圆锥曲线专题——对称问题解析版
圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率
圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率在圆锥曲线解题中，对称性是一种常用的技巧，可以用来简化计算和证明过程，提高解题效率。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都具有不同的对称性质，可以通过利用这些对称性质来解题。
1. 椭圆的对称性利用椭圆是一种闭合曲线，具有中心对称性质。
利用椭圆的对称性，可以简化计算和证明过程。
例如，在求解椭圆的焦点坐标时，可以利用对称性质来减少计算量。
假设椭圆的中心为原点，主轴在x轴上，次轴在y轴上。
设椭圆上一点的坐标为(x, y)，则椭圆上对称的另一点的坐标为(-x, -y)。
通过利用对称性，可以避免重复计算，简化求解过程。
2. 双曲线的对称性利用双曲线是一种开口曲线，具有轴对称性质。
在利用双曲线的对称性解题时，可以根据曲线的性质进行推导。
例如，在求解双曲线的渐近线方程时，可以利用双曲线的轴对称性质来简化证明过程。
双曲线的轴对称性可以使得我们只需要证明其中一条渐近线的方程，然后通过对称性得到另一条渐近线的方程。
3. 抛物线的对称性利用抛物线是一种开口方向确定的曲线，具有顶点对称性质。
在利用抛物线的对称性解题时，可以利用顶点对称性来简化计算和证明过程。
例如，在求解抛物线的焦点坐标时，可以利用抛物线的顶点对称性质简化计算，将问题转化为求解顶点的坐标。
通过利用对称性，可以减少计算量，提高解题效率。
综上所述，对称性是解决圆锥曲线问题的重要技巧之一。
通过利用椭圆的中心对称性、双曲线的轴对称性和抛物线的顶点对称性，可以简化计算和证明过程，提高解题效率。
在解题过程中，我们应当充分利用圆锥曲线的对称性质，并善于将问题转化为利用对称性质求解对应的简化问题，从而更加高效地解决圆锥曲线问题。
圆锥曲线对称专题
例谈对称问题的常见解法天津大学附属中学窦春波由平面几何知识很容易得出如图（一）如果⊙OA,B关于直线l对称，则由垂径定理得直线l一定过圆心O’，那么对椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线上若也存在两点关于某条直线对称问题该如何解决呢？宝坻一中第二模拟理科考了这样一道题：引例如图（二）：椭圆C：22221(0)y xa ba b的离心率为12，且过A（，（Ⅰ）求椭圆方程.（Ⅱ）若椭圆C上存在两个不同的点P,Q关于直线y x m对称，求实数m的取值范围.分析：对（Ⅰ）根据离心率2212a bea得2234ab，所以椭圆方程为22221(0)34y xa ba a过A（得224,3,a b所以椭圆方程为22143y x.针对（Ⅱ）可设弦PQ的中点H在直线y x m上，再利用点差法联立方程且PQ的中点在椭圆内部，即可得出参数m 的取值范围.解法：（Ⅰ）略.针对（Ⅱ）令令P11(,)x y，Q22(,)x y分别代入椭圆方程22143y x得2211143y x①点差法：①-②得12121212()()()()43y y y y x x x x，即2222143y x②12121212()()4-3()()y y y yx x x x+-=+-,令PQ中点H00(,)x y，则1202x xx，1202y yy，∴0120122()432()y y yx x x，又∵1212PQy yKx x，且PQ垂直直线y x m，∴1PQK，∴0413yx-=⋅，∴043xy，又∵PQ中点H00(,)x y在直线y x m上，代入得04+3xx m，∴3x m，00(3+4y x m m m m），∴H(3,4)m m∵H(3,4)m m在椭圆22143y x内部，∴22(4)(3)143m m，即271m，∴217m，xx解得7777m . 说明：此题方法比较简单运算量也不太大，学生比较容易接受。
对圆锥曲线上存在两点关于某条直线对称问题高考中也不乏出现此考点，例如2015年浙江高考数学理科第19题就考到了椭圆上存在不同两点关于直线对称问题：例1 已知椭圆C ：2212x y上存在两个不同的点A,B 关于直线12ymx对称.（Ⅰ）求实数m 的取值范围.（Ⅱ）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）. 分析：（Ⅰ）如图（三）由题意得，可设直线AB为xmyn ，代入椭圆方程可得222(2)22m ymny n 设A 11(,)x y ，B 22(,)x y 。
圆锥曲线之对称问题
圆锥曲线之对称问题包括两种情形：①、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；②、轴对称问题：主要抓住以下两个条件去处理-----➊垂直，即已知点与对称点的连线与对称轴垂直；➋中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上1．（本小题满分14分）设,A B 是椭圆22:143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与点,A B 不重合），O 为坐标原点．（I ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程； （II ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=uuu r uuu r，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点C 关于x 轴对称．2.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点1(0,)4F 的距离比点P 到x 轴的距离大14，设动点P 的轨迹为曲线C ，直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）证明：曲线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅲ）若曲线C 上存在关于直线l 对称的两点，求k 的取值范围．解析1.