2022年全国统一高考数学试卷和答案(新高考ⅰ)
2023年全国统一高考数学试卷(新高考I ) (解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（ ）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣2}D．{2}【答案】C【解答】解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}．故选：C．2．（5分）已知z＝，则z﹣＝（ ）A．﹣i B．i C．0D．1【答案】A【解答】解：z＝＝＝，则，故＝﹣i．故选：A．3．（5分）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（ ）A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1【答案】D【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．故选：D．4．（5分）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．（0，2]D．[2，+∞）【答案】D【解答】解：设t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，对称轴为x＝，抛物线开口向上，∵y＝2t是t的增函数，∴要使f（x）在区间（0，1）单调递减，则t＝x2﹣ax在区间（0，1）单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：D．5．（5分）设椭圆C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由椭圆C2：+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝＝，∴椭圆C2的离心率为e2＝，∵e2＝e1，∴e1＝，∴＝，∴＝4＝4（﹣）＝4（﹣1），∴a＝或a＝﹣（舍去）．故选：A．6．（5分）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（ ）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝；设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sin cos＝2××＝．故选：B．7．（5分）记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解答】解：若{a n}是等差数列，设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则S n＝na1+d，即＝a1+d＝n+a1﹣，故{}为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，若{}为等差数列，则可设﹣＝D，则＝S1+（n﹣1）D，即S n＝nS1+n（n﹣1）D，当n≥2时，有S n﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上两式相减得：a n＝S n﹣S n﹣1＝S1+2（n﹣1）D，当n＝1时，上式成立，所以a n＝a1+2（n﹣1）D，则a n+1﹣a n＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数），所以数列{a n}为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．故本题选：C．8．（5分）已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，则cos（2α+2β）＝（ ）A．B．C．﹣D．﹣【答案】B【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα＝，cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝，则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×＝．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(精校版)2022年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题(含答案)
普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是A ．()2,6-B ．()6,2-C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年江苏高考数学真题及详细答案解析
2022江苏省高考数学试卷及答案解析2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学I 卷数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目制定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}4＜x x M =，{}13N ≥=x x ，则N M ⋂=（）A.{}20＜x x ≤ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤231＜x xC.{}163＜x x ≤ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤1631＜x x2.已知()11=-z i ，则=+z z（）A.2- B.1- C.1D.23.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，DA BD 2=.记m A C =，n D C =，则=B CA.n m 23-B.n m 32+-C.n m 23+D.nm 32+4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km ²；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km ².将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为()65.27≈A.39100.1m⨯ B.39102.1m⨯ C.39104.1m ⨯ D.39106.1m⨯5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.61 B.31 C.21 D.326.记函数()()04sin ＞ωπωb x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的最小正周期为T .若ππ223＜＜T ，且()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛223，π中心对称，则=⎪⎭⎫⎝⎛2πf （）A.1B.23 C.25 D.37.设1.01.0ea =，91=b ，9.0ln -=c ，则A.c b a ＜＜ B.a b c ＜＜ C.b a c ＜＜ D.bc a ＜＜8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为π36，且333≤≤l ，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡48118， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡481427， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡364427， D.[]27,18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题(含答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试 新课标Ⅰ卷数学试卷1.已知集合，，则( ).A. B. C. D.2.若，则( ).A. B. C. D.3.已知向量，，若，则( ).A.-2B.-1C.1D.24.已知，，则( ).A. B. C. D.5.，则圆锥的体积为( ).A.B. C. D.6.已知函数在R 上单调递增，则a的取值范围是( ).A. B. C. D.7.当时，曲线与的交点个数为( ).A.3 B.4C.6D.88.已知函数的定义域为R ，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( ).A. B. C. D.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布，假设失去出口后的亩收入Y 服从正态分布，则( ).（若随机变量Z{}355A x x =-<<∣{3,1,0,2,3}B =--A B = {1,0}-{2,3}{3,1,0}--{1,0,2}-1i 1z z =+-z =1i --1i -+1i -1i+(0,1)a = (2,)b x = (4)b b a ⊥- x =cos()m αβ+=tan tan 2αβ=cos()αβ-=3m -3m-3m3m22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩(,0]-∞[1,0]-[1,1]-[0,)+∞[0,2π]x ∈sin y x =π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()(1)(2)f x f x f x >-+-3x <()f x x =(10)100f >(20)1000f >(10)1000f <(20)10000f <2.1X =20.01S =()21.8,0.1N ()2,N X S服从正态分布，则）A. B. C. D.10.设函数，则( ).A.是的极小值点B.当时，C.当时，D.当时，11.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( ).A.B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C 上时，12.设双曲线（，）的左右焦点分別为，，过作平行于y 轴的直线交C 于A ，B两点，若，，则C 的离心率为_________.13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛比赛后，甲的总得分小于2的概率为_________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，()2,N μσ()0.8413P Z μμ<+≈(2)0.2P X >>()0.5P X Z ><()0.5P Y Z >>()0.8P Y Z ><2()(1)(4)f x x x =--3x =()f x 01x <<()2()f x f x <12x <<4(21)0f x -<-<110x -<<(2)()f x f x ->(2,0)F (0)x a a =<2a =-()00,x y 0042y x ≤+2222:1x y C a b-=0a >0b >1F 2F 2F 113F A =||10AB =e x y x =+(0,1)ln(1)y x a =++a =ABC △sin C B =.