概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章 概率论的基本概念
§１ .1 随机试验及随机事件
1. （1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间
是:S= ;
(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ;
２.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B:数点大于2，则Ｂ＝ ．
(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面,则A ＝ ；
Ｂ：两次出现同一面,则= ； C ：至少有一次出现正面,则C= ．
§1 .2 随机事件的运算
1. 设A 、Ｂ、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2）A 与B 都发生，而C 不发生表示为： . （3)A 与Ｂ都不发生,而C 发生表示为: .(4)Ａ、B 、C 中最多二个发生表示为: .
（５)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .（６）A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: .
2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则
（1）=⋃B A ,(2）=AB ，(3)=B A ,
(4)B A ⋃= ，(5）B A ＝ 。
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ,则
（1） =)(AB P , (2)()(B A P )= ， (3))(B A P ⋃= .
２． 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .
§1 .4 古典概型
1. 某班有３0个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(１)正好有２个女同学的概率,
(２）最多有２个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.
2. 将３个不同的球随机地投入到４个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.
§１ .5 条件概率与乘法公式
1.丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7， 则其中一颗为1的概率是 。
2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=⋃)(B A P 。
§１ ．6 全概率公式
1. 有１０个签，其中２个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回，第二人再随机地抽一个
签，说明两人抽“中‘的概率相同。
2. 第一盒中有４个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒，从中随
机地取一个球，求取到红球的概率。
§1 .７ 贝叶斯公式
1． 某厂产品有７0%不需要调试即可出厂,另30％需经过调试,调试后有80%能出厂，求（1）
该厂产品能出厂的概率，(２）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。
2． 将两信息分别编码为Ａ和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.０２，
B 被误收作Ａ的概率为0．01,信息A 与信息B 传递的频繁程度为３ ： 2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A 的概率是多少?
§1 .8 随机事件的独立性
1. 电路如图,其中A,B,C ，D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与Ｒ为通路(用Ｔ表示)的概率。
A B
L R C D
3. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为０.4,0.5和０.6，是否命中,相
互独立, 求下列概率： (1) 恰好命中一次，（2) 至少命中一次。
第1章作业答案
§1 .1 １:(１）},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S =； （２)}3,2,
1,0{=S
2：(1）}6,5,4,3{}5,3,
1{==B A ;
(2){=A 正正,正反{},=B 正正,反反{},=C 正正，正反，反正}。
§１ .2 1： (1) ABC ;(２) C AB ;（3） C B A ;(４）C B A ⋃⋃;(５）
BC AC AB ⋃⋃;
(６) C B C A B A ⋃⋃ 或 C B A C B A C B A C B A +++； ２
:
(1)
}
41:{<<=⋃x x B A ;（２)
}
32:{≤≤=x x AB ；
(3)}43:{<<=x x B A ;
（４）10:{≤≤=⋃x x B A 或}52≤≤x ；(5)}41:{<<=x x B A 。
§1 .3 １: (１) )(AB P ＝0.3， (2))(B A P = 0.2, （3) )(B A P ⋃ = 0.7. 2：
)(B A P )=0.4．
§1 .4 1:（1)103082228/C C C ,(2）（10
3082228922181022/C C C C C C ）（++，(3）１-（10
30922181022/C C C C ）+．
２: 3
344/P ．
§1 .５ 1：. 2/6； 2： 1/４。
§1 .6 １： 设A 表示第一人“中”,则 P （A ） = 2/10
设B 表示第二人“中”,则 Ｐ(Ｂ) = P(A ）P(B|A) + P(A )P(B|A ） =
10
29210891102=⋅+⋅ 两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。
2： 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:
ｐ = 0.5 × ０.４ ＋ 0．５ × 0．5 = 0．４5
§１ .７ 1：（1）94% （2）70/９4; 2: 0.９9３;
§1 .8． 1: 用A,B,Ｃ，Ｄ表示开关闭合,于是 T ＝ ＡB ∪CD, 从而,由概率的性质及Ａ,B,C,D 的相互独立性
P （T) ＝ Ｐ(A Ｂ) + P(CD) - Ｐ（ＡB ＣD ）
= P （Ａ）Ｐ(B) + P(Ｃ)P(D ） – Ｐ(A)P(B)P(C ）P （D)
424222p p p p p -=-+=
2： (1) 0.4（1-０．５)(１-0.６)+(１-０．4)0．５(1－0．6）+（1-０．4)(１－０．5)０.6＝0．3８;
(2) 1-(1-0．4)（1-0.5)(1-0.6)＝0.88．
第2章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量的概念,离散型随机变量
1 一盒中有编号为1,2，3,４,5的五个球，从中随机地取３个,用X 表示取出的3个球 中的最大号码., 试写出X 的分布律.
