将介绍大一高数中定积分的基本概念和应用。

一、定积分的定义定积分是将曲线下区域的面积划分为无穷多个无穷小的矩形，然后将这些矩形的面积相加得到的极限值。

定积分的表示符号为∫，上下限分别为a和b，函数f(x)表示被积函数，dx表示差小量。

定积分的公式为：∫[a,b]f(x)dx二、定积分的性质1. 线性性质：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx2. 区间可加性：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3. 常数倍性：∫[a,b]kf(x)dx = k∫[a,b]f(x)dx三、定积分的求法1. 几何意义法：根据被积函数图像和积分区间，将曲线下的区域进行适当分割，然后对每个小矩形的面积进行求和。

2. 定积分的性质法：利用定积分的性质，将被积函数进行分解或者转化，以简化运算。

3. 反函数法：当被积函数具有反函数且反函数易积分时，可以通过反函数法求解定积分。

四、定积分的应用1. 几何应用：利用定积分可以计算曲线下的面积，例如计算封闭曲线所围成的区域面积。

2. 物理应用：定积分可用于计算物理量的累积或平均值，例如计算质量的集中度、质心等。

3. 统计应用：利用定积分可以计算概率密度函数下的概率值，例如计算某一区间的概率。

五、定积分的注意事项1. 积分上下限选择：在选择积分上下限时，需根据题目给出的条件进行适当的取值，以保证计算的准确性。

2. 曲线的选择：在求解定积分时，需根据被积函数的特点选择合适的曲线进行积分计算，以简化运算。

六、定积分的求解技巧1. 分段函数的积分：当被积函数为分段函数时，可以根据不同的区间进行分别积分。

2. 常见函数的积分：熟练掌握常见函数的积分公式，例如幂函数、三角函数等。

3. 使用换元法：对于复杂函数，可以通过换元法进行变量替换，以简化积分计算。

高数定积分知识点总结

高数定积分知识点总结一、定积分的定义定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一个区间上的积分结果进行计算的过程。

在数学上，定积分是用来计算曲线下面的面积或者函数在某一区间上的平均值的方法。

定积分可以写成以下形式：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \]其中，\( f(x) \)是被积函数，\( a \)和\( b \)是积分区间的端点。

定积分的计算过程就是求解被积函数在给定区间上的曲线下面的面积。

定积分在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用，是微积分中不可或缺的重要工具。

二、定积分的性质1. 定积分的可加性如果函数\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么对于任意的\( c \)满足\( a \leq c \leq b \)，都有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \]这个性质表明了定积分的可加性，即在一个区间上进行积分的结果可以根据任意划分点\( c \)进行分割。

2. 定积分的线性性对于任意的实数\( \alpha, \beta \)和函数\( f(x), g(x) \)，如果\( f(x), g(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么有：\[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx \]这个性质表明了定积分的线性性，即在一个区间上进行线性组合的函数的积分等于线性组合的函数的积分的线性组合。

3. 定积分的保号性如果在区间\([a, b]\)上有\( f(x) \geq 0 \)，那么有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0 \]这个性质表明了定积分的保号性，即当被积函数在一个区间上非负时，其积分结果也是非负的。

大一高等数学定积分知识点

大一高等数学定积分知识点在大一高等数学课程中，定积分是一个重要的知识点。

通过对定积分的学习，我们可以理解函数与曲线之间的面积关系，计算曲线下的面积以及求解一些实际问题。

本文将介绍定积分的概念、性质和计算方法。

一、定积分的概念定积分是对曲线下面积的一种数学理论的表示方式。

给定一个函数 f(x)，我们可以将其图像在 x 轴和两条垂直线 x=a 和 x=b 之间的区域定义为 S，其中 a<b。

那么函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分定义为：∫[a,b]f(x)dx二、定积分的性质1. 定积分具有线性性质。

即对于任意的实数 k1 和 k2，以及函数 f(x) 和 g(x)，有以下公式成立：∫[a,b](k1*f(x) + k2*g(x))dx = k1*∫[a,b]f(x)dx + k2*∫[a,b]g(x)dx2. 定积分可以分段计算。

如果一个函数在区间 [a, c] 和 [c, b] 上可积，那么有以下公式成立：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3. 定积分的加法性。

