中考数学求线段长五大类常考必会的方法

中考数学求线段长五大类常考必会的方法
常用求线段的方法：
1.勾股定理
2.等面积法
3.构造相似
4.作辅助圆
5.三角函数
在初中，求线段的方法基本就是利用上述五类方法，具体怎么用，我们用一道题来说明。

如图，三条平行线之间有个等边三角形，若
l和2l的间距是1，2l和3l的间
1
距是2，求ABC
的边长.
方法一：勾股定理
作垂线如下图，设三角形边长为x，则可以用勾股定理表示出AD，EC，CF
12-=x AD ，42-=x EC ，92-=x CF
然而AD=EC+CF ，因此解下面这个方程就可以了
12-x 42-=x 92-=x
这是一个无理方程，同学们不妨提前掌握其解法，毕竟上了高中后解无理方程是家常便饭，上述方程只需要平方两次即可。

记得用换元法，令2x y =
941-+-=
-y y y
()()994241-+--+-=-y y y y y
()()y y y -=--12942
()()()2
12944y y y -=--
14424144524222+-=+-y y y y 02832=-y y
0,3
28
21==
y y （舍） 3
212328==
x
总结：用勾股定理求线段是最基础的思想方法，以至于每一位同学都能想到它，既然大家都能想到的，说明辅助线或许很容易构造，但难题一定是计算量很大，因此同学们要加强计算能力，包括常见的思想方法比如换元法。

方法二：等面积法
以下做法由运河中学张祖珩提供
如下图所示，作BE ⊥AC ，AH ⊥2l ，CF ⊥2l ，取AC 与2l 的交点D
由FC=2AH 可知DC=2AD 我们不妨设x AC 3=，则
x AD 2=，x CD 2=，x AE 23=
，x ED 21=，x BE 2
3
3= x DE BE BD 722=+=
将线段都表示出来之后我们就可以利用等面积法了
DBC ABD ABC S S S ∆∆∆+=
CF BD AH BD BE AC ⋅+⋅=⋅21
2121 ()2172
1233321+⋅=⋅⋅x x x
9
21
2=
x 3
21
23=
=x AC 总结：当一个三角形出现两个高线，可以用面积公式表示两次面积并令其相等；或者三角形被分割成两个小三角形，我们也可以通过用割补法表示出面积的等式；这就是等面积法。

当然有时候需要适当的构造辅助线，往往题目能用等面积法会简单许多。

方法三：构造相似
首先我们需要重新画图，作出四条间距为1的平行线，然后再2l 和3l 之间做一个等边DEF ∆，再顺次倍长DE ，EF ，FD 分别至A ，B ，C ，易证A ，B ，C 分别在1l ，2l 和4l 上，且ABC ∆是等边三角形，就是我们题目中的等边三角形。

因为小等边DEF ∆的高为1，则
33
2
=
DE 这样一来大等边三角形和小等边三角形是相似的。

面积比等于边长比的平方。

而且初二的时候我们就学过大ABC ∆的面积是小DEF ∆面积的7倍，这样
2
17⎪⎭
⎫ ⎝⎛==∆∆DE AC S S DEF ABC 3
21
2=
AC
附：面积比的求法
如下图，利用等底同高则面积相等的原理，由FD=DC 可知，红色三角形面积等于黄色三角形面积，再由DE=AE 可知，黄色三角形面积等于绿色三角形面积，同理可求ABE ∆和CBF ∆的面积，这样ABC ∆的面积就是DEF ∆面积的7倍了
总结：利用相似三角形解题会领题目更加简单，简单的相似不多说，我们需要熟练掌握一些经典的相似三角形的模型方能游刃有余。

或许你需要“相似”模型大全。

方法四-1：作辅助圆
以下做法由通州二中胡卓玉提供
作ABC ∆的外接圆，分别交1l ，2l ，3l 于D ，F ，E ，过B 作1l 和3l 的垂线于M 和N ，则BM=1，BN=2
由圆的内接四边形对角互补可知∠ADB=∠BEC=120°
而2l //3l ，这样∠EBF=60°又因为∠CBA=60°，这样∠EBC=∠FBA=∠BAD 再加上AB=BC 这一条件，这样()AAS BCE ABD ∆≅∆
CE BM BD ==︒=
332
60sin 334
60sin =︒=BN BE
33
2
60tan =︒=BN NE
2132
22=+=CN BN BC
总结：对于等边三角形，做外接圆是很常见的，这样可以得到对角互补的含120°的四边形，这个做法通俗易懂，知得大家学习，同时这个图中出现了经典的模型，CD=AD+BD ，你会不会证明呢？
方法四-2：作辅助圆
以A 为圆心，AB 为半径作圆，过 B 作3l 的垂线于E ，交圆于D ，连接CD
由垂径定理知BD=2，因为∠A=60°，由圆周角定理知∠D=30°
在CDE Rt ∆中
33
4tan =
⋅=D DE CE 在BCE Rt ∆中
213233422
2
2
2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=CE BE BC
总结：出现等腰三角形的时候，我们可以用顶点当圆心，腰为半径作辅助圆，再利用垂径定理，圆周角定理等解题，往往会事半功倍。

方法五：三角函数
作平行线间的高AD=1，CE-2，设正三角形边长为x
在ABD Rt ∆中
x
x x
1
1cos ,1
1sin 2-=
∠=∠ 在BCE Rt ∆中
由两角和的余弦可知
()2
160cos 21cos =
︒=∠+∠ 2
1
214122=⋅--⋅-x x x x x x ()()
2
1
241=-
--y y
y y ()()4412
+=--y y y
()
16845422++=+-y y y y 02832=-y y
0,328
21==
y y （舍） 2132=x
总结：确切来说多掌握一点方法是必须的，就是背几个公式而已，用三角函数的好处是基本不用辅助线，硬算就行。

以上，我们针对同一个题用五种思想共六种方法从不同的角度诠释了线段的求法，希望这篇文章对读者朋友们有所帮助。