2 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为
止,用X 表示射击的次数， 试写出X 的分布律。
§2.2 10-分布和泊松分布
１ 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求
（1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；
２ 设随机变量X 有分布律： Ｘ 2 3 ， Y ～π(X ）， 试求: p 0.４ ０.６
（1)P(X ＝２,Y ≤2)； （2)P(Ｙ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=２ 的概率。
§2．3 贝努里分布
1 一办公室内有５台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机
是否被使用相互独立,问在同一时刻
(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少?
（2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少? (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4） 至少有1台计算机被使用的概率是多少？
２ 设每次射击命中率为0．2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？
§2.4 随机变量的分布函数
1设随机变量X 的分布函数是: F （x) = ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤--<11115.010
x x x
（1）求 P(X ≤0 )； P ()10≤ ２ 设随机变量X 的分布函数是:Ｆ(x ） ＝ ⎪⎩⎪ ⎨⎧≤>+0 01x x x Ax , 求（1）常数Ａ, (2) P ()21≤ §2.5 连续型随机变量 １ 设连续型随机变量X 的密度函数为：⎩ ⎨⎧<<=他其01 0)(x kx x f （1)求常数k 的值;(2)求X 的分布函数F(x)，画出F （x) 的图形， (3）用二种方法计算 Ｐ(- ０.5＜Ｘ<0.５）． ２ 设连续型随机变量0≥x 的分布函数为：F(ｘ) = ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥<≤ (1)求X 的密度函数)(x f ,画出)(x f 的图形,(2）并用二种方法计算 Ｐ(X ＞０．5)． §2.6 均匀分布和指数分布 1设随机变量K 在区间 （0, ５) 上服从均匀分布, 求方程 42 x ＋ 4Kx ＋ K + 2 = ０ 有实根的概率。 2 假设打一次电话所用时间(单位:分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待:（1）超过10分钟的概率;（2）１0分钟 到20分钟的概率。 §2．7 正态分布 1 随机变量X ～N (3， 4), (1) 求 Ｐ（2 (2)确定c ，使得 P(X>c ） ＝ P （X ＜c)。 ２ 某产品的质量指标X 服从正态分布，μ=1６0，若要求P(120＜X<２00）≥0.８0,试问σ最多取多大？ §2.8 1设随机变量X 的分布律为； ０．３ Ｙ ＝ 2Ｘ – 1， 求随机变量的分布律。 2设随机变量X 的密度函数为：⎩⎨ ⎧<<-=他其0 1 0)1(2)(x x x f , 2X Y =;求随机变量Y 的密度函数。 3. 设随机变量X 服从（0, 1）上的均匀分布,X Y ln 2-= ,求随机变量Ｙ的密度函数。 第2章作业答案 §2.1 1: p 2： X 1 ２ 3 4 5 p 0.4 ０.6×0.４ 0.6×0.6×0.4 0.6×０.6×0．6×0.4 0.6×0.６×0.６×0.6×1 §2.2 １： (1） Ｐ(Ｘ = 1) ＝ Ｐ（X ≥１) – P （X ≥２) ＝ 0．98１684 – ０.９08422 = 0.0732６2， (2) P(Ｘ≥1） = 0.9８１6８4, （3) P(X ≤１) = 1 - P(X ≥2) = 1 – ０.9084２2 ＝ 0.09１578。 