三角函数解三角形题型归类
三角函数解三角形题型归类
一知识归纳：
（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝ ．
(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 . (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π
180
rad ，1
rad ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
180π°.
(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝
1
2|α|·r 2
.
3．任意角的三角函数
（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P (x ，y )，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α
＝ ．
（2）任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，
cos α＝x ，tan α＝y
x
(x ≠0)
4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念
1．三角函数诱导公式⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫k 2π＋α(k ∈Z)的本质 奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)． 2．两角和与差的三角函数公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.
3．二倍角公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α，cos 2
α＝1＋cos 2α2
，
sin 2
α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α
. （三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形 在△ABC 中，a
sin A
＝
b sin B ＝c
sin C
＝2R (其中R 是外接圆的半
径)；
a ＝2R sin A ，
b ＝2R sin B ，
c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R
.
2．余弦定理及其变形
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ； cos A ＝b 2＋c 2－a
2
2bc
.
b 2＝ ； cos B ＝ ；
c 2＝ . cos C ＝ .
3.三角形面积公式:
S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝_________________＝abc 4R ＝
12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .
2．整体法：求y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．
3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x(或cos x)看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．4．公式法：y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最
小正周期为2π
|ω|
，y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为
π
|ω|
.
(2016年全国卷1)
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知5
a
2c =，2
cos 3
A =
，则b = （A ）2
（B ）3
（C ）2
（D ）3
6.将函数2sin(2)6
y x π=+的图象向右平移14
个周期后，所得图象
对应的函数为 （A ）2sin(2)
4
y x π=+
（B ）2sin(2)3
y x π=+
（C ）2sin(2)
4
y x π=-
（D ）2sin(2)3
y x π=-
14.已知θ是第四象限角，且3
sin()45
πθ+=
，则
tan()4π
θ-=
————————————． (2015年 全国卷1)
8. 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
（A ）13(,),44
k k k Z ππ-+∈
（B ）13(2,2),44
k k k Z ππ-+∈
（C ）13(,),44
k k k Z -+∈
（D ）13(2,2),44
k k k Z -+∈
17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =o ，且2,a = 求ABC ∆的面积.
(2014年 全国卷1) 2.若0tan >α，则 A. 0sin >α B. 0cos >α C.
02sin >α D. 02cos >α 7.
在
函
数
①
|
2|cos x y =，
②
|
cos |x y =
，
③)6
2cos(π+=x y ,④)4
2tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函
数为
A.①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③
16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得
M
点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角
45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测学科
网得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .
(2013年 全国卷1)
9．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）
10．已知锐角
ABC
∆的内角
,,A B C
的对边分别为
,,a b c
，
223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =
（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5
16．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则
cos θ=______.
(2012年 全国卷1)
9.已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4
π和x =54
π是函数()sin()
f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=
（A ）π4 （B ）π3 （C ）π
2 （D ）3π4
17.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角
A ,
B ,
C 的对边，3sin sin c a C c A =-.
(Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若a =2，ABC ∆3b ，c .
三、题型归纳
题型一、三角函数定义的应用
1.若点P 在－10π
3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y
等于( )
A.－33
B.3
3 C.－ 3 D. 3
变式1．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )
A.2π3
B.11π6
C.5π6
D.3π
4
题型二、三角函数值的符号
2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )
A.2π3
B.11π6
C.5π6
D.3π
4
变式2.设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1
5
x ，则tan α＝( )
A.43
B.34 C ．－34
D ．－
43
题型三、同角三角函数关系式的应用
3.已知tan θ＝2，则sin 2
θ＋sin θcos θ－2cos 2
θ等于( )
A ．－43 B.54 C ．－34 D.45
4.已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α
的值为( )
A ．－32 B.32 C ．－34 D.3
4
变式3.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( )
A ．－1
B ．－22 C.2
2 D ．1
题型四 诱导公式的应用 5．(1)已知
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π3－α＝12，则
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π6＋α＝________.