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W 的右焦点为(1,0)M ， ……………… 1分因为线段MB 的中点在y 轴上，所以点B 的横坐标为1-， 因为点B 在椭圆W 上，将1x =-代入椭圆W 的方程，得点B 的坐标为3(1,)2-±． ……………… 3分所以直线AB （即MB ）的方程为3430x y --=或3430x y +-=．…………… 5分（Ⅱ）证明：设点B 关于x 轴的对称点为1B （在椭圆W 上），要证点B 与点C 关于x 轴对称， 只要证点1B 与点C 重合，．又因为直线AN 与椭圆W 的交点为C （与点A 不重合），所以只要证明点A ，N ，1B 三点共线． ……………… 7分以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ，则122(,)B x y -．由 223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得 222(34)84120k x kmx m +++-=， ……………… 9分所以 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+． (10)分在y kx m =+中，令0y =，得点M 的坐标为(,0)mk-， 由4OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，得点N 的坐标为4(,0)k m-， (11)分设直线NA ，1NB 的斜率分别为NA k ，1NB k ，则 1211122121212444444()()NA NB k k x y y x y y y y m m k k k k k k x x x x m m m m +⨯++⨯--=-=++++ ，………12分 因为 21112244k kx y y x y y m m+⨯++⨯ 21112244()()()()k kx kx m kx m x kx m kx m m m=+++⨯++++⨯2121242()()8k kx x m x x k m=++++ 2222412482()()()83434m k kmk m k k m k -=⨯++-+++ 22323824832243234m k k m k k k k k ---++=+0=， (13)分所以 10NA NB k k -=， 所以点A ，N ，1B 三点共线，即点B 与点C 关于x 轴对称． ……………… 14分2. 19．（共13分）（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1(0,)4F 的距离与动点P 到直线14y =-的距离相等．由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4为焦点，直线14y =-为准线的抛物线．所以曲线C 的方程为2y x =． ………………3分 （Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2,1,y x y kx ⎧=⎨=+⎩得210x kx --=． 所以12x x k +=，121x x =-． 设00(,)M x y ，则02k x =． 因为MN x ⊥轴，所以N 点的横坐标为2k ． 由2y x =，可得2y x '=所以当2kx =时，y k '=． 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．…………8分 （Ⅲ）解：由已知，0k ≠．设直线l 的垂线为l '：1y x b k =-+．代入2y x =，可得210x x b k+-= （*）若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线l 对称，则34122x x k +=-，342122y y b k +=+ 又3434(,)22x x y y ++在l 上， 所以211()122b k k k +=-+， 21122b k =-．由方程（*）有两个不等实根所以21()40b k ∆=+>，即221220k k+->所以212k <，解得k <或k ． ………………13分。
对一道圆锥曲线中对称问题解法的探究
思路探寻圆锥曲线中的对称问题较为复杂，较多，如对称轴、对称中心、系、圆锥曲线的几何性质等.灵活运用解析几何知识，化思想、方程思想来辅助解题.讨一下求解圆锥曲线中对称问题的方法.题目：已知椭圆C：x22+y23=1与直线l:直线l与椭圆C交于A,B两点.椭圆C上有两点关于直线l对称，求m的取值范围.本题主要考查了椭圆的方程、几何性质以及轴对称图形的特点、性质.解答本题的关键，在于根据椭圆C上有两点关于直线l对称以及椭圆的几何性质，系式，从而求得m的取值范围.一、点差法线的方程中，然后将两式相减，法.点差法常用于求解与中点、关的问题.若两个点的坐标为()x1,y1、(x2,y2后便可得到含有x1+x2，y1+y2，y1-y2x1-x2子，这样就联系了中点和直线的斜率，即可求得直线的斜率、中点坐标.采用点差法来求解，代入椭圆方程中，再将两式作差，标，根据椭圆的范围即可求得m的取值范围解：设两个对称点为D()x1,y1，E()x2,y2中点为M()x0,y0，则x0=x1+x22，y0=y1+y22，ìíîïïïïx212+y213=x222+y223=将()1-()2得x0y0=23.又因为点M()x0,y0也在直线AB上，所以联立方程组ìíîïïy0=x0+m，x0y0=23，得{x0=2m，y0=3m，由题意得点M()x0,y0在椭圆内，所以()2m22+()3m23<1，解得m的取值范围为æèçø.二、利用二次函数的性质圆锥曲线的方程都是二次方程，所以在解答圆锥曲线中的对称问题时，我们可以根据题意构造二次函数，利用二次函数的图象、性质来解题.对于含参问题，我们可以直接讨论二次函数的根的分布情况，建立关于参数的关系式即可解题.对于本题，我们可以将直线与椭圆的方程联立，消去y，构造出关于x的一元二次函数，从而将问题转化为函数问题.在消去y后，可得到一元二次方程，根据弦DE所在直线与椭圆C有两个交点，便可确定一元二次方程有两个实根，再结合椭圆的范围，便可确定根的分布情况，建立关于m的关系式.解：设椭圆C上关于直线l对称的两点分别为D()x1,y1，E()x2,y2，弦DE的中点为M()x0,y0，又因为M()2m,3m，由题意可得直线DE的斜率为-1，所以直线DE与椭圆C联立方程组可得ìíîïïy=-x+5m，x22+y23=1，消去y得5x2-20mx+50m2-6=0，x∈[]-2,2.令f()x=5x2-20mx+50m2-6，则问题转化为二次函数f()x=0在x∈[]-2,2上有两个不相等的实根，则ìíîïïïïf()-2≥0，f()2≥0，f()2m<0，解得m的取值范围为æèçø.我们通过对一道椭圆中对称问题的探讨，明确了求解圆锥曲线中对称问题的两种方法：点差法和利用二次函数的性质.这两种解法中都用到了数形结合思想、转化思想、方程思想，可见在解答圆锥曲线中的对称问题时，灵活运用数学思想来辅助解题，能有效地提升解题的效率.（作者单位：江苏省大丰高级中学）52。