（1）求B ；（2）若的面积为，求c .16.已知和为椭圆上两点.（1）求C 的率心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且的面积为9，求l 的方程.17.如图，四棱锥中，底面，，，（1）若，证明：平面PBC ；（2）若，且二面角，求AD .18.已知函数.（1）若，且，求a 的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若，当且仅当，求b 的取值范围.19.设m 为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是——可分数列.222a b c +-=ABC △3+(0,3)A 33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>ABP △P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA PC ==1BC =AB =AD PB ⊥//AD AD DC ⊥A CP D --3()ln (1)2x f x ax b x x =++--0b =()0f x '≥()y f x =()2f x >-12x <<1a 2a 42m a +i a ()j a i j <1a 2a 42m a +(,)i j（1）写出所有的，，使数列，，…，是——可分数列；（2）当时，证明：数列，，…，足——可分数列；（3）从1，2，…，中一次任取两个数i 和，记数列，，…，足——可分数列的概率为，证明：.(,)i j 16i j ≤<≤1a 2a 6a (,)i j 3m ≥1a 2a 42m a +(2,13)42m +()j i j <1a 2a 42m a +(,)i j m P 18m P >参考答案1.A解析：，选A.2.C解析：3.D解析：，，，，，选D.4.A解析：，，，选A.5.B解析：设它们底面半径为r ，圆锥母线l ，，，，，选B.6.B解析：在R 上↗，，，选B.7.C{1,0}A B =- 4(2,4)b a x -=- (4)b b a ⊥- (4)0b b a ∴-= 4(4)0x x ∴+-=2x ∴=cos cos sin sin sin sin 2cos cos m αβαβαβαβ-=⎧⎪⎨=⎪⎩sin sin 2cos cos m m αβαβ=-⎧∴⎨=-⎩cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-2ππrl ∴=l ∴==3r ∴=1π93V =⋅⋅=()f x 00e ln1a a -≥⎧⎨-≤+⎩10a ∴-≤≤解析：6个交点，选C.8.B解析：，，，，，，，，，，，，，，，，，选B.9.BC解析：，，，，A 错.，B 对.，，C 对.，D 错，所以选BC.10.ACD解析：A 对，因为；B 错，因为当时且，所以；C 对，因为，，，时，(1)1f =(2)2f =(3)(2)(1)3f f f >+=(4)(3)(2)5f f f >+>(5)(4)(3)8f f f >+>(6)(5)(4)13f f f >+>(7)(6)(5)21f f f >+>(8)(7)(6)34f f f >+>(9)(8)(7)55f f f >+>(10)(9)(8)89f f f >+>(11)(10)(9)144f f f >+>(12)(11)(10)233f f f >+>(13)(12)(11)377f f f >+>(14)(13)(12)610f f f >+>(15)(14)(13)987f f f >+>(16)1000f >(20)1000f ∴>()2~ 1.8,0.1X N ()2~ 2.1,0.1Y N 2 1.820.12μσ=+⨯=+(2)(2)()10.84130.1587P X P X P X μσμσ>=>+<>+=-=(2)( 1.8)0.5P X P X ><>=2 2.10.1μσ=-=-(2)( 2.1)0.5P Y P Y >>>=(2)()()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ>=>-=<+=>()3(1)(3)f x x x '=--01x <<()0f x '>201x x <<<()2()f x f x <2(21)4(1)(25)0f x x x -=--<2(21)44(2)(21)0f x x x -+=-->2223(2)()(1)(2)(1)(4)(1)(22)2(1)f x f x x x x x x x x --=------=--+=--11x -<<，，D 对.11.ABD解析：A 对，因为O 在曲线上，所以O 到的距离为，而，所以有，那么曲线的方程为.B 对，因为代入知满足方程；C 错，因为，求导得，那么有，，于是在的左侧必存在一小区间上满足，因此最大值一定大于1；D 对，因为.12.解析：由知，即，而，所以，即，代回去解得，所以.13.解析：14.解析：甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合、、、.得2分有三类，分别列举如下：（1）出3和出5的赢，其余输：，，，（2）出3和出7的赢，其余输：，，，；，，，，，，，（3）出5和出7的赢，其余输：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，(2)()0f x f x -->(2)()f x f x ->x a =a -2OF =242a a -⋅=⇒=-(4x +=2224(2)()2y x f x x ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭332()2(2)(2)f x x x '=---+(2)1f =1(2)02f '=-<2x =(2,2)ε-()1f x >()22220000004442222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫=--≤⇒≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭32||10AB =25F A =2225b c a a a-==121F F F A ⊥1212F F =6c =4a =32e =ln 21218-32-54-76-16-32-54-78-14-32-58-76-18-32-56-74-16-32-58-74-12-38-54-76-14-38-52-76-18-34-52-76-16-38-52-74-18-36-52-74-16-38-54-72-18-36-54-72-共12种组合满足要求，而所有组合为24，所以甲得分不小于2的概率为15.（1）（2）解析：（1）已知，根据余弦定理，可得：.因为，所以.又因为，即，解得.因为，所以.（2）由（1）知，，则.已知的面积为，且，则，.又由正弦定理，可得.则，，同理.所以解得16.（1）（2）见解析12π3B =c =222a b c +-=222cos 2a b c C ab +-=cos C ==(0,π)C ∈π4C =sin C B =πsin4B =B =1cos 2B =(0,π)B ∈π3B =π3B =π4C =ππ5πππ3412A B C =--=--=ABC △3+1sin 2ABC S ab C =△1πsin 324ab =132ab =2(3ab =+sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin sin a C b C c A B==π5πsin sin 412c a =5πsin 12πsin 4c a =πsin 3πsin 4c b =2225ππsin sin 421232(3π1sin 42c c ab ⎝⎭===+c =12解析：（1）将、代入椭圆，则.（2）①当L 的斜率不存在时，，，，A 到PB 距离，此时不满足条件.②当L 的斜率存在时，设，令、，，消y 可得，17.（1）证明见解析（2）解析：（1）面，平面，又，，平面PAB面，平面，(0,3)A 33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22220919941a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22129a b ⎧=⎨=⎩c =12c e a ∴===:3L x =33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭3PB =3d =1933922ABP S =⨯⨯=≠△3:(3)2PB y k x -=-()11,P x y ()22,B x y 223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=2122212224124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩PB =AD =PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD∴⊥AD PB ⊥ PB PA P = ,PB PA ⊂AD ∴⊥PAB AB ∴⊂PAB AD AB∴⊥中，，，B ，C ，D 四点共面，又平面，平面PBC平面PBC .（2）以DA ，DC 为x ，y 轴过D 作与平面ABCD 垂直的线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系令，则，，，，设平面ACP 的法向量不妨设，，设平面CPD 的法向量为不妨设，则，，二面角，.18.（1）-2（2）证明见解析（3）ABC △222AB BC AC +=AB BC∴⊥A //AD BC∴BC ⊂ PBC AD ⊄//AD ∴D xyz-AD t =(,0,0)A t (,0,2)P t (0,0,0)D DC =()C()1111,,n x y z = 1x =1y t =10z =)1,0n t = ()2222,,n x y z = 2200n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222200tx z +=⎧∴=2z t =22x =-20y =2(2,0,)n t =- A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅=== t ∴=AD ∴=23b ≥-解析：（1）时，，对恒成立而，当且仅当时取“=”，故只需，即a 的最小值为-2.（2）方法一：，关于中心对称.方法二：将向左平移一个单位关于中心对称平移回去关于中心对称.（3）当且仅当，对恒成立令，必有（必要性）当时，对，对恒成立，符合条件，综上：.19.