对于任意的实数 a 和 b，若 a < b，则有以下公式成立：∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx三、定积分的计算方法1. 利用基本定积分公式。

对于一些基本函数，存在其定积分的解析表示。

例如，对于常数函数 f(x) = k，其中 k 为常数，有以下公式成立：∫[a,b]kdx = k*(b-a)2. 利用几何意义。

如果我们需要计算曲线下的面积，可以通过将曲线分成若干小矩形或梯形来逼近面积，并求和计算。

当我们取小矩形或梯形的数量越来越多时，逼近的精度也越高，结果越接近实际面积。

3. 利用定积分的性质。

根据定积分的性质，我们可以将复杂的函数拆分成更简单的函数，并利用已知的定积分公式进行计算。

这种方法常用于复杂函数的求解，能够简化计算过程。

4. 数值积分方法。

定积分知识点

定积分知识点
嘿，咱今天来聊聊定积分知识点哈！定积分就像是一个神奇的魔法箱，能帮我们解决好多问题呢！
比如说计算图形的面积，哇塞，这可太有用啦！就好像你有一块地，你想知道它有多大面积，定积分就能告诉你哦！比如说一个不规则的图形，我们可以通过把它分割成很多小的部分，然后对每一部分用定积分来计算，最后加起来，不就知道整个图形的面积啦？就像拼图一样，一块一块拼起来！
再说说求体积呀！想象一下，有个奇怪形状的容器，你想知道它能装多少东西，定积分就能帮你搞定！这不神奇吗？
还有啊，定积分还可以用来求平均值呢！举个例子，假设你一段时间内的学习成绩有高有低，那用定积分就能算出这段时间整体的平均成绩呀！是不是很厉害？
总之，定积分就是这样一个超棒的工具，能在很多地方大显身手呢！咱可得好好掌握它呀！。

人教版2023高中数学定积分知识点归纳总结(精华版)

(每日一练)人教版2023高中数学定积分知识点归纳总结(精华版)单选题1、在区间[0,1]上随机取两个数x､y，则事件“y≥x2020”发生的概率为（）A．12020B．12021C．20192020D．20202021答案：D解析：建立数学模型，数形结合，根据几何概型的计算以及定积分的应用可得结果. 如图y≥x2020表示阴影部分，即事件A表示“y≥x2020”则S阴影=1−∫x20201dx=1−12021x2021|1=20202021所以P(A)=S阴影1=20202021故选：D2、曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A ．310πB ．12πC ．15πD ．710π答案：A解析：欲求曲线y =x 2和y 2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y =π(x −x 4)在0→1上的积分即可.设旋转体的体积为V ，则V =∫π(x −x 4)10dx =π(12x 2−15x 5)|10 =3π10. 故选：A3、函数y =x 2−1的图象如图所示，则阴影部分的面积是（）A ．∫(x 2−1)10d xB ．∫(x 2−1)20d xC ．∫|x 2−1|20d xD ．∫(x 2−1)10d x +∫(1−x 2)21d x答案：C解析：对阴影部分的面积分成两部分，根据定积分的几何意义写出面积和，再利用定积分的可加性进行积分运算. 所求面积为∫(1−x 2)10d x +∫(x 2−1)21d x =∫|x 2−1|10d x +∫|x 2−1|21d x =∫|x 2−1|20d x ．故选：C .小提示：本题考查定积分的几何意义，特别要注意，当x ∈[0,1]时，f(x)<0，其积分值是负数，且该负数的绝对值或相反数才是x ∈[0,1]对应阴影部分的面积．填空题4、记由x =2，x =−2，y =2及y =−2围成的封闭图形为F ，由y =x 2−2和y =x 围成的封闭图形为M ，若在图形F 内任取一点，则该点正好在图形M 内的概率为___________.答案：932解析：数形结合，联立方程，然后可得交点坐标，最后根据定积分计算公式以及几何概型的计算方法计算即可. 如图联立{y =x 2−2,y =x,，解得{x =2,y =2 或{x =−1,y =−1, 则A (2,2)，B (−1,−1)， S M =∫−12(x −x 2+2)d x =(12x 2−13x 3+2x)|−12=(12×4−13×8+2×2)−(12×1+13−2)=92S F =4×4=16∴P =S MS F =9216=932.所以答案是：9325、已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________．答案：2解析：根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可.由{y =x 2y =kx 得{x =0y =0 或{x =k y =k 2 ，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为∫(kx −x 2)k0dx =(k 2x 2−13x 3)|0k =k32−13k 3=43，即k 3＝8，所以k ＝2.所以答案是：2.【点晴】利用定积分求平面图形面积的步骤（1）根据题意画出图形；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；（4）计算定积分得出答案.。

