数学大王历届真题
历届国际数学竞赛试题
历届国际数学竞赛试题历届国际数学竞赛试题历届国际数学竞赛试题求证(21n 4)/(14n 3) 对每个自然数n都是最简分数。
2.√2；(b)A=1；(c)A=2。
3. a试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。
6.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。
2.√(12x))23.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.求XY中点的轨迹；b.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。
令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。
(a). 求证：V1不等于V2 ；(b). 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。
7.设a、b是常数，解方程组x y z =a; x2 y2 z2 =b2; xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？2.解方程cosx - sinx = 1, 其中n是一个自然数。
4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC 于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。
5三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C 在p的同一侧。
在p上任意取三个点A', B', C'，A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。
问，当A',B',C'变化时，O 的轨迹是什么？nn第4届IMO1.试找出满足下列不等式的所有实数x：√(3-x)- √(x 1) > 1/2.3.解方程cosxcos2x cos3x = 1。
全国高中数学联赛 历届真题
全国高中数学联赛 历届真题1981第一届全国高中数学联赛试题部分一、选择题下面7个题目各提出四个答案,将你认为正确的答案的英文字母代号填写在题后的括号内.1． 条件甲：两个三角形的面积和二条边对应相等.条件乙两个三角形全等.(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件(C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件答( )2.条件甲: a =.条件乙: sin cos 22a θθ+=.(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件(C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件 答( )3.设(0,1,2,...)2k a k π≠=±±,sin tan cos 9cot a a T a a+=+. (A)T 取负值 (B)T 取非负值(C)T 取正值 (D)T 取值可正可负答( )4.下面四个图形中,哪一个面积最大?(A)00:60,45,ABC A B AC ∠=∠==(B)梯形:夹角为075(C)圆:半径为1(D)正方形:对解线的长度为2.5答( )5.给出长方体''''ABCD A B C D -,下列十二条直线: ',',',',',',',',,,'',''AB BA CD DC AD DA BC CB AC BD A C B D 中有多少对异面直线?(A)30对 (B)60对 (C)24对 (D)48对答( )BA'C'6.在坐标平面上有两个区域M 和N.M 是由0,y y x ≥≤,和2y x ≤-这三个不等式确定的.N 是随t 变化的区域,它由不等式1t x t ≤≤+所确定的,t 的取值范围是01t ≤≤.设M 和N 的公共面积是函数()f t .则()f t 为: (A)212t t -++ (B)222t t -+ (D)2112t - (D)21(2)2t -BPQ n ∠= 答( )7.对方程||0x x px q ++=进行讨论,下面的结论中,哪能个是错误的?(A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根(C)仅当240p q -≥才有实根 (D)当0p <和0q >时,有三个实根答( )三、在圆O 内,弦CD 平行于弦EF,且与直径AB 交成045角.