（1），，（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）以下满足：，，0b =()ln 2x f x ax x =+-11()02f x a x x'=++≥-02x ∀<<11222(2)a a a x x x x ++=+≥+--1x =202a a +≥⇒≥-(0,2)x ∈(2)()f x f x -+332ln (2)(1)ln (1)22x x a x b x ax b x a x x-=+-+-+++-=-()f x ∴(1,)a ()f x 31(1)ln(1)1x f x a x bx x+⇒+=+++-(0,)a ()f x ⇒(1,)a ()2f x >- 12x <<(1)22f a ∴=-⇒=-3()ln 2(1)22x f x x b x x∴=-+->--12x ∀<<222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-'=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦2()3(2)g x b x x =+-∴2(1)2303g b b =+≥⇒≥-23b ≥-(1,2)x ∀∈32()ln 2(1)()23x f x x x h x x ≥---=-2222(1)1()2(1)2(1)10(2)(2)x h x x x x x x x ⎡⎤-'=--=-->⎢⎥--⎣⎦(1,2)x ∀∈()(1)2h x h ∴>=-23b ≥-(1,2)(1,6)(5,6)(,)i j (1,2)(1,6)(5,6)（2）易知：，，，等差等差故只需证明：1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14可分分组为，，即可其余，，按连续4个为一组即可（3）由第（2）问易发现：，，…，是可分的是可分的.易知：1，2，…，是可分的因为可分为，…，与，…，此时共种再证：1，2，…，是可分的易知与是可分的只需考虑，，，…，，，记，只需证：1，3，5，…，，，可分去掉2与观察：时，1，3，4，6无法做到；时，1，3，4，5，6，7，8，10，可以做到；时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，18，，，满足故，可划分为：，，，，…，，，共p 组事实上，就是，，且把2换成p a q a r a s a ,,,p q r s ⇔(1,4,7,10)(3,6,9,12)(5,8,11,14)k a 1542k m ≤≤+1a 2a 42m a +(,)i j 1,2,42m ⇔+ (,)i j 42m +(41,42)k r ++(0)k r m ≤≤≤(1,2,3,4)(43,42,41,4)k k k k ---(4(1)1,4(1),4(1)1,4(1)2)r r r r +-+++++(41,4,41,42)m m m m -++211C (1)(1)(2)2m m m m +++=++42m +(42,41)k r ++(0)k r m ≤<≤1~4k 42~42r m ++41k +43k +44k +41r -4r 42r +*N p r k =-∈41p -4p 42p +1~42p +41p +1p =2p =3p =4p =(1,5,9,13)(3,7,11,15)(4,8,12,16)(6,10,14,18)2p ∀≥(1,1,21,31)p p p +++(3,3,23,33)p p p +++(4,4,24,34)p p p +++(5,5,25,35)p p p +++(,2,3,4)p p p p (2,22,32,42)p p p p ++++(,,2,3)i p i p i p i +++1,2,3,,i p = 42p +此时，均可行，共组，，…，不可行综上，可行的与至少组故，得证！(,)k k p +2p ≥211C (1)2m m m m +-=-(0,1)(1,2)(1,)m m -(42,41)k r ++(41,42)k r ++11(1)(1)(2)22m m m m -+++()222224212221112C (21)(41)8618m m m m m m m m P m m m m +++++++≥==>++++。
2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)
2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^3 3x^2 + x + 1，则f'(1)的值为多少？A. 6B. 7C. 8D. 9答案：B解析：我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据导数的定义，f'(x) = 6x^2 6x + 1。
将x = 1代入f'(x)中，得到f'(1) = 61^2 6 1 + 1 = 1。
因此，f'(1)的值为1，选项B正确。
2. 若直线y = kx + b与圆(x 2)^2 + (y 3)^2 = 25相切，则k的值是多少？A. 1/2B. 1C. 2D. 3答案：A解析：由于直线与圆相切，它们在切点处具有相同的斜率。
直线的斜率为k，圆的斜率可以通过求导得到。
对圆的方程求导，得到2(x 2) + 2(y 3)y' = 0。
在切点处，x和y的值满足圆的方程，因此可以解出y' = 1/2。
由于直线和圆在切点处斜率相同，所以k = 1/2。
因此，选项A正确。
3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，d = 3，则S10的值为多少？A. 155B. 165C. 175D. 185答案：C解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)。
由于an = a1 + (n 1)d，代入a1 = 2和d = 3，得到an = 2 + 3(n 1)= 3n 1。
将an代入Sn的公式中，得到Sn = n/2 (2 + 3n 1) =n/2 (3n + 1)。
将n = 10代入，得到S10 = 10/2 (3 10 + 1) = 175。
因此，选项C正确。
4. 若函数f(x) = log2(x) + log2(x + 1)，则f(1)的值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：将x = 1代入函数f(x)中，得到f(1) = log2(1) +log2(1 + 1) = log2(1) + log2(2) = 0 + 1 = 1。
2022年全国新高考1卷数学真题及答案解析
2022年全国新高考1卷数学真题及答案解析今年的高考数学试卷坚持思想性与科学性的统一，从中华优秀传统文化、社会经济发展、科技发展与进步等方面设置了真实情境。
下面是小编为大家收集的关于2022年全国新高考1卷数学真题及答案解析。
希望可以帮助大家。
2022年全国新高考1卷数学真题2022年全国新高考1卷数学答案解析高考数学备考六大复习建议01 函数与导数近几年高考中，函数类试题一般会出现2道选择题、2道填空题、1道解答题。
其中，选择题和填空题经常考的知识点更偏向反函数，函数的定义域和值域，函数的单调性、奇偶性、周期性，函数的图象、导数的概念和应用等，这些知识点要着重复习。
而在分值颇高的解答题中，通常会考查考生对于函数与导数、不等式运用等考点的掌握运用情况。
掌握题目背后的知识点，建立自己的答题思路是非常重要的。
值得考生们注意的是，函数和导数的考查，经常会与其他类型的题目交叉出现，所以需要重视交叉考点问题的训练。
02 三角函数、平面向量和解三角形三角函数是每年必考题，虽是重点但难度较小。
哪怕是基础一般的同学，经过二轮复习的千锤百炼，都可以掌握这部分内容。
所以，三角函数类题目争取一分都不要丢!从题型来看，会覆盖选择题、填空题、解答题三大类型。
大题会出现在二卷解答题的第一个，也证明此类型题目的难度比较小。
在三角函数的部分，高三考生需要熟练的知识点有不少。
(1)掌握三角变换的所有公式，理解公式的意义、应用场景、考查形式、使用方法等。
(2)熟悉三角变换常用的方法——化弦法、降幂法、角的变换法等。
应用以上方法进行三角函数式的求值、化简、证明。
(3)掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题。
(4)熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质。
同时，也要掌握这些函数图象的形状、特点。
(5)掌握三角函数不等式口诀：sinα上正下负;cosα右正左负;tanα奇正偶负。
2022年全国高考文科数学(乙卷)试题及答案解析
2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）文科数学一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}，则M ∩N =( )A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}2. 设(1+2i)a +b =2i ，其中a ，b 为实数，则( )A. a =1，b =−1B. a =1，b =1C. a =−1，b =1D. a =−1，b =−13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−2,4)，则|a ⃗ −b ⃗ |=( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：ℎ)，得如图茎叶图：则下列结论中错误的是( )A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥2,x +2y ≤4,y ≥0,则z =2x −y 的最大值是( )A. −2B. 4C. 8D. 126. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=( )A. 2B. 2√2C. 3D. 3√27. 执行如图的程序框图，输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 68.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是()A. y=−x3+3xx2+1B. y=x3−xx2+1C. y=2xcosxx2+1D. y=2sinxx2+19.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A. 平面B1EF⊥平面BDD1B. 平面B1EF⊥平面A1BDC. 平面B1EF//平面A1ACD. 平面B1EF//平面A1C1D10.已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2−a5=42，则a6=()A. 14B. 12C. 6D. 311.函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为()A. −π2，π2B. −3π2，π2C. −π2，π2+2 D. −3π2，π2+212.