苏教选修1-1圆锥曲线中的对称问题ppt1
2 y0
(
y1
y2 )
0
1 a2
1 b2
y0 x0
y1 x1
y2 x2
0
kOP
kAB
b2 a2
即1 a2
1 b2
kOP
kAB 0
问
题
3.若L是椭圆的任意一条弦,则椭圆上一定存在两点A、B关于L对
称吗?
探 椭圆 x2 y2 1 上是否存在两点A、B关于直线
A(x1, y1), B(x2 , y2 )两点在y 2x2上,
L是AB的垂直平分线.当L的斜率为2时,
求L在y轴上截距的取值范围.
y
L
A
B
O
x
谢谢！
y
点差法: 设A(x1,y1),B(x2,y2 ),P(x0 , y0 )
x12
则
a2 x22
a2
y12 b2
y22 b2
1 1
A
O
x
P
B
两式相减:
1 a2
(x1
x2
)(x1 x2
)
1 b2
(y1
y2
)(y1y2
)
0
1 a2
2x0
( x1
x2 )
1 b2
究
2
L: y=2x-1对称? 若ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在求出两点的坐标;若不存在
实 说明理由.
例 探
Ay
究
L: y=2x
A
L: y=2x-1
O
专题51-圆锥曲线中的对称问题(解析版)
【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一判别式法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.例1. 已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解得：－213 13 <m<213 13. 【点评】对于此类问题有第一种解法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生.例2、在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，-3）为OAB ∆的直角顶点，已知OA AB 2=，且点B 的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围. 【解析】（1）设),(v u AB =→，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=→→→→2OA AB OAAB ，得⎩⎨⎧=-=+03410022v u v u .解得⎩⎨⎧==86v u ， 或⎩⎨⎧-=-=86v u .∵，∴，得，故.（3）设),(),,(2211y x Q y x P 为抛物线上关于直线OB 对称的两点，则：， 整理得：，即21,x x 为方程0225222=-++aa x a x 的两个相异实根. 于是由02254422>-⋅-=∆aaa ，得23>a . 故当23>a 时，抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两点. 【点拨】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB 的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a 的取值范围.【变式演练1】在抛物线24y x =上恒有两点关于直线3y kx =+对称，求k 的取值范围．【变式演练2】求证：抛物线y =12x 2－1上不存在关于直线y =x 对称的两点。
圆锥曲线对称问题
圆锥曲线的对称问题问题1：点P(x，y)、P′(x′，y′)关于点Q(x0，y0)对称，那么它们的坐标应满足什么条件？Q点是P与P′的中点，即满足00'',22x x y yx y++==问题2：P(x，y)，P′(x′，y′)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？P和P′的中点是原点．即x=-x′且y=-y′．问题3：若P和P′关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？x=x′且y=-y′．问题4：若P和P′关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？y=y′且x=-x′．问：若P和P′关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？y=x′且x=y′．问题5：双曲线22221x ya b-=与22221y xa b-=的位置如何？它们关于直线y=x对称．问题6：若P与P′关于直线Ax+By+C=0对称，它们在位置上有什么特征？P和P′必须在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称,及P和P′到直线Ax+By+C=0的距离相等问题7：P与P′到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？就是P与P′的中点落在直线Ax+By+C=0上，换句话说P与P′的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0．问题8：两点P(x，y)、P′(x′，y′)关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件？应满足两个条件．第一个条件是PP′的连线垂直于直线Ax+By+C=0，第二个条件是P，P′的中点应落在直线Ax+By+C=0上．