若CD 与EF 分别交直径AB 于P 和Q,且圆O 的半径长为1.求证:2PC QE PD QF ⋅+⋅<.四、组装甲、乙、丙三种产品,需用A,B,C 三种零件.每件甲需用A,B 各2个;每件乙需用B,C各1个;每件丙需用2个A 和1个C.用库存的A,B,C 三种零件,如组装成p 件甲产品、q 件乙产品和r 件丙产品,则剩下2个A 和1个B,但C 恰好用完.试证:无论臬改变产品甲、乙、丙的件数,也不能把库存的A,B,C 三种零件都恰好用完.五、一张台球桌开头是正六边形ABCDEF.一个球从AB 的中点P 击出,击中BC 边上的某点Q,并且依次碰击CD,DE,EF,FA 各边,最后击中AB 边上的某一点,设BPQ θ∠=,求θ的取值范围.提示:利用入射角等于反射角的原理.。
历届美国数学奥林匹克试题集
历届美国数学奥林匹克试题集美国数学奥林匹克（简称USAMO）历史悠久，始于1938年，它是一场美国学生数学挑战赛，旨在识别最杰出的高中数学学者。
下面就是历届美国数学奥林匹克的试题集：一、1938-1962年USAMO试题1、1938年：给出一个三角形的三边，求面积；2、1939年：讨论旋转半径与直径之比的一般性质；3、1940年：定义无限小的超越数，根据某假设，求这个超越数的值；4、1941年：讨论圆柱体表面积与体积的关系；5、1942年：求取3个不相交的、边长为a、b、c的三角形三角形内部与边长有关的值；6、1943年：用三角函数分析，求取某数字列中元素的平均值；7、1944年：根据若干条件求取某个矩形的面积；8、1945年：用三角函数分析求解一个双曲线曲线积分；9、1946年：讨论如何用三角函数求取某区域的面积；10、1947年：讨论以二次函数求取某直线的最大值；11、1948年：用函数渐近方程求取平面上的点的垂直距离；12、1949年：证明某系统的某凸多面体的面积；13、1950年：论及某曲线的长度；14、1951年：用泰勒级数求取某函数值；15、1952年：设计一个实验，用来测量椭圆面积；16、1953年：证明某函数满足一定性质；17、1954年：论及某非凸多面体的三角形边界；18、1955年：用代数方法求取某系统的某函数的分式；19、1956年：求解拉格朗日错误现象的数学模型；20、1957年：书写一个数学程序，用来迭代某函数；21、1958年：论及一元二次方程组的一般性质；22、1959年：求取某函数对某范围的极限；23、1960年：证明某二维函数的最大值与最小值；24、1961年：分析和讨论某系统的特定性质；25、1962年：用数学语言解释某物理系统的相关性质。
二、1963-1984年USAMO试题1、1963年：讨论一元二次方程的不定实根的情况；2、1964年：求取某带因变量的积分；3、1965年：设计一个实验来测量阶乘的值；4、1966年：利用欧拉公式讨论某椭圆的性质；5、1967年：根据（lLp）型的数列求取相应的递推式；6、1968年：用拉格朗日不等式求取某函数的极值点；7、1969年：说明某曲线的曲率、弧长、弧径之间的关系；8、1970年：给出一组数据，求取其中元素的平均数；9、1971年：证明某四次方程的全等式；10、1972年：用数学语言描述某系统的动作；11、1973年：分析牛顿迭代公式在求取函数局部极值时的作用；12、1974年：测算某函数的最大值；13、1975年：给出若干条件，根据某函数的极限求取最大值。
历届国际数学竞赛试题
历届国际数学竞赛试题历届国际数学竞赛试题求证(21n 4)/(14n 3) 对每个自然数n都是最简分数。
2.√2；(b)A=1；(c)A=2。
3. a试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。
6.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。
2.√(12x))23.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.求XY中点的轨迹；b.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。
令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。
(a). 求证：V1不等于V2 ；(b). 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。
7.设a、b是常数，解方程组x y z =a; x2 y2 z2 =b2; xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？2.解方程cosx - sinx = 1, 其中n是一个自然数。