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A. 13B. 12C. √33D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若2S 3=3S 2+6，则公差d =______．14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为______． 15. 过四点(0,0)，(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为______． 16. 若f(x)=ln|a +11−x |+b 是奇函数，则a =______，b =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)．(1)若A =2B ，求C ； (2)证明：2a 2=b 2+c 2．18. 如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD ，AD =CD ，∠ADB =∠BDC ，E 为AC 的中点． (1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设AB =BD =2，∠ACB =60°，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求三棱锥F −ABC 的体积．19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m 2)和材积量(单位：m 3)，得到如下数据： 样本号i12345678910 总和根部横截面积x i 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量y i0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9并计算得∑x i 210i=1=0.038，∑y i 210i=1=1.6158，∑x i 10i=1y i =0.2474．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)√∑(ni=1x i −x −)2∑(n i=1y i −y −)2，√1.896≈1.377．20. 已知函数f(x)=ax −1x −(a +1)lnx ．(1)当a =0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a 的取值范围．21. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A(0,−2)，B(32,−1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P(1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点． 22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t,y =2sint(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π3)+m =0．(1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．已知a ，b ，c 都是正数，且a 32+b 32+c 32=1，证明：(1)abc ≤19；(2)a b+c+b a+c+c a+b≤2√abc．答案解析1.【答案】A【解析】解：∵M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}， ∴M ∩N ={2,4}． 故选：A ．直接利用交集运算求解即可．本题考查集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵(1+2i)a +b =2i ， ∴a +b +2ai =2i ，即{a +b =02a =2，解得{a =1b =−1．故选：A ．根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解． 本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：a ⃗ −b ⃗ =(4,−3)，故∣a ⃗ −b ⃗ ∣=√42+(−3)2=5，故选：D ．先计算处a ⃗ −b ⃗ 的坐标，再利用坐标模长公式即可． 本题主要考查向量坐标公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，选项A 说法正确；由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，选项B 说法正确； 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为616=38<0.4，选项C 说法错误； 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为1316=0.8125>0.6，选项D 说法正确．故选：C．根据茎叶图逐项分析即可得出答案．本题考查茎叶图，考查对数据的分析处理能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：作出可行域如下图阴影部分所示，由图可知，当(x,y)取点C(4,0)时，目标函数z=2x−y取得最大值，且最大为8．故选：C．作出可行域，根据图象即可得解．本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：F为抛物线C：y2=4x的焦点(1,0)，点A在C上，点B(3,0)，|AF|=|BF|=2，由抛物线的定义可知A(1,2)(A不妨在第一象限)，所以|AB|=2√2．故选：B．利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．7.【答案】B【解析】解：模拟执行程序的运行过程，如下：输入a=1，b=1，n=1，计算b=1+2=3，a=3−1=2，n=2，判断|3222−2|=14=0.25≥0.01，计算b=3+4=7，a=7−2=5，n=3，判断|7252−2|=125=0.04≥0.01；计算b=7+10=17，a=17−5=12，n=4，判断|172122−2|=1144<0.01；输出n=4．故选：B．模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的n值．本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：首先根据图像判断函数为奇函数，其次观察函数在(1,3)存在零点，而对于B选项：令y=0，即x3−xx2+1=0，解得x=0，或x=1或x=−1，故排除B选项，对于D选项，令y=0，即2sinxx2+1=0，解得x=kπ，k∈Z，故排除D选项，C选项分母为x2+1恒为正，但是分子中cosx是个周期函数，故函数图像在(0,+∞)必定是正负周期出现，故错误，故选：A．首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在(1,3)存在零点，可排除B，D选项，再利用cosx 在(0,+∞)的周期性可判断C选项错误．本题主要考查函数图像的识别，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：对于A，由于E，F分别为AB，BC的中点，则EF//AC，又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1=D，且BD，DD1⊂平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，则EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1，选项A正确；对于B，由选项A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD=BD，故平面B1EF不可能与平面A1BD垂直，选项B错误；对于C，在平面ABB1A1上，易知AA1与B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，选项C错误；对于D，易知平面AB1C//平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面B1EF 与平面A1C1D不可能平行，选项D错误．故选：A．对于A，易知EF//AC，AC⊥平面BDD1，从而判断选项A正确；对于B，由选项A及平面BDD1∩平面A1BD=BD可判断选项B错误；对于C，由于AA1与B1E必相交，容易判断选项C错误；对于D，易知平面AB1C//平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，由此可判断选项D错误．本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，q≠0，由题意，q≠1．∵前3项和为a1+a2+a3=a1(1−q3)1−q=168，a2−a5=a1⋅q−a1⋅q4=a1⋅q(1−q3)= 42，∴q=12，a1=96，则a6=a1⋅q5=96×132=3，故选：D．由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得a6的值．本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：f(x)=cosx+(x+1)sinx+1，x∈[0,2π]，则f′(x)=−sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，令cosx=0得，x=π2或3π2，∴当x∈[0,π2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(π2,3π2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(3π2,2π]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在区间[0,2π]上的极大值为f(π2)=π2+2，极小值为f(3π2)=−3π2，又∵f(0)=2，f(2π)=2，∴函数f(x)在区间[0,2π]的最小值为−3π2，最大值为π2+2，故选：D．先求出导函数f′(x)=(x+1)cosx，令cosx=0得，x=π2或3π2，根据导函数f′(x)的正负得到函数f(x)的单调性，进而求出函数f(x)的极值，再与端点值比较即可．本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r=√22a，∴该四棱锥的高ℎ=√1−a22，∴该四棱锥的体积V=13a2√1−a22=43√a24⋅a24⋅(1−a22)≤4 3√(a24+a24+1−a223)3=43√(13)3=4√327，当且仅当a24=1−a22，即a2=43时，等号成立，∴该四棱锥的体积最大时，其高ℎ=√1−a22=√1−23=√33，故选：C．