(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝______
变式4.已知角α终边上一点
p(-4,3)，则cos()sin()
2119cos()sin()
22
π
απαππαα+---+的
值为
题型五、三角函数的图形变换 6.（1）要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin
4x 的图象( ) A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3
个单位
D ．向右平移π
3
个单位
（2）某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋
φ)⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f (x )的解析式；
(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π
6
个单位长度，得到y ＝
g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．
变式5.已知函数
y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； (2)说明
y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样
的变换而得到．
题型六、三角函数的性质问题 7.（1）函数
y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
π3－2x 的单调增区间为________.
（2）已知函数
f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋φ－π2⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )
A.
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x ＝k π－π6，k ∈Z
B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x ＝k π－π3，k ∈Z
C.
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈Z
D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z
（3）函数
f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π
12个单位后得到的函数为奇函数，
则函数f (x )的图象( )
A.关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π2，0对称
B.关于直线x ＝5π
12
对称
C.关于点⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫5π12，0对称
D.关于直线x ＝π
12
对称
（4）当x ＝π
4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，
则函数
y ＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫3π4－x 是( )
A.奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π2，0对称 B.偶函数且
图象关于点(π，0)对称
C.奇函数且图象关于直线x ＝π
2
对称 D.偶函数且
图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π2，0对称 变式6.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
题型七、最值与值域问题 8.已知函数2()(sinx cosx)cos 2f x x =++。 （1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。
变式7、已知函数()2sin()cos()sin(23)3
3
f x x x x πππ=++-+，若将函数
图像向左平移4
π个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)
在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值之和为 。
题型八、三角函数的求值、求角问题
9.（1）已知1sin 0,,tan 523πααβ⎛⎫
=
∈= ⎪⎝⎭
，
则tan(2)αβ+= 。
（2）已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝310
10
，则
α＋β等于( )
A.3π4
B.π4或3π4
C.π
4
D ．2k π＋π
4(k ∈Z )
变式8.（1）已知
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2θ－π3＝________. (2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－10
10，α，β均为锐角，
则角β等于( )
A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
！ 题型九、三角恒等变换的应用
10.已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，
θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π
4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与
最小值； (2)若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．
变式9.函数f(x)＝sin(2x－π
4
)－22sin2x的最小正周期是
________．
题型十、利用正、余弦定理解三角形
11 .（1）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a＝2,c
＝23,cos A＝
3
2
,且b A.3 B.22 C.2 D. 3 （2）在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝2π 3 ，则∠B＝________. （3）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知A＝π 4 ，b2－a2＝ 1 2 c2. ①求tan C的值； ②若△ABC的面积为3，求b的值． （4）在△ABC中，cos2B 2 ＝ a＋c 2c (a，b，c分别为角A，B，C 的对边)，则△ABC的形状为( ) A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形 变式10.（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C 的对边，a＝3b sin A－a cos B. ①求角B； ②若b＝2，△ABC的面积为3，求a，c. （2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ， c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 题型十一、三角函数的综合应用 12.已知向量m ＝(3sin(2π－x )，cos x )，向量n ＝ sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎪⎫ 3π2－x ，cos(π＋x )，f (x )＝m ·n . ①求y ＝f (x )的单调递增区间和对称中心； ②在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若有f (B )＝12，b ＝7，sin A ＋sin C ＝13314 ，求△ABC 的面积． 变式11.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，且a cos C－1 2 c＝b. (1)求角A的大小； (2)若a＝3，求△ABC的周长l的取值范围． 三角函数高考题型分类总结 根据出现频率和难度程度，三角函数的高考题型可以分为以下几类： 1.求解三角函数值：给定某个角度，求其正弦、余弦、正切等函数值。这是三角函数的基本应用，通常难度较低。 2.证明恒等式：要求学生运用三角函数的基本公式和性质，证明某些三角函数的恒等式。难度较高。 3.解三角形：给定某些三角形的一些角度或边长，要求学生利用三角函数的基础知识求解其余角度或边长。难度较高。 4.求解三角方程：给定某些三角函数的式子，要求学生解出该式的解集。这种题型通常需要学生掌握一定的三角函数公式，难度较高。 5.综合应用：要求学生将三角函数运用到实际问题中，如求解高度、距离等。考察学生对三角函数的理解和应用能力。难度较高。 除了以上几种常见的题型，还可能出现一些变形题，需要学生根据题目情况灵活运用三角函数的知识。总的来说，三角函数在高考中的重要性不言而喻，学生需要扎实掌握相关知识和技能。 6.三角函数的图像与性质：考察三角函数的图像、周期、奇偶性、单调性等性质，需要学生掌握函数图像的绘制和相关概念 的理解。 7.复合三角函数：考察学生对三角函数复合的概念和公式的掌握，需要注意不同变换下函数值的变化。 