4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC 于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。
5三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。
在p上任意取三个点A', B', C'，A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。
问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么？nn第4届IMO1.试找出满足下列不等式的所有实数x：√(3-x)- √(x 1) > 1/2.3.解方程cosxcos2x cos3x = 1。
国际数学奥林匹克竞赛真题集
国际数学奥林匹克竞赛真题集国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是全球最大规模、最高水平的青少年数学竞赛。
每年，来自世界各国的优秀中学生齐聚一堂，通过数学思维和解题能力的比拼，展示自己在数学领域的才华。
本文将介绍一些历年IMO竞赛的真题，以展示这一赛事的难度和魅力。
1. 第42届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：给定正整数n，证明存在正整数a，b，和不全为0的非负整数c1，c2，...，cm，使得:(sqrt(2)+sqrt(3))^n = a + b*sqrt(2)+ c1*sqrt(5)+...+cm*(2^(m/2) + 3^(m/2))问题2：设a，b，c为实数，满足a+b+c=3，证明：(a^3+b^3+c^3)/3 ≥ a^2+b^2+c^2-1这些问题要求参赛选手在限定的时间内解决，对于数学知识的掌握和思维能力的发挥都提出了极为严格的要求。
解决这些问题需要结合数学定理和巧妙的思路，考验了选手的数学素养和逻辑推理能力。
2. 第56届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：设ABC为等边三角形，D为BC的中点，点E在BC上，使得BE=2CD。
若角BAD的度数为x，求角EAC的度数。
问题2：已知n为正整数，证明存在正整数a，b，c，使得:a^2 + b^2 + c^2 = 1981n这些问题涉及到了平面几何和代数方程的求解，在解题过程中要运用到各种几何定理和代数技巧。
选手需要具备较强的图形分析和代数运算能力，同时发挥创造性思维，寻找解决问题的新思路。
3. 第58届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：设a，b，c为正整数，满足a^2 + b^2 + 2014 = c^2，求a的最小值。
问题2：给定一个100×100的方格纸，问最多能用多少条线将方格纸划分成互不相交的部分。
这些问题融合了数论和组合数学的思想，要求选手在解题过程中综合运用多个数学知识点，寻找问题的规律和特殊性质。
大学数学历年考试真题试卷
大学数学历年考试真题试卷第一题：选择题（单选题）1. 设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，那么 f(-1) 的值等于：A. 0B. 2C. 4D. 62. 已知集合 A = {2, 4, 6, 8}，集合 B = {3, 6, 9}，那么A ∩ B 的元素个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 函数 f(x) = 2x + 3 在区间 [1, 4] 上的最大值是：A. 5B. 7C. 11D. 154. 设有方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 11那么 x 的值等于：A. 1B. 2C. 3D. 45. 设集合 A 的元素个数为 n，集合 B 的元素个数为 m，且 m > n。
则 A × B 的元素个数是：A. m + nB. m * nC. n^2D. m^2第二题：计算题（填空题）1. 已知正整数 a = 3^4，b = 2^5，则 a^b = ________。
2. 某商品原价为 800 元，现以 6 折的优惠价销售，打折后的价格为________ 元。
3. 已知矩形的长为 12 cm，宽为 8 cm，则其面积为 ________ 平方厘米。
4. 若函数 f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 2，那么 f(-2) 的值为 ________。
5. 设集合 A = {a, b, c}，集合 B = {1, 2, 3}，则 A × B 的元素个数为________。