2：(1） 由乘法公式： P(Ｘ＝２，Y ≤2) ＝ P(X=2) Ｐ（Y ≤2 | X=2)＝ 0.4× (222 22---++e e e )= 22 -e (2)由全概率公式:P(Y ≤2) ＝ P(X=2) P(Y ≤2 ｜ X ＝２） + Ｐ(Ｘ=3) P(Y ≤ ２ ｜ X=3) = 0.4×52 -e + 0.６× 3 2 17-e ＝ 0．２７06７ ＋ 0．25３9１ = 0.52４5８ (3)由贝叶斯公式：P(X=2|Y ≤２）＝ 516.052458 .027067 .0)2()2,2(==≤≤=Y P Y X P §2.３ １： 设X 表示在同一时刻被使用的台数,则 Ｘ ~Ｂ(５, 0．6), (1) P( X = 2 ) = 3 2254.06.0C (2） Ｐ(Ｘ ≥3 ） = 544523356.04.06.04.06.0++C C (3) P(X ≤3 ) ＝ 1 - 54456.04.06.0-C (4)Ｐ(Ｘ ≥1 ) = 1 - 54.0 2: 至少必须进行１1次独立射击. §2.4 1：(1)Ｐ（X ≤0 )=０．５； Ｐ ()10≤ (2） Ｘ的分布律为： 0.５ 2： （1） A = １, (2) P ()21≤ §2.５ 1：（１）2=k ,（2）⎪⎩ ⎪⎨⎧≥<≤<=1 11000)(2 x x x x x F ； (3）Ｐ（- 0.5 4120)(5 .000 5.05 .05.0= +=⎰⎰⎰--xdx dx dx x f ; 或= Ｆ（0,5） – F(-0．5） = 4 1 041=-。 2： （１)⎩⎨⎧<<=他其01/1)(e x x x f （2）2ln 1)2(-=>X P §2.6 1: 3/5 2： 422 )2()1(----e e e §2．７ 1 697７, 0．5;(２) c = 3， 2:σ≤３1．25。 §2.8 1: 0.3 ２: ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<<-=他其010)1(1)(y y y y f Y ， 3: ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0 002 1)(2 /y y e y f y Y ; 第3章 多维随机变量 §３.１ 二维离散型随机变量 1. 设盒子中有2个红球，2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X 表示取到的红球个数， 用Ｙ表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。 2. 设二维随机变量),(Y X 试根椐下列条件分别求ａ和b 的值； (1)6.0)1(==X P ； 0.2 （２)5.0)2|1(===Y X P ； (3)设)(x F 是Y 的分布函数，5.0)5.1(=F 。 §３．2 二维连续型随机变量 1. )(Y X 、的联合密度函数为：⎩⎨ ⎧<<<<+=他其0 1 0,10)(),(y x y x k y x f 求（1）常数k;（２）P(Ｘ＜１/2,Ｙ<1/2)；(3) P(Ｘ＋Ｙ＜1）;（4) P(X<1/2)。 2．)(Y X 、的联合密度函数为：⎩⎨ ⎧<<<<=他其0 0,10),(x y x kxy y x f 求（1)常数ｋ；(2)P(X+Y<1);(３） P(X<1/2）。 §3.3 边缘密度函数 1. 设(Ｘ, Y ） 的联合密度函数如下,分别求X 与Y 的边缘密度函数。 +∞<<∞-+∞<<∞-++= y x y x y x f ,) 1)(1(1 ),(222π 2. 设(Ｘ, Y) 的联合密度函数如下,分别求X 与Y 的边缘密度函数。 ⎩⎨ ⎧<<=-他 其00),(x y e y x f x §3.4 随机变量的独立性 1. (X, Y) 的联合分布律如下， 试根椐下列条件分别求a 和ｂ的值； (1) 3/1)1(==Y P ; (２) 5.0)2|1(==>Y X P ; (3)已知X 与Y 相互独立。 2. (X ，Y) 的联合密度函数如下，求常数c,并讨论X 与Y 是否相互独立？ ⎩⎨⎧<<<<=他其0 1 0,10),(2y x cxy y x f 第3 §3．1 1 2： (1) ａ=0.1 b=0.３ （2) a=0．２ b=0.2 (３) a=0．3 b=0．１ §３．2 1：(1） ｋ = 1；(2) P(X<1/2， Ｙ<1/2) = １／８；(3) P （Ｘ＋Y ＜1) = １/3;(４) P(Ｘ<1／２) = 3／8。 2:（1） k = 8;（2） P(X+Y<１) = 1／６；（３) P(X ＜1/2) ＝ 1/１6。 §３.３ 1： +∞<<∞-+=++= ⎰∞ +∞-x x dy y x x f X ) 1(2 )1)(1(1)(2222ππ； +∞<<∞-+= ++=⎰ ∞+∞ -y y dx y x y f Y ) 1(2) 1)(1(1 )(22 22 ππ； ２: ⎩⎨ ⎧≤>=-000 )(x x xe x f x X ； ⎩⎨⎧≤>=-0 0)(y y e y f y Y ； §3.4 1: (1)a=１／6 ｂ=7/18； (2) a=4/9 ｂ=1/9;（３）a = 1／3, b = 2/9。 2: c ＝ 6, X 与Ｙ相互独立。 第4章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取３个，用X 表示取到的红球的个数,则EX 是： （A ）1; （B)1.2; (C ）１．5; (D)2. 2. 设X 有密度函数:⎪⎩ ⎪ ⎨⎧=0 83)(2 x x f 他其42≤≤x , 求)1(),12(),(2X E X E X E -,并求 X 大于数学期望)(X E 的概率。 3. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为 已知65.0)(=XY E , 则ａ和b 的值是： （A)a=０.1, ｂ＝０.3； （B)a=０．3, b ＝0.１； （C)a=０.2, ｂ=0．2; (D ）a=0．15， b=0．25。 4.设随机变量 (X, Ｙ) 的联合密度函数如下:求)1(,,+XY E EY EX 。 ⎩ ⎨⎧<<<<=他其02 0,10),(y x xy y x f §4.2 数学期望的性质 1.设X 有分布律： Ｘ ０ 1 2 ３ 则)32(2 +-X X E 是： p 0.1 ０．2 ０.3 0.４ （A ）１； （B)2； （Ｃ)3; （D ）4. 2. 设),(Y X 有⎪⎩⎪⎨⎧<<=他其0 1 45 ),(2y x y y x f ,试验证 )()()(Y E X E XY E =,但X 与Y 不 相互独立。 §4.3 方差 1．丢一颗均匀的骰子，用Ｘ表示点数,求DX EX ,. 2．X 有密度函数:⎩ ⎨⎧+=04 /)1()(x x f 他其20≤≤x ,求 Ｄ(X). §4.4 常见的几种随机变量的期望与方差 1． 设)2(~πX ,)6.0,3(~B Y ,相互独立,则)2(),2(Y X D Y X E --的值分别是: （A ）－1．6和４．8８; (B)-1和４； (Ｃ)1.６和４．88； (D ）1.6和-4.８8. 2． 设)3,4(~), ,(~N Y b a U X ，X 与Y 有相同的期望和方差，求b a ,的值。 （A) 0和8; (Ｂ) 1和７; (Ｃ） ２和6； (D ） 3和5. §4.6 独立性与不相关性 矩 １.下列结论不正确的是（ ） （A ）X 与Y 相互独立,则X 与Y 不相关； (B ）X 与Y 相关，则X 与Y 不相互独立; (C ）)()()(Y E X E XY E =，则X 与Y 相互独立； (D))()(),(y f x f y x f Y X =，则X 与Y 不相关; 2.若 0),(=Y X COV ,则不正确的是( ） （A))()()(Y E X E XY E =;（Ｂ）)()()(Y E X E Y X E +=+； （C))()()(Y D X D XY D =；(D ）)()()(Y D X D Y X D +=+； 3．（Y X ,)有联合分布律如下,试分析X 与Y 的相关性和独立性。 ４．)()()(Y E X E XY E =是X 与Y 不相关的( ) (A)必要条件；（B)充分条件:(Ｃ)充要条件；（D)既不必要，也不充分。 