8.三角函数的导数：考察学生对三角函数的导数概念和计算方法的掌握，包括链式法则、求导公式等内容。 9.反三角函数：考察学生对反三角函数的定义、性质和公式的掌握，需要注意定义域、值域和解的判断。 10.三角函数的应用：考察学生将三角函数用于实际问题的解决，如解决三角形、距离等问题。 总的来说，三角函数是高中数学中重要的一部分，掌握好三角函数的知识对于高考的成绩至关重要。在复习中，学生需要注重基础知识的巩固，深入理解概念和定理，做好练习题和真题的训练，同时灵活应用所学知识解决实际问题。 三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2 x+2cos 2 x=(sin 2 x+cos 2 x)+cos 2 x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 （4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ= a b 确定。 （6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan 2 θ 的有理式。 2、证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 2 2)()(⨯= ⨯ =+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。 直线和圆的位置关系知识点补充 知识点1：判断直线和圆的位置关系：（1）利用圆心到直线的距离等于半径。（2）直线过一 定点，此定点在圆内，则直线和圆相交。 知识点2 圆),(,00222y x r y x 经过圆上点=+的切线方程为200r yy xx =+；点) ,(00y x 为圆,)()(222r b y a x =-+-上一点，则过该点的切线方程为 200))(())((r b y b y x x a x =--+-- 知识点 3 ;过圆外一点可作出圆的两条切线，求切线方程时，通常 ),(,00222y x r y x 经过点=+设切线的点斜式方程，若求出的k 只有一个，则说明还有一 条切线必垂直于x 轴（无斜率），。应补上。 三角函数的图象和性质 知识点1 ：只要求三角函数的周期，对称轴，对称中心，单调区间，值域，一般是将三角 函数化为同角一次，在此使用辅助角公式。)sin(ϕ+=wx A y ，使用对三角函数的整体思 想去做。 知识点2 三角函数的两种图象平移：(1)先伸缩后平移；（2）先平移后伸缩 知识点3 三角函数周期的求解方法（1）利用求解周期的定义（2）利用公式w T w T ππ==,2 （3）对于较为复杂的三角函数转化为)sin(ϕ+=wx A y +k 求解 知识点4 确定三角函数的单调区间 函数)sin(ϕ+=wx A y （A>0，w>0）的单调区间的确定：基本思路是讲ϕ+wx 看做一 个整体，由函数名称对于的原单调区间求解对于的x 的范围 若0 三角函数、解三角形高考常见题型 解题思路及知识点总结 一、解题思路 （一）解题思路思维导图 （二）常见题型 1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题 典例1：（2016年3卷）若tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 【解析】2cos 2sin 2αα+=25 64 1tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222 =++=++ααααααα故选A ． 2.三角恒等变换给值求值问题 典例2：（2016年2卷9）若π3 cos 45 α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） （A ） 7 25 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - 【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ 7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选D ． 3．图象法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 典例3：（2017年3卷6）设函数()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减 【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左 平移π3个单位得到，如图可知， ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上先递减后递增，D 选项错误，故选D. 4．复合函数法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 π 《解三角形》题型归纳【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例 1 ∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin( A +C) = 8sin2B ． 2 (1)求cos B (2)若a +c = 6 ，∆ABC 面积为2，求b ． 【答案】（1）cos B =15 （2）b = 2 ．17 【解析】由题设及A +B +C =π得sin B = 8sin2B ，故sin B = 4(1- cos B) ．2 上式两边平方，整理得17 cos2B - 32 cos B +15 = 0 ，解得cos B = 1 （舍去），cos B = 15 17 . （2）由cos B =15 得sin B = 8 ，故S = 1 ac sin B = 4 ac ． 又S ∆ABC 17 17 = 2 ，则ac = 17 ． 2 ∆ABC 2 17 由余弦定理及a +c = 6 得b2 =a2 +c2 - 2ac cos B = (a +c)2 - 2ac(1+ cos B) = 36 - 2⨯17 ⨯ (1+ 15 ) = 4 ．2 17 所以b = 2 ． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2 △ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c ,若2b cos B =a cos C+c cos A ,则B =. π 【答案】 3 【解析】2 s in B cos B = sin A cos C + sin C cos A = sin( A +C) = sin B ⇒ cos B =1 ⇒B = π . 2 3 高中数学常见三角函数题型及解法 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光. 三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。 1、三角函数的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取. 例1（10全I 卷理2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒= A. k B.-k D. 解： 222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-, ∴tan100tan80︒=-sin 80 cos80k =-=-。故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2（10全1卷文1）cos300︒=(A)12(C)12 解：()1cos300cos 36060cos602 ︒=︒-︒=︒= 评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值 这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值. 例3（10重文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等.设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则 23 23 1 1 cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________ 解： 又 1232αααπ++=，∴123 1cos 32 ααα++=- 评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本 技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的. 例4（10全1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25α =-,则tan(2)4πα+=. 解： α为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ2 32+k 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）∆S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 三角函数解三角形题型归类 一知识归纳： （一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝ ． (3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 . (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝1 2|α|·r 2. 