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第五次P141.习题3、2、29、301、⎰⎰++=++dx 3sinxx 3cosx3x 31dx 3sinx x cosx x 3232 ()⎰++=++=C 3s i n x x ln 313sinx x x sin 3x d 31333 解：()()⎰⎰=+xlnx d edx lnx 1x xlnxxC x C ex x l n x+=+=2、习题4，(11) 解：⎰⎰=x lnsinxdtan dx xcos lnsinx2⎰-=dx sinxcosxtanxtanxlnsinx C x tanxlnsinx +-=3、P109，例3.5，习题3，选择题4、⎰⎰--=dtanx tanxe dx e xcos sinx tanxtanx 3⎰--=tanx tanxde⎰--+-=d t a n xe t a n x et a n xt a n xC e tanxe tanx tanx +--=--5、设()C x arcsin dx x xf +=⎰，则()()⎰+--=C x 131x f dx 3230有理函数积分()⎰dx x R →真分式→部分分式部分分式：()()n 22n q px x NMx ,q px x N Mx ,b ax 1,b ax 1++++++++ 其中：04q p 2<-5、⎰--+dx 12x x 1x 2解：()()3x 4x 1x 12x x 1x 2+-+=--+3x B4x A ++-=()()()()3x 4x 4x B 3x A +--++=()()1x 4x B 3x A +=-++令 ,75A 4x ==令 72B 3x =-=∴ ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++-=+++dx 3x 24x 571dx 53x x 1x 2C 3x ln 724x ln 75+++-=6、P112 例3.6 (4),(5) 7 P142 习题6 (3),(4)c 22x arctan 21dx 8x 4x 12++=++⎰⎰⎰++-+=++8x 4x 24x 221dx 8x 4x 122()()()2x d 22x 18x 4x 84x d 212222+++-++++=⎰⎰c 22x arctan 218x 4x ln 212++-++=40三角有理式积分()⎰dx cosx sinx,R令 222t 12t sinx t 1t 1cosx t2x tan +=+-== 2t12dtdx += 8、⎰+dx sinx 21⎰+⋅++=dt t 12t 12t 2122⎰++=dt 1t t 12⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21t d 2321t 122C 2321t arctan 32++=C 312x 2tanarctan 32++=9、⎰⎰+=+dx 1x 3sec xsec x cos 3dx 222 ⎰+=tanx 3d 4x 3tan 1312C 2tanx 3arctan 2131+⋅=C 2tanx3arctan 321+=6、设()x f 的原函数()x F 恒正，且()10F =，当0x ≥，有()()2x sin x F x f 2=，求()x f解：()()x f x F =' ()()x sin x F x F 2='()()⎰⎰='2xdx sin dx x F x F 2()()()⎰⎰-=dx cos4x 121x dF x F()C sin4x 41x x F 2+-= 由()10F = 得C=1∴ ()1sin4x 41x x F +-=∴ ()1sin4x 41x x sin x f 2+-=定积分的概念一、定义及性质 <定义>：()()∑⎰=→∆=n1i i i 0x b ax ζf lim dx x f ，{}i ni 1x max λ∆=≤≤注意(1)积分区间有限，被积函数有界； (2)与“分法”、“取法”无关；(3)定积分的值与积分变量的选取无关()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰b a b a dt t f dx x f ； (4)()x f 在[]b ,a 有界是()x f 在[]b ,a 可积的必要条件，()x f 在[]b ,a 连续是()x f 在[]b ,a 可积的充分条件。