这两个条件能否用方程表示：方程组：'1'''22y y Ax x Bx x y yA B C⎧-⎛⎫∙-=-⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪∙+∙+=⎪⎩方程组中含有x′，y′，也可认为这是一个含x′，y′的二元一次方程组．换句话说，给定一个点P(x，y)和一条定直线Ax+By+C=0，可以求出P点关于直线Ax+By+C=0的对称点P′(x′，y′)的坐标．今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表已知直线1l和2l关于直线2x-2y+1=0对称(如图2-73)，若1l的方程是3x-2y+1=0，求2l的方程．(选题目的：熟悉对称直线方程)先求出已知两直线的交点，设2l的斜率为k，由两条直线的夹角公式可求出k，再用点斜式求得2l的方程．解：由22103210x yx y-+=⎧⎨-+=⎩得交点(0，12)，设2l的斜率为k，由两直线的夹角公式得：31123112kk--=++∴k=23由点斜式，l2的方程为4x-6y+3=0．另解：在直线1l上任取一点，求出这点关于2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出2l的直线方程。
巧用点差法解决圆锥曲线中的对称问题高二上学期数学北师大版选择性必修第一册
圆锥曲线中的直线对称问题
已知椭圆E：x2 y2 1 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m， 23
椭圆E上有不同的两点关于这条直线对称.
y
O
x
金题精讲
圆锥曲线中的点对称问题
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
F2 (
3, 0)
，且经过点 (
3, 1) . 2
x2 a2
y2 b2
设点、作差、求斜率.
注意事项
如果是曲线的存在性问题，判断点的位置至关重要，如果点在曲线外，中点弦将 不存在.
金题精讲
圆锥曲线中的直线对称问题
已知椭圆E：x2 y2 1 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m， 23
椭圆E上有不同的两点关于这条直线对称.
y
【思路分析】
O
x
金题精讲
【解】假设这样的直线存在，不妨
设Q1(x1,y1) ,Q2(x2,y2) ,则
2x12 y12 2 ①
2
x22
y22
2
②
x1
x2
1③
2
y1
y2
1④
2
①–②得：2(x12 – x22)=y12 – y22
即：2(x1 + x2) (x1 – x2)=(y1 + y2)(y1 – y2)
即：2×2(x1 – x2)=2(y1 – y2)
考情分析
圆锥曲线中的 对称问题
基本方法 基本类型
韦达定理法 点差法 关于点对称 关于直线对称
金题精讲
应用点差法解决中点弦问题
已知双曲线方程2x2－y2＝2. （1）求以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程.
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圆锥曲线中的一类对称问题 例：已知椭圆22
:143
x y C +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线:4l y x m =+，椭圆C 上有不同的两点关于这条直线对称。
法一：利用判别式及韦达定理来求解
两点,A B 关于直线l 对称，对称中体现的两要点：垂直和两点连线中点在对称直线l 上，因此使用这种方法求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就说明三个确保的实施。
解:椭圆上存在两点,A B 关于直线:4l y x m =+对称
设直线AB 为:n x y +-=4
1 (确保垂直). 则直线AB 与椭圆有两个不同的交点
2222141381648014
3y x n x nx n x y ⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩ 2192(413)0b ∆=--> (确保存在)
即：n << ① 12881313
n n x x -+=-= ,A B 两点的中点的横坐标为
124,213x x n +=纵坐标为141241313n n n -⨯+= 则点412,1313n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在直线:4l y x m =+上,12441313n n m =⨯+. (确保平分) 413
m n ⇒=- 把上式代入①中,
得：1313m -
<< 法二：点差法
点差法是解决中点弦问题的一种常见方法，对称问题符合点差法的应用条件，过程如下 解:设椭圆上关于l 对称的两点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，代
入椭圆方程后作差，得 0121203144x y y x x y -=-=-- ① 由点00(,)M x y 在直线:4l y x m =+上，得004y x m =+ ②
由①②解得00,3x m y m =-=-
因为点00(,)M x y 在椭圆的内部
所以 22
()(3)143
m m --+< 解得213213.1313
m -<< 已知椭圆C ： 22221x y a b +=的左焦点为F ，若点F 关于直线12
y x =-的对称点P 在椭圆C 上， 则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．12
B ．2
C ．3
D ．5 【答案】D
【解析】椭圆左焦点坐标为(),0F c -，它关于直线12y x =-
的对称点为34,55P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，据此可得222234551c c a b
⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：22222291625b c a c a b +=，结合222b a c =- 整理可得： 4224950250c a c a -+=，即： ()()4222950250,5950e e e e -+=--=，椭圆的离心率01e << ，则255,9e e =
=．故选D ．。