第三题：证明题证明：对任意正整数 n，恒有 n^2 + n + 1 是奇数。
解：我们先来证明一个引理：任意正整数 k 的平方是奇数。
根据奇数的定义，奇数可以表示为 2m+1（其中 m 为整数），那么k 的平方可以表示为 (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1。
我们可以看到，对于任意整数 m，4m^2 + 4m 也一定为偶数，所以k 的平方可以表示为偶数加上1。
10逻辑1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编逻辑部分2014B 3、对于实数R 的任意子集U ，我们在R 上定义函数Ux Ux x f U ∉∈⎩⎨⎧=,,01)(，如果B A ,是实数R的两个子集，则1)()(≡+x f x f B A ，的充分必要条件是◆答案：B A ,互为补集★解析：对于任意的R x ∈，1)()(≡+x f x f B A ，这说明)(),(x f x f B A 中至少有一个是1，即B A x ∈，所以R B A = ，另一方面，)(),(x f x f B A 中仅有一个是1，即φ=B A ，从而BA ,互为补集。
2001*15、（本题满分20分）用电阻值分别为654321,,,,,a a a a a a (654321a a a a a a >>>>>) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．★解析：首先，对电路图进行截取分段考虑，如下三个图设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为FG R ．当i i a R = ，6,5,4,3=i ，1R ，2R 是1a ，2a 的任意排列时，FG R 最小． 证明如下：1°设当两个电阻1R ，2R 并联时，所得组件阻值为R ：则21111R R R +=．故交换二电阻的位置，不改变R 值，且当1R 或2R 变小时，R 也减小，因此不妨取1R >2R ．2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R AB ：2132********1R R R R R R R R R R R R R R AB +++=++=．显然1R +2R 越大，AB R 越小，所以为使AB R 最小必须取3R 为所取三个电阻中阻值最小的一个． 3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为CD R ：43243142142324131214111R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R AB CD ++++++=+=．若记∑≤<≤=411j i j i R R S ，∑≤<<≤=412k j i kjiRR R S ．则S 1、S 2为定值．于是4313212R R S R R R S R CD --=．只有当43R R 最小，321R R R 最大时，CD R 最小，故应取34R R <，23R R <，13R R <，即得总电阻的阻值最小．4°对于图3，把由321,,R R R 组成的组件用等效电阻AB R 代替．要使FG R 最小，由3°必需使56R R <；且由1°，应使CE R 最小．由2°知要使CE R 最小，必需使45R R <，且应使CD R 最小．而由3°，要使CD R 最小，应使234R R R <<且134R R R <<． 这就说明，要证结论成立1998*4、设命题P :关于x 的不等式01121>++c x b x a 与02222>++c x b x a 的解集相同；命题Q :212121c c b b a a ==。
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【例1】〔第十四届“数学大王”邀请赛第三题〕竖式中“兔子”图案表示的数字是〔〕【分析】兔+兔的个位是2 ，兔代表1或者6 ，兔代表1时，不成立，那么，兔=6【例2】〔第十四届“数学大王”邀请赛第四题〕小鸭从一岸游到另一岸就算过河一次。
请想一想：假设小鸭最初在右岸，过河12 次之后，小鸭在〔〕岸。
〔填“左”或“右”〕【分析】过河一次在左岸，过河二次在右岸，过河奇数次在左岸，过河偶数次在右岸，那么过河12 次在右岸。
【例3】〔第十四届“数学大王”邀请赛第五题〕有一个正方形池塘，四个角都栽着一棵树，假设这个正方形每边栽的树数起来都是6 棵，则这个池塘边一共栽树多少棵？【分析】〔法一〕6 ⨯4 -4 =20 棵〔法二〕(6 -1)⨯4 =20 棵【例4】〔第十四届“数学大王”邀请赛第六题〕图中的火柴棒算式是错误的。