5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的（ ） （A ） 必要条件;(B)充分条件：（C)充要条件;（D)既不必要，也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证X 与Y 不相关,但不独立。 ⎩⎨⎧<<=他其01 4/21),(22y x y x y x f 第４章作业答案 §４．１ 1： B; 2：3/２, 2, 3/4， 37/６4; 3: D; ４： 2／3，４/3，17/９; §４.2 １： Ｄ; §4.3 1：7／２， 35／１2; 2:１1/36; §4.4 1:A ； 2： Ｂ； §4.５ １：0.2, 0.355; 2：-1/144, －１/11； §4.6 1:C; ２：Ｃ; 3:X 与Y 不相关，但X 与Y 不相互独立;４：C ；５:A; 第5章 极限定理 ＊§5.1 大数定理 §5.２ 中心极限定理 1． 一批元件的寿命（以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用，其 余29只备用,当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求3０只元件至少能使用一年（8７6０小时)的近似概率。 2． 某一随机试验,“成功”的概率为0．0４,独立重复１00次,由泊松定理和中心极限定理分 别求最多“成功”6次的概率的近似值。 第5章作业答案 §5．２ 2:0.1788; 3：０.８89, 0.８41； 第6章 数理统计基础 §6．1 数理统计中的几个概念 1． 有n=１０的样本；１．2, 1．4， 1.9， ２．0, 1.５, 1．5, １.6， 1.4， 1．8, 1.4, 则样本均值X ＝ ，样本均方差=S ,样本方差 =2S 。 2．设总体方差为2 b 有样本n X X X ,,,21 ，样本均值为X ,则=),(1X X Cov 。 §６.２ 数理统计中常用的三个分布 1. 查有关的附表，下列分位点的值:9.0Z = ,)5(21.0χ= ,) 10(9.0t ＝ 。 2.设n X X X ,,,21 是总体)(2 m χ的样本，求)(), (X D X E 。 §6.3 一个正态总体的三个统计量的分布 １．设总体),(~2 σμN X ，样本n X X X ,,,21 ,样本均值X ，样本方差2 S ，则 ~/n X σμ - ， ~/n S X μ - , ∑=-n i i X X 1 2 2 )(1 σ ～ , ∑=-n i i X 1 22 )(1 μσ ~ ， 第6章作业答案 §６.1 1.0646.0,254.0, 57.12===s s x ； 2. n b X X Cov /),(21=; §6.2 1.-1.29， 9.2３６, -1.３７22； 2.n m X D m X E /2)(,)(==； §6.３ １.)(),1(), 1(), 1,0(22n n n t N χχ--; 第7章 参数估计 §７．1 矩估计法和顺序统计量法 1.设总体X 的密度函数为:⎪⎩⎪⎨ ⎧≤≤=-他 其 10)(1 x x x f θθ，有样本n X X X ,,,21 ，求未知 参数θ 的矩估计。 2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(~λπX ，为估计λ的值,在实地随机地调查了2０次，每次1分钟,结果如下:次数： 2 3 4 5 6 量数： 9 5 3 7 4 试求λ的一阶矩估计和二阶矩估计。 §７.2 极大似然估计 1.设总体X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨ ⎧≤≤+=他 其 10)1()(x x x f θ θ,有样本n X X X ,,,21 ,求未 知参数θ 的极大似然估计。 §7.3 估计量的评价标准 1.设总体X 服从区间)1,(a 上的均匀分布,有样本n X X X ,,,21 ，证明=a ˆ12-X 是a 的无偏估计。 2.设总体X ～)(λπ，有样本n X X X ,,,21 ,证明2 )1(S a X a -+是参数λ的无偏估计