3．任意角的三角函数 （1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ． （2）任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0) 4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念 1．三角函数诱导公式⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ k 2π＋α(k ∈Z)的本质 奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)． 2．两角和与差的三角函数公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； 专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类 目录 一、热点题型归纳 【题型一】三角函数求解析式：“识图” ................................................................................................. 1 【题型二】图像与性质1：单调性与值域 ................................................................................................ 2 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 ................................................................................ 3 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 ................................................................................ 4 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴 ................................................................................................ 5 【题型六】解三角形1：面积与周长常规 ................................................................................................ 6 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 ............................................................................................ 6 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） ........................................................................................ 7 【题型九】解三角形4：周长最值............................................................................................................ 8 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 ........................................................................ 8 【题型十一】解三角形6：最值范围综合 ................................................................................................ 9 二、真题再现 .............................................................................................................. 错误!未定义书签。 三、模拟测试 .............................................................................................................. 错误!未定义书签。 【题型一】三角函数求解析式：“识图” 【典例分析】 （2023·全国·高三专题练习）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π 0,02 A ϕ>≤≤ ）部分图象如图所示，1 (,)3 P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点． (1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值； (2)若π PMN PNM ∠+∠=，求A 的值． 高考数学三角函数与解三角形解答题专题 一、归类解析 题型一：三角函数的图象和性质 【解题指导】 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解． 【例】设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间； (2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3 个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g )6 ( 的值． 【变式训练】 已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532 (其中x ∈R )，求： (1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间； (3)函数f (x )图象的对称轴和对称中心． 题型二：解三角形 【解题指导】 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍． 【例】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求角A 和边长c ； (2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【变式训练】在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37 a . (1)求sin C 的值； (2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 题型三：三角函数和解三角形的综合应用 【解题指导】 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响． 【例】如图，某机械厂欲从AB ＝2米，AD ＝2 2 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF 加工成某仪器 三角函数和解三角形典型题及常见题汇总 三角函数是数学中重要的分支之一，它与解三角形问题密切相关。 本文将对三角函数的基本概念进行介绍，并通过解典型题和常见题的 方式，帮助读者更好地理解和应用三角函数。 一、三角函数的基本概念 1. 正弦函数（sine function）：对于一个角α，它的正弦值（sinα） 等于其对边与斜边的比值，可以表示为sinα = 对边/斜边。 2. 余弦函数（cosine function）：对于一个角α，它的余弦值（cosα）等于其邻边与斜边的比值，可以表示为cosα = 邻边/斜边。 3. 正切函数（tangent function）：对于一个角α，它的正切值（tanα）等于其对边与邻边的比值，可以表示为tanα = 对边/邻边。 二、解三角形典型题 1. 已知两边及夹角（SSA）：当已知一个三角形的两边和夹角时， 可以利用正弦定理求解第三边的长度。具体步骤是： a) 使用正弦定理：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C分别表 示三个角的度数，a、b、c分别表示这些角所对应的边长。 b) 带入已知数据，求解未知边的长度。 2. 已知两个边及对应角（SSS）：当已知一个三角形的两个边及其 夹角时，可以利用余弦定理求解第三边的长度。具体步骤是： a) 使用余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中a、b、c分别 表示三角形的边长，C表示对应的角度。 b) 带入已知数据，求解未知边的长度。 三、常见题汇总 1. 解三角形：已知三个角或两个角及一边的情况下，求解三角形的 边长和角度。 2. 三角函数的图像与性质：通过画图并观察三角函数的周期、对称轴、最大最小值等性质。 3. 三角方程的求解：根据给定的三角方程，使用三角函数的性质和 恒等式进行推导和求解。 4. 