<几何意义>：()⎰b adx x f 在几何上表示介于0y =，()x f y =，a x =，b x =之间各部分面积的代数和。

补充规定 ()0dx x f aa=⎰()()⎰⎰-=abba dx x f dx x f <性质>P115，性质（1）—（9）其中(8)为估计定理：在[]b ,a ，()M x f m ≤≤，则()()()a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰(9)中值定理：如()x f 在[]b ,a 连续，[]b a,ζ∈∃，使()()()a b ζf dx x f ba -=⎰例1、利用定积分几何意义，求定积分值 4dx x 1102π=-⎰上式表示介于0x =, 1x =, 0y =, 2x 1y -=之间面积例2、（估计积分值）证明21x x 2dx 32102<-+<⎰ 证：2221x 49x x 2⎪⎭⎫⎝⎛--=-+在[]1,0 上最大值为49，最小值为2∴21xx 21322≤-+<∴ 21x x 2132102<-+<⎰二、基本定理牛顿—莱伯尼兹公式 10变上限积分基本定理：设()x f 在[]b ,a 连续，x 为()b ,a 上任意一点，则()()⎰=x adt t f x Φ是可导函数，且()()x f x Φ='即()()⎰=xax f dt t f dxd 说明()⎰x a dt t f 为()x f 的一个原函数。

例3、已知()dt e x F x 0t 12⎰-=,()dt e x F 22x 0t 2⎰-=, ⎰-=1cosx t 32eF()⎰-=sinx cosx t 4dt e x F 2, ()()⎰=x05dt t tf x F ,()()⎰=x06dt t xf x F ， ()()()⎰-=x 07dt t f t x x F求：()⎪⎭⎫⎝⎛='9,2,1,i x F i 解：()()()x cos 3x 2x1242sinxe x F 2xe x F e x F ---='='=' ()()()x xf x F sinxe cosxe x F 5x cos x sin 422='+='-- ()()()x xf dt t f x F x06+='⎰ ()()()()⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x 0x 0x 0/7dt t f 'dt t tf dt t f x x F例4、30x 41cosxx 4xsinxcosxlncosx limx tlntdtlim ⋅=→→⎰ 20x 0x 0x xlncosxlim x sinx lim cosx lim 41→→→⋅⋅=cosx 2x sinx lim 410x ⋅-=→81-=例5、()⎰-=22x 0t dt e1t y 有极大值的点为 DA.1x =B.1x -=C. 1x ±=D. 0x =例6、如()dt t11dt t 11x F x 102x 02⎰⎰+++= 0x ≠,则()=x F B A .0 B .2π C . 31D .e 2例7、P117 例3.11例8、设()x f 在()+∞∞-,上连续，且()()()dt t f t 2x x F x 0⎰-=,证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数证：()()()()()()t d t f u 2x ut dtt f t 2x x F x 0x 0--+--=--=-⎰⎰-()()dt t f t 2x x 0⎰--=()x F =20定积分计算① 牛顿莱伯尼兹公式 <定理>设()x F 在[]b ,a 连续。

()x F 为()x F 在[]b ,a 上的任意一个原函数，则有F(a)F(b)F(x)f(x)dx ba b a-==⎰② 定积分换元法与分部积分法30奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质 (1) ()x f 在[]a ,a -连续，0a > 当()x f 为偶数，则⎰⎰=a0a -af(x)dx 2f(x)dx当()x f 为奇函数，则0f(x)dx a -a=⎰(2) ⎰⎰=+T0T a af(x)dx f(x)dx ，()x f 以T 为周期说明在任何长度为T 的区间上的积分值是相等的。