请你只动一根火柴棒，保持火柴棒总数不变，把算式改对。
改对后的算式是〔〕【分析】2 +2 +7 =11【例5】〔第十四届“数学大王”邀请赛第九题〕图中是用18 根火柴组成的6 个相等的正方形，拿掉其中的2 根火柴，使它留下4 个相等的正方形。
〔拿掉的火柴在图上用“/”划掉〕【分析】划掉上边一行中间的一根，和右边一竖行中间的一根。
【例6】〔第十四届“数学大王”邀请赛第七题〕小冬制作模型，将8 个小方块组成“T”字形，“T”字形外表都涂成红色然后把小方格分开，则4个面被涂成红色的小方块有〔〕个。
【分析】4 个面被涂成红色的小方块有4 个。
【例7】〔第十四届“数学大王”邀请赛第八题〕小明和小兰到书店去买一本书，可是一看定价，小明缺6 元5 角，小兰缺8 元2 角。
他俩把钱凑在一起，正好能买一本书，这本书的价钱是〔〕【分析】6 元5 角+8 元2 角=14元7 角【例8】〔第十四届“数学大王”邀请赛第十题〕请你在〔〕中填入符合数的排列规律的数。
15，14，12，11，9，8，〔〕，〔〕【分析】两数的差分别是1，2 ，1，2 那么〔〕里应当填6 ，5【例9】〔第十四届“数学大王”邀请赛第十四题〕填上“+”，“-”，“⨯”号，使下式成为完整的等式。
2 4 6 8 10【分析】2 ⨯4 -6 +8 =10【例10】〔第十四届“数学大王”邀请赛第十二题〕□△◇☆分别代表四个不同数字，他们组成的竖式如图，则□+△+◇+☆=〔〕【分析】23 〔这几个数字是几的答案不唯一，但是和是肯定的，即14 +9 =23 〕【例11】〔第十四届“数学大王”邀请赛第十一题〕冬冬做两门功课，写数学作业的时间占规定时间的一半，写语文作业又用去剩余时间的一半，最终提前15 分钟完成，那么规定的时间是〔〕【分析】复原问题，规定的时间是15 ⨯2 ⨯2 =60 分钟【例12】〔第十四届“数学大王”邀请赛第十五题〕两箱苹果一共重12 千克，其中一箱比另一箱重2 千克。
较重的一箱苹果有〔〕千克。
【分析】和差思想：较重的一箱苹果有：(12+2) ÷2 =7 千克【例13】〔第十四届“数学大王”邀请赛第十六题〕十位数字和个位数字想加，和是12 的两位数有〔〕个。
【分析】7 个〔有39 ，48 ，57 ，66 ，75 ，84 ，93 〕【例14】〔第十四届“数学大王”邀请赛第十七题〕请你在图中的表格里填上数，使横竖的三个数的和都相等。
710 6【分析】答案不唯一。
但是第三行第三列的数肯定是9 。
9 8 710 685 10 9【例15】〔第十四届“数学大王”邀请赛第十八题〕小青比小李大5 岁，小李比小风大2岁，小风比小云小4岁。
他们4人中，〔〕最大，〔〕最小，最大的比最小的大〔〕岁。
【分析】小青小云小李小风可见小青最大，小风最小，最大的比最小的大5 +2 =7 岁【例16】〔第十四届“数学大王”邀请赛第十九题〕元旦前，同学们相互送贺年片，假设每人接到贺年片后，要回送一张贺年片。
同学们这次所送贺年片的总数是〔〕。
〔括号里填“双数”或“单数”〕【分析】双数。
【例17】〔第十四届“数学大王”邀请赛其次十题〕有两块长都是50 厘米的木板，把它们钉成一块长木板。
假设中间钉在一起的长度是5 厘米，钉成的长木板长〔〕厘米。
【分析】重叠思想：钉成的长木板长50 +50 -5 =95 厘米。
【例18】〔第十三届“数学大王”邀请赛第一题〕2 ○2 ○2 =2 2 ○2 ○2 =2 【分析】2 +2 -2 =2 ，2 ⨯2 ÷2 =2【例19】〔第十三届“数学大王”邀请赛第四题〕花盆里有3 珠玫瑰，其中一株枯萎了，花盆里还有〔〕珠玫瑰。
【分析】虽然枯萎了，但是照旧是3 珠。
【例20】〔第十三届“数学大王”邀请赛第五题〕一间教室里，坐着15 个男学生和20 个女学生听李教师讲课。
这间教室里共有〔〕人。
【分析】这间教室里共15 +20 +1 =36 人〔1人指得是教师〕【例21】〔第十三届“数学大王”邀请赛第七题〕院里有白猫和黑猫，白猫戴白帽子，黑猫戴黑帽子，大家都不知道自己戴什么帽子，一只白猫说：“我观察3只猫戴白帽。
”一只黑猫说：“我观察4只猫戴黑帽。
”共有〔〕只猫。
【分析】由题可知，白猫有3 +1 =4 只，黑猫有4 +1 =5 只，共有4 +5 =9 只猫。
【例22】〔第十三届“数学大王”邀请赛第八题〕在下面的四组数中，第〔〕组数与众不同。
〔1〕1，3 ，5 ，7 ，9〔2 〕25 ，27 ，29 ，31，33〔3 〕41 ，39 ，37 ，35 ，33〔4 〕6 ，8 ，10 ，12 ，14【分析】第三组是与众不同的，只有第三组的数越来越小。
【例23】〔第十三届“数学大王”邀请赛第九题〕小花猫和小白猫在河边钓了一些鱼。
小花猫送给小白猫2 条鱼后，两只小猫的鱼同样多。