由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，由勾股定理可知该四棱锥的高ℎ=√1−a22，所以该四棱锥的体积V=13a2√1−a22，再利用基本不等式即可求出V的最大值，以及此时a的值，进而求出ℎ的值．本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵2S3=3S2+6，∴2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6，∵{a n}为等差数列，∴6a2=3a1+3a2+6，∴3(a2−a1)=3d=6，解得d=2．故答案为：2．根据已知条件，可得2(a 1+a 2+a 3)=3(a 1+a 2)+6，再结合等差中项的性质，即可求解．本题主要考查等差数列的前n 项和，考查转化能力，属于基础题．14.【答案】310【解析】解：由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数C 53=10， 甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数C 31=3，根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P =C 31C 53=310．故答案为：310．从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率．本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．15.【答案】x 2+y 2−4x −6y =0(或x 2+y 2−4x −2y =0或x 2+y 2−83x −143y =0或x 2+y 2−165x −2y −165=0)【解析】解：设过点(0,0)，(4,0)，(−1,1)的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 即{F =016+4D +F =02−D +E +F =0，解得F =0，D =−4，E =−6， 所以过点(0,0)，(4,0)，(−1,1)圆的方程为x 2+y 2−4x −6y =0． 同理可得，过点(0,0)，(4,0)，(4,2)圆的方程为x 2+y 2−4x −2y =0． 过点(0,0)，(−1,1)，(4,2)圆的方程为x 2+y 2−83x −143y =0．过点(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为x 2+y 2−165x −2y −165=0．故答案为：x 2+y 2−4x −6y =0(或x 2+y 2−4x −2y =0或x 2+y 2−83x −143y =0或x 2+y 2−165x −2y −165=0)．选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程．本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题．16.【答案】−12 ln2【解析】解：f(x)=ln|a+11−x|+b，若a=0，则函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，∴a≠0，由函数解析式有意义可得，x≠1且a+11−x≠0，∴x≠1且x≠1+1a，∵函数f(x)为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，∴1+1a =−1，解得a=−12，∴f(x)=ln|1+x2(1−x)|+b，定义域为{x|x≠1且x≠−1}，由f(0)=0得，ln12+b=0，∴b=ln2，故答案为：−12；ln2．显然a≠0，根据函数解析式有意义可得，x≠1且x≠1+1a ，所以1+1a=−1，进而求出a的值，代入函数解析式，再利用奇函数的性质f(0)=0即可求出b的值．本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于中档题．17.【答案】解：(1)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，又A=2B，∴sinCsinB=sinBsin(C−A)，∵sinB≠0，∴sinC=sin(C−A)，即C=C−A(舍去)或C+C−A=π，联立{A=2B2C−A=πA+B+C=π，解得C=58π；证明：(2)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，得sinCsinAcosB−sinCcosAsinB=sinBsinCcosA−sinBcosCsinA，由正弦定理可得accosB−bccosA=bccosA−abcosC，由余弦定理可得：ac⋅a2+c2−b22ac =2bc⋅b2+c2−a22bc−ab⋅a2+b2−c22ab，整理可得：2a2=b2+c2．【解析】(1)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，结合A=2B，可得sinC=sin(C−A)，即C+C−A=π，再由三角形内角和定理列式求解C；(2)把已知等式展开两角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论．本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】证明：(1)∵AD =CD ，∠ADB =∠BDC ，BD =BD ， ∴△ADB≌△CDB ，∴AB =BC ，又∵E 为AC 的中点． ∴AC ⊥BE ，∵AD =CD ，E 为AC 的中点． ∴AC ⊥DE ，又∵BE ∩DE =E ， ∴AC ⊥平面BED ， 又∵AC ⊂平面ACD ， ∴平面BED ⊥平面ACD ； 解：(2)由(1)可知AB =BC ，∴AB =BC =2，∠ACB =60°，∴△ABC 是等边三角形，边长为2， ∴BE =√3，AC =2，AD =CD =√2，DE =1， ∵DE 2+BE 2=BD 2，∴DE ⊥BE ， 又∵DE ⊥AC ，AC ∩BE =E ， ∴DE ⊥平面ABC ，由(1)知△ADB≌△CDB ，∴AF =CF ，连接EF ，则EF ⊥AC ， ∴S △AFC =12×AC ×EF =EF ，∴当EF ⊥BD 时，EF 最短，此时△AFC 的面积最小， 过点F 作FG ⊥BE 于点G ，则FG//DE ，∴FG ⊥平面ABC ， ∵EF =DE×BE BD=√32， ∴BF =√BE 2−EF 2=32，∴FG =EF×BF BE=34， ∴三棱锥F −ABC 的体积V =13×S △ABC ×FG =13×√34×22×34=√34．【解析】(1)易证△ADB≌△CDB ，所以AC ⊥BE ，又AC ⊥DE ，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BED ，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BED ⊥平面ACD ； (2)由题意可知△ABC 是边长为2的等边三角形，进而求出BE =√3，AC =2，AD =CD =√2，DE =1，由勾股定理可得DE ⊥BE ，进而证得DE ⊥平面ABC ，连接EF ，因为AF =CF ，则EF ⊥AC ，所以当EF ⊥BD 时，EF 最短，此时△AFC 的面积最小，求出此时点F 到平面ABC 的距离，从而求得此时三棱锥F −ABC 的体积．本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，同时考查了学生的空间想象能力与计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设这棵树木平均一棵的根部横截面积为x −，平均一棵的材积量为y −， 则根据题中数据得：x −=0.610=0.06，y −=3.910=0.39；(2)由题可知，r =10i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2=i 10i=1i −−√(∑x i i=1−nx −2)(∑y i i=1−ny −2)=√0.002×0.0948=0.01×√1.896=0.01340.01377=0.97；(3)设从根部面积总和X ，总材积量为Y ，则XY=x−y−，故Y =0.390.06×186=1209(m 3).【解析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．本题考查线性回归方程，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a =0时，f(x)=−1x −lnx(x >0)，则f′(x)=1x 2−1x =1−x x 2，易知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴f(x)在x =1处取得极大值，同时也是最大值， ∴函数f(x)的最大值为f(1)=−1； (2)f′(x)=a +1x 2−a+1x=ax 2−(a+1)x+1x 2=(x−1)(ax−1)x 2，①当a =0时，由(1)可知，函数f(x)无零点；②当a <0时，易知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 又f(1)=a −1<0，故此时函数f(x)无零点；③当0<a <1时，易知函数f(x)在(0,1),(1a ,+∞)上单调递增，在(1,1a )单调递减， 且f(1)=a −1<0，f(1a )=1−a +(a +1)lna <0，且当x →+∞时，f(x)>0，此时f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点； ④当a =1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=0，故此时函数f(x)有唯一零点；⑤当a >1时，易知函数f(x)在(0,1a ),(1,+∞)上单调递增，在(1a ,1)上单调递减， 且f(1)=a −1>0，且当x →0时，f(x)<0，故函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点； 综上，实数a 的取值范围为(0,+∞)．【解析】(1)将a =0代入，对函数f(x)求导，判断其单调性，由此可得最大值； (2)对函数f(x)求导，分a =0，a <0，0<a <1，a =1及a >1讨论即可得出结论．