例9、e4)dx e -)(e x x(11-1x -x 2001=+⎰原式 ⎰=10x -x )dx e -x(e 2⎰=10x -x)e -x d (e 2[]10xx )e x (e 2-+=e4=例10、⎰⎰-+=+2π2π2π022dx xsin 1 xcos dx x2sin x cos x cos2πx 2arctansin dsin x xsin 112π02π02==+=⎰例11、⎰⎰=-π0π042dx sinx cosx x dx x cos x cos x⎰⎰ππ-=22π0x xcosxsinxd x xcosxsinxd⎰⎰-=π2π2π02x dsin x 21xdsin2x 212π=例12、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0x e 0x x 1f(x)x2则=⎰312)dx -f(xA 、31e -B 、31e +C 、31D 、e 2)dx e dx )x (1f(t)dt t2 x 2)dx -f(x (10x121-131⎰⎰⎰⎰++==--例13、加P124 例3.18 例14、⎰⎰-=-2222022dx )1(x -1x dx x2x x设 sin t 1-x =π23t)dt sin (12dt t cos cost sin t)(12π022π2π2=+=+⎰⎰-法二设 t 2sin x 2= 原式π232π!4!!3!8dt t sin 82π4=⋅⋅==⎰例15、设()x f 为连续函数，且⎰+=π0dx f(x)sinx f(x) 求()x f解：设⎰=π0A dx f(x) 则()A x sin x f +=两边积分π0π0π0π0Ax cosx A A)dx(sinx dx f(x)+-=+=⎰⎰π12A -=∴ π12sinx f(x)-+=(()x f 、()x g 在[]2,0连续，且⎰⎰+-=+=2023202f(x)dx 3x x g(x)g(x)dx 3x f(x)求()x f 、()x g 的表达式答案：()4x 3x f 2-=()3x x g -= )例16、设 ()0x dt t1ln tx f x 1>+=⎰，求()⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 1f x f解：()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰x 11x 1dt t 1lnt dt t1ln tx 1f x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+++=2x 1x11x 1lnx1lnx()xlnx1x x lnx x 1lnx =+++= ()c x ln 21dx x lnx x 1f x f 2+==⎪⎭⎫⎝⎛+⎰ 令1x = 0c =(∵()01f =)∴ ()x ln 21x 1f x f 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+例17、设 ⎰-=x 0dt tπsintf(x) 求⎰π0f(x)dx解：⎰⎰⎰---=-=π0π0π0π)df(x)π(x )f(x)π(x )πf(x)d(x f(x)dx 2sinxdx dx x-πsinx)π-(x π0π0==⋅=⎰⎰例18、已知()x f 在[]2,0上二阶可导，且()12f =，()02f ='及4f(x)dx 2=⎰求⎰''12(2x)dx f x解：原式 ⎰⎰'-'='=112102(2x)dx f 2x 21(2x)f x 21(2x)f d x 21⎰⎰+-=-=10110f(2x)dx 21xf(2x)21xdf(2x)2121121 t f(t)d 412120=+-=+-=⎰例19、设()x f 在()+∞∞-,连续证明：⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xu 0x 0du f(x)dx u u)d -f(u)(x 证：右边=⎰⎰⎰=-x0u0x 0u 0f(x)dx ud f(x)dx u⎰⎰⎰⎰⎰=-=-=x0x0x0x0x0u)f(u)du-(x uf(u)du f(u)du x uf(u)du f(x)dx x例20、设 1a ≤ ⎰--=11x dx e a x I(a)求(a)I '解：⎰⎰+=-1a x a 1x dx a)e -(x dx x)e -(a I(a)⎰⎰⎰⎰-+-=-1a x 1a xa-1xa 1xdx e a dx xe dx xe dx e ae1e 2e eedx e dx e ae dx e ae ae ae dx e (a)I a 1ax a 1x 1a x a1x a 1a x a a a a1x --=-=-=+---+='---⎰⎰⎰⎰例21、设()x f 连续，⎰=ϕ10t f(xt)d )(x ，且A xf(x)lim 0x =→ 求(x)ϕ'，并讨论(x)ϕ'在0x =处连续性解：0f(x)lin f(0)Axf(x)limx 0x ==∴=→→ 得 ()00=ϕ令 u xt = ⎰=ϕxu f(u)d x1(x) 0x ≠ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=ϕ∴⎰0x 00x uf(u)d x1(x)x2A2x f(x)limx f(u)du lim 0-x (0)-(x)lim(x)0x 2xx 0x ===ϕϕ='ϕ→→→⎰∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-='ϕ⎰0x 2A 0x x f(u)duxf(x)(x)2x 0(0)2A2A -A )xf(u)du xf(x)(lim xf(u)duxf(x)lim(x)lim /2x 0x 2x 0x /x ϕϕ===-=-=⎰⎰→→→∴ (x)ϕ'在0x =连续即(x)ϕ'在()+∞∞-,连续例22、试证方程0dt t sin 1tdt sin x2π2x 10π2=+⎰⎰ 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π,10π内有且仅有一实根证：设 ⎰⎰-=x 2π2x 10π2dt tsin 1tdt sin F(x) 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π,10π连续且⎰⎰>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛2π10π210π2π20tdt sin 2πF 0dt t sin 110πF 由介值定理 ⎪⎭⎫⎝⎛∈∃2π,10πζ，使 F(ζ)=0 即F(x)=0有根又∵0xsin 1x sin (x)F 22>+=' ，()x F 单增∴根唯一例23、设()x f 在[]1,0，连续()⎰-=121x dx x f e 2f(0)试证：[]1,0内至少∃一点ζ，使)ζf()ζ(f =' 证：设()()x f ex F xf-=则()x F 在[]1,0可导⎰==121x -f(x)dxe 2f(0)F(0)1c 21F(c)f(c)e c ≤≤=- ()x F 在[]1,0上满足罗尔定理条件∴至少存在一点ζ，使()0F =ζ'即 0)ζf(e )ζf(e -ζ-ζ=+-亦即()()ζ=ζ'f f例24、P128例3.23 (1) (3)中值例25、04y dt e x 2y 032t 3=++-⎰-0y y 3ey y 2x 34y2='+'-- 24y 2y3ye2x 3y -='-例26习题3.11设)x (f 在]b ,a [连)b ,a (可导，且0)x (f ≤'，⎰-=x adt )t (f ax 1)x (F 证明在)b ,a (内，有0)x (F ≤'证：2xa )a x (dt)t (f )x (f )a x ()x (F ---='⎰b x a )a x ()(f )a x ()x (f )a x (2≤≤ζ≤-ζ---=ax )(f )x (f -ζ-=)x (f 0)x (f ∴≤' 在)b ,a (单调减，x ≤ζ)x (f )(f ≥ζ→ 故 0)x (F ≤'三、定积分应用 P 132 1︒平面图形面积 (ⅰ)直角坐标：[]⎰<<-=ba 2112)x (f )x (f ba dx)x (f )x (f s[])y ()y (dc dy)y ()y (21d c12ϕ<ϕ<ϕ-ϕ=⎰P134 例3.26，例3.27例1习题3 21求抛物线3x 4x y 2-+-=及其点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积解：4x 2y K +-='=在)3,0(-点处，4K 1=，切线方程 3x 4y -= 在)0,3(点处，2K 2-=，切线方程6x 2y +-=⎩⎨⎧+-=-=6x 2y 3x 4y 得交点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,23 [][]498989dx )9x 6x (dx x dx)3x 4x(6x 2dx )3x 4x(3x 4S 3232230232322302=+=+-+=-+--+-+-+---=⎰⎰⎰⎰（ii ）极坐标[]⎪⎭⎫ ⎝⎛θθγ-θγ=ϕϕρ-ϕρ=⎰⎰βαβαd )]()([21d )()(21S 21222122例2、求由曲线θ=γθ=γ2cos ,sin 22所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点⎪⎪⎭⎫⎝⎛π⎪⎪⎭⎫⎝⎛π65,22,6,22 ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡θθ+θθ=⎰⎰πππ60462d 2cos 21d sin 2212S =θθ-⎰πd )2cos 1(60+⎰ππθθ46d 2cos21362sin 212sin 214660--π=θ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ-θ=πππ2︒旋转体体积由b x ,a x ),x (f y ,0y ====所围平面图形绕x 轴旋转一周所生成的立体体积，⎰π=ba 2x dx )x (f V由d y ,c y ,0x ),y (l x ====所围平面图形绕y 旋转一周所得旋转体体积⎰ϕπ=dc 2y dy )y (V例3、过点)0,1(P 作抛物线2x y -=的切线，求该切线与抛物线2x y -=及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为)2x ,x (00-切线方程)1x (2x 21y 0--=切点在切线上，∴1x (2x 212x 000--=-3x 0=，∴切线方程：)1x (21y -=⎰⎰π=-π--π=31322x 6dx )2x (dx )1x (41V6π=θ2。