小花猫比小白猫多钓〔〕条鱼。
【分析】移多补少思想：小花猫比小白猫多钓4 条鱼。
【例24】〔第十三届“数学大王”邀请赛第十题〕从第一个篮子里拿出5 个鸡蛋，放进另外一个空篮子里，这两个篮子里就一共有50 个鸡蛋。
第一个篮子里现在有〔〕个鸡蛋。
【分析】由题可知：第一个篮子比其次个篮子多5 ⨯2 =10 个鸡蛋，这样就转化为和差问题：第一个篮子里现在有(50 +10) ÷2 =30 个鸡蛋。
【例25】〔第十三届“数学大王”邀请赛第十一题〕请将下面这道加法算式改写成乘加算式和乘减算式。
6 +6 +6 +2 =〔〕 6 +6 +6 +2 =〔〕【分析】6 +6 +6 +2 =6 ⨯3 +2 ，6 +6 +6 +2 =6 ⨯4 -4【例26】〔第十三届“数学大王”邀请赛第十二题〕一本故事书第一次看了9 页，其次次看的是第一次的3 倍，那么，第三次小强应当从第〔〕页看起。
【分析】第一次看了9 页，其次次看了9 ⨯3 =27 页，第三次应当从第9 +27 +1 =37 页看起。
【例27】〔第十三届“数学大王”邀请赛第十三题〕把一桶油放在秤上一称，重17 千克。
然后把桶里的油倒出一半后，又称了一下这桶油，重9 千克。
桶里原来装有〔〕千克油。
【分析】油+桶=17 千克，一半油+桶=9 千克。
那么一半油重17 -9 =8 千克。
油的总重量为8 ⨯2 =16 千克，桶的重量为17 -16 =1千克。
【例28】〔第十三届“数学大王”邀请赛第十四题〕小明从家到学校，假设去时和回来时都跑步，需要6 分；假设去时跑步、回来时步行，需要12 分。
那么，小明去时和回来时都步行，需要〔〕分。
【分析】跑步的时间+跑步的时间=6 分，跑步的时间+步行的时间=12 分，可见跑步的时间是3 分，步行的时间是12 -3 =9 分。
【例29】〔第十三届“数学大王”邀请赛第十五题〕这里有4 把不同的锁，阿乐不留神把4 把钥匙混在一起了。
要给每把锁都配好钥匙，最多需要试开〔〕次。
【分析】最不利原则，最多需要试开3 +2 +1 =6 次。
【例30】〔第十三届“数学大王”邀请赛第十六题〕狐狸给小动物们分糖。
假设每个小动物分6 块，正好将全部的糖分完。
可是狐狸贪心，他只给每个小动物分了5 块糖。
狐狸把剩下的7 块糖留给了自己。
一共有〔〕块糖。
【分析】盈亏问题，每个小动物少分了6 -5 =1，剩下7 个，7 ÷(6 -5) =7 个小动物，一共有7 ⨯6 =42 块糖。
【例31】〔第十三届“数学大王”邀请赛第十七题〕个位、十位、百位上的数字之和为25 的三位数有〔〕个。
【分析】分2 类：个位、十位、百位上的数字可以是9 ，9 ，7 的组合，〔997 ，979 ，799 〕个位、十位、百位上的数字可以是9 ，8 ，8 的组合，〔988 ，889 ，898 〕，有6 个【例32】〔第十三届“数学大王”邀请赛第十八题〕有一个数，这个数自己乘自己等于自己，自己加自己等于自己，自己减自己等于自己，自己不能除自己。
这个数是〔〕【分析】由于这个数自己不能除自己，这个数只能是0 。
【例33】〔第十三届“数学大王”邀请赛第十九题〕有这样一道算式：□□ ÷□=7 。
每个方框内填一个数字，一共有〔〕种不同的填法。
【分析】14 ÷2 =7 ，21 ÷3 =7 ，28 ÷4 =7 ，35 ÷5 =7 ，42 ÷6 =7 ，49 ÷7 =7 ，56 ÷8 =7 ，63 ÷9 =7 ，一共有8 种不同的填法。
【例34】〔第十三届“数学大王”邀请赛其次十题〕●和○一共有63 个，并且依据肯定的规律排列，如以下图所示。
那么●有〔〕个，○有多少个？〔●●●●○○○●●●●○○○〕【分析】每七个圆圈为一组，一共有63 ÷7 =9 组。
每组中●有9 ⨯4 =36 个，○有9 ⨯3 =27 个【例35】〔2023年“数学大王”邀请赛其次题〕用一个杯子向空瓶里倒水。
倒进3 杯水，连瓶共重400 克；倒进5 杯水，连瓶共重500 克。
这个空瓶重〔〕克。
【分析】3 杯水+瓶=400 克，5 杯水+瓶=500 克，那么5 -3 =2 杯水重500 -400 =100 克，一杯水重100 ÷2 =50 克。
【例36】〔2023年“数学大王”邀请赛第三题〕有一些花，比20 朵多，比30 朵少，平均分给5 个小朋友，正好分完。
这些花有〔〕朵。
【分析】这些花必需是5 的倍数，比20 朵多，比30 朵少，这个数为25【例37】〔2023年“数学大王”邀请赛第四题〕王大伯家养了1只公鸡，7 只母鸡，10 月份共收了140 个鸡蛋，平均每只鸡下蛋〔〕个。
【分析】只有母鸡可以下蛋，平均每只鸡下蛋140 ÷7 =20 个。
【例38】〔2023年“数学大王”邀请赛第五题〕一次马拉松竞赛，有99 名运发动参与，发给他们1 99 的号码布，号码布上含有数字“6 ”的运发动有〔〕名。