本题考查里利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：(1)设E 的方程为x 2a 2+y2b2=1， 将A(0,−2),B(32,−1)两点代入得{4b 2=194a2+1b2=1，解得a 2=3，b 2=4， 故E 的方程为x 23+y 24=1；(2)由A(0,−2),B(32,−1)可得直线AB ：y =23x −2 ①若过P(1,−2)的直线的斜率不存在，直线为x =1， 代入x 23+y 24=1，可得M(1,2√63)，N(1,−2√63)， 将y =2√63代入AB ：y =23x −2，可得T(√6+3,2√63)，由MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H(2√6+5,2√63)， 易求得此时直线HN ：y =(2−2√63)x −2，过点(0,−2)；②若过P(1,−2)的直线的斜率存在，设kx −y −(k +2)=0，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{kx −y −(k +2)=0x 23+y 24=1，得(3k 2+4)x 2−6k(2+k)x +3k(k +4)=0，故有{x 1+x 2=6k(2+k)3k 2+4x 1x 2=3k(4+k)3k 2+4,{y 1+y 2=−8(2+k)3k 2+4y 1y 2=4(4+4k−2k 23k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=−24k3k 2+4(∗)， 联立{y =y 1y =23x −2，可得T(3y 12+3,y 1),H(3y 1+6−x 1,y 1)，可求得此时HN ：y −y 2=y 1−y 23y1+6−x 1−x 2(x −x 2)，将(0,−2)代入整理得2(x 1+x 2)−6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1−3y 1y 2−12=0， 将(∗)代入，得24k +12k 2+96+48k −24k −48−48k +24k 2−36k 2−48=0， 显然成立．综上，可得直线HN 过定点(0,−2)． 【解析】(1)设E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，将A ，B 两点坐标代入即可求解；(2)由A(0,−2),B(32,−1)可得直线AB ：y =23x −2，①若过P(1,−2)的直线的斜率不存在，直线为x =1，代入椭圆方程，根据MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求解；②若过P(1,−2)的直线的斜率存在，设kx−y−(k+2)=0，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立{kx−y−(k+2)=0x23+y24=1，得(3k2+4)x2−6k(2+k)x+3k(k+4)=0，结合韦达定理和已知条件即可求解．本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)由ρsin(θ+π3)+m=0，得ρ(sinθcosπ3+cosθsinπ3)+m=0，∴12ρsinθ+√32ρcosθ+m=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴12y+√32x+m=0，即l的直角坐标方程为√3x+y+2m=0；(2)由曲线C的参数方程为{x=√3cos2t,y=2sint(t为参数)．消去参数t，可得y2=−2√33x+2，联立{√3x+y+2m=0y2=−2√33x+2，得3y2−2y−4m−6=0(−2≤y≤2)．−3≤√3≤6，即−193≤4m≤10，−1912≤m≤52，∴m的取值范围是[−1912,5 2 ].【解析】(1)由ρsin(θ+π3)+m=0，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得l的直角坐标方程；(2)化曲线C的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线C的方程，化为关于y的一元二次方程，再求解m的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．23.【答案】解：(1)证明：∵a，b，c都是正数，∴a32+b32+c32≥33a32⋅b32⋅c32=3(abc)12，当且仅当a=b=c=3−23时，等号成立．因为a32+b32+c32=1，所以1≥3(abc)12，所以13≥(abc)12，所以abc≤19，得证．(2)证明：要使ab+c +ba+c+ca+b≤2√abc成立，只需证a32√bcb+c+b32√aca+c+c32√aba+b≤12，又因为b+c≥2√bc，a+c≥2√ac，a+b≥2√ab，当且仅当a=b=c=3−23时，同时取等．所以a 32√bcb+c +b32√aca+c+c32√aba+b≤a32√bc2√bcb32√ac2√ac32√ab2√ab=a32+b32+c322=12，得证．【解析】结合基本不等式与恒成立问题证明即可．本题考查基本不等式的应用，属于中档题．。
全国卷Ⅰ2023年新高考数学真题及答案解析(多解版)
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N = （）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1,2 C.{}2- D.2【答案】C 【解析】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．2.已知1i22iz -=+，则z z -=（）A.i -B.iC.0D.1【答案】A 【解析】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．3.已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A.1λμ+=B.1λμ+=-C.1λμ= D.1λμ=-【答案】D 【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．4.设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,0- C.(]0,2 D.[)2,+∞【答案】D 【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D5.设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （）A.3B.C.D.【答案】A 【解析】由21e =，得22213e e =，因此2241134a a --=⨯，而1a >，所以233a =.故选：A 6.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【答案】B 【解析】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为PC ==，则PA ==可得106sin44APC APC ∠==∠=，则10615sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=，22226101cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎛∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()15sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α；法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，可得PC ==，则PA PB ===，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以15sin 4α==；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =，若切线斜率不存在，则切线方程为0y =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，=，整理得2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得12k k -==所以1212tan 1k k k k -==+α，即sin cos αα=，可得cos =α，则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0α>，解得15sin 4α=.故选：B.7.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】方法一，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法二，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C 8.已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A.79 B.19C.19-D.79-【答案】B 【解析】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差13s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然53>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgp pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A.12p p ≥B.2310p p >C.30100p p =D.12100p p ≤【答案】ACD 【解析】由题意可知：[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，对于选项A ：可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则121220lg0p p p L L p =-⨯≥，即12lg 0pp ≥，所以121p p ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥，则2320lg10p p⨯≥，即231lg 2p p ≥，所以23p p ≥23,0p p >，可得23p ≥，当且仅当250p L =时，等号成立，故B 错误；对于选项C ：因为33020lg40p p L p =⨯=，即30lg 2pp =，可得3100p p =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121220lgp p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1220lg40p p ⨯≤，即12lg2p p ≤，可得12100pp ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A.()00f =B.()10f =C.()f x 是偶函数 D.0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误.