三角函数的应用：在物理、工程等领域中，通过三角函数可以描 述和求解各种周期性现象，如电流的变化、振动的周期等。 结束语 通过学习三角函数和解三角形的典型题目，我们能够更好地理解和 运用三角函数的概念和公式。同时，解题过程中需要注意角度的单位，并熟练掌握正弦、余弦、正切函数的计算方法。希望本文能够为读者 提供一定的帮助，进一步提升数学解题能力。 解三角形 1. 与角平分线有关的解三角形 1. 在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______（面积法） 2.（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求 C B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，DC =2 2 求BD 和AC 的长.（相关角列方程） 3. △ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求 sin sin B C ∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠. 重点结论：角平分线性质： （1）平分角 （2）到角两边距离相等 （3）线段成比例 2．解三角形范围问题 例1、在锐角ABC ∆中，BC=1，B=2A ，则的值等于______,AC 的取值范围为________. 例2、在ABC ∆中，∠A 60=︒，BC=3，则ABC ∆的两边AC+AB 的取值范围是____________. 例3、在ABC ∆中，∠B 60=︒，AC= ，，则AB+2BC 的最大值____________. 注：正弦定理，内角和180；余弦定理，任意两边之和大于第三边 ABC的面积． 1 =-； 1 ,cos 8B == 4.（2020•全国1卷）设函数()cos π ()6 f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ） A. 10π 9 B. 7π6 C. 4π3 D. 3π2 5.（2020•全国1卷）已知 π()0,α∈ ，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A. 5 3 B. 23 C. 13 D. 59 6.（2020•全国2卷）若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 7.（2020•全国2卷）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ； （2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 三角函数与解三角形 热点一 解三角形 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题. 【例1】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1. (1)求B 的大小； (2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积. 【解析】(1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1， 得2(sin A sin C －cos A cos C )＝1，即cos(A ＋C )＝－12， ∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝12， 又0 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ， 所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝21，所以a ＋c ＝21. 【变式2】在本例条件下，若b ＝3，求△ABC 面积的最大值. 【解析】由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 则3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ，所以ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝3时取等号). 所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12×3×sin π3＝334. 故△ABC 面积的最大值为334. 【类题通法】利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 第一步：找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向. 第二步：定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化. 第三步：求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果. 第四步：再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性. 【对点训练】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ； (2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 【解析】(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2 B 2， 即sin B ＝4(1－cos B)， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)． (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得 三角函数解三角形专题 一．解答题（共33小题） 1．设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当x∈[﹣，）时，求f（x）的取值范围． 2．已知函数f（x）=4sinx•sin（x+）﹣1， （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值． 3．已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值． 4．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求ω的值； （Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性． 5．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），x∈R． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域； （Ⅱ）若x=x0（x0∈[0，]）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值． 6．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若α是第一象限角，且f（α+）=，求tan（α﹣）的值． 7．已知函数． （I）求函数f（x）的最小正周期； （II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值． 8．已知函数 （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f（x）在上的值域． 9．已知函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x． （I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （II）求函数f（x）在区间[0，]的最大值及所对应的x值． 10．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值． 11．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期、零点； （Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值． 12．已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间； （2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积． 13．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣2 （1）求f（x）的单调递增区间； （2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=（C）=﹣1，若2sinA=sinB，求△ABC的面积． 14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c．（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若sin（）cos（）﹣sin2（）=，求cosC的值．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c=1，cosA=，三角函数高考题型分类总结
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