方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+，故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'，令()0f x '<，得120ex -<<；令()0f x ¢>，得12e x ->；故()f x 在120,e -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e -⎛⎫ ⎪⎝∞⎭-上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为1.4m 的四面体C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD 【解析】对于选项A ：因为0.99m 1m <，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；对于选项B 1.4>，所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；对于选项C 1.8<，所以不能够被整体放入正方体内，故C 正确；对于选项D ：因为1.2m 1m >，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过1AC 的中点O 作1OE AC ⊥，设OE AC E =I ，可知1131,=2AC CC AC ===，则11tan CC OE CAC AC AO ∠==，=，解得64OE =，且2263990.6482425⎛==>= ⎝⎭，即0.64>，故以1AC 为轴可能对称放置底面直径为1.2m 圆柱，若底面直径为1.2m 的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心1O ，与正方体的下底面的切点为M ，可知：111,0.6AC O M O M ⊥=，则1111tan CC O MCAC AC AO ∠==，10.6AO =，解得1AO =，根据对称性可知圆柱的高为2 1.732 1.21.4140.03520.01-⨯≈-⨯=>，所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种.故答案为：64.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1112,1,AB A B AA ===的体积为________．【答案】6【解析】【分析】结合图像，依次求得111,,AO AO A M ，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过1A 作1A M AC ⊥，垂足为M ，易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高，因为1112,1,AB A B AA ===则1111111111222222A O A C B AO AC ==⨯⨯====故()111222AM AC A C =-=，则162A M ===，所以所求体积为1676(41326V =⨯++⨯=.故答案为：766.15.已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】[)2,3【解析】【分析】令()0f x =，得cos 1x ω=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[)2,3.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=-，则C 的离心率为________．【答案】355【解析】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故355c e a ==.方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c -，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =- ，所以()()002,,3x c y c t -=--，则00235,3x c y t ==-，又11F A F B ⊥ ，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=-⎪⎝⎭ 2282033c t =-=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b -=，整理得2222254199c t a b -=，则22222516199c c a b-=，所以22222225169c b c a a b -=，即()()2222222225169cca a c a c a --=-，整理得424255090c c a -+=，则()()22225950c a ca --=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以5e =或5e =（舍去），故5e =.故答案为：355.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．【答案】（1）31010（2）6【解析】【小问1详解】3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，sin10A∴==.【小问2详解】由（1）知，10cos10A==，由sin sin()B A C=+sin cos cos sin)210105A C A C=+==，由正弦定理，sin sinc bC B=，可得255522b⨯==，11sin22AB h AB AC A∴⋅=⋅⋅，sin610h b A∴=⋅==.18.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D-中，12,4AB AA==．点2222,,,A B C D分别在棱111,,AA BB CC,1DD上，22221,2,3AA BB DD CC====．（1）证明：2222B C A D∥；（2）点P在棱1BB上，当二面角222P A C D--为150︒时，求2B P．【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【小问1详解】以C为坐标原点，1,,CD CB CC所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A ，2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=-，2222B C A D ∴ ∥，又2222B C A D ，不在同一条直线上，2222B C A D ∴∥.【小问2详解】设(0,2,)(04)P λλ≤≤，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---，设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =，则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令2z =，得3,1y x λλ=-=-，(1,3,2)n λλ∴=--，设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =，则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1a =，得1,2==b c ，(1,1,2)m ∴=，2263cos ,cos150264(1)(3)n m n m n m λλ⋅∴==︒=+-+- ，化简可得，2430λλ-+=，解得1λ=或3λ=，(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P ，21B P ∴=.19.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【小问1详解】因为()()e xf x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一：（函数最值）由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则202a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 2212ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：（切线放缩1x e x ≥+）令()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e eln 1xx x af x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法三：（切线放缩ln 1x x ≤-）由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e1af a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，又因为221110224a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以2112a a ->-，而ln 1a a ≤-，所以21ln 2a a ->，故3()2ln 2f x a >+成立，得证明.方法四：（同构+切线放缩）当0a >时，要证3()2ln 2f x a >+，即证明()32ln 2x a e a x a +->+，只需证：232ln 02x ae x a a -+-->，即证()()ln 22211ln 11ln 022x a e x a a a a +-+++--+>，因为1x e x ≥+，故()ln ln 10x a e x a +-++≥，因为ln 1x x ≤-，故()2211ln 02a a --≥，又2102a >，故()()ln 22211ln 11ln 022x a e x a a a a +-+++--+>成立，即3()2ln 2f x a >+成立，得证明.20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．【答案】（1）3n a n =（2）5150d =【解析】【小问1详解】21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d=++=++=，339621S T d d∴+=+=，即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去），1(1)3n a a n d n∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+，2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=，505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．【答案】（1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ，所以，()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-，则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+，构造等比数列{}i p λ+，设()125i i p p λλ++=+，解得13λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315nnnn n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【答案】（1）214y x =+（2）见解析【解析】【小问1详解】设(,)P x y ,则y =，两边同平方化简得214y x =+，故21:4W y x =+.【小问2详解】法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<-，同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =-，则1m n=-，设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令()0f x '=，解得22x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 227()24f x f ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，故122C ≥=,即C ≥.当C =时,2,2n m ==,且((b a b a -=-m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0，则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-，由对称性，不妨设1k ≤，直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=，()()222420k ka a k a ∆=--=->，则2k a≠则||2|AB k a =-，同理||2AD a =，||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a ak k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m +==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=，令()0'=f m ，解得12m =，当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减，当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增，则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||2AB AD ∴+≥，12|2|2|2k a a k a a k ⎫-≥-++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时22k =不一致，故332AB AD +>.法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''',根据对称性不妨设00t ≥.则1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+,由于A B B C ''''⊥,则()()10201t t t t ++=-.由于1020,A B t B C t ''''=-=-,且0t 介于12,t t 之间,则1020A B B C t t ''''+=-+-.令20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥②当ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<-,从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥,故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故332A B B C''''+>，故矩形周长大于..。
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2022年全国统一高考数学试卷和答案（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+3 4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3 5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C 交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是．四、题：本题共6小题，共70分。
应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【知识点】交集及其运算．答案：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|≤x＜16}．故选：D．2．【知识点】复数的运算．答案：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，∴z＝1+i，则，∴．故选：D．3．【知识点】平面向量的基本定理．答案：如图，＝，∴，即．故选：B．4．【知识点】根据实际问题选择函数类型．答案：140km2＝140×106m2，180km2＝180×106m2，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故选：C．5．【知识点】古典概型及其概率计算公式．答案：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为．故选：D．6．【知识点】正弦函数的图象；三角函数的周期性．答案：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．7．【知识点】对数值大小的比较．答案：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f'（x）＝，x＞0，当f'（x）＝0时，x＝1，0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，∴，∴ln0.9＞1﹣＝﹣，∴﹣ln0.9＜，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，∴0.1e0.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xe x+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝e x（x2﹣1）+1，h′（x）＝e x（x2+2x﹣1），当0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，h（x）＜0，当0＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，g（x）＝xe x+ln（1﹣x）单调递增，∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．8．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积．答案：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E，连接PE，则球心O在直线PE上，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE2，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，∴，∴，∴l2＝6h，又∵3≤l≤3，∴，∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，∵V'（h）＝﹣2h2+8h＝2h（4﹣h），∴当时，V'（h）＞0，V（h）单调递增；当4时，V'（h）＜0，V（h）单调递减，∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝，V（）＝，且，∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．答案：如图，连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO 为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．10．【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．答案：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．故选：AC．11．【知识点】直线与抛物线的综合；抛物线的性质．答案：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx ﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；＝，选项D 正确．故选：BCD．12．【知识点】导数的运算．答案：∵f（﹣2x）为偶函数，∴可得f（﹣2x）＝f（+2x），∴f（x）关于x＝对称，令x＝，可得f（﹣2×）＝f（+2×），即f（﹣1）＝f（4），故C正确；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，故D不正确；∵f（x）关于x＝对称，∴x＝是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0，即g（）＝f′（）＝0，又∴g（x）的图象关于x＝2对称，∴g（）＝g（）＝0，∴函数f（x）在（，t）的导数为0，∴x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，∴（，t）关于x＝的对称点为（，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝是函数f（x）的一个极值点，∴g（）＝f′（）＝0，进而可得g（）＝g（）＝0，故x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，∴（，t）关于x＝的对称点为（﹣，t），∴g（﹣）＝f′（）＝0，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故A错误．解法二：构造函数法，令f（x）＝1﹣sinπx，则f（﹣2x）＝1+cos2πx，则g（x）＝f′（x）＝﹣πcosπx，g（x+2）＝﹣πcos（2π+πx）＝﹣πcosπx，满足题设